2019-2020年全国版2017版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.3基本不等式课件理

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 第二节 基本不等式

[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

(对应学生用书第81页)

[基础知识填充]

1．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)a＋b2称为正数a，b的算术平均数.ab称为正数a、b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R当且仅当a＝b时，取等号)；

(2)ba＋ab≥2(a，b同号且不为零，当且仅当a＝b时，取等号)；

(3)ab≤a＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时，取等号)；

(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时，取等号)．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大)．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )

(2)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈0，π2的最小值等于4.( )

(3)x>0，y>0是xy＋yx≥2的充要条件．( )

(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )

A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2ab

C．1a＋1b>2ab D．ba＋ab≥2

D [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

课时规范练(A)

课时规范练1 集合的概念与运算

课时规范练3 命题及其关系、充要条件

课时规范练5 函数及其表示

课时规范练7 函数的奇偶性与周期性

课时规范练9 指数与指数函数

课时规范练11 函数的图象

课时规范练13 函数模型及其应用

课时规范练15 利用导数研究函数的单调性

课时规范练17 定积分与微积分基本定理

课时规范练19 同角三角函数基本关系式及诱导公式

课时规范练21 简单的三角恒等变换

课时规范练23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用

课时规范练25 平面向量的概念及线性运算

课时规范练27 平面向量的数量积及其应用

课时规范练29 数列的概念

课时规范练31 等比数列

课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时规范练35 合情推理与演绎推理

课时规范练37 数学归纳法

课时规范练39 空间几何体的表面积与体积

课时规范练41 空间直线、平面的平行关系

课时规范练43 空间向量及其运算

课时规范练45 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

课时规范练47 圆的方程

课时规范练49 椭圆

课时规范练51 抛物线

课时规范练53 算法初步

课时规范练55 用样本估计总体

课时规范练57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时规范练59 二项式定理

课时规范练61 古典概型与几何概型

课时规范练63 二项分布与正态分布

课时规范练65 极坐标方程与参数方程

课时规范练67 绝对值不等式

课时规范练(B) 课时规范练2 简单不等式的解法

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

课时规范练6 函数的单调性与最大(小)值

课时规范练8 幂函数与二次函数

课时规范练10 对数与对数函数

课时规范练12 函数与方程

课时规范练14 导数的概念及运算

课时规范练16 利用导数研究函数的极值、最大(小)值

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- 1 - / 9 第6章

核心考点·精准研析

考点一 利用均值不等式求最值

命

题

精

解

读 考什么：(1)考查求最值，证明不等式等问题.

(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的【核心素养】.

怎么考：求式子的最值，证明不等式、与函数结合考查求函数的值域，与解析几何结合求面积等几何量的最值.

新趋势：与函数相结合求值域.

学

霸

好

方

法 1.求最值的解题思路

(1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用均值不等式求相应的最值.

(2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值，代入后利用均值不等式求值.

(3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达到利用均值不等式求最值的目的.

2.交汇问题

与方程、不等式交汇时，涉及恒成立问题、参数的X围等.

通过拼凑定值求最值

【典例】已知a,b>0,则+的最小值为__________.

【解析】因为a,b>0,方法一:原式=+1+-1=+-1≥2-1=4-1=3,

当且仅当=,a=b时取等号.

方法二:所以+=+1+-1

≥2-1=3, word - 2 - / 9 当且仅当+1=,即a=b时取等号.

答案:3

本例不能直接运用均值不等式时怎么办？

提示：通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形，再观察拼凑定值利用均值不等式求最小值.

通过常值代换求最值

【典例】(2019·某某模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值 ( )

A.+ B.+ C.3+2 D.+

【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2, 可得(a-1)+b=1,a-1>0, 则+=[(a-1)+b] =1+++≥+2=+;

当且仅当=,a+b=2时取等号. 则+的最小值为+.

将条件进行变形目的是什么？

提示：将已知条件变形，变形的方向是要证明的式子，特别是与式子分母相关的定值，将定值变为1后相乘，再利用均值不等式求最值.

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座31）—不等式性质及证明

一．课标要求：

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2．基本不等式：（a,b≥0）

①探索并了解基本不等式的证明过程；

②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。

二．命题走向

不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。

预测2007年的高考命题趋势：

1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；

2．利用基本不等式解决像函数)0(,)(axaxxf的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。

三．要点精讲

1．不等式的性质

比较两实数大小的方法——求差比较法

0abab；

0abab；

0abab。

定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

定理2：若ab，且bc，则ac。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。

定理3：若ab，则acbc。

说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；

（2）定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法；

（3）定理3的逆命题也成立；

（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

定理3推论：若,,abcdacbd且则。

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。