(精品)数学讲义7年级春季班第15讲：等边三角形 - 教师版

七年级数学等边三角形人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：等边三角形二. 教学重点：利用等边三角形的性质和判定进行推理证明和计算三. 教学难点：构造等边三角形进行证明【典型例题】[例1] 已知等边△ABC，AD、BE是中线，且AD与BE相交于点F，求∠AFB的度数。

证明：因为三角形ABC是等边三角形，并且AD、BE是三角形ABC的中线，所以利用等腰三角形三线合一的性质得到AD、BE分别是∠A和∠B的角平分线，又因为等边三角形三个内角都是60°，所以∠A=∠B=60°，所以∠BAF=∠ABF=30°，再利用三角形内角和定理，得到∠AFB=120°。

[例2] 在等边三角形ABC中，D为AC的中点，CE为BC的延长线且CE=CD，求证：BD=DE。

证明：因为三角形ABC是等边三角形，并且D为AC的中点，所以BD为等边三角形ABC的AC边上的中线，所以利用等腰三角形三线合一性质，就得到BD⊥AC，所以∠BDC=90°，又因为∠ACB=60°，所以利用三角形内角和定理，得到∠DBC=30°，再利用外角定理，所以∠E+∠EDC=60°，又因为CE=CD，所以∠E=∠EDC，所以∠E=30°，所以∠DBC=∠E，再利用等腰三角形的判定定理，得到BD=DE。

[例3] 如图，已知△ABC中，AB=BC=AC，∠1=∠2=∠3，求证：△DEF是等边三角形。

证明：因为在△ABC 中，AB=BC=AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC= ∠ABC=∠ACB=60°，又因为∠1=∠2=∠3，所以∠ABD=∠BCE=∠CAF ，所以△ABD ≌△BCE ≌△CAF ，所以AD=BE=CF ，且AF=BD=CE ，所以AD ―AF=BE ―BD=CF ―CE ，即DF=DE=EF ，所以△DEF 是等边三角形。

等边三角形(★★★)1、掌握等边三角形的定义；2、掌握等边三角形的基本的性质以及判定性质；3、熟练运用等边三角形的性质进行相关的计算和证明。

【课堂导入】知识结构等边三角形的性质与判断方法：1)三个内角相等的三角形是等边三角形.2)有两个角等于60 °的三角形是等边三角形.3)有三条边相等的三角形是等边三角形.4)有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.【题型1】双基训练1、如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．分析：根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°（等边三角形的性质）．∴∠BAD=∠CAE（等式的性质）．在△BAD与△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．点评：此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．2、已知，等边△ABC中，D为AC的中点，CE为BC的延长线，且CE=CD．求证：BD=DE ．分析：根据等边三角形的性质得到∠DBC=30°，∠ACB=60°，再根据角之间的关系可得到∠DBC=∠E=30°，即BD=DE ． 证明：∵等边△ABC ， ∴∠ACB=60°，AB=BC ，∠ABC=60°， ∵D 为AC 的中点， ∴∠DBC=21∠ABC=21×60°=30°， ∵DC=CE ，∴∠E=∠CDE ．∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°， ∴∠E=∠CDE=30°． ∴∠DBC=∠E=30°． ∴BD=DE ． 点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．【题型二】纵向应用***1. 如图，C 是线段AB 上的一点，ΔACD 和ΔBCE 是两个等边三角形，点D 、E 在AB 同旁，AE 交CD 于点G ，BD 交CE 于点H ，求证：GH ∥AB 。

初一数学春季班（教师版）等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强．1、等边三角形的性质等边三角形的每个内角都等于60°．2、等边三角形的判定（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形内容分析知识结构模块一：等边三角形性质与判定知识精讲【例1】 下列说法中错误的是（ ）A ．等边三角形是等腰三角形B ．等边三角形是锐角三角形C ．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条D ．含有60°角的三角形是等边三角形 【难度】★ 【答案】D【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．【例2】 （1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________． 【难度】★【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线．【解析】（1）当一个外角等于120︒时，与这个外角相邻的内角为60︒，因为是等腰三角形， 所以另外两个角也为60︒，则这个三角形为等边三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例3】 （1）已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE =_____________；（2）△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，则∠ACD = ． 【难度】★【答案】（1）60︒；（2）30︒． 