2019版高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法学案

第38讲 数学归纳法

考纲要求 考情分析 命题趋势

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 2015·陕西卷，21

2014·重庆卷，22 数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查. 分值：0～5分

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( × )

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )

(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × )

(4)用数学归纳法证明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23.( √ )

解析 (1)错误．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n＝1.

(2)错误．不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．

(3)错误．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数的增加根据题目而定．

(4)正确．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23是正确的．

2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为nn－32条时，第一步检验n＝( C )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.

3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( D ) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1

B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1

C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1

D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

解析 由条件知，左边从20,21到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.

4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n2n2＋13时，则从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( B )

A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2

C．(k＋1)2 D．13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]

解析 由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2，故选B．

5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝__2k＋1__时，命题亦真．

解析 因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.

一 数学归纳法证明等式

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．

【例1】 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．

证明 ①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任意n∈N*都成立．

二 数学归纳法证明不等式

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．

(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．

【例2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n，求证：当n∈N*时，an

证明 ①当n＝1时，因a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，

所以a1

②假设当n＝k(k∈N*)时，0≤ak＜ak＋1，当n＝k＋1时，

则由a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)·(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，得ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．根据①和②，可知an＜an＋1对任意n∈N*都成立．

三 归纳—猜想—证明

“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．

【例3】 设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.

(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论．

解析 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想an＝an－1＋a(n∈N*)．

(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．

②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，即ak＝ak－1＋a，

当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.

这说明n＝k＋1时猜想正确．

由①②知，对于任意n∈N*，都有an＝an－1＋a.

1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

证明 ①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，

即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝

(k＋1)fk＋1－1k＋1－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时结论仍然成立．

由①②可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

2．用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．

证明 ①当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，

∴32≤1＋12≤32，即命题成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即

1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，

则当n＝k＋1时，

1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＞1＋k2＋2k·12k＋2k＝1＋k＋12，

又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＜12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，

即n＝k＋1时，命题成立．

由①②可知，命题对所有n∈N*都成立．

3．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．

S1＝1， S2＝2＋3＝5，

S3＝4＋5＋6＝15，

S4＝7＋8＋9＋10＝34，

S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，

…

解析 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；

当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；

猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，

那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1

＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]

＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

根据①和②，可知对于任意的n∈N*，

S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．

4．已知函数f(x)＝x－xln x，数列{an}满足0

证明 由f(x)＝x－xln x，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故f(x)在x∈(0,1)时为单调递增函数．

下面用数学归纳法证明：对任意n∈N*，不等式0

①当n＝1时，已知0

又当n＝2时，由a1ln a1<0，得a2＝f(a1)＝a1－a1ln a1>a1>0，且有a2＝f(a1)＝a1－a1ln

a1

②假设当n＝k(k∈N*)时，有0

则当n＝k＋1时，由f(x)在x∈(0,1)时为单调递增函数，

且0

即ak＋1

又ak＋1>0，所以有0

综合①②知，对任意n∈N*，不等式0

易错点 归纳不准