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人教版九年级上册《垂径定理》教案目录•课程介绍与目标•知识回顾与铺垫•垂径定理的引入与证明•垂径定理在几何问题中的应用•垂径定理在生活中的实际应用•课堂练习与巩固提高•总结回顾与拓展延伸01课程介绍与目标教材版本及内容概述教材版本人教版九年级上册内容概述本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。
知识与技能过程与方法情感态度与价值观教学目标与要求掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探究能力和数学思维能力。
感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。
教学方法与手段教学方法采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其推论。
教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推论。
同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。
02知识回顾与铺垫圆的性质及定义圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。
直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆中，所有的半径都相等。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。
030201直径、半径、弦等概念顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧的长度与圆心角的度数成正比。
弧在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系03垂径定理的引入与证明垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理【教学目标】一、教学知识点。
（一）圆的轴对称性。
（二）垂径定理及其逆定理。
（三）运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明。
二、能力训练要求。
（一）经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
（二）培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
三、情感与价值观要求。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】垂径定理及其逆定理。
【教学难点】垂径定理及其逆定理的证明。
【教学方法】指导探索和自主探索相结合。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
[师]前面我们已探讨过轴对称图形，并且通过折叠研究出圆是轴对称图形，今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性。
二、讲授新课。
下面我们一起来按下面的步骤做一做：（一）在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。
（二）得到一条折痕CD．（三）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
（四）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图。
[师]老师和大家一起动手。
（教师叙述步骤，师生共同操作）[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。
[师]很好。
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
[师]为什么呢？[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合。
[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB。
因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM。
又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合。
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的定义和几何意义；2. 掌握垂径定理的基本运用；3. 培养学生的几何思维和逻辑推理能力。
二、教学内容：垂径定理是平面几何中的重要定理，它为解决与圆相关的问题提供了有力的工具。
垂径定理是指，如果一个直径的两个端点与圆上的两点相连，并且这两条线段相互垂直，则这两条线段的中点一定在圆上。
三、教学过程：1. 理论讲解（15分钟）a. 引入垂径定理的概念，解释定理的定义和意义；b. 对与垂径定理相关的基本术语进行解释，如直径、垂直等；c. 展示垂径定理的证明过程，说明定理的正确性和普适性。
2. 实例演示（20分钟）a. 通过几个具体的实例，演示垂径定理的运用方法；b. 教师可以将实例分为直接应用和间接应用两种情况，让学生思考不同情况下如何运用垂径定理解决问题；c. 引导学生进行讨论和解答，帮助他们理解垂径定理的应用。
3. 案例分析（25分钟）a. 布置几个与垂径定理相关的问题；b. 学生以小组形式进行分析和解答，并展示他们的思路和解题过程；c. 教师根据学生的表现和分析结果，对解题思路进行点评和指导。
4. 提升拓展（20分钟）a. 强化学生对垂径定理的理解，通过练习题检验学生的掌握程度；b. 针对高阶问题和拓展思考，引导学生运用垂径定理解决更复杂的几何问题；c. 鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的逻辑推理能力和创新思维。
四、教学评价：1. 在教学过程中，教师可以通过观察学生的参与度和回答问题的准确度，进行个别或整体评价；2. 在案例分析环节，教师可以根据学生的表现，评价他们的分析能力和解题思路；3. 练习题的考查结果可以用来评价学生对垂径定理掌握的程度。
五、教学反思：垂径定理是一个相对简单但重要的定理，通过教学设计和教学过程的安排，可以提高学生对该定理的理解和应用能力。
在教学中，要注意引导学生进行思辨和探究，并关注学生的自主学习能力的培养。
此外，可增加一些趣味性的教学方法，如游戏、实验等，以激发学生的学习兴趣和主动性。
探究1圆的对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么由此 你能得到什么结论 可以发现：圆是轴对称图形。
任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
