现代科学理论与方法论文——分形

分形——自然界的几何学B.B.Mandelbrot分形几何扮演了两种角色。

它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。

自然科学与几何学总是携手并进的。

17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。

这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。

同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。

简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。

这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。

在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。

两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。

首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。

宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。

例如，受两个力作用的摆。

用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。

第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。

获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。

换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。

实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，而且补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。

然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。

这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。

它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。

1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。

分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。

首先，它们处处无规则可言。

其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。

不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。

分形原理及其应用分形是一种具有自相似性的几何图形，它可以在不同的尺度上重复出现相似的形态。

分形原理在自然界和科学领域中都有着广泛的应用，对于理解复杂系统和解决实际问题具有重要意义。

首先，分形原理在自然界中有着丰富的表现。

例如，树叶的脉络、云朵的形状、山脉的轮廓等都可以用分形来描述。

这些自然界中的分形结构展现了一种美妙的规律性，而这种规律性也被广泛运用在艺术创作和设计中。

艺术家们可以通过分形原理来创作出富有美感和动感的作品，设计师们也可以借鉴分形原理来设计出更加优美和高效的产品。

其次，分形原理在科学领域中也有着重要的应用价值。

在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形几何可以用来描述海岸线的形态、分形维数可以用来描述复杂流体的运动规律等。

在生物学领域，分形可以用来描述生物体的形态结构和生长规律，对于研究生物体的形态和生长过程具有重要意义。

在经济学和金融学中，分形可以用来描述市场的波动规律，对于预测市场的走势和制定投资策略具有一定的指导意义。

此外，分形原理还在工程领域中有着广泛的应用。

例如，在图像压缩和信号处理中，分形压缩算法可以有效地减小数据量，提高数据传输和存储的效率。

在网络设计和城市规划中，分形原理可以用来设计出更加高效和合理的网络结构和城市布局。

在材料科学和制造工艺中，分形原理也可以用来设计出更加坚固和轻量的材料结构，提高材料的性能和使用寿命。

总之，分形原理是一种具有重要应用价值的科学原理，它不仅可以帮助我们更好地理解自然界和复杂系统，还可以为我们解决实际问题提供重要的思路和方法。

随着科学技术的不断发展，相信分形原理的应用领域将会更加广泛，为人类社会的发展和进步带来更多的惊喜和帮助。

混沌分形研究课程论文《非线性物理》课程混沌分形研究摘要：本文介绍分形理论的产生与发展现状，让初学者了解这一非线性科学中的又一角色在我们认识复杂世界的思维过程中的重要性，让我们再一次看到自然界的混沌性。

希望更多的有志青年投入到贯穿各个领域的非线性科学的研究中。

非线性分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。

分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。

1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。

海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。

在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。

事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。

1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。

在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论 (fractal theory)。

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。

作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分行理论：自相似原则：线性分形又称为自相似分型。

自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。

它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。

分形理论概述范文
分形（fractal）是一种多尺度的普遍几何结构，可以在物理、化学、生物学等多个学科中发现。

它的定义是“在一定范围内具有相同结构的几
何结构”。

它以极好的逼真度表示自然界的复杂结构，并具有丰富而细腻
的结构。

分形理论是一种解释复杂性和自相似性的抽象理论。

它以上帝视角试
图诠释宇宙的样式和结构，以更深层次的视角来描述自然界的秩序和复杂性，并且可以揭示宇宙的发展规律。

它为解释自然界的许多复杂问题提供
了一个新的途径和方法，从而促进了一系列学科教育、学习、研究和应用
的发展。

分形理论的主要内容主要由三部分组成，分别是：(1)分形几何学，
它探索和研究的是自然界中可以表示为无限复杂结构的几何形状。

(2)分
形演化论，它试图探讨宇宙中各种复杂系统的演化机理。

(3)分形分析理论，它研究多尺度系统的结构，并认为复杂系统在不同尺度上都具有相同
的基本结构。

分形理论的基本概念是复杂性和自相似性，也就是说，复杂的系统在
不同尺度上具有相同的性质。

它采用多尺度的视角来描述宇宙中的系统，
试图把宇宙的复杂性抽象化，以更深层次的视角来描述宇宙的秩序和复杂性。

浅谈分形曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。

”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。

像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。

因此“分形”应运而生。

说到分形（fractal），先来看看分形的定义。

分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。

很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。

但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。

1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义:（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。

（1）康托尔集（Cantor set）。

假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。

接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。

分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。

分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。

分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。

在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。

利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。

而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。

比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。

在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。

除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。

比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。

在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。

在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。

总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。

随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。

希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。

分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。

分形的意义及应用摘要分形理论提供了一种发现秩序和结构的新方法,不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步,而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。

