年北师大版九年级数学下册第三章圆33垂径定理

垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。

北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理（含答案）一、选择题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．CM ＝DMB.CB ︵＝DB ︵ C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MB2．如图2所示，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )图2A ．4B ．6C ．8D ．103．一块圆形宣传标志牌如图3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB ＝8 dm ，DC ＝2 dm ，则圆形标志牌的半径为( )图3A ．6 dmB ．5 dmC ．4 dmD ．3 dm4．如图4，⊙O 的半径OA ＝6，以点A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图5，⊙O 的半径为10，M 是弦AB 的中点，且OM ＝6，则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A ．8B ．10C ．12D ．166．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527．已知⊙O 的半径为15，弦AB 的长为18，点P 在弦AB 上且OP ＝13，则AP 的长为( ) A ．4 B ．14C ．4或14D ．6或14二、填空题8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OM 的长为________．9．如图7所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝2 3，则⊙O 的半径是________．图710.如图8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图811．如图9所示，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912．如图10，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，4)，N(0，－2)，则点P的坐标为________．图10三、解答题13．如图11，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长.图1114．如图12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图1215．如图13，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图13附加题探索存在题如图14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图14参考答案1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4，∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] B 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm.设⊙O 的半径为r dm ，则OD ＝(r －2)dm ，由勾股定理得42＋(r －2)2＝r 2，解得r ＝5.故选B.4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，BC ＝2BD ，BC ⊥OA ，∴OD ＝AD ＝3.在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] D6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝9，则OC ＝OA 2－AC 2＝12.又∵OP ＝13，∴PC ＝OP 2－OC 2＝5. 当点P 在线段AC 上时，AP ＝9－5＝4； 当点P 在线段BC 上时，AP ＝9＋5＝14. 故选C. 8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 的最长的弦，CD 为过点M 的最短的弦，CD ⊥AB ，连接OD ， 则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)．9．[答案] 2[解析] 如图，连接OC ，则OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COH ＝60°. ∵OB ⊥CD ，CD ＝2 3，∴CH ＝3， ∴OH ＝1，∴OC ＝2. 10．[答案] 0.8[解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA .由题意知，OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 故答案为0.8. 11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA . ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3， ∴AB ＝2AD ＝2 3. 故答案为2 3. 12．[答案] (－4，1)13．解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，连接OD ，∴F 为CD 的中点，即CF ＝DF . ∵AE ＝2，EB ＝6， ∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8， ∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2. 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15， 则CD ＝2DF ＝2 15.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMB ＝∠ONC ＝90°，OM ＝ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ， ∴BM ＝CN .∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ， ∴AB ＝CD .15．解：(1)如图，连接OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点． ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r m ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ，N (N 在M 的右边)，连接ON ，设MN 交CO 于点E . ∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面2 m ， ∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE ＝OC －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt △OEN 中，根据勾股定理，得EN ＝ON 2－OE 2＝ 3.92－3.52＝ 2.96≈1.72(m)， ∴MN ＝2EN ≈3.44 m ＞3 m ， ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 附加题解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，∵OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。

本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。

垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：垂径定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。

2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。

3.练习题：巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。

引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。

3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。

学生分组讨论，分享解题方法。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。

北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》是本节课的主要内容。

这一节内容是在学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行教学的。

教材通过引入垂径定理的概念，让学生了解并掌握圆中的一些重要性质，为学生后续学习圆的其它性质和解决与圆相关的问题打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要通过本节课的学习来提高。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握垂径定理，并能够运用垂径定理解决一些与圆相关的问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：如何引导学生运用垂径定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、合作交流法和直观演示法等教学方法。

问题驱动法能够激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力；合作交流法能够培养学生的团队合作意识；直观演示法能够帮助学生更好地理解垂径定理。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆中的一些性质，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍垂径定理的定义和性质，让学生通过观察和分析来理解垂径定理。

3.案例分析：通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

4.巩固练习：设计一些练习题，让学生进一步巩固对垂径定理的理解和运用。

5.课堂小结：引导学生总结本节课的学习内容，加深对垂径定理的理解。

6.课后作业：布置一些相关的作业，让学生在课后继续巩固和提高。

七. 说板书设计板书设计主要包括垂径定理的定义、性质和运用。

通过板书，让学生一目了然地了解垂径定理的主要内容。