【解析】（1）ABC ∆Q 是等边三角形， 601303BAC AD BC CAD BAC ︒︒∴∠=∴∠=∠=Q ，是边上的高，，90BE AC BE AC AEF ︒∴⊥∴∠=Q 是边上的中线，，，903060AFE AEF CAD ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=；ACDBFE 例题解析（2）ABC ∆Q 是等边三角形，60ACB ︒∴∠=． //90AD BC CD AD BCD ︒⊥∴∠=Q ，，，906030ACD ︒︒︒∴∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例4】 已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°则这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形【难度】★ 【答案】A【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的 两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为60︒，所以三个内 角均为60︒，所以为等边三角形．【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理．【例5】 已知△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD 与CE 相交于点F ，且BF=CF ，说明△ADE 是等边三角形． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】BF CF =Q ，FBC FCB ∴∠=∠．60()ABC AB AC ABC ACB A ABD ACE ABD ACE ASA ︒∆∴=∠=∠∠=∴∠=∠∴∆≅∆Q 为等边三角形，，，， AE AD ADE ∴=∴∆，是等边三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定．A BC DEFDCBA【例6】 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，△ADB 和△ACE 都是等边三角形，且∠DAE =∠DBC ，求∠BAC 的度数． 【难度】★★ 【答案】20°．【解析】AB AC =Q ，ABC ∴∆是等腰三角形．60ADB ACE ABD BAD CAE ︒∆∆∴∠=∠=∠=Q 和是等边三角形，． 606060DAE DBC ABC BAC ︒︒︒∠=∠∴∠+=∠++Q ，， 60ABC BAC ︒∠=∠+即．2180ABC ABC BAC ︒∆∠+∠=Q 在中，，)260180BAC BAC ︒︒∴∠++∠=（，即2120180BAC BAC ︒︒∠++∠=，36020BAC BAC ︒︒∴∠=∴∠=，． 【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例7】 如图，ABC ∆是等边三角形，90CBD BD BC ∠==o ，，则1∠的度数是________． 【难度】★★ 【答案】75︒．【解析】ABC ∆Q 是等边三角形，60ABC AB BC ︒∴∠==，．906090150CBD ABD ︒︒︒︒∠=∴∠=+=Q ，，23BD BC BD AB =∴=∴∠=∠Q ，，，18015021516015752︒︒︒︒︒︒-∴∠==∴∠=+=，．【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．【例8】 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的动点，且AD =BE =CF ，说明△DEF 是等边三角形的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】60ABC A B C AB BC AC ∆∴∠=∠=∠=︒==Q 是等边三角形，，．AD BE CF BD CE AF ==∴==Q ，．A BCDEFAB CDE321ABCDADF BED ∆∆在和中，()AD BE A B ADF BED SAS AF BD ⎧⎪∠∠∴∆≅∆⎨⎪⎩Q ＝＝，＝ DF DE DE EF ∴==，同理可证：，DE DF EF DEF ∴==∴∆，是等边三角形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用．【例9】 如图，在等边三角形ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接AD ，BE ，试说明BE =AD 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】ABC ∆Q 是等边三角形，60AC BC ACD ︒∴=∠=，． 60CDE CD CE BCE ︒∆∴=∠=Q 是等边三角形，， ACD BCE ∆∆在和中，AC BC ACD BCE ACD BCESAS CD CE =⎧⎪∠=∠∴∆≅∆⎨⎪=⎩，（） BE AD ∴=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【例10】 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：M 是BE 的中点． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】BD 连接601160302230ABC ACB ABC D AC DBC ABC CE CD CDE EACB CDE E E DBC E BD ED ︒︒︒︒∆∴∠=∠=∴∠=∠=⨯==∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∴∠=∠∴=Q Q Q Q 为等边三角形，是边的中点，，，，，DM BC M BE ⊥∴Q ，是的中点．【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用．ABCDEABCDEM【例11】 （1）如图所示，已知：△ABC 是等边三角形，M 、N 分别是边BC 、AC 的中点，AM 、BN 相交于点P ，求∠BPM 的大小；（2）如果点M 、N 分别在BC 、AC 的延长线上，且BM =CN ．