市北资优六年级分册 第01章 1.6 整数的应用举例(1)(2)

上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课选自上海市六年级数学教材第一章“数整除”的内容，具体包括第一节数整除的概念与性质，以及第二节最大公约数与最小公倍数的求解方法。

详细内容如下：1. 数整除的概念与性质：了解整除的定义，掌握整除的性质，能够判断一个数是否能被另一个数整除。

2. 最大公约数与最小公倍数：掌握最大公约数和最小公倍数的概念，学会运用质因数分解法、短除法等方法求解最大公约数和最小公倍数。

二、教学目标1. 知识与技能：理解数整除的概念，掌握数整除的性质，能够判断两个数是否存在整除关系；学会求解最大公约数和最小公倍数。

2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生运用数整除知识解决实际问题的能力；培养学生合作交流、自主探究的学习习惯。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：数整除性质的灵活运用；最大公约数和最小公倍数的求解方法。

2. 教学重点：数整除的概念与性质；最大公约数和最小公倍数的概念及求解方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如分配苹果、糖果等，引出整除的概念。

2. 新课导入：讲解数整除的概念与性质，结合实例进行分析。

3. 例题讲解：讲解最大公约数和最小公倍数的求解方法，通过例题进行演示。

4. 随堂练习：布置一些数整除的相关练习题，让学生独立完成，并进行讲解。

六、板书设计1. 数整除的概念与性质2. 最大公约数与最小公倍数质因数分解法短除法七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）能被整除的：12 ÷ 4，15 ÷ 3。

不能被整除的：18 ÷ 5。

（2）12和18的最大公约数是6，最小公倍数是36；15和20的最大公约数是5，最小公倍数是60。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对数整除的概念和性质掌握较好，但在求解最大公约数和最小公倍数时，部分学生对方法运用不够熟练，需要加强练习。

