27.1圆的认识(3)垂径定理1

圆的相关概念及垂径定理学习目标：通过研究圆的基本性质，重点掌握垂径定理及其推论，圆心角与弧、弦的关系的定理及其推论.学法建议：圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.学习内容精析：一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径．以O为圆心的圆记作：⊙O，读作：圆O．圆心为O，半径为r的圆，可以看作是所有到定点O距离等于定长r的点组成的图形．要确定一个圆，需要定圆心、定半径．圆心相同的圆叫同心圆．半径相等的几个圆叫等圆．问题：为什么车轮做成圆形?把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．二、圆的有关概念连接圆上任意两点的线段叫做弦．过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，直径是圆中最长的弦．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作弧AB．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧．为了区分，一般优弧用三个大写字母表示，记作.一条弦对两条弧．能够完全重合的两条弧叫做等弧．等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同圆或等圆中出现．例1：如图，A、B、C为⊙O上的三点，AB为直径，OD⊥BC于D，OD=3，求弦AC 的长度.分析：图中有什么基本图形?有什么基本图形中的元素?猜想已知线段与所求线段有什么关系?需要什么?解：连接OC∵ OC=OB，OD⊥BC于D∴ BD=DC∵ BO=OA∴ AC=2OD=6小结：1．同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角形．2．圆中计算和证明的难点，在于直线形中的定理和圆中的定理的综合运用，见到一条线段或一个角要分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形之间进行转化．圆中的特殊的数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路．三、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．我们在一个圆中任画一条直径并沿之折叠，直径左右两个半圆能够完全重合．如图，CD是⊙O的直径，点C、D的对称点是它本身，一个半圆上任取一点A，另一个半圆上一定有一个点B与之对称．四、垂径定理：观察图形：AB是⊙O的一条弦，作直径CD⊥AB于E，这个图形是轴对称图形吗?对称轴是谁?图中有哪些相等的线段和弧?你能证明你的结论吗?已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E．求证：AE=EB，，．证明：连结OA、OB，则OA=OB∵ CD⊥AB∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴∴沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合∴ AE=BE，，．从而得到圆的一条重要性质：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E∴ AE=EB，，．分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么?为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．主语是一条直线，两个条件推三个结论．可以利用垂径定理来证明线段等和弧等．垂径定理的推论：如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦(不是直径)，会得到什么结论?平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是非直径的弦，AE=EB∴ CD⊥AB于E，，．为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、平分弦(非直径)，一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．需要特别注意：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂直关系．例2：(1)如何把一条弧二等分?分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以作弦AB的垂直平分线就可以把弧二等分．思考：如何把一条弧四等分?(2)利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心?分析：圆的对称轴即直径所在直线，两条直径的交点即圆心．例3：解决赵州桥的半径问题.分析：首先，把实际问题转化为数学问题桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB=37.4米，的中点C到线段AB的距离为7.2米．如何确定点C呢?对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦AB，0C平分，即C点为的中点，CD就是拱高，这样做出的图形符合题意．解：如图，用表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足．OC与相交于点C，则D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．AB=37.4，CD=7.2AD=AB=18.7OD=OC-CD=R-7.2在Rt△OAD中，即解得R≈27.9(m)因此，赵州桥主拱半径约为27.9米．小结：1．此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧．这是圆中解决弦的有关计算问题的常用辅助线——垂直于弦的直径(半径)．2．解决这类问题时，只要抓住弦长、圆心到弦的距离(弦心距)、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量．四条线段的长：弦长、圆半径、弦心距d、弓形高h关系：；思路：辅助线构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理相结合．五、圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．六、圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦．注意：一个圆心角对一条弧、一条弦．一条弧对一个圆周角、一条弦．但是一条弦对两条弧，两个圆周角．七、研究圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明．把∠AOB绕O旋转，使与重合，因为，所以射线与射线重合．因为，，所以点A与点重合，点B与点重合．因为圆具有旋转不变性，所以与重合于是有结论：，．这就是圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．几何符号语言：⊙O中，∵∴，或∵⊙与⊙是等圆，∴，同样的，在同圆或等圆中，如果两条弧等，还能知道什么相等?在同圆或等圆中，如果两条弦等，还能知道什么相等? ’(弦所对的优弧相等、劣弧相等，优弧所对的弦心角相等、劣弧所对的弦心角相等)把这三个真命题概括起来，得到定理的推论．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．分析定理：同圆或等圆中圆心角等、弧等、弦等，知一推二．用来找角、线段、弧的相等关系．1．判断题，下列说法正确吗?为什么?(1)因为，所以．错，反例如图．没有同圆或等圆的前提．(2)在⊙和⊙中，如果弦，那么．错一在于没有同圆或等圆中，不能用定理．错二在于同圆或等圆中，也有优弧、劣弧之分．(3)如图，∠1=∠2，则AD=BC错，BC不是弦．2．如图，在⊙O中，，∠1=45°，求∠2的度数．解：∵⊙O中，∴即∴∠2=∠1=45°3．如图，在⊙O中，，∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．证明：∵⊙O中，∴ AB=AC∵∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC小结：1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦之间的关系定理及推论，这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．。

