2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十二函数与方程含解析

课时跟踪检测(十二)函数与方程

一、题点全面练

1. 设f(x)是区间［—1,1］上的增函数，且f —1 • f 1 v 0,则方程f(x) = 0在区间

［—1,1］内( )

A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根 D.没有实数根

解析：选C •/f(x)在区间［—1,1］上是增函数，且f — 1 • f 1 v 0,

.••f(x)在区间」一, 2上有唯一的零点.

•••方程f (x) = 0在区间［—1,1］内有唯一的实数根.

2. (2018 •濮阳一模)函数f (x) = In(2 x) — 1的零点位于区间( )

A. (2,3) B. (3,4)

C. (0,1) D. (1,2)

解析：选D •/f (x) = ln(2 x) — 1是增函数，且是连续函数，

f(1) = In 2 — 1v 0, f (2) = In 4 — 1> 0,

•根据函数零点的存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1,2) 上.

3. (2019 •南宁模拟)设函数f (x) = In x — 2x+ 6，则f(x)零点的个数为( )

A. 3 B. 2

D. 0

解析：选 B 令 f(x) = 0，则 In x = 2x— 6,令 g(x) = In x(x>0) , h(x) = 2x — 6(x>0),

如图所示，两个函数图象的交点个数就等

5 %— Iog 3x,若 xo是函数 y= f (x)的零点，且 0v X1< xo,贝U f(x"

的值(

解析：选 A因为函数f (x) = '1) — log 3X在(0 ,+^)上是减函数，所以当 0vX1 vx°C. 1

已知函数f (x)=

A. 恒为正值 B.等于0

C. 恒为负值 D.不大于0 在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,

于函数 ,故选B.

时，有f(Xi) > f(Xo).又Xo是函数f(x)的零点，因此f(Xo) = 0,所以f(Xi) > 0, 即 f(Xi)的 值恒为正值，故选 A.

5 . (2018 •黄山一模)已知函数f (X) = elX| + | X|.若关于X的方程f (X) = k有两个不同的 实根，则实数k的取值范围是( )

A. (0,1) B. (1 ,+^)

C. ( —1,0) D. ( —s, — 1)

解析：选B方程f (X) = k化为方程e|X| = k— | X|.令y = e|X|, y = k —| X| ,

y = k — | x|表示过点(0 , k)，斜率为1或—1的平行折线系，折 线与曲线y= e|x|恰好有一个公共点时， 有k = 1,如图.若关于x的方程

f (x) = k有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是(1 ,+s).

6.若方程In x+ x — 4 = 0在区间(a, b)( a, b€ Z,且b— a= 1)上有一根，则 a的值为 ( )

A. 1 B. 2

C. 3

解析：选B方程ln x+ x — 4 = 0的根为函数f (x) = ln x + x— 4的零点.f (x)的定义 域为(0,+s) , f (x)在定义域上单调递增.因为 f(2) = ln 2 —

2 v 0, f(3) = ln 3 — 1> 0, 所以f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程ln x + x — 4= 0在区间(2,3)有一根，所以a= 2, b= 3.故选B.

7 . (2019 •哈尔滨检测)若函数f(x) = x2+ ax+ b的两个零点是一1和2,则不等式af(— 2x) > 0的解集是 ________________ .

解析：函数f(x) = x2+ ax+ b的两个零点是一1和2,即一1,2是方程x2 + ax+ b= 0的 两根，可得—1 + 2=— a, — 1X2= b,解得 a=— 1, b= — 2. f (x) = x2— x— 2, af( — 2x) >0, D. 4

2 1 即 4x + 2x— 2v 0，解得—1v xv

答案：i— 1, 2

2X— 2— 1, x>0, 8 .已知函数 f(x)=( X + 2, x v 0,

的所有零点之和是 _________ .

解析：由 f (x) = 0,得 x= 2 或 x = — 2,

1 x=— 2，所以函数f(g(X))的所有零点之和是 —-2 x — 2x, x>0,

g(x) = S 1 则函数 f(g(x))

二，X v 0,

由 g(x) = 2,得 x= 1 + ・.3，由 g(x) = — 2,得

-1+1+w=2+V3. 2

答案：

9.已知y= f(x)是定义域为 R的奇函数，当x € [0，+)时，f (x) = x — 2x.

(1) 写出函数y=f(x)的解析式；

(2) 若方程f (x) = a恰有3个不同的解，求实数 a的取值范围.

解：(1)设 x v 0,则—x>0,

所以f( — x) = x2 + 2x.又因为f(x)是奇函数,

所以 f (x) = — f( — x) = — x2— 2x.

x2— 2x, x>0, 所以 f(x) = — x2—2x,

xv0.