∠BPM 的大小会发生变 化吗? 【难度】★★【答案】（1）60︒；（2）不会．【解析】（1）ABC ∆Q 为等边三角形，60ABC ︒∴∠=．90M BC AM BC PMB ︒∴⊥∴∠=Q 是的中点，，N AC BN ABC ∴∠Q 是的中点，平分，30MBP ︒∴∠=，180180903060BPM PMB MBP ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．（2）ABC ∆Q 是等边三角形，60BAC ACB AC BC AB ︒∴∠=∠===，， 120BAN ACM ︒∴∠=∠=，BM CN AN CM =∴=Q ，， ()ABN CAM SAS ∴∆≅∆， N M ∴∠=∠．60BPM N PAN M CAM ACB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，故∠BPM 的大小会不会发生变化．【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用．【例12】 如图，已知：在等边△ABC 中，D 在BC 边上，E 在△ABC 外，∠BAD =15°，∠DAE =70°，AD =AE ，求∠CAE ，∠EDC ，∠EFC 的度数． 【难度】★★【答案】255080CAE EDC EFC ︒︒︒∠=∠=∠=；；． 【解析】ABC ∆Q 是等边三角形，60BAC B ︒∴∠=∠=．1570BAD DAE ︒︒∠=∠=Q ，，15706025CAE BAE BAC ︒︒︒︒∴∠=∠-∠=+-=．AD AE =Q ，118070552ADE E ︒︒︒∴∠=∠=-=（）， 255580EFC CAE E ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=． 156075ADC BAD B ︒︒︒∠=∠+∠=+=Q ， 755520EDC ADC ADE ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．ABCNPMABCPMN ABCDEF【例13】下列说法中正确的个数有（）①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等边三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】B【解析】有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不正确．故选B．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用．【例14】等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★★【答案】D【解析】CFB BEA ADC∆≅∆≅∆；CAE BCD ABF∆≅∆≅∆；CMB BPA ANC∆≅∆≅∆；CFM BEP ADN∆≅∆≅∆；CNE BMD APF∆≅∆≅∆，共5组．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质．A BCDEFMN P【例15】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE交于点F ．（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数． 【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）60︒． 【解析】（1）ABC ∆Q 是等边三角形， 60BAC B AB AC ∴∠=∠=︒=，，()AE BD AEC BDA SAS =∴∆≅Q ，，AD CE ∴=；（2）AEC BDA ∆≅∆Q ，ACE BAD ∴∠=∠，60DFC FAC ACF FAC BAD BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用．【例16】 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3， △ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上［如图（1）］，此时h 3＝0．可得结论： h 1＋h 2＋h 3＝h ．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内［如图（2）］，以及点P 在△ABC 外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．【难度】★★★【答案】见解析． 【解析】（1）P ABC ∆当在内部时，结论仍成立． PA PB PC 连接、、，ABC AB PC APC B P S S S S ∆∆∆∆=++Q ， 12311112222BC h AB h AC h BC h ∴=++g g g g ．ABC ∆Q 是等边三角形，AB BC AC ∴==，123h h h h ∴=++． （2）P ABC ∆当在外部时，不成立，123.h h h h +-=此时 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形面积的综合应用．DA EFBCABC DM F P ABCD E FABCDEM P M F P图1图2图3【例17】 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】AC P CP BM DP =延长到点，使，连接．1203060909090()60BDC BD CD BDC DBC DCB ABC ABC ACB MBD ABC DBC NCD PCD MBD PCD BM CP BDM CDP SAS MD PD MDB PDC MDN MDB NDC PDC NDC BDC MD ∆∴=∠=︒∴∠=∠=︒∆∴∠=∠=︒∴∠=∠+∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠=︒∴∠+∠=∠+∠=∠-∠Q Q Q Q Q 是等腰三角形，，等边三角形，，，同理可得；，，，，，60,60112AMN N MDN PDN NMD NPD SAS MN PN NC CP NC BM C AM AN MN AM AN NC BM AB AC ∆=︒∴∠=∠=︒∴∆≅∆∴==+=+∴=++=+++=+=+=的周长，（），，2AMN ∴∆的周长为．