解读垂径定理学习中的注意点垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据,也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一。

圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。

因此,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明.所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。

二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理（推论）中,一是隐含着一条直线;二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，（2)垂直于弦,（3）平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，（5)平分这条弦所对的优弧。

垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个,这就需要掌握构造逆命题的技巧。

例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径），那么这条直线垂直于弦,且平分弦所对的弧。

类似地,同学们一定会分别写出以(1)和（4）、（1)和(5）、（2)和(3)、(2）和（4）、(2)和(5）、（3）和（4)、（3)和（5）、（4)和(5)为条件的逆命题.由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。

垂径定理连同推论在内共十条定理.对于这十条定理，同学们切不可死记硬背,关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质（具有性质(1）、(3)时，所说的弦不是直径,这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。

三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事.现举例说明.1、利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角例1。

圆的垂径定理及其推论知识点与练习（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

若CE=DE ，AB是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

若⌒ AC =⌒AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD④圆的两条平行弦所夹的弧相等。

若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长。

解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题意得，∵⌒ AB = 31×360º=120º ∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习一、选择题1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A 、CM=DMB 、∠ACB=∠ADBC 、AD=2BD D 、∠BCD=∠BDCGA A（1题图） （2题图） （3题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）A 、2.0mB 、2.3mC 、4.6mD 、6.9m3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）A 、1cmB 、 cmC 、 cmD 、2cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、⌒ BC =⌒BD（题5） （题6）6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）A 、9cmB 、6cmC 、3cmD 、1cm 二、填空题有 条相等的弧。

垂径定理⼀圆的
对称性轴对称对称轴为直径所
在的直线中⼼对称对称中⼼为
圆⼼旋转对称⽆论绕圆⼼旋转多少度都能与⾃身重合eg ⼩明说圆
是轴对称图形圆的每⼀条直径都是圆的对称轴⼩丽说圆是中⼼对称图形对称中⼼是圆⼼他们的
说法正确吗说明你的判断⼩明的
说法错误对称轴是直线直径是线段所以不能说直径是圆的对称轴⼩丽的说法正确⼆垂径定理圆
的轴对称1概念垂径定理垂直于弦的直径千分弦并且平分弦所对的弧注意⼀条弦对两段弧
⼏何语⾔A 13C ⼝
为00上的四个点仍与⼼交于点M 条件D CD LAB 垂直D 们过点0直径10结论DAM 13M 平分弦401分135AE Bi 平分弧A
B D 证明连接的130
i A 0130i co tM L 0
BM -fOMA L0MB L 0AM L 0BM A 0Bo iA AMOEA BMO AAS i AM BM LA 01BOD 的13⽉AT ⼆成。

第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。