市北资优六年级分册第01章1.2奇数与偶数+李业法1.2 奇数与偶数我们已经碰到各种各样的数，如⼩数、整数等，其中在整数范围内，能被2整除的整数是偶数，如2，10，－4等；不能被2整除的整数是奇数，如－3，1，3等．同时，如果n是整数，那么2n是偶数，2 n－1或2 n＋1是奇数．如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n－1是正奇数．想⼀想0是奇数还是偶数？我们知道：奇数、偶数是整数的⼀种分类．在整数范围内是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数⼜不是奇数，那么它就不是整数．奇数偶数的运算性质:奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数;两个连续整数的和是奇数，积是偶数．推⼴结论:奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．若⼲个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．如果若⼲个整数的乘积是奇数，那么其中每⼀个整数都是奇数；如果若⼲个整数的乘积是偶数，那么其中⾄少有⼀个整数是偶数．如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数⼀定是⼀奇⼀偶．两个整数的和与差的奇偶性相同．【例1】1，2，…，2008中每个数前⾯任意添加“+”、“⼀”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每⼀个数前的“－”号逐⼀改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此所求算式结果为偶数．【例2】将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)（a2—2）…(a99－99)⼀定是偶数．证明：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99，中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有⼀个奇数，设其中a k是奇数，则a k－k是两个奇数的差，因⽽是偶数，所以(a1－1)(a2－2)…(a k－k) …(a99－99)是偶数．练习1.21．5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是⼏？2．⽤15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3．⼀次舞会有7名男⼠与7名⼥⼠参加，⼀名男⼠与⼀名⼥⼠在⼀起跳为跳⼀次舞，会后统计出有8⼈各跳了6次，有5⼈各跳了3次，问余下的⼀⼈跳了⼏次？4. 13个不同的⾃然数之和等于100，其中偶数最多有⼏个？偶数最少有⼏个？练习1.2答案：1．60、62、64、66、68．提⽰：将320除以5可得中间偶数为64．2．7个．提⽰：16与18和另外⼀个数乘积均为偶数，共8个，还要减去16与18的积有⼀个重复，因此共7个，3．3次．4．9个；5个．提⽰：13个不同的⾃然数，它们的和是100，其中奇数的个数⼀定是偶数，偶数的个数⼀定是奇数，如果有11个或11个以上偶数，它们的和⾄少是(0+2+4+…+20)+ (1+3)=114>100，不符合要求，另⼀⽅⾯，(0+2+4+…+16)+(1+3+5+19)=100，所以，偶数最多有9个．如果有10个或10个以上奇数，它们的和⾄少是(1+3+5+…+19)+(0+2+4)=106>100，不符合要求．另⼀⽅⾯，(1+3+5+…+15)+(2+4+6+8+16)=100，所以，偶数最少有5个．1.2奇数与偶数练习1.21. 30个连续⾃然数的乘积是奇数还是偶数？2．若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最⼤的⼀个数．3．有⼀只⼩渡船往返于⼀条⼩河的左右两岸之间，问：若最初⼩船是在左岸，往返若⼲次后，它⼜回到左岸，那么这只⼩船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况⼜是怎样呢？4．有九只杯⼝向上的杯⼦放在桌⼦上，每次将其中四只杯⼦同时“翻转”，使其杯⼝向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯⼦的杯⼝全部向下？为什么？5．博物馆有并列的5间展室．警卫从第⼀间展室开始，⾛到第⼆间，再⾛到第三间……⾛到第五间后往回⾛，⾛到第四间，再⾛到第三间……他每进⼀间展室拨动⼀次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他⾛过100间展室后，还有⼏间亮着灯？6．如图是⼀张8×8的正⽅形纸⽚，将它的左上⾓⼀格和右下⾓⼀格去掉，剩下的部分能否剪成若⼲个l ×2的长⽅形纸⽚？答案：1．偶数2．290．提⽰：中间⼀个数等于1988÷7=284，最⼤的⼀个数就是290．3．偶数；奇数．提⽰：⼩船最初在左岸，过⼀次河就到了右岸，再过⼀次河就由右岸回到左岸．即每次由左岸出发到右岸后在回到左岸，都过了两次河，因此，⼩船由左岸开始往返多次后⼜回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若⼩船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．4．不能．提⽰：每次“翻转”总是偶数只杯⼦的杯⼝⽅向发⽣变化，因此⽆论经过多少次“翻转”，杯⼝向下的杯⼦数总是偶数．⽽总共有9只杯⼦，是奇数，因此，不能使九只杯⼦的杯⼝全部向下．5．1间．提⽰:每个电灯开关要拉动偶数次才能使点灯亮着．警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，⼜从第1展室开始重复这个过程，第2、3、4展室的开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次．100=8×12+4，因此当⾛到100间展室时，警卫经过12个来回后，⼜从第1间开始⾛到第4间，此时前四间的电灯都已经关闭，仅剩第5间的电灯还亮着．6．不能．提⽰：如图，我们在⽅格内依次相间的填上“奇”、“偶”两字，这时这时就会发现，要从上⾯剪下⼀个1×2的长⽅形纸⽚，不论怎样剪，都会包含⼀个“奇”，⼀个“偶”，⽽“奇”有30个，“偶”字有32个，所以这张纸不能剪成若⼲个l×2的长⽅形纸⽚．。