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质的综合运用，注意辅助线的添加．【例18】 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 的度数． 【难度】★★★ 【答案】30︒．【解析】AC ABC ACE DE ∆∆以为一边在外侧作正三角形，连接2080608080()8020,40AB AC A ABC ACE AC AE CE EAC EAD AB AC AC AE CE AB AEAB AEABC EAD ABC EAD ABC EAD SAS BC AD ACB EDA BAC AED ED AC DEC DE EC EDC =∠=︒∴∠=︒∆∴==∠=︒∴∠=︒===∴==⎧⎪∆∆∠=∠=︒∴∆≅∆⎨⎪=⎩∴∠=∠=︒∠=∠=︒=∴∠=︒=∴∠=∠Q Q Q Q ，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，70180180807030ECD BDC ADE EDC =︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【总结】本题考查了等腰三角形、全等三角形和等边三角形性质的综合运用，综合性较强．BCA DEPBAC DN M将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中．【例19】 如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】ABC CDE ∆∆Q 和是等边三角形60()(ACB ECD AC BC CD CE ACB BCD ECD BCD ACD BCE AC BCACD BCE ACD BCECD CE ACD BCE SAS AD BE CAD CBE M AD N BE AM BN AC BC AMC BNC CAD CBEAM BN AMC BNC S ∴∠=∠=︒==∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∠=∠∴==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆Q ，，，在和中，，，是线段的中点，是线段的中点，在和中，)60AS CM CN ACM BCN NCM BCN BCM ACB ACM BCM NCM ACB CMN ∴=∠=∠∠=∠-∠∠=∠-∠∴∠=∠=︒∴∆Q ，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．模块二：等边三角形综合知识精讲例题解析 AC ENMBD【例20】 如图，已知D 是等边三角形ABC 的边AB 边延长线上一点，BD 的垂直平分线HE交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗?试说明理由． 【难度】★★【答案】相等，见解析．【解析】//H HG BC AE G 过点作，交于点．60//6060,903018030,22ABC A ABC AB AC HG BC AHG ABC AHG A AHG HG AG AHHE BD AHE BH DHGHE AHE AHG GEH AHE A GHE GEH EG HG AG AHCE AE AC AG AC AH ∆∴∠=∠==∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴∆∴==∴∠=︒=∴∠=∠-∠=︒∠=︒-∠-∠=︒∴∠=∠∴===∴=-=-=-Q Q Q 是等边三角形，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，，，222.AC AB BH ACAB BH AB BH DH AD =+-=+=++=【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加．【例21】 如图，已知：等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取一点E ，使AD =AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】BP 连接60()ABC PCD AC BC DC PC ACB BAC ABC DCP ACD BCP AC BCADC BPC DC PC ADC BPC SAS ACD BCP ∆∆∴==∠=∠=∠=∠=︒∴∠=∠=⎧⎪∆∆=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩Q 和为等边三角形在和中，，，，，，6060606060180606060180.60AD BP DAC PBC RAB QAE RAB RBA R QAE RA RB AQ AERAB BAC QAE R A Q RBA ABC PBC R B P AQ AE AD BP RQ RA AQ RB BP RP R P ∴=∠=∠=︒∆∆∴∠=∠=∠=∠=︒==∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴===∴=+=+=∠=︒∴Q Q Q Q Q ，和为等边三角形、、三点共线、、三点共线，，，，，以，、Q R 、为顶点的三角形是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大．