2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：11函数与方程Word版含解析
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课时作业11函数与方程
一、选择题
lnx, x>0,
1. 函数f(x) = o 门的零点个数是(D )
I-x(x + 2), x<0
A . 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：当x>0时，令f(x) = 0可得x= 1;当x< 0时，令f(x) = 0
可得x=- 2或x= 0•因此函数的零点个数为3•故选D.
2
2. 方程In(x + 1)-x = 0(x>0)的根存在的大致区间是(B )
A . (0,1) B. (1,2)
C. (2, e) D. (3,4)
2
解析：令 f(x) =ln(x + 1)--,贝S f(1) = ln(1 + 1)-2 = In2 — 2<0, f(2)
=In3- 1>0,所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2).故选B.
3.已知函数f(x) = Iog3 x+ 2
x —a在区间(1,2)内有零点，贝S实数a
的取值范围是(C )
A . (— 1，— Iog32)
C . (Iog32,1) (0, Iog52)
(1, Iog34)
f(1) f(2)<0，即(1- a) (Iog32 - a)<0，解得 Iog32
4 .关于x的方程|x2- 2x|= a2+ 1(a>0)的解的个数是(B )
B. 2 C. 3解析：T单调函数f(x) = Iog3 x+ 2 —a x 在区间(1,2)内有零点，二
解析：Ta>0,「.a2 + 1>1.而 y=|x2— 2x|的图象如图所示，「• y=|x2
—2x|的图象与y= a2+ 1的图象总有2个交点，即方程|x2— 2x| = a2 +
1(a>0)的解的个数是2.
5. (2019广东七校联合体联考)若函数f(x)= 2x+a2x— 2a的零点 在区间(0,1)上，贝S实数a的取值范围是(C )
( n
A. —3 2丿 B. (— X, 1)
1
C. 2，+3 D. (1 ,+3 )
解析：易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上单调递增."(0)^1)
2 1
=(1 — 2a)(2 + a2 — 2a)<0,解得 a>2
6 .已知函数f(x)= lnx — ax2 + ax恰有两个零点，则实数a的取值 范围为(C )
A . ( — X, 0) B. (0,+x )
C. (0,1)U (1,+工) D. ( — X, 0) U{1}
解析：由题意，显然x= 1是函数f(x)的一个零点，取a=— 1,
仅有一个零点，不符合题意，排除 A、D ;取a= 1,则f(x) = lnx — x2
1— 2x2 + x (1 + 2xX1— X) 则 f(x)= lnx + x2— x,f‘ (x) = 2x2 — x+
1
x >0恒成立.则f(x)
x + x, f‘ (x) = 3 = 3 , f‘ (x)= 0 得 x= 1,贝S f(x)在 (0,1)上递增，在(1, +3 )上递减，f(x)max = f(1) = 0,即f(x)仅有一个零 点，不符合题意，排除B，故选C.
二、填空题
x+ 3, xw 1,
7. 已知f(x)= 2 c q 彳 则函数g(x) = f(x) — g的零点
_—x + 2x+ 3, x>1,
个数为2.
解析：函数g(x) = f(x) — e的零点个数即为函数y= f(x)与y= e的
图象的交点个数.作出函数图象可知有 2个交点，即函数g(x)=f(x)
—ex有2个零点.
8. 若函数f(x) = x2 + ax+ b的两个零点是一2和3,则不等式af(—
2x)>0的解集是$国二2
解析：行&) = x2 + ax+ b的两个零点是一2, 3.
•••—2,3是方程x2+ax+ b= 0的两根，
—2 + 3 = — a, 由根与系数的关系知
I— 2X 3 = b.
a=— 1,
/.f(x) = x2 — x — 6.
b= — 6,
T不等式 af(— 2x)>0,即—(4x2 + 2x— 6)>0? 2x2 + x— 3<0,解集为 x| — 3
1og2X— 1 X>1 ,
9. 已知函数f(x) = 3 贝S函数f(x)的零点个数为
I x — 3x + 1, x w 1,
3.
解析：解法1：当x>1时，由log2(x— 1) = 0得x= 2,即x= 2为 函数f(x)在区间(1 ,+ X)上的一个零点；当x< 1时，Tf(x) = x3 — 3x + 1 ,「.f' (x) = 3x2— 3,由 f' (x) = 0 得 x=— 1 或 x= 1 ,v 当 x< — 1
时，f‘ (x)>0,当一1 wx< 1 时，f‘ (x)w0,「・x=— 1 为函数 f(x) = x3
—3x+ 1 在(—X, 1］上的极大值点，T f( — 1) = 3>0, f(1) = — 1<0,且
当 x^ — X 时，f(x)T —x,「.函数 f(x) = x3— 3x+ 1 在(一x, 1］上有两
个不同的零点.综上，函数f(x)的零点个数为3.
