高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标38 数学归纳法
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第38讲 数学归纳法
[解密考纲]在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式．
一、选择题
1．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( B )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C．2k＋1k＋1 D．2k＋3k＋1
解析 当n＝k时，有(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，有(k＋2)(k＋3)·…·(2k＋1)(2k＋2)显然增乘的k＋k＋k＋1＝2(2k＋1)．
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( C )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析 n＝4时，24＜42＋1；n＝5时，25＞52＋1，故n0＝5.
3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是( A )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析 f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A．
4．(2018·安徽黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( B )
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析 根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，已知假设n＝k(k≥2且k为偶然)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即n＝k＋2时命题为真，故选B．
5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析 A，B项与题设中不等方向不同，故A，B项错；C项中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；D项符合题意．
6．对于不等式n2＋n (1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1推理不正确 解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D． 二、填空题 7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1 解析 由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋12＋13<2. 8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝__nn＋1__. 解析 由(S1－1)2＝S21，得：S1＝12； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得：S2＝23； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得：S3＝34.猜想Sn＝nn＋1. 9．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)＝__4__，f(n)＝__n2－n＋2__(n≥1，n∈N*)． 解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第 n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2. 三、解答题 10．求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)． 证明 ①当n＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k， 则当n＝k＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2 ＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2 ＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①，②可知，对一切n∈N*等式成立． 11．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n(n∈N*，n≥2)． 证明 ①当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立． ②假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k. 当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋2<2－1k＋1k＋2<2－1k＋1kk＋＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1，命题成立． 由①，②知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立． 12．已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较11＋a1 ＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由． 解析 ∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数， 于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立； ②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1. 当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上是增函数知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1时，结论也成立． 由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n，∴11＋an≤12n， ∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n<1.
