备考2020年高考数学一轮复习：11 函数与方程

第 1 页 共 4 页 2024年高考数学第一轮复习知识点总结

一、函数与方程（约占25%）

1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。

3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。

4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。

5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。

6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。

7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。

二、空间与向量（约占15%）

1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。

2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。

3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。

4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。

三、导数与微分（约占15%） 第 2 页 共 4 页 1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。

2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。

3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。

4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。

四、概率与统计（约占15%）

1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。

2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。

3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。

4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。

1 第十二讲 导数的切线方程

1. 导数的几何意义：切线的斜率

2. 求斜率的方法

（1）公式：/12012tan()yykfxxx

0为直线的倾斜角，范围[0,),x是切点的横坐标

（2）当直线l1、l2的斜率都存在时：1212llkkP，12120llkk•

3. 切线方程的求法

（1）求出直线的斜率

（2）求出直线上的一点或切点

（3）利用点斜式00()yykxx写出直线方程。

考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求

【例1】（1）曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为 。

(2)设函数()lnfxxx，若0()2fx，则0x______________．

【举一反三】

1.已知在曲线2yx上过点00(),Pxy的切线为l．

（1）若切线l平行于直线45yx，求点P的坐标；

（2）若切线l垂直于直线2650xy，求点P的坐标；

（3）若切线l的倾斜角为135，求点P的坐标．

【套路总结】

1.已知切点求切线的斜率解题思路

（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可

2.求切点的坐标的解题思路

(1)设出切点坐标

(2)利用导数或斜率公式求出斜率

(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标

(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 【套路秘籍】---千里之行始于足下

2 考向二 在某点处求切线方程

【例2】设函数f(x)＝xln x，则点(1,0)处的切线方程是________．

【举一反三】

1.函数f(x)＝excos x在点(0，f(0))处的切线方程为 。

2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为_ __.

考向三 过某点处求切线方程

【例3】已知函数3fxx，则过（1,1）的切线方程为__________．

1 第08讲 函数与方程---练

1．（2019·新疆高考模拟（文））在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，为上的增函数，

，

因为，所以，所以，但，

所以的零点在区间，故选C.

2．（2019·安徽高考模拟（文））设函数，则函数的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

，

由得，

作出fx与31yx=+的图象，由图象知两个函数共有3个交点，

则函数gx的零点个数为3个， 2

3．（2019·河南高考模拟（理））已知单调函数()fx的定义域为(0,)，对于定义域内任意x，，则函数的零点所在的区间为（ ）

A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)

【答案】C

【解析】

根据题意，对任意的(0,)x，都有，又由fx是定义在0+，上的单调函数，则为定值，设，则，又由3ft，∴，所以2t，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.

4．（2019·天津高考模拟（文））已知函数若存在实数,,abc满足，其中cba，则的取值范围是（ ）

A．24,36（） B．48,54（） C．24,27（） D．48,

【答案】B

【解析】

3 画出图象，如图，

abcQ，

由二次函数的性质可得6ab，

由图可知，，

，

，

，

，

即的取值范围是48,54，故选B.

5．（2019·北京高考模拟（文））已知函数若函数fx存在零点，则实数a的取值范围是（ ）

A．,0 B．0,

C．,1 D．1,

【答案】B

【解析】

指数函数20xy，没有零点，

yx有唯一的零点0x＝，

所以若函数()fx存在零点，

须有零点，即0,a，

则0a，

故选：B. 4

6.（2019·河南高考模拟（文））已知函数则函数的零点个数为（ ）.

1 专题05函数的单调性与最值

最新考纲

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

基础知识融会贯通

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论 2 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

重点难点突破

【题型一】确定函数的单调性(区间)

命题点1 给出具体解析式的函数的单调性

【典型例题】

下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）

A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；

对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞），不符合题意；

对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；

对于D，y＝（x﹣1）|x|，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；