1.5 公倍数与最小公倍数思考在上海火车站，地铁1号线每隔三分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？分析 问题转化为求3和4的最小公倍数．3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，14，27，……4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，……3和4的倍数有：12，24，……，其中最小的是12．如果a 1，a 2，…，a n 和m 都是正整数，且1a m ，2a m ，…，n a m ，那么m 叫做a 1，a 2，…，a n 的公倍数．公倍数中最小的数叫做a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数，记作[a 1，a 2，…，a n ] ．如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4，8，12]=24．例1 求18和30的最小公倍数．解 方法一：18的倍数有18，36，54，72，90，…30的倍数有30，60，90，120，150，…所以18和30的最小公倍数为90．方法二：把18和30分解质因数18233=⨯⨯ 30235=⨯⨯只要取出所有公有的质因数（1个2和1个3），再取各自剩余的质因数（3和5），将这些数连乘，所得的积90是它们的最小公因数．方法三：用短除法来计算∴ 18和30的最小公倍数为233590⨯⨯⨯=．例2 求18和30的最小公倍数．解∴ 18和30的最小公倍数为223560⨯⨯⨯= ．，，，531593018321，2，11，6，32，12，310，12，15532练习1.51．求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．2．用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．3．张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知的最小公倍数是60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？练习1.5答案1．180；83 1602．6；3603．4或20．提示：4是x 的约数，60是x 的整数倍，因此x 只可能是4，12，20，60．显然60x ≠．因为4是y 的因数，3是y 的因数，因此y 是12的整数倍，因此12x ≠．由此4x =或20．1.5 《公倍数与最小公倍数》练习练习1.51．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．152．在1427=⨯中，2和7都是14的（ ）A ．素数B ．倍数C ．素因数3．有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．1444．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果最少应有（ ）A ．120个B ．90个C ．60个D ．30个5．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，那么乙数应是（ ）A ．16B ．82C ．48D ．646．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友．A ．2B ．4C ．6D ．87．下面算式中，被除数能被除数整除的有（ ）A ．265 5.2÷=B ．3575÷=C ．0.90.33÷=8．自然数中，所有17的倍数（ ）A ．都是偶数B ．有偶数有奇数C ．都是奇数9．有一个素数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个素数是几？10．一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？11．三个连续奇数的和是15，这三个奇数的最小公倍数是多少？12．从运动场的一端到另一端全长10米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？13．在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？1.5《公倍数与最小公倍数》练习答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．B9．53 提示：这两个数字中较大的为5，较小的为3，所以这个素数是53．÷=，10．55块提示：22与10的最小公倍数为110，即正方形的边长最小为110厘米．又110225⨯=（块）．1101011÷=，因此至少要51155⨯⨯=．11．105 提示：由题意知，中间这个奇数为5，则这三个数为3，5，7，它们的最小公倍数为357105÷+= 12．6面提示：4与5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面小红旗不用移动，因此共有1002016（面）小红旗不用移动．13．28段提示：10、12、15的最小公倍数是60，不妨设木棍的长度为60，若十等分，则每段长度为++=（条）刻度线．因6；若十二等分，则每段长度为5；若十五等分，则每段长度为4．木棍上有9111434÷-=（条）；因为5与4的为6与5的最小公倍数为30，因此十等分与十二等分重复的刻度线有603011÷-=（条）．以上重复的刻度线之间最小公倍数为20，因此十二等分与十五等分重复的刻度线有602012---=（条），即木棍总共被锯成28段．并不重复，因此刻度线共有3414227。

1．3 素数、合数与分解素因数自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001所以，3 333 334 111 111是合数．例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．练习1．3（1）1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案练习13．1（1）1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、433． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？6 = 2 × 32 × 36 2 × 2 × 728 = 2 × 2 × 74 × 72860 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 52 ×3 × 2 × 56 × 1060××××从上面的例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．例4 把48，35，60分解素因数解：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 332 62 1 22 2 42 4 875 3 535 = 5 × 7560 = 2 × 2 × 3 × 53 1 52 3 02 6 0用短除法分解素因数的步骤如下：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：1212k a aa k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是质数；12,,k a a a 是正整数．例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且22221234511p p p p =+++，试求这四个质数．分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．解：显然有12p =，代入得222234507p p p =++，因为250752923=＜，所以419p ≤若419p =，则2223146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．若417p =，则2223218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：22x +、24x +、26x +、28x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．当3x =时，2211x +=，2413x +=，2615x +=，2817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2227x +=，2429x +=，2631x +=，2833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2251x +=，2453x +=，2655x +=，2857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．练习1．3（2）1．分解素因数：45，88，126．2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？练习1．3（2）1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×72． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625249 525125625+++=（个）．4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，25．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。

