2020高考数学一轮复习 课时作业11 函数与方程 理

1 / 7 课时作业11 函数与方程

[基础达标]

一、选择题

1．[2019·河南濮阳模拟]函数f(x)＝ln2x－1的零点所在区间为( )

A．(2,3) B．(3,4)

C．(0,1) D．(1,2)

解析：由f(x)＝ln2x－1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1)＝ln2－1<0，f(2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上，故选D.

答案：D

2．[2018·福州市高三期末]已知函数f(x)＝ x2－2x，x≤0，1＋1x，x>0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：令f(x)＋3x＝0，则 x≤0，x2－2x＋3x＝0或 x>0，1＋1x＋3x＝0，解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.

答案：C 2 / 7 3.根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )

x －1 0 1 2 3

ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09

x＋2 1 2 3 4 5

A.(1,2) B．(0,1)

C．(－1,0) D．(2,3)

解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．

答案：A

4．[2019·安徽安庆模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ x2＋2，x∈[0，1，2－x2，x∈[－1，0，且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为( )

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故F(x)有2个零点．故选B.

答案：B

5．[2019·河南安阳模拟]设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是( )

A．[0,1] B．[－1,0]

C．[0,2] D．[－1,1]

解析：令f(x)＝0，可得ln(x＋1)＝－a(x2－x)，令g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝－a(x2－x)．∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，∴g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点．

显然当a＝0时符合题意；

当a<0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的图象如图1所示， 3 / 7

显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；

当a>0时，作出g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝－a(x2－x)的函数图象如图2所示，

若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.综上，0≤a≤1.故选A.

答案：A

二、填空题

6．[2018·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．

解析：由题意可知，当3x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)＝cos3x＋π6＝0.

∵x∈[0，π]，

∴3x＋π6∈π6，196π，

∴当3x＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f(x)＝0，

即函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为3.

答案：3

7．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围为________．

解析：由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2＋a)<0.

∴－2

答案：(－2,0)

8．[2019·宝鸡质检]设函数f(x)＝ 2－x，x<1log2x，x≥1，若函数y＝f(x)－k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是________．

解析：∵当x<1时，2－x>12，当x≥1时，log2x≥0，依题意函数y＝f(x)的图象和直线y＝k的交点有两个，

∴k>12. 4 / 7 答案：12，＋∞

三、解答题

9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解析：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，

令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.

∴函数f(x)的零点为3或－1.

(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，

∴b2－4a(b－1)>0恒成立，

即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，

所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0

因此实数a的取值范围是(0,1)．

10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

解析：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

所以f(x)＝ x2－2x，x≥0，－x2－2x，x<0.

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解．

即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解只需－1

故a的取值范围为(－1,1)．

[能力挑战]

11．[2019·唐山联考]奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，5 / 7 g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )

A．3 B．7

C．10 D．14

解析：由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g±32＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，fg±32＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10，选择C.

答案：C

12．[2019·石家庄高中毕业班教学质量检测]已知M是函数f(x)＝ex2－3x＋134－8cosπ12－x在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M的值为( )

A．3 B．6

C．9 D．12

解析：函数f(x)＝ex2－3x＋134－8cosπ12－x在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和，即ex2－3x＋134＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即ex－322＋1＝8sinπx在(0，＋∞)上的所6 / 7 有实数根之和．

令g(x)＝ex－322＋1，h(x)＝8sinπx，易知函数g(x)＝ex－322＋1的图象关于直线x＝32对称，函数h(x)＝8sinπx的图象也关于直线x＝32对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.

答案：B

13．[2018·天津卷]已知a>0，函数f(x)＝ x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x>0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．

解析：本题主要考查函数零点的应用．

设g(x)＝f(x)－ax＝ x2＋ax＋a，x≤0，－x2＋ax－2a，x>0，

方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解即函数y＝g(x)有两个零点，即y＝g(x)的图象与x轴有2个交点，满足条件的y＝g(x)的图象有以下两种情况：

情况一：

则 Δ1＝a2－4a>0，Δ2＝a2－8a<0，∴4

情况二：

7 / 7 则 Δ1＝a2－4a<0，Δ2＝a2－8a>0，不等式组无解．

综上，满足条件的a的取值范围是(4,8)．

答案：(4,8)