GAB C DEHABCD ERPQ【例22】 如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ，试说明OE =2OF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】60F OFG OE G ∠=︒过点作，交于点60(..)60609030ABC A ABC AB BC AB BCABE BCD A ABC AE BD ABE BCD S A S ABE BCDADO ABC BCD ADO BOD ABE BOD ABC EOF OFG OG OF GFEF CD OFE OEF ∆∴∠=∠=︒==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=︒∴∠=︒∴∆∴==⊥∴∠=︒∴∠=︒∠Q Q Q Q 是等边三角形，，在与中，，，又为等，，，，边三，角，形，，302.GFE OEF GFE GE GF OF OE OG GE OF =︒∴∠=∠∴==∴=+=，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择．【例23】 如图，点O 是等边△ABC 内的一点，∠AOB =110°，∠BOC =135°，试问：（1） 以OA 、OB 、OC 为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数； 若不能，说明理由；（2） 如果∠AOB 的大小保持不变，那么当∠BOC 等于多少度时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）OC OCD AD ∆以为边作等边，连， 60OCD OC CD ∠=︒=则，．60 60 (..) 110135 115 1156055 135 1356075 ABC ACB AC BCBCO ACO ACD BCO ACD S A S OB AD ADC BOC OAD OA OB OC AOB BOC AOC AOD ADC ADO O ∆∴∠=︒=∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴∆∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒∴∠Q Q Q 是等边三角形，，，，，是以线段、、为边构成的三角形，，，，，180557550.505575.AD OA OB OC =︒-︒-︒=︒∴︒︒︒以线段、、为边构成的三角形的各角是、、G ABCD EFO DABCO（2）AOB AOC BOC ∠+∠+∠Q AOB AOC ADC =∠+∠+∠ ()()AOB AOD DOC ADO CDO =∠+∠+∠+∠+∠ ()()1106060 360AOD ADO =∠︒+∠+︒+∠+︒=︒，130AOD ADO ∴∠+∠=︒， 50OAD ∴∠=︒．AOD ∠当是直角时，90AOD ∴∠=︒，9060150AOC ∴∠=︒+︒=︒， 100BOC ∴∠=︒； ADO ∠当是直角时，90ADO ∴∠=︒，9060150ADC ∴∠=︒+︒=︒，150BOC ∴∠=︒，综上，当∠BOC 等于100°或150°时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题．【例24】 △CAB 与△CDE 是有公共顶点C 的两个等边三角形，△CDE 绕点C 顺时针旋转至以下各位置：（1） 当E 在BC 下方时，说明AD =BE ；（2） 当E 在BC 边上如图2、当E 在△ABC 内如图3、当E 在AC 边上如图4， 当 CE ∥AB 时，如图5，AD =BE 还成立吗?请一一说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）ABC ∆Q 是等边三角形， 60AC BC ACB ∴=∠=︒，．6060().CDE CD CE DCE BCE BCD ACD BCE ACD SAS AD BE ∆∴=∠=︒∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=Q 是等边三角形，，，，（2）成立．方法同（1），可证ACD BCE ∆≅∆，所以AD BE =．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BCDE 图1ABCDE图2CDA BCDE BAECEABD图3图4图5【例25】 已知A 、B 、C 三点共线，分别AC 、BC 为边，在直线AB 同侧作等边△CAN 和等边△BCM ，易得AM =BN ．（1）将△CAN 绕点C 旋转一定的度数，得到图（2），试问：AM =BN 吗?（2）将（1）中等边△CAN 再绕点C 旋转一定角度，得到图（3），上述AM =CN 还成 立吗?请说明理由；（3）在旋转过程中，直线AM 和直线BN 所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变 吗?说说你的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）CAN ∆Q 为等边三角形，60CA CN ACN ∴=∠=︒，．6060(..).BCM CM CB BCM ACM NCM NCBACM NCB S A S AM BN ∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∠∴∆≅∆∴=Q 为等边三角形，，，（2）成立．方法同（1）．（3）不变．AM BN αβ令直线和直线所夹锐角为，所夹钝角为，606012060.ACM NCB AMC NBCNBM AMB NBM AMC BMCNBM NBC BMC CBM BMC βα∆≅∆∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒∴∠=︒Q ， 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC 图1NMABC 图2MNABCN 图3 MABCDA ′B ′C ′【例26】如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是 △ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．