1.4 公因数与最大公因数思考植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．例1求8，9和30的最大公因数．解：8的因数有：1，2，4，8；9的因数有：1，3，9；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．因此，8，9和30的最大公因数是1．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．例1中的8和9就是互素．例2求18和30的最大公因数．解：把18和30分别分解素因数．18＝2×3×3，30＝2×3×5．可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b ＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c＝15，符合题意，从而可以求得答案．解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a＋b＋c的最小值为31．练习1.41．2520的因数有多少个？2．求24，44，60的最大公因数．3．分数1111115015是不是最简分数？4．一块长方形木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？练习1.4练习答案1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．2．4．3．是．4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12 cm，共90块．5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．1.4《公因数与最大公因数》练习1．填空．12的因数是；18的因数是；12和18的公因数是；12和18的最大公因数是．2．填空．（1）3、4和5的最大公因数是；（2）18、24和36的最大公因数是；（3）6、7和12的最大公因数是；（4）8、9和15的最大公因数是．3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．A．2 B．5 C．10 D．65．求出12、18和24的最大公因数．6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？1.4《公因数与最大公因数》练习答案1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．3．不一定．4．C．5．6．6．6，10，15等（答案不唯一）．7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。

3.2 比例和比例的基本性质问题若学校操场上升起的国旗的长是1．8米，宽是1.2米．教室里挂的国旗的长是45厘米，宽是30厘米．这两面国旗长与宽的比如何？因为1.8米：1.2米=180：120=3：2，45厘米：30厘米=3：2，所以 1.8米：1.2料=45厘米：30厘米．a，b，c，d四个量，如果a:b=c:d，那么就说a，b，c，d成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．其中a，b，c，d分别叫做第一，二，三，四比例项，第一比例项a和第四比例项d叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项．如1.8：1.2=45：30，1.8，1.2，45，30分别叫做第一，二，三，四比例项.1.8，30是比例外项，1.2、45是比例内项．a:b=c:d也可以表示为a cb d=，在a cb d=的等式两边同时乘以bd，可以得到ad=bc．反过来ad=bc的等式两边同时除以bd，就可以得到a cb d=，其中a，b，c，d都不为零．比例的基本性质：如果a:b=c:d或a cb d=，那么ad=bc．反之，如果a、b、c、d都不为零，且ad=bc，那么a:b=c:d或a cb d=．