本文介绍了分形的来源,分析了其意义,并着重阐述了分形的实际应用。

关键词分形;意义;模拟金融;应用医学1 分形的介绍1.1 定义分形(Fractal)是指具有自相似特性的现象、图像或者物理过程等。

分形学诞生于1970年代中期,属于现代数学中的一个分支。

分形一般有以下特质:1)分形有无限精细的结构,即有任意小比例的细节;2)分形从传统的几何观点看如此不规则,以至于难以用传统的几何语言来描述;3)分形有统计的或近似的自相似的形式;4)分形的维数(可以有多种定义)大于其拓扑维数;5)分形可以由简单的方法定义,例如迭代。

1.2 来源fractal一词源于拉丁文形容词fractus,对应的拉丁文动词是frangere(“破碎”、“产生无规碎片”)。

此外,与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根。

在70年代中期以前,曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。

因此,取拉丁词之头,撷英文之尾的fractal,本意是不规则的、破碎的、分数的。

曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。

例如,弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉,粗糙不堪的断面,变幻无常的浮云,九曲回肠的河流,纵横交错的血管,令人眼花僚乱的满天繁星等。

它们的特点是,极不规则或极不光滑。

直观而粗略地说,这些对象都是分形。

1.3分形的种类逃逸时间系统:复迭代的收敛限界。

例如:Mandelbrot集合、Julia集合、BurningShip分形迭代函数系统:这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。

例如:康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。

吸引子:点在迭代的作用下得到的结构。

分形及其应用随着计算机技术的飞速发展，分形逐渐成为了一个备受关注的领域，被广泛应用于自然与科学领域。

分形，是指一类自相似的几何图形或非几何对象，具有无限个自相似部分，其中每个部分都与另一部分具有相同的形状，但它们的大小不同，具有不同的比例尺度。

分形不仅仅是一种普通的图形，更是一种透视现实的方式，既可以揭示自然界的本质规律，也可以为科学家们提供解决问题的思路和方法。

分形的历史可以追溯到上个世纪60年代，当时由荷兰数学家曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）首次将分形这一概念引入科学领域。

数学家们经过多年的研究发现，分形在几何学、生物医学、地质学、流体力学等领域都有广泛的应用。

在几何学中，分形理论被用来研究极为复杂的图形。

例如，科学家们发现云朵、树枝、脉络等自然图形均具有分形特性，这些图形无法用传统的几何学方法进行测量和研究。

但是通过分形维度的计算方法，可以精确地描述这些几何图形，揭示出其中的规律性和美感。

在生物医学领域，分形被用来研究人体组织的结构和形态。

科学家们将分形维度应用于图像处理，可以对计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）等医学图像进行很好的处理和分析。

化疗方案优化、重要器官定位和肿瘤病灶检测等都有着广泛的应用。

在地质学领域中，分形理论被用来研究和预测地震等自然灾害。

科学家们通过分析地震的时间序列数据和震源机制，发现地震波形具有分形特性。

这一发现推动了地震预警技术的发展，可以在地震发生前几秒或几十秒提前通报地震信息，保护人民生命财产安全。

在流体力学领域中，分形被用来研究更复杂的流体现象。

科学家们发现海浪、瀑布、云层等自然图形均具有分形特性，通过对海浪、波纹等的分形维度的计算和分析，可以预测更复杂的水体流动规律。

除此之外，分形还广泛应用于经济、金融领域中，帮助人们更好的理解和预测市场模型的复杂性。

分形不仅具有理论价值，更具有实际应用。

只要我们用心去观察周围的事物，就会发现分形无处不在。

非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性科学。

它是揭示非线性系统的共同性质、基本特性和运动规律的跨学科的一门综合性基础科学。

分形理论是20 世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。

分形学是非线性的一个活跃分支，它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体,对应的参数是分形维数。

分形学的初创形式是分形几何学，它是美籍法国科学家曼德布罗特于1973 年在法兰西学院讲学期间首次提出的。

此后，在19 世纪初期到20 世纪中期期间，一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状,传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。

究其原因,发现过去的几何对象都有其几何长度,例如线段有长度、圆有半径和面积等,而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。

在传统的物理学研究之中,牛顿的确定论是运动学的基础,牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用,确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960 年时,美国气象学家洛伦兹( Loren) 在通过一组微分方程组预报天气时发现:如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时,这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性,在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中,提出了一个形象的提问:“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,会在得克萨斯引起风暴吗?”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。

另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性，岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等,也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理学也面临困境。

第一阶段是从1967 年—1981 年, 即分形的产生和起步阶段。

在这一阶段的标志性人物是B.B.Mandelbrot和后来被称为“分形之父”的芒德布罗。