（1）说明△C ′BD ≌△B ′DC 的理由； （2）说明△AC ′D ≌△DB ′A 的理由；（3）对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论? 直接写出来． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）60ACB BC CD ∠=︒=Q ，60'''6060'().BCD CBD ABC AB BC ABC ABC ABD C BD C BD ABC SAS C D ACBCA DCB DB BA C BD B DC ∴∆∴∠=︒∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∴∆'≅∆∴'=∆≅∆'∴'=∴∆'≅∆'Q 是等边三角形，是等边三角形，，，同理可证：，，（2）C D B C AB B D BC AC '='=''='='由(1)的结论知:，，().AC D DB A SAS ∴∆'≅∆' （3）.AB C ABC ABC A BC S S S S ∆'∆'∆∆'＞＞＞【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，注意总结等边三角 形的面积与边长的关系．【习题1】 三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______． 【难度】★【答案】等边；60︒． 【解析】略．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．随堂检测【习题2】 在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形但不等边 【难度】★ 【答案】C【解析】2αα设等腰三角形的顶角为，则底角和为， 218060ααα∴+=︒∴=︒，．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用．【习题3】 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，BD ⊥AC 于点D ，DG ∥AB 交BC 于点G ，E 在BC 的延长线上，CE =CD ．（1）∠E =________；（2）∠BDE =_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个． 【难度】★【答案】（1）30︒；（2）120︒；（3）5；（4）2． 【解析】（1）60AB AC A =∠=︒Q ，60309030120.ABC ACB BD AC ABD BDC CD CE E CDE BDE ∴∆∴∠=︒⊥∴∠=︒∠=︒=∴∠=∠=︒∴∠=︒Q Q 是等边三角形，，，，， （3）等腰三角形有：ABC CDG CDE BGD BDE ∆∆∆∆∆，，，，； （4）等边三角形有：ABC CDG ∆∆，．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定．【习题4】 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ． ①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④【难度】★★ 【答案】D【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一 定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三 角形，正确，故选D ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定．ABCDEG【习题5】 如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，则△DEF 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形 【难度】★★ 【答案】A【解析】ABC ∆Q 为等边三角形，60A B AB AC ∴∠=∠=︒=，．(..)..AD CF AF BD ADF BED S A S DF ED DF FE DF ED FE DEF =∴=∴∆≅∆∴==∴==∴∆Q ，，，同理可证：，是一个等边三角形【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用．【习题6】 已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ） A ． 2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【难度】★★ 【答案】C【解析】1AC AB AC P PA PB =第个点在上，作线段的垂直平分线，交于点，则有； 2A AB AP AB AC P =第个点是以为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点；34566A AB AP AB CA P B BA BP BA AC P B BA BP BA BC P A AB AP AB BC P P ====第个点是以为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点；故符合条件的点有个点.【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用 “两圆一线”的方法确定等腰三角形．A BCDEF【习题7】 如图，等边△ABC 中，AD =CE ，CD 于BE 相交于点P ，求∠BPC 的度数． 【难度】★★ 【答案】120︒【解析】ABC ∆Q 是等边三角形，60(..)6060120.AC CB A ACB AD CE ACD CBE S A S ACD CBE ACD BCD ABC CBE BCD BPC ∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴∠=∠∠+∠=∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒Q Q ，，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质．