最短路径问题--教学设计

八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计最短路径问题（第一课时） 在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。

思考以下两个问题：复习1：如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短 复习2：点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC 最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。

通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。

lC PA B D教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。

引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。

教师：（1）点C是直线l上的一个动点。

我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。

（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB 最短。

依据是：两点之间，线段最短。

作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。

总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。

教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。

例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAl练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B 的路径在地面上爬行。

小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。

问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

第十三章轴对称13.4课题学习《最短路径问题》一、教学目标让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．二、教学重点及难点重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．（二）探究新知问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？此图片是动画缩略图，本动画资源探索了将军饮马问题实际上就是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】最短路径问题.1．将实际问题抽象为数学问题学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC ＋BC最小．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）此图片是动画缩略图，本动画资源探索了造桥选址问题，造桥选址问题实际上是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】造桥选址问题.1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最小？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最小．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂小结1．运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．2．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．本图片资源总结归纳了两点在直线同侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线同侧.本图片资源总结归纳了两点在直线异侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线异侧.七、板书设计13.4 最短路径问题运用轴对称解决距离最短问题利用平移确定最短路径选址。

文章标题：探讨13.4最短路径问题的教学设计一等奖1. 引言最短路径问题是图论中的一个重要问题，其在各种领域都有着广泛的应用。

本文将结合教学设计的思路，探讨如何在教学中更好地教授13.4最短路径问题，并共享我的个人观点和理解。

2. 概念解释13.4最短路径问题是指在一个有向图中，寻找两个顶点之间的最短路径的问题。

在教学中，首先需要对最短路径的概念进行清晰的解释，引导学生理解路径长度的定义和最短路径的意义。

3. 教学方法针对13.4最短路径问题的教学设计，我认为可以采用“由浅入深”的方式进行教学。

可以从简单的无向图和有向图开始，引导学生理解图的基本概念和表示方法。

可以介绍Dijkstra算法和Floyd算法，让学生了解具体的最短路径求解方法。

可以通过实际案例和应用场景，引导学生理解最短路径问题在实际生活中的重要性和应用。

4. 教学案例以城市道路规划为例，可以设计一个教学案例来帮助学生理解最短路径问题。

通过引导学生分析不同城市之间的道路网络，让他们应用所学的最短路径算法，找出两个城市之间的最短路径，并解释该路径在实际中的意义。

5. 总结与回顾通过上述教学设计，我们可以帮助学生全面、深刻地理解13.4最短路径问题。

我个人认为教学设计应该注重理论与实践的结合，让学生在实际问题中应用所学知识，从而更好地掌握知识点。

6. 总结在13.4最短路径问题的教学设计中，我们可以通过“由浅入深”的教学方法，结合具体案例，帮助学生深入理解最短路径的概念和应用。

教学设计应该注重理论与实践的结合，培养学生的问题解决能力和创新思维。

结尾语：希望本文的教学设计能够帮助您更好地教授13.4最短路径问题，并对学生的知识学习起到积极的引导作用。

也欢迎各位老师共享自己在教学设计中的经验和理解，让我们共同进步。

13.4最短路径问题是图论中一个非常有趣和实用的问题，它在现实生活中有着广泛的应用。

在教学中，我们需要引导学生深入理解这一问题，并掌握相关的求解方法和技巧。

课程设计最短路径问题一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握最短路径问题的基本概念，理解其在现实生活中的应用。

2. 学会运用Dijkstra算法和Floyd算法解决最短路径问题。

3. 了解最短路径问题与其他优化问题的联系，拓展知识视野。

技能目标：1. 培养学生运用算法解决问题的能力，提高逻辑思维和计算思维能力。

2. 培养学生团队合作意识，学会在团队中分工合作，共同解决复杂问题。

3. 提高学生运用计算机软件（如Excel、编程语言等）处理数据的能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生面对问题的积极态度，勇于尝试和克服困难。

