2018年高考数学一轮复习课件：第六章 不等式、推理与证明 第32讲

第三课时

●课 题

§1.3 不等式的解集

●教学目标

（一）教学知识点

1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.

2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.

3.会在数轴上表示不等式的解集.

（二）能力训练要求

1.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力.

2.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.

（三）情感与价值观要求

从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造.

●教学重点

1.理解不等式中的有关概念.

2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

●教学难点

探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

●教学方法

引导学生探索学习法.

●教具准备

投影片一张

记作（§1.3 A）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.

［生］不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

［师］很好.

在学习了等式的基本性质后，我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程，知道了方程的解、解方程等概念，大家还记得这些概念吗？

［生］记得.

能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解.

求方程的解的过程，叫做解方程.

［师］非常好.上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质，能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？本节课我们就来试一试.

Ⅱ.新课讲授

1.现实生活中的不等式.

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？

学必求其心得，业必贵于专精

典型例题十五

例15 已知0a，0b，且1ba．求证：1)1)(1(10bbaaa．

分析：记)1)(1(10bbaaaM，欲证10M，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元,借助三角函数的变换手段将很方便，由条件1ba，Rba、可换元，围绕公式1tansec22来进行．

证明：令2seca，2tanb,且20,

则)tan1(tan)sec1(secsec1)1)(1(12bbaaa

)sincoscossin()coscos1(cos2

sincossin1cossincos22

∵20，∴1sin0,即1)1)(1(10bbaaa成立．

说明:换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若1x，可设Rx,sin;（2)若122yx，可设cosx,siny,R；(3）若122yx，可设cosrx，sinry,且1r．

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

1 理数 第6章 不等式、推理与证明 6-1a

[A级 基础达标](时间：40分钟)

1．[2017·浙江抽测]已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 当b≥0时，a2＋b≥0，反之不一定成立，因此“b≥0”是“a2＋b≥0”的充分不必要条件．

2．[2017·烟台模拟]如果a，b，c满足c

A．ab>ac B．bc>ac

C．cb2

答案 C

解析 因为c0，c<0.所以ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，所以A，B，D均正确．因为b可能等于0，也可能不等于0，所以cb2

3．设a>b>0，下列各数小于1的是( )

A．2a－b B.ab 12

C.aba－b D.baa－b

答案 D

解析 解法一：(特殊值法)

取a＝2，b＝1，代入验证．

解法二：y＝ax(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1；当00时，0b>0，∴a－b>0，ab>1,0

4．设a＝log12 3，b＝130.2，c＝12－ 12 ，则( )

2 A．a

答案 A

解析 因为a＝log12 31，所以a

5．[2017·重庆一中调研]设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是( )

A．a>b2 B.1a>1b C.1a<1b D．a2>2b

答案 A

解析 对于A，∵－11，∴a>b2，故A正确；对于B，若a＝2，b＝12，此时满足a>1>b>－1，但1a<1b，故B错误；对于C，若a＝2，b＝－12，此时满足a>1>b>－1，但1a>1b，故C错误；对于D，若a＝98，b＝34，此时满足a>1>b>－1，但a2<2b，故D错误．

6．已知－π2

答案 －3π4，0