【习题8】 如图，△ABC 和△DBE 都是等边三角形，说明AB ∥CE 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】ABC DBE ∆∆Q 和是等边三角形6060(..)6060//.AB BC BD BE A ABC DBE ABD CBE DBCABD CBE S A S BCE A ABC BCE AB CE ∴==∠=∠=∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质的运用．【习题9】 如图，△ABC 为等边三角形，E 是BC 延长线上一点，CD 平分∠ACE ，CD =BE ，试说明△ADE 为等边三角形的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】ABC ∆Q 为等边三角形，6012060(..)6060B ACB AB AC ACE CD ACE ACD B ACD AB ACABE ACD B ACDBE CD ABE ACD S A S AD AE BAE CAD BAC DAE ADE ∴∠=∠=︒=∴∠=︒∠∴∠=︒∴∠=∠=∆∆∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠⎧⎪=︒∴∠=︒∆⎨⎪⎩∴Q Q ，，平分，，在和中，，，，，为等边三角形.【总结】本题主要考查等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC EDPABCDEABC DE【习题10】 如图，△ABC 中，BA =BC =a ，∠B =60°，在BC 的延长线上取一点D ，使CD =b ，在BA 延长线上取一点E ，使AE =a +b ，试判断△ECD 是什么三角形，并说明理由． 【难度】★★★ 【答案】等腰三角形． 【解析】//DF AC BE F 作交于60//60(..).ABC BAC B BA BC DF AC EFD CAE BFD BAC BDF DF BD BF a b AF BF BA BD BC CD bAE a b FE a AC AE BD FD EFD CAE S A S ED EC ECD ∆∴∠=∠=︒=∴∠=∠∠=∠=︒∴∆∴===+∴=-=-===+∴====∴∆≅∆∴=∴∆Q Q Q 是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，是等腰三角形【总结】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用，注意平行 线的添加，将问题进行转化．【作业1】 已知一个三角形的任意一个角的平分线都垂直于这个角的对边，则这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形．【难度】★ 【答案】D【解析】只有在等边三角形中任意一个角的平分线是垂线并且是中线． 【总结】本题主要考查全等三角形的判定．课后作业ABCDEF【作业2】 等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）A ． 60°B ．90°C ．120°D ．150°【难度】★ 【答案】C【解析】ABC ∆Q 是等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒．113030221803030120.BI ABC CI ACB IBC ABC ICB ACB BIC ∠∠∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=︒-︒-︒=︒Q 平分，平分，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和角平分线的性质的综合运用．【作业3】 如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠ABE =∠ACD ，BE =CD ，则△ADE 的形状是（ ）A ． 等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 【难度】★ 【答案】B【解析】ABC ∆Q 为等边三角形，AB AC ∴=．(..)60ABE ACD BE CD ABE ACD S A S AE AD BAE CAD ADE ∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠=︒∴∆Q ，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定．【作业4】 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ） A ．3个B ．4个C ． 5个D ．6个【难度】★ 【答案】D【解析】 AB AC =Q ， ABC ∴∆是等腰三角形， 36C B ∴∠=∠=︒，180 180 36 36 108BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．2 36 ADE BAD B BAD ABD ∠=∠∴∠=∠=︒∴∆Q ，，是等腰三角形．A BCDEABCDEACE ∆同理可得是等腰三角形．ADE AED ADE ∠=∠∴∆Q ，是等腰三角形．108 36 72CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ， ADE CAD CAD ∴∠=∠∴∆，是等腰三角形．BAE ∆同理可得是等腰三角形．6 ABC ADE ABD ACE ABE ACD ∴∆∆∆∆∆∆有个等腰三角形，分别为：、、、、、．【总结】本题主要考查了等腰三角形的判定．【作业5】 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：BD +DC =AD ． