2018届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业11 函数与方程(含解析)文

课时作业11 函数与方程

一、选择题

1．(2017·赣中南五校联考)在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的区间是( )

A．[0,1] B．[1,2]

C．[－2，－1] D．[－1,0]

解析：∵f(0)＝1，f(1)＝2，∴f(0)f(1)>0，∵f(2)＝5，f(1)＝2，∴f(2)f(1)>0，

∵f(－2)＝19－4，f(－1)＝13－1，

∴f(－2)f(－1)>0，

∵f(0)＝1，f(－1)＝13－1.

∴f(0)f(－1)<0，易知[－1,0]符合条件，故选D.

答案：D

2．(2017·湖南六校联考)已知2是函数f(x)＝

 log2x＋m，x≥22x，x<2的一个零点，则f[f(4)]的值是( )

A．3 B．2

C．1 D．log23

解析：由题知log2(2＋m)＝0，∴m＝－1，∴f[f(4)]＝f(log23)＝2log23＝3，故选A.

答案：A

3．(2017·东北三校一模)函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数即为函数y＝3x与函数y＝2－x2的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，则f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为2，故选C.

答案：C

4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )

A．多于4个 B．4个

C．3个 D．2个 解析：∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示：

显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故答案为B.

答案：B

5．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )

A.－12，14 B.－14，12

C.14，12 D.14，12

解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足 m≠2，f－f，ff，即 m≠2，[m－2－m＋m＋m＋，[m－2＋m＋m＋m－＋2m＋ m＋，

解得14

答案：C

6．(2017·郑州质检)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )

A．g(a)<0

C．0

解析：依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即00，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)

答案：A

二、填空题

7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．

解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

由根与系数的关系知 －2＋3＝－a，－2×3＝b.

∴ a＝－1，b＝－6，

∴f(x)＝x2－x－6.

∵不等式af(－2x)>0，

即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，

解得－32

答案：{x|－32

8．若函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．

解析：由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0

答案：(0,3)

9．已知函数f(x)＝ x2－1，x<1，log12 x，x≥1，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

解析：关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．

答案：(－1,0)

三、解答题 10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.

(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及0，12内各有一个零点，求实数a的取值范围．

解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题；

依题意f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．

(2)依题意知，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及0，12内各有一个零点，

只需 f－，f，f12>0，即 3－4a>0，1－2a<0，34－a>0，

解得12

故实数a的取值范围为12，34.

11．设函数f(x)＝1－1x(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)如图所示．

(2)∵f(x)＝1－1x ＝ 1x－1，x∈，1]，1－1x，x∈，＋，

故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．

由0

(3)由函数f(x)的图象可知，当0

1．(2017·湖南考前演练)设x0是函数f(x)＝2x－|log2x|－1的一个零点，若a>x0，则f(a)满足( )

A．f(a)>0 B．f(a)<0

C．f(a)≥0 D．f(a)≤0

解析：当x>1时，f(x)＝2x－log2x－1，易证2x>x＋1>x.

又函数y＝2x的图象与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，所以2x>x＋1>x>log2x，从而f(x)>0，故若a>1，有f(a)>0；若00，f12

＝2－2<0，所以x0是f(x)唯一的零点，且00，故选A.

答案：A

2．(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )

A.14 B.18

C．－78 D．－38

解析：依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.

答案：C

3．(2017·云南一检)已知f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(3＋2x)＝f(7－2x)，若f(x)＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝________.

解析：因为∀x∈R，f(3＋2x)＝f(7－2x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝5对称，因为f(x)＝0恰有n个不同的实数根，所以这n个不同的实数根也关于直线x＝5对称，因为这n个不同实数根之和为75，所以n2×10＝75，解得n＝15.

答案：15

4．(2017·山西四校联考)已知函数f(x)＝1x－alnx(a∈R)．

(1)若h(x)＝f(x)－2x，当a＝－3时，求h(x)的单调递减区间；

(2)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝－3时，h(x)＝f(x)－2x＝1x＋3lnx－2x，

且h(x)的定义域为(0，＋∞)．

∵h′(x)＝－1x2＋3x－2＝－2x2－3x＋1x2

＝－x－x－x2，

当h′(x)<0时，得01，

∴h(x)的单调递减区间是(0，12)和(1，＋∞)．

(2)问题等价于alnx＝1x有唯一的实根．

显然a≠0时关于x的方程xlnx＝1a有唯一的实根，

构造函数φ(x)＝xlnx，则φ′(x)＝1＋lnx，

由φ′(x)＝1＋lnx＝0，得x＝e－1，

当0

当x>e－1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．

所以φ(x)的极小值为φ(e－1)＝－e－1.

如图，作出函数φ(x)的大致图象，则要使方程xlnx＝1a有唯一的实根，只需直线y＝1a与曲线y＝φ(x)有唯一的交点，则1a＝－e－1或1a>0，解得a＝－e或a>0，

故实数a的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．