2. 增强学生对数学学科的兴趣和自信心，认识到数学在生活中的重要作用。

3. 培养学生具备良好的道德品质，遵循学术规范，尊重他人成果。

课程性质：本课程属于数学学科，以算法和实际应用为主线，结合计算机软件辅助教学。

学生特点：学生处于高年级阶段，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对算法和编程有一定了解。

教学要求：结合学生特点，课程要求注重理论与实践相结合，以学生为主体，引导他们主动探索和解决问题。

同时，关注学生的个性化差异，提供有针对性的指导和帮助。

通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，并在实际生活中运用所学知识解决问题。

二、教学内容1. 导入：通过实际生活中的最短路径问题（如导航系统、物流配送等）引出本节课的主题。

2. 基本概念：介绍最短路径问题的定义，包括加权图、路径长度等基本概念。

教材章节：第二章 图论基本概念3. 算法原理：a. Dijkstra算法：介绍单源最短路径算法原理，阐述其适用范围和限制。

b. Floyd算法：介绍多源最短路径算法原理，分析其时间复杂度。

教材章节：第三章 算法设计与分析4. 实践操作：a. 应用Dijkstra算法解决实际问题，如校园内两点间的最短路径。

b. 应用Floyd算法解决实际问题，如城市间最短路径规划。

教材章节：第四章 图论应用5. 计算机软件应用：运用Excel、编程语言（如Python、C++等）实现最短路径算法，分析实际数据。

最短路径问题 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的定义，掌握其在现实生活中的应用。

2. 学生掌握使用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法求解最短路径问题的方法。

3. 学生能够分析并描述不同算法的时间复杂度及其适用场景。

技能目标：1. 学生能够运用所学算法，解决简单的最短路径问题。

2. 学生能够通过编程实践，加深对算法的理解，提高解决实际问题的能力。

3. 学生能够运用数学思维，对给定的问题进行分析，提出合理的解决方案。

情感态度价值观目标：1. 学生通过解决最短路径问题，培养对数学学科的兴趣和热情。

2. 学生在团队协作中，学会相互沟通、分享和借鉴，培养合作精神。

3. 学生在面对问题时，能够保持积极的态度，勇于挑战，不断探索和尝试。

课程性质：本课程为数学学科，结合计算机科学的知识，旨在提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

学生特点：学生处于高中阶段，具备一定的数学基础和编程能力，对新鲜事物充满好奇，喜欢挑战。

教学要求：注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，鼓励学生主动探究、积极思考，培养其创新意识和实践能力。

在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。

二、教学内容1. 最短路径问题的定义及其应用场景介绍- 网络图的基本概念- 最短路径问题的分类及其意义2. 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法- 算法原理和步骤- 代码实现及案例分析- 算法时间复杂度分析3. 弗洛伊德（Floyd）算法- 算法原理和步骤- 代码实现及案例分析- 算法时间复杂度分析4. 最短路径算法的应用- 实际问题建模- 算法选择与应用- 解决方案评估5. 教学案例分析与实践- 结合实际案例，分析最短路径问题的解决方案- 学生编程实践，加深对算法的理解和应用- 针对不同场景，讨论算法的优缺点及适用性教学内容依据教材相关章节，结合课程目标进行安排。

在教学过程中，注意引导学生从理论到实践的过渡，通过案例分析和编程实践，使学生更好地掌握最短路径问题的求解方法。

人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

3.感悟转化思想。

过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。

；2.渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。

充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。

从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。

以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。

二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

最短路径问题教案最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。

最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。

一、教学目标：1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。

2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。

3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。

4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。

二、教学重点：1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。

2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。

三、教学难点：1. 最短路径算法的实现方法。

2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。

四、教学过程：1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。

2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。

3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。

4. 实例演示：（1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。

（2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。

5. 练习：（1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分析问题，设计算法，编写代码求解。

（2）小组展示解题过程和结果。

6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。

五、教学手段：1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原理和实现方法，并配以图示例进行讲解。

2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。

3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。

4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。

六、思考题：1. 最短路径问题有哪些应用场景？2. 迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法有什么区别？3. 最短路径问题还有哪些其他的解法？分别适用于什么情况？4. 如何判断一个图中是否存在负权边？5. 如何判断一个图中是否存在负权环？七、教学反思：最短路径问题是图论中的一个经典问题，教学过程中需要注意以问题为导向，通过实例来讲解和演示算法的实现过程，培养学生的问题分析和解决能力。

最短路径教案第一篇：最短路径教案13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点AB在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l 上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。

五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。