圆的对称轴是任意 一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴。
设计意图：让同学们通过动手操作，直观的感受圆的对称性，知道圆的对称轴。
探究2垂径定理 一、如图，AB 是圆。
的一条弦，做直径CD,使CD 垂直于AB,垂足为E 。
1、圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么 2、你能发现图中有哪些相等的线段和弧 通过看图可以解决问题 1、圆是轴对称图形，它的对称轴是CD 2、AE=BE,弧 AC 二弧 BC,弧 AD=M BD 从而，咱们可以得到：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
设计意图：利用例题的形式引出垂径定理，比直接说概念能使学生更加清楚明白的了解垂 径定理。
二、垂径定理的条件 由上个题咱们可以知道CD 是直径，CD 垂直于AB,由这两个条件可以得出AE 二BE,弧AC 二 弧BC,弧AD 二弧BD 所以咱们就能得到垂径定理的两个条件，1是过圆心，2是垂直于弦，能够推出该过圆心 的线，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。
强调一下：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
设计意图：明白垂径定理的条件，知道垂径定理的结果，学生可以直接应用。
三、垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 注意：为什么这里强调弦不是直径呢 因为一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直。
因此这里的弦如果是 知识讲解（难点突直径，结论不一定成立。
设计意图；通过本环节，让学生自主探究、合作交流抽象出结论，培养学生的动手操作能力，同时渗透建模、化归和符号思想。
由于垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，由小组讨论表述条件与结论，并尝试将文字语言转化为数学符号语言，作为教师及时更正给出正确的几何语言，使学生建立符号感，这样也分化了难点。
《垂径定理》教学设计教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《垂径定理》教学设计教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为《垂径定理》教学设计教案的全部内容。
《垂径定理》教学设计单位：登封市大金店二中授课教师：唐海广《垂径定理》教学设计学生的知识技能基础:学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性,以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识,具备探索证明几何定理的基本技能．学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．二、教学任务分析该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是：知识与技能1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理;2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．过程与方法1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感与态度1. 培养学生类比分析,猜想探索的能力．2。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．本节课设计了四个教学环节：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。
第一环节类比引入活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,?3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢？活动目的：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡,引导学生思考，培养学生类比分析的能力．第二环节猜想探索活动内容：1．如图,AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论(等量关系）：③AM=BM；④=Error!；⑤=.，AC）证明：连接OA,OB，则OA=OB。
垂径定理优秀教案一、创意教学目标1. 知识与技能目标-学生能够准确说出垂径定理的内容，并能用数学语言进行表述。
“同学们，咱得知道啥是垂径定理哈。
就是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这可重要啦，得牢牢记住！”-学会运用垂径定理进行简单的几何计算和证明。
“咱学这个定理可不是光嘴上说说，得会用它做题。
比如说，给你一条弦和一个圆的直径，让你求弦长啥的，咱得会算。
”-能够通过观察、分析图形，发现并运用垂径定理解决实际问题。
“生活中也有很多跟垂径定理有关的事儿呢，咱得有双善于发现的眼睛，用这个定理去解决实际问题。
”2. 过程与方法目标-经历垂径定理的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳能力。
“咱一起好好观察这些图形，看看能发现啥规律。
然后分析分析，最后归纳出垂径定理。
这个过程很重要，能让咱的脑袋瓜越来越灵。
”-通过小组讨论、合作学习，提高学生的交流与合作能力。
“同学们分组讨论讨论，说说自己对垂径定理的理解。
大家一起商量商量怎么用这个定理做题，互相学习，共同进步。
”-运用数学实验法，让学生亲身体验垂径定理的应用，培养学生的实践操作能力和创新思维。
“咱来做个小实验，用圆规和直尺画个圆，再画一条弦，然后用直径去垂直这条弦，看看有啥发现。
这样能让咱更好地理解这个定理。
”3. 情感态度与价值观目标-激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索的精神。
“这个垂径定理可有意思啦！大家好好探索探索，说不定能发现一些新的东西呢。
要有勇于探索的精神，别怕犯错。
”-让学生体会数学的美和实用性，增强学生学习数学的信心。
“看看这些图形，多漂亮啊！而且这个定理在生活中也很有用呢。
学好了数学，咱以后干啥都有底气。
”-培养学生的团队合作意识和竞争意识，提高学生的综合素质。
“小组之间可以比一比，看哪个组对垂径定理理解得更透彻，做题做得又快又好。
这样能让大家更有动力，也能培养咱的团队合作意识和竞争意识。
”二、独特教学重点与难点1. 教学重点-垂径定理的内容及应用。
垂径定理初中教案1. 知识与技能：通过观察、实验和证明，使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。