解法2：当x>1时，作出函数y= log2(x— 1)的图象如图1所示， 当xw 1时，由f(x) = x3 — 3x+ 1 = 0得，x3= 3x— 1,在同一个平面直 角坐标系中分别作出函数y= x3和y= 3x— 1的图象如图2所示，由图
1,2可知函数f(x)的零点个数为3. 10. 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)= 2 0佰+ log2
015X,则在R上，函数f(x)零点的个数为3. 解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，
( 1 " 所以 f(0)= 0,当 x>0 时，f(x) = 2 0佰 + log2 015X在区间 0, 2015
内存在一个零点，又f(x)为增函数,
因此在(0,+乂)内有且仅有一个零点.
根据对称性可知函数在(-乂，0)内有且仅有一个零点,
从而函数f(x)在R上的零点个数为3.
三、解答题
x 1
11. 已知函数 f(x) = X3 — X2+2 + 4.
证明：存在 Xo € 0, 2 J,使 f(xo) = xo.
11111 1
证明：令 g(x) = f(x) — x.Tg(0) = 4 卜吃丿—2= — 8,7(。)§•丿 <0.
- 们 又函数g(x)在0, 2上是连续曲线，
(1) 二存在 x°€ 0, 2 J,使 g(xo) = 0,即 f(x0)= Xo.
12. 已知a是正实数，函数f(x) = 2ax2 + 2x — 3— a.如果函数y=
f(x) 在区间[—1,1]上有零点，求a的取值范围.
1 解：f(x) = 2ax2 + 2x — 3— a的对称轴为x=—怎.
1 1 f( —1S0,
①当一 2aW — 1,即0
2a 2 lf(1 )>0,
a< 5,
即 二无解.
a> 1,
②当—1<-彩<0,即厨时，须使!f[-豺0,即
[f(1 )> 0,
1
—务一3 — a< 0,
2a 解得a> 1,
a> 1,
•••a的取值范围是［1，+乂).
力提升练
13. (2019惠州市调研考试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当
解析：令g(x) = xf(x) — 1 = 0,则XM0,所以函数g(x)的零点之和
1
等价于函数y= f(x)的图象和y= x的图象的交点的横坐标之和，分别
ZV
1 一
作出x>0时，y= f(x)和y=x的大致图象，如图所示，
ZV
1
由于y=f(x)和y=x的图象都关于原点对称，因此函数 g(x)在［—
1
6,6］上的所有零点之和为0,而当x= 8时，f(x)=$即两函数的图象
1
刚好有1个交点，且当x€ (8,+乂)时，y=】的图象都在y= f(x)的图 2|x—11 — 1，0
x>0 时，f(x) = 1
I2f(x — 2), x>2,
+ 乂)上的所有零点之和为(A )
A . 8
1
c*2 则函数 g(x) = xf(x) — 1 在［—6,
B. 32
D. 0 象的上方，因此g(x)在［ — 6,+乂)上的所有零点之和为8•故选A.2
数，所以gQ) < g(y)二佢，故选D14.已知关于x的方程g— 10|= a有两个不同的实根xi, X2，且 X2= 2xi,则实数 a= 6.
解析：T关于龙的方程I 2戈- 10 I二位有两个不同的实根 街，尤2，且兀2 = 2呵，二 2衍-10 = a.10 - 2切=“，二 2衍=
2 纠=10 + °,2呵=10 10 +a = (10 -a)2,解得 d
=6或& =15(舍去)*
尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用
lnx, x> 1,
15. (2019福州四校联考)已知函数f(x) = x 「―2，x<1,
若F(x) = f[f(x) + 1] + m有两个零点xi, X2,则xi X2的取值范围是 (D )
A . [4 — 2ln2，+x)
解析：因为函数/(戈) B. ( e,+x)
D. (— x, e)
Inr ,x M 1 s
y 所以F(x)二
I - 齐 V I,
ln( lnx + 1 ) + w 工
|ln(2 一 -y) + m.x < 1. _m
由 F(咒)=0 得，％]二 / _1 ,x2
，则f >迈-,所以街
• %2 = 2ef_l (2—£)、设 g(f) = 2er_l (2 — i),则 g"( f)=
2沖(1 -t).因为 r > £所以孑⑴=2ef-1(l -z) <0, =4-2宀其中讯6亍设… -m
1 即函数g(0二2於T(2-t)在区间(• 4 x)上是减函