两个外项的积等于两个内项和积．比和比例的联系与区别：联系：比和比例有密切的联系，比例是由两个相等的比组成的，如果两个比相等，那么这两个比就可以组成比例，成比例的两个比，比值一定相等．例如：3:2=6:4比比比例区别：比表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项．例1下列各组数中，能组成比例的是哪些？（1）2，3，4，6；（2）1，2，2，4；（3）0.1，0.3，0.5，1.5；（4）12，13，14，15．解（1）能．因为2：4=3：6，所以2，3，4，6能组成比例．（2）能．因为1：2=2：4，所以1，2，2，4能组成比例．（3）能．因为0.1：0.3=0.5：1.5，所以0.1，0.3，0.5，1.5能组成比例．（4）不能．因为11112345⨯≠⨯，11112435⨯≠⨯，11112534⨯≠⨯，所以12，13，14，15不能组成比例．在（2）中1：2=2：4中两个内项都相同，那么把2叫做1和4的比例中项．如果两个比例内项相同，即a:b=b:c时，那么把b叫做a和c的比例中项．例2 如果2是x和5的比例中项，求x的值．解因为2是x和5的比例中项，所以x：2=2：5，由比例的基本性质得5x=2×2，即x=45．例3求下列各式中的x．（1）4：0.6=x：0.9；（2）6512 x. =解（1）因为4：0.6=x：0.9，所以0.6x=4×0.9，可得x=3.6÷0.6，x=6；（2）因为6512x.=，所以5×x=6×1.2，可得7.2÷5，x=1.44．例4如果x能与5、8和10三个数组成比例，求x的值．分析若x能与5、8、和10三个数组成比例，x可以是比例外项或内项，那么与x同为比例外项（内项）的数可以分别是5、8、10．因此要分三种情况．解（1）若x与5同为外项，则5x=8×10，得x=16;（2）若x与8同为外项，则8x=5×10，得x=254；（3）若x与10同为外项，则10x=5×8，得x=4．答：x的值为16、、254或4．练习3.2 1．填空：（1）在比例a:b=c:d中，如果b=23，c=34那么ad= ．（2）若a：12=2：3，那么a= ；（3）若2x=5y(y≠0)，那么xy= ；（4）如果2是x和40%的比例中项，那么x= ；2．求x的值：（1）x:4=5:2；（2）293x=；（3）28235:x=．3．某车间第一小组一与第二小组人数比是5：3，从第一小组调14人到第二小组，第一小组与第二小组人数比是1：2，第一小组和第二小组原来各有多少人？练习3．21．（1）12；（2）13；（3）52；（4）10．2．（1）10x=；（2）6x=；（3）53x=．3．第一小组有30人，第二小组有18人．3.2《比例和比例的基本性质》练习练习3.21．下列四组数中，不能组成比例的是（ ）．A ． 2、3、4、6B ． 1、2、2、4C ． 1、0.3、5、1.5D ． 12、13、14、152．下列说法中正确的是（ ）A ．由两个比组成的式子叫做比例B ．如果一个比例的两个外项互为倒数，那么两个内项一定互为倒数C ． 1与0.1的比值是10：1D ． 如果两个正方形的边长之比是2：5，那么它们的面积之比是2：53．下列说法中错误的是（ ）A ． 若123AB =，则:6:1A B = B ． 若:19:4a b =，则19a =，14b =C ．a cb d=写成等积式为ad bc = D ． 2、4、、4、8能组成比例式 4．如果x ，y 都不为零，且23x y =，那么下列比例中正确的是（ ）． A ． 23x y = B ． 32x y = C ． 32x y = D ． 23x y = 5．求下列各式中x 的值： （1）1:45:22x =；（2）211:11:4732x =；（3）()2:31:4x x =+； （4）6223x =+．6．如果x 能与4、5、6这三个数组成比例，求x 的值．练习3.21． D2． B 3 ．B 4 ．C 5 ．（1）11x =；（2）821x =；（3）35x =；（4）7x = 6． 152x =或245或103．提示：（1）456x =⨯；（2）546x =⨯；（3）645x =⨯．。