2. 过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
3. 情感态度价值观：培养学生类比分析、猜想探索的能力，通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
二、教学重难点1. 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理。
2. 教学难点：垂径定理的证明。
三、教学过程1. 导入：回顾轴对称图形的概念和性质，引出圆也是轴对称图形，并提问：圆的轴对称性有哪些应用？2. 探索：让学生分组进行实验，观察和记录圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现垂径定理。
3. 证明：引导学生运用已学的三角形全等的知识，证明垂径定理。
在此过程中，教师应给予学生适当的提示和引导，帮助学生完成证明。
4. 应用：让学生运用垂径定理解决一些有关的证明与计算问题，巩固所学知识。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现垂径定理。
2. 利用分组实验，让学生亲身体验和观察圆的轴对称性，增强学生的实践能力。
3. 在证明过程中，引导学生运用已学的三角形全等的知识，培养学生的逻辑思维能力。
4. 设计一些有关的证明与计算问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的参与度和理解程度，观察学生在探索和证明过程中的表现。
2. 课后作业：布置一些有关的证明与计算问题，检验学生对垂径定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，共同提高。
六、教学反思本节课通过观察、实验和证明，使学生掌握了垂径定理，并能够运用它解决有关的证明与计算问题。
在教学过程中，注重了学生的参与和实践，培养了学生的逻辑思维能力和应用能力。
同时，通过问题驱动的教学方法，激发了学生的学习兴趣和探索精神。
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
中考数学人教版专题复习：垂径定理一、考点突破1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。
2. 应用垂径定理解决问题。
二、重难点提示重点：理解垂径定理与推论的关系。
难点：应用知识解决实际问题。
考点精讲垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
12如果AB ∥CD ，则=AC BD ⋂⋂。
【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。
典例精析例题1 已知⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A. 25cmB. 45cmC. 25cm 或45cmD. 23cm 或43cm思路分析：先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论。
答案：解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4cm ，OD ＝OC ＝5cm ，当C 点位置如图1所示时， ∵OA ＝5cm ，AM ＝4cm ，CD ⊥AB ， ∴OM ＝22OA AM -＝2254-＝3cm ， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8cm ，∴AC 22AM CM +2248+5；3当C 点位置如图2所示时，同理可得OM ＝3cm ， ∵OC ＝5cm ， ∴MC ＝5－3＝2cm ，在Rt △AMC 中，AC＝22AM MC +＝2242+＝25cm ， 故选C 。
技巧点拨：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
例题2 如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A ＋PB 的最小值为（ ）A.2 B. 1 C. 2 D. 22思路分析：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN 的交点，即为PA ＋PB 的值最小时的点，根据外角知识求出∠AON ＝60°，然后求出∠BON ＝30°，再根据对称性可得∠B′ON ＝∠BON ＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝2OA ，即为PA ＋PB 的最小值。
答案：解：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′， 则AB′与MN 的交点即为PA ＋PB 的最小时的点，PA ＋PB 的最小值＝AB′， ∵∠AMN ＝30°，∠AMN ＝∠A ，∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝12∠AON＝12×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝2OA＝2×1＝2，即PA＋PB的最小值＝2。
故选A。
技巧点拨：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。
提分宝典1. 与垂径定理有关的计算中，连接半径构建直角三角形，利用勾股定理求解是常用的方法。
例题如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，CD＝2，求半径的长。
答案：解：连接OA，4∵OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝4，∵DC＝2，∴OD＝OC－2，∵OA＝OC，222∵，OA AD OD=+()222=+-，OA OA42解得OA＝5。
2. 在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时，连接圆心与这些中点，是常用的辅助线的作法。
【针对训练】如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的，则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。
半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF思路分析：作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。
