初中八年级数学教案- 课题学习 最短路径问题-冠军奖

微课教学设计作者信息微课设计者庞玉群工作单位广西玉林市玉州区第九初级中学微课信息学科初中数学（人教版）适用对象八年级上册教学内容八年级上册数学《13.4课题学习------最短路径问题》教学背景 1.两点之间，线段最短。

2.轴对称的性质。

3.三角形的任意两边之和大于第三边。

教学目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

过程与方法：之探索问题的过程中体会知识间的联系，感受数学与生活的联系，感悟转化思想。

情感、态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神。

教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。

教学难点如何将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。

教学方法启发式微课教学过程教学过程设计意图一、创设情景引入课题牧马人饮马问题如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题：这个问题可以抽象为什么数学问题？二、复习旧知回忆学过的有关线段最短的定理及三角形的三边关系从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.为下面解决最短路径问题提供理论依据。

三、新知探究1.问题1 假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到点C，使得AC+BC最短？问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，此时又如何确定点C的位置？问题 3 如何证明此时的AC +BC最短呢？方法总结：在解决最短路径问题时，利用轴对称作点关于线的对称点，再利用“两点之间，线段最短”将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径。

四、巩固练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站M，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，正方形ABCD的边长，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )A. 1 B．3C．6 D. 9五、布置作业1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.学以致用，及时巩固问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2.如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．方法应用，及时巩固，及时反馈，感受数学与生活的联系。

全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：最短路径–教学设计一. 教材分析“最短路径”是初中数学中的一重要内容，主要让学生了解最短路径的概念，掌握求解最短路径的方法。

通过本节课的学习，学生能够理解最短路径的定义，学会使用图论中的迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念，如顶点、边、路径等。

但他们对最短路径的概念和求解方法可能较为陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过已有的图的知识，去理解和掌握最短路径的相关知识。

三. 教学目标1.理解最短路径的定义。

2.学会使用迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.最短路径的定义。

2.迪杰斯特拉算法的理解与应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生主动探究；通过分析实际案例，让学生理解和掌握最短路径的求解方法；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例资料。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题情境，如两个人从同一城市出发，到达另一个城市，如何选择路径使得距离最短。

引导学生思考最短路径的概念。

2.呈现（15分钟）呈现最短路径的定义，以及迪杰斯特拉算法的原理和步骤。

通过图例，让学生直观地理解最短路径的求解过程。

3.操练（20分钟）学生分组，每组选择一个案例，运用迪杰斯特拉算法求解最短路径。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，检验自己对于最短路径知识的理解和掌握。

教师选取部分题目进行讲解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考最短路径在实际生活中的应用，如地图导航、网络路由等。

让学生举例说明最短路径在实际问题中的应用。

6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调最短路径的定义和迪杰斯特拉算法的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固最短路径的相关知识。

课题学习最短路径问题【教学目标】1．了解最短路径问题。

掌握解决最短路径问题的方法。

2．通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力。

3．通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心。

【教学重难点】最短路径的选择。

【课时安排】2课时。

【第一课时】【教学过程】一、情景导入。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。

同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。

二、思考探究，获取新知。

问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。

牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。

设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

联想：如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短两点之间，线段最短。

连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求。

如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况。

作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB。

连接AB′，与直线l相交于点C。

则点C即为所求。

学生小组合作交流。

三、巩固练习。

1．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）。

【第二课时】【教学过程】一、造桥选址问题。

问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。

桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。

）（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

教师姓名赵志香
单位名
称乌鲁木齐市第
四十四中学
填写时间2022年8月
学科数学
年级/
册
八年级上册教材版本人教版课题名称课题学习最短路径问题
难点名称利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点分析从知识角度分
析为什么难
填写示例
本课题包含两个极值问题，通过这两个问题要使学生了解解
决最短路径的一些基本方法。

对于这样的极值问题，学生初
次接触，难度较大，在证明中要选一点，学生想不到。

从学生角度分
析为什么难
为了解决这些难点，教学中要注意，首先让学生回忆我们学
过那些有关线段最短问题和线段比较大小的基本事实。

难点教学
方法1.通过学生动手画图体会异侧转化为同侧，在利用“两点之间，线段最短”
来解决
2.直线同侧两点中的一点映射到另一侧，而不改变路径的总长度
教学环节教学过程
导入学生已经对轴对称有了基本的理论基础知识，通过以下三个活动回顾基础理论知识
1、知识回顾：
（1）两点的所有连线中，最短；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短
2、如图，已知点A和直线l
（1）作点A 关于直线l的对称点A’
（2）直线l是线段AA’的
若点
,N，使△PMN的周长最小
C层：（教材P93第15题）如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧
马,再到河边l饮马，然后回到B处,请画出最短路径
小结。