2.1 分数与除法思考问题1：把1个蛋糕平均分给3人，每人分得多少个？问题2：把3块月饼平均分给4人，每人分得多少块？你们把谁看作单位1？问题1 列式是13÷．从分数的意义上理解13÷，就是把1个蛋糕看成单位“l”，把单位“l”平均分成三份，用分数13表示这样一份的数，1块的13就是13块，从图中可以看出13÷和13都表示阴影部分这一块，它们之间是相等关系．问题2 列式是34÷，计算结果用分数表示，根据题意，我们可以把3块月饼看作单位“1”．把它平均分成4份，每份是多少，你想怎样分？方法一：可以1块1块地分，先把1块月饼平均分成4份，得到4个14．3块月饼共得到12个14，平均分给4个学生，每个学生分得3个14，合在一起是34块月饼．方法二：可以把3块月饼叠在一起，再平均分成4份，拿出其中的一份，拼在一起就得到34块月饼，所以每人分得34块．讨论这两种分法哪种比较简单？34个饼表示什么意思：可以表示把3个饼平均分成4份，表示这样一份的数. 也可以表示把1个饼平均分成4份，表示这样3份的数．现在不看单位名称，再来说说34表示什么意思？表示把单位“1”平均分成4份，表示这样3份的数；还可以表示把3平均分成4份，表示这样一份的数. 归纳分数与除法的关系．(1)观察讨论：观察1133÷=（块）和3344÷=（块）．讨论除法和分数有怎样的关系？可以用分数表示整数除法的商，用除数作分母，被除数作分子，除号相当于分数中的分数线．用文字表示是：被除数÷除数=被除除数数．分数是一种数，除法是一种运算，所以确切地说，分数的分子相当于除法的被除数,分数的分母相当于除法的除数．在被除数÷除数=被除除数数这个算式中，要注意什么问题？（除数不能是零．分数的分母也不能是零）(3)用字母表示分数与除法的关系两个正整数p q、相除，可以用分数pq表示．即pp qq÷=，其中p为分子,q为分母．两个整数相除，商可以用分数表示，反过来，分数也可以看作两个整数相除．分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数．例1把8米长的绳子平均分成13段，每段长多少米？每段绳子长是这根绳子长的几分之几？分析求每段绳子的长用除法解．求每段绳子长是这根绳子长的几分之几,是把绳子总长8米看作单位“1”，把它平均分成13份，每份是整体“l”的1 13．解:881313÷=(m)．111313÷=.答：每段长813米，每段绳子长是这根绳子长的113．从本例可以看出，分数具有两个意义：(1)它可以用来表示一个量的大小；(2)它可以用来表示一个量与另一个量之间的关系.例2 某班级共有48名学生，其中男生25名，女生占全班人数的几分之几？解方法一（用除法解）：23 (4825)4848-÷=．答：女生占全班人数的23 48.方法二（直接运用分数的意义解）：把48人看作一个整体, 1人就是这个整体的148．23名女生就是23个148，即2348．从本例可以看出'求部分占整体的几分之几，可以用除法也可以用分数的意义，其关键把整体看作单位“1”．1．把5米长的钢管平均截成8段，每段长是______________米，每段占全长的_______________．（用分数表示）.2. 5厘米是1厘米的______________（填几分之几）；5厘米是1米的 ________________（填几分之几）；25分钟是2小时的_______________ （填几分之几）．3．把一张正方形纸片连续对折三次得到的图形的面积是原正方形面积的________________.4．在数轴上画出分数34,43所对应的点． 32015．在数轴上方空格里填上适当的整数或分数．6．如图，将长方形ABCD 平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份、4份，试问阴影部分面积是长方形ABCD 面积的几分之几？G H FED C B A7．小红用20分钟走了1千米路，平均每分钟走几米？平均每分钟走了全程的几分之几？练习2.1答案1. 51;882.5525;;1100120 3. 184. 略5.2112;1;2;3;33345 6. 597. 平均每分钟走50米，平均每分钟走全程的120.2.1 《分数与除法》练习练习2.1 分数与除法1．判断．(l)把单位“1”平均分成8份，取其中的5份，用58来表示．( )(2)一堆煤，已经烧了27，是把这堆煤看作单位“1”．( )(3)把12个足球平均分给6个班，每班分得的足球数占总数的112．( )(4)4吨的15和1吨的45同样重．( )2．“一箱橘子吃去了34”这是把_______________看做单位“1”，把它平均分成了______________份，吃去的橘子占________________份，由此可以推出剩下这箱橘子的() ()．3．一盒巧克力共有16块，每块巧克力是这盒巧克力的________________，把这盒巧克力平均分给4位同学，每人分得______________块，是这盒巧克力的__________________．4．一个班有男生28人，女生23人，女生人数是男生人数的()()，男生人数是全班的()()．5. 1块烧饼的34，与3块烧饼的()()相等．1千克的35，与3千克的()()一样重．6．把一根4米长的绳子平均分成5段，每段长占全长的__________________，每段长_______________米．7．在括号里填上适当的分数或整数：60千克=_________________吨,357毫升=__________________升, 7890立方分米=____________立方米, 5分米=_______________米, 32角=_______________元,24分钟=___________________小时, 90秒= ________________分钟, 48小时=________________天.8. 请在图中给方格涂色，其中涂色方格占这个大长方形的5 12.9．王强看一本书,6天看完，平均每天看这本书的____________，三天看了这本书的____________________．10．一批货物重80吨，运走17吨．运走了几分之几? 剩下的占总数的几分之几？11.同学们植树50棵，其中成活了49棵．成活的占种植的几分之几？没有成活的占种植的几分之几？练习2.1答案1. （1）√（2）√（3）×（4）√2. 一箱橘子，4，3，1 43.11,4, 1644. 2328，28515. 11 , 456. 14 , 557. 3357891121,,7,,3,,1,2 50100010025528. （答案不唯一）9. 11 , 6210. 1763,8080提示：一共80吨，运走17吨，所以运走这批货物的1780，所以剩下的占总数的6380.11. 491,5050. 提示:49115050-=.。