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】ABC ∆Q 是等边三角形，60BA BC ABC ∴=∠=︒，．6060(),.BDE BE BD DE DBE ABE CBD CBE ABE CBD SAS AE CD BD DC DE AE AD ∆∴==∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴=∴+=+=Q 是等边三角形，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【作业6】 如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形，点E 恰在CB 的延长线上，说明∠ABD =∠AED 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】ABC ADE ∆∆Q 、为等边三角形，60AD AE AB AC DAE AED BAC C ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．60DAB EAC BAE ∴∠=∠=︒+∠， DAB EAC ∴∆≅∆，60ABD C AED ∴∠=∠=︒=∠．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．ABCDEABCDE【作业7】 试说明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】a 如图，设等边三角形的边长为， 11••22ABC S BC AH a AH ∆∴==，111•••222111•••2221)2ABC S AB PD BC PE AC PF a PD a PE a PFa PD PE PF =++=++=++V Q g ( PD PE PF AH ∴++=， 即得证．【总结】本题主要考查了三角形面积公式的应用及等边三角形的性质的综合运用．【作业8】 如图，D 是等边△ABC 内一点，DA =BD ，PB =AC ，且∠DBP =∠DBC ，则∠BPD的度数是 ． 【难度】★★ 【答案】30︒． 【解析】CD 连接．60(..)1302,(..)30.ABC AB BC AC ACB DB DA DC DC ACD BCD S S S BCD ACD ACB PB AC PB BC DBP DBC BD BD BPD BCD S A S BPD BCD ∆∴==∠=︒==∴∆≅∆∴∠=∠=∠=︒=∴=∠=∠=∴∆≅∆∴∠=∠=︒Q Q Q Q 是等边三角形，，，，，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用．【作业9】 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o ，．将BOC △绕点C按顺时针方向旋转60o 得ADC △，连接OD ．（1）试说明COD △是等边三角形； （2）当150α=o 时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形? 【难度】★★ 【答案】见解析．AB CDPABCDO110o α【解析】（1）60BOC C ADC ∆︒∆Q 将绕点按顺时针方向旋转得60.CO CD OCD COD ∴=∠=︒∴∆，，是等边三角形（2）150AOD α=︒∆当时，是直角三角形，1506090BOC ADC ADC BOC COD ODC ADO ADC ODC AOD ∆≅∆∴∠=∠=︒∆∴∠=︒∴∠=∠-∠=︒∴∆Q Q ，是等边三角形，，是直角三角形.（3）AO AD =①要使，AOD ADO ∠=∠需．360110601906019060125AOD ADO αααααα∠=︒-︒-︒-=︒-∠=-︒∴︒-=-︒∴=︒Q Q ，又，，；OA OD OAD ADO =∠=∠②要使，需，1801801906050OAD AOD ADO αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-+-︒=︒Q （）（），6050110αα∴-︒=︒∴=︒，；OD AD OAD AOD =∠=∠③要使，需，19050140αα∴︒-=︒∴=︒，．125110140AOD α︒︒︒∆综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．【总结】本题综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定，注意进行角度的计算，综 合性较强，第（3）问注意要分类讨论．【作业10】 如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并使AE =BD ，连接CE 、DE ，说明CE =DE 的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】BD F DF BC EF =延长至，使，连接．6060(..).AE BD AE CFABC BA BC B BE BF BEF BE EF B F BC DF ECB EDF S A S CE DE =∴=∆∴=∠=︒∴=∴∆∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴=Q Q Q ，为等边三角形，，，为等边三角形，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的判定，注意辅助线的添加．A BC D EF【作业11】在等边△ABC所在平面内求一点P，使△P AB、△PBC、△P AC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．【难度】★★★【答案】10．【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的P点，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用“两圆一线”去画等腰三角形．。