⑵方程f(x)= a恰有3个不同的解,

作出y= f (x)与y= a的图象如图所示，故若方程 f (x) = a恰有3个不同的解，只需一1

v av 1,

故实数a的取值范围为(一1,1).

10. (2019 •济南月考)已知二次函数f (x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x) <0

的解集为{x| — 1< x< 3, x € R}.

(1)求函数f (x)的解析式;

f x

⑵ 求函数g(x) = --- — 4ln x的零点个数.

x

解：⑴ 因为f (x)是二次函数，且关于 x的不等式f (x) <0的解集为｛x| —1< x<3, x

€ R},

2

所以 f(x) = a(x+ 1)( x — 3) = ax — 2ax— 3a,且 a>0.

所以 f(X)min= f (1) = — 4a=— 4, a= 1.

故函数f (x)的解析式为f(x) = x2— 2x— 3.

x — 2x — 3 3

⑵ 因为 g(x) = x — 4ln x= x — x — 4ln x — 2( x >0),

所以 g，(x) = 1 + 2— 4= x-1

2x — x x x

令 g'(x) = 0,得 X1 = 1, X2= 3.

当x变化时，g'(x) , g(x)的取值变化情况如下

x (0,1) 1 (1,3) 3 (3 ,+s) 即y = f (x)与y= a的图象有 2

g'(x) + 0 一 0 +

g(x) 极大值 极小值

当 0vXW3 时，g(x) W g(1) =- 4v 0.

又因为g(x)在(3 ,+s)上单调递增，因而 g(x)在(3 ,+s)上只有1个零点.故g(x)

在(0 ,+^)上只有1个零点.

二、专项培优练

(一)易错专练一一不丢怨枉分

3. (2019 •沧州质检)已知定义在 R上的函数f(x)满足：①f(x) + f (2 — x) = 0 :②f(x 1. (2018 •德州期末)设函数f(x)是定义在 R上的奇函数，当x> 0时，f(x) = ex + x- 3,

则f(x)的零点个数为(

A. 1 B. C. 3 D.

解析：选C因为函数f (x)是定义域为 R的奇函数，所以f(0) = 0，即0是函数f(x)

x 1

的一个零点，当 x>0时，f (x) = e + x-3为增函数•因为 f(1) = e + 1 — 3= e — 2>0, f

1 1

=e 4 + 4 — 3= e 4 —乎< 0，所以当x>0时，f(x)有一个零点.根据对称性知，当 xv 0时,

函数f(x)也有一个零点•综上所述,

2. (2019 •六安模拟)已知函数 f(x)的零点的个数为3.

f (x) = 2m)<— x — 1在区间(一2,2)上恰有一个零点，则

实数m的取值范围是(

A. 1

8, B. 3

8’

D. 1

8’

解析：选D当m= 0时，函数

时，函数f (x) = 2mx — x— 1在区间 f(x)= —x— 1有一个零点x=— 1,满足条件.当 m^0

(—2,2) 上恰有一个零点，需满足① f( — 2) • f (2) v 0或

f —2 = 0,

② 1 —2 v v 0 4m f 2

或③ 1

0V—v 2. 4m =0,

解①得—8v m< 0或0v mv書；②无解；解③

得m= 3.综上可知— 8 3

8,故选D. 2

[...1 - x , x € [ - 1, 0],

—2) = f( — x);③当 x€ [ — 1,1]时，f(x)=

x € 0, 1], 则函数y= f (x)

cos 1

—1 1x1在区间［—3,3］上的零点个数为( )

2

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

解析：选 A由①f(x) + f (2 — x) = 0可得f(x)的图象关于点(1,0)对称；由②f(x— 2)

=f ( — x)可得f (x)的图象关于直线x =— 1对称.如图，作出f (x)在［—1,1］上的图象，再 由对称性，作出f(x)在［—3,3］上的图象，作出函数 y = 1 |x|在［—3,3］上的图象，由图象 观察可得它们共有 5个交点，即函数y= f(x) — 1 |x|在区间［—3,3］上的零点个数为5.故选

A.

解析：可转化为两个函数 y= 2 |x7与y = — 2cos n x在［—4,6］上的交点的横坐标的 和，因为两个函数均关于 x= 1对称，所以两个函数在x = 1两侧的交点对称，则每对对称点 的横坐标的和为 2,分别画出两个函数的图象易知两个函数在 x = 1两侧分别有5个交点，

所以 5X2= 10.

4.函数

f (x)= '1)x T + 2cos

2 n x( — 4< x< 6)的所有零点之和为

答案：10

(二)难点专练一一适情自主选

广 2

—x — 2x+ 3, x< 1,

5.已知函数f (x)= ］n x, x> 1,

相等的实数根，则实数 k的取值范围是( 1

若关于x的方程f (x) = kx—恰有4个不