上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课选自上海市六年级数学教材第一章“数的整除”部分，具体包括第1节“整除的概念与性质”，第2节“最大公约数与最小公倍数”，以及第3节“带余除法”。

详细内容涉及：理解整除的定义，掌握整除的性质，运用最大公约数和最小公倍数解决实际问题，以及熟练运用带余除法进行计算。

二、教学目标1. 知识目标：使学生理解整除的概念，掌握整除的性质，能够运用最大公约数和最小公倍数解决实际问题。

2. 能力目标：培养学生运用带余除法进行计算的能力，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。

三、教学难点与重点1. 教学难点：最大公约数和最小公倍数的计算方法，带余除法的应用。

2. 教学重点：整除的概念与性质，最大公约数和最小公倍数的理解和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT。

2. 学具：练习本、计算器、卡片。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入，让学生帮助老师分配苹果，引导学生发现整除的概念。

2. 新课讲解：（1）讲解整除的定义和性质，举例说明。

（2）引导学生探究最大公约数和最小公倍数的计算方法，并进行讲解。

（3）通过例题讲解带余除法的计算步骤，让学生理解并掌握。

3. 随堂练习：（1）让学生分组讨论，完成教材第1节和第2节的练习题。

（2）教师选取几道题目进行讲解，并对学生进行提问，了解学习情况。

六、板书设计1. 数的整除2. 内容：（1）整除的概念与性质（2）最大公约数与最小公倍数（3）带余除法3. 例题及解答过程七、作业设计1. 作业题目：（2）用带余除法计算：73÷8。

2. 答案：（1）最大公约数为6，最小公倍数为72。

（2）商为9，余数为1。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：对本节课的教学过程进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。

2. 拓展延伸：布置一道拓展题，让学生思考如何运用整除知识解决实际问题，培养学生的创新思维。

六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章（1）整数与整除（无解析）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制第一章数的整除1.1整数和整除练习1.11.在15、17、18、20和30五个数中，能被2整除的数是____________；能被3整除的数是____________；能被5整除的数是____________；能同时被2、3整除的数是____________；能同时被3、5整除的数是___________；能同时被2、5整除的数是_________；能同时被2、3、5整除的数是____________．13口能被3整除.口处可有多少种不同的填法?2.在口处填入适当的数字，使四位数63.写出全部用2、3、4、5四个数字组成的能被11整除的四位数．4.一个六位数的各位数字备不相同，最左边的一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中最小数是_______．5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是_________．6.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是___________．7.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少?8.任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B 表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是__________．1.2奇数与偶数练习1.21.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2.若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数.3.有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？5.博物馆有并列的5间展室，警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每走进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？6.如图是一张8×8的正方形纸片.将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？。