最短路径问题教学设计【教学目标】1理解并掌握如何选址造桥能使路径最短的问题2能利用轴对称和平移的相关知识解决实际问题中路径最短的问题3在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力【重点难点】重点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点：最短路径问题的解决思路及证明方法┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题：1此问题转化成数学问题是：________2如何找到泵站的位置，N，使得AM＋MN＋与河岸是垂直的如图所示教师紧接着提出：“如何找到M，N这两个点就是我们要研究的问题了？”为此我们不妨先走一个桥的宽度，沿什么方向呢？学生容易看出沿与河岸垂直的方向，作AA1垂直于直线b并且使得AA1＝MN，然后只要A1，B之间距离最短就可以了自己尝试作图后小组内交流，找两名学生黑板上完成，然后师生共同订正问题2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M1N1，距离是怎样的吗？能证明我们的做法AM＋MN＋NB的和是最短距离吗？试一下问题3：还有其他的方法选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小吗？试一试上面的方法是从A沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离，学生不难想到也可以从B沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙地化解开去，分析出“AM＋BN”最短距离为A1N＋BN也就是点A1到点B之间的线段最短，从而实现了问题的求解体现了化繁为简，转化的数学思想同时这个问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活实际让学生在证明中更加确定作图的正确性，也让学生体会到演绎推理的必要性体会到合情推理和演绎推理是相辅相成的三、运用新知，解决问题如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小引导学生猜想，要使OA＋OB＋OC＋OD最小，O在哪儿？易猜到O是线段AC，，证明一下学生自己独立思考写出证明过程，先找两名学生板演，再师生订正通过拓展应用让学生充分地感受在不同条件下解决路径最短问题的多种方法，开阔了学生的思维四、课堂小结，提炼观点1通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？学到了哪些解决问题的思路2你还有什么疑惑？在小组内提出来共同解决，解决不了的小组提出来全班解决3这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验让学生从各个方面总结自己的收获，真正达到了小结的作用五、布置作业，巩固提升把今天的收获写到数学日记上包括例题和拓展题目的分析方法和作图的方法、证明方法布置作业，让学生养成及时复习的好习惯，让不同层次的学生都能有所发展。

最短路径问题设计教师活动学生活动设计意图 【活动一】讲授启发 复习旧识将军饮马问题：相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题 问题1 如图，A 为马厩，B 为帐篷 某一天牧马人要从马厩A 出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B ．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．其实用我们所学的知识就能解决，你知道怎么做吗【活动二】任务导向、合作探究 问题1 两点在一条直线异侧 已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点，使得lCB'BA在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。

学生以小组为单位，进行讨论，并将解决办法展示。

讨论解法 解决将军饮马问题的理论基础从最简单的问题入手，为学生后面的问题探究做好铺垫图(2)EBD AC P第1题 第2题第3题 第4题2、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，N 和CD 两条路间的一个邮局,要在这两条路上各建一个邮筒,使邮递员取信往返路程最短,邮筒应建在哪里6建桥问题：A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥建造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短（说明：1河的两岸平行，桥要与河垂直 2利用平移知识 ，画出符合要求的桥MN 的位置，使AMNB 最短要画图和说明 ）【活动四】作业布置练习 有两棵树位置如图，树脚分别为A ，B 地上有一只昆虫沿A →B 的路径在地面上爬行．小树顶D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB 之间何处时，图(3)D BA O C P。

《课题学习：最短路径问题》教学设计一、课程标准解读及地位作用（1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体，通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。

针对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。

这种类型的课程应该“少而精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以将课内外结合.（2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题而设置的一节课。

本节课是在学习轴对称、等腰三角形的基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问题。

它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．二、教学内容和内容解析1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题．2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变换进行研究.这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.三、目标和目标解析1、目标：能利用轴对称能利用轴对称和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2、目标解析：达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题的过程；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称“桥梁“的作用，感悟转化思想．四、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。