答案：解：如图，作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△HAG，由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合56∴△ACG ≌△BDF ， ∴∠ACG ＝∠BDF ＝60°， ∵∠ECB ＝60°， ∴G 、C 、E 三点共线， ∵AM ⊥CG ，ON ⊥CE ， ∴AM ∥ON ， ∴21AM AC ON OC ==， 在Rt △ONC 中，∠OCN ＝60°， ∴ON ＝sin ∠OCN•OC ＝3•OC ， ∵OC ＝13OA ＝2，∴ON ＝3，∴AM ＝23， ∵ON ⊥GE ，∴NE ＝GN ＝12GE ，连接OE ，在Rt △ONE 中，NE ＝22OE ON -＝226(3)-＝33， ∴GE ＝2NE ＝233，∴S △AGE ＝12GE•AM ＝12×233×23＝611，∴图中两个阴影部分的面积为611，故答案为611。
7技巧点拨：本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用。
垂径定理练习题1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A. OE ＝BEB. ⋂⋂=BD BC C. △BOC 是等边三角形D. 四边形ODBC 是菱形2.温州是著名的水乡，河流遍布整个城市，某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图），已知桥拱半径OC 为5m ，水面宽AB 为46m ，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为（ ）A. 46mB. 7mC. 5＋6m D . 6 m*3. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sinB ＝45，⊙O 过B 、C 两点，且⊙O 半径r ＝10，则OA的长为（ ）A. 3或5B. 5C. 4或5D. 4**4. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是（ ）A. 4B. 3＋2C. 32D. 3＋3**5. 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为。
**6. 如图，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC 的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG＝1，则EF为。
*7. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）。
（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长。
8**8. 如图，在半径为23的扇形AOB中，∠AOB＝120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E。
（1）当BC＝4时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由。
910垂径定理同步练习参考答案1. B 解析：∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径， ∴DE ＝CE ，BC BD ⋂⋂=，根据已知不能推出OE ＝BE ，△BOC 是等边三角形，四边形ODBC 是菱形。
故选B 。
2. D 解：连接OA ，如图，∵CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB ＝12•46＝26，在Rt △OAD 中，OA ＝5，OD ＝22OA AD -＝225(26)-＝1， ∴CD ＝OC ＋OD ＝5＋1＝6（m ），故选D 。
3. A 解析：如图，作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝5 ∴AD 垂直平分BC ， ∴点O 在直线AD 上， 连接OB ，在Rt △ABD 中，sinB ＝AD AB ＝45， ∵AB ＝5， ∴AD ＝4，∴BD 22AB AD -3，在Rt △OBD 中，OB 10BD ＝3，∴OD＝22OB BD＝1，当点A与点O在BC的两侧时，OA＝AD＋OD＝4＋1＝5；当点A与点O在BC的同侧时，OA＝AD－OD＝4－1＝3，故OA的长为3或5。
故选A。
4. B解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OC D为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，11∴AE＝BE＝12AB＝12×42＝22，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝223(22)-＝1，∴PD＝2PE＝2，∴a＝3＋2，故选B。
5. 72解析：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H，连接BC。
根据垂径定理，得到BE＝12AB＝4，CF＝12CD＝3，∴OE＝22OB BE-＝2254-＝3，OF＝22OC CF-＝2253-＝4，∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7，在Rt△BCH中，根据勾股定理得到BC＝72，则PA＋PC的最小值为72，故答案为72。
6. 15解析：连接OC，如图，1213∵OG ⊥AC ， ∴CG ＝AG ，在Rt △OCG 中，CG ＝22OC OG -＝2241-＝15， ∴AC ＝2CG ＝215， ∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ， ∴AE ＝BE ，BF ＝CF ， ∴EF 为△BA C 的中位线，∴EF ＝12AC ＝15。
故答案为15。
7.（1）证明：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝D E ，AE ＝BE ，∴BE －DE ＝AE －CE ，即AC ＝BD ；（2）解：由（1）可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ， ∴OE ＝6∴CE 22OC OE -2286-7，AE 22OA OE -22106-＝8， ∴AC ＝AE －CE ＝8－7。
8. 解：（1）∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝2， ∴OD 22BO BD -22(23)2-2； （2）存在，DE 是不变的， 理由是：如图，连接AB ，过点O作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与弧AB交于点M，则OM平分∠AOB与弧AB，∴∠AOF＝60°，在Rt△AOF中，∵∠AOF＝60°，OA＝23，∴AF＝32OA＝3，∴AB＝2AF＝6，由垂径定理可知，点D、E分别是BC和CA的中点，DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝3。
