下载文档原格式
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教B 版选修2-31辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教B 版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教B 版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教B 版选修2-3的全部内容。
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理教案 新人教B 版选修2-31二项式定理教学 目标 1。
初步掌握二项式定理。
2.提高学生对代数式的运算、变形能力。
3。
深化对组合数的认识。
4.进一步培养学生观察、归纳的能力.重点 难点 重点：二项式定理. 难点：二项式定理的应用 教法 尝试、变式、互动教具教学过程设教材处理师生活动一、新知探究 1.二项式定理公式 2．通项公式3.二项式系数 项的系数 二. 二项式定理的简单应用例1 求的二项展开式.例2 求 的二项展开式的第6项例3 求的展开式的第4项的二项式系数和系数例4.求(x —12y-2z)8 的展开式中x 6yz 的系数三、课堂练习1.写出7（p+q)的展开式2．求623)a b +（展开式的第3项3．写出 展开式的通项4．求 展开式中含9a 项的系数5．求 展开式中的常数项6.在(x 2+3x+2）5的展开式中，x 2的系数为__________板书设计 教学反思331)2n x-（x 2151)a a +（81)x x -（辽宁省本溪满族自治县高中数学第一章计数原理 1.3.1 二项式定理教案新人教B版选修2-32。
1.3.1二项式定理一 、教学目标1.知识与技能：(1) 能利用计数原理证明二项式定理；(2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
2. 过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。
3. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。
二、教学重点、难点重点：二项式定理；难点：二项式定理的应。
三、教具：白板 四、课型：新课五、教学过程一）新课提问引入课题1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理；2、组合与组合数3、今天是星期五，再过7天、15天、810天的那一天分别是星期几？二）讲授新课1、探究发现二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：?)(2=+b a ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？探究一：))(()(2b a b a b a ++=+ b b a b b a a a ⨯+⨯+⨯+⨯=222b ab a ++=从上述过程可以看出2)(b a +是2个))((b a b a ++相乘，根据多项式的乘法法则，每个)(b a +在相乘是由两种选择，选a 或b 选，而且每个)(b a +中的a 或b 选定后，才能得到2)(b a +展开式的一项。
根据分布乘法计数原理，在合并同类项前2)(b a +展开式共有2222=⨯项，合并后共有3项，分别为22,,b ab a 。
①对于2a 项，是由2个)(b a +都不选b 得到的，所以2a 出现的次数相当于2个)(b a +从取0个b 的组合数02C ，即2a 的系数为02C ②对于ab 项，是由1个)(b a +选a ，1个)(b a +选b 得到的，由于a 选定后，b 的选法也随之确定，所以ab 出现的次数相当于从2个)(b a +中取1个b 的组合数12C ，即ab 的系数为12C ；③对于2b 项，是由2个)(b a +都选b 得到的，相当于从取2个)(b a +取2个b 的组合数22C ，即的系数为22C 。
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。
《1.3.1 二项式定理》学历案姓名：班级：学号：【主题与课时】人民教育出版社高中选修2 3第一章计数原理1.3.1二项式定理【课标要求】1、理解二项式定理，能用计数原理证明二项式定理。
2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
【学习目标】1、同学们在学完这节课后，能准确说出二项式定理的表达式。
比如说，像$（a ＋ b)＾n$展开后是什么样的式子，要能说得出来。
2、能够理解二项式定理推导过程中所用到的计数原理，就是知道这个式子是怎么来的，而不是死记硬背。
3、可以熟练运用二项式定理去求二项展开式中的特定项，例如求第k项是啥样的。
4、能解决一些简单的二项式相关的实际问题，就像在生活里遇到的一些类似情况，也能把这个知识用上。
【评价任务】1、通过课堂提问和小组讨论的表现，来检测目标1和2是否达成。
如果在课堂上能积极回答关于二项式定理表达式和推导原理的问题，那就说明掌握得还不错。
2、做一些专门设计的练习题，要是能顺利求出二项展开式中的特定项，就达到目标3啦。
3、布置一个实际的小问题，要是能运用二项式定理解决，那目标4就达成了。
【学习过程】一、情境导入同学们，咱们来想象一下这样一个场景啊。
学校要组织一场趣味数学竞赛，其中有一个挑战环节是关于数字组合的。
给你一个像$（a ＋b)＾n$这样的式子，让你快速算出它展开后的结果。
这可不像咱们平常简单的加法或者乘法运算哦。
这就好比你要把一堆不同颜色的积木按照特定的规则组合起来，而且这个规则还和数学里的计数原理有关系呢。
这时候啊，咱们要是掌握了一个神奇的公式，就能轻松搞定这个挑战啦，这个神奇的公式就是咱们今天要学习的二项式定理。
二、任务一：二项式定理的表达式1、首先呢，咱们来探索一下二项式定理的表达式到底长啥样。
咱们从简单的例子开始看啊。
比如说$（a ＋ b)＾2$，根据咱们学过的乘法分配律，＄（a ＋ b)＾2=（a ＋ b)（a ＋ b)＝a^2+2ab ＋ b^2$。
1.3.1二项式定理一、教材分析【教材的地位及作用】二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
【学生情况分析】学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。
在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。
（根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。
【教学目标】1、知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。
2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3、情感目标：（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心.（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美.【教学重点、难点】重点：二项式定理的内容及应用。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。
因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。
正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。
”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。
课题：1.3二项式定理教学目标：知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．重点：二项式定理的内容和简单应用难点：用计数原理分析二项展开式教学过程一、设置情境，引入课题(1) 今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几呢?(2) 如果是15天后的这一天呢？(3)如果是24天后的这一天呢？(4)如果是 天后的这一天呢？二、探索研究二项式定理的内容1.回顾22212202222C C C 2)(b ab a b ab a b a ++=++=+33322321330332233C C C C 33)(b ab b a a b ab b a a b a +++=+++=+2.以4)(b a +为例的展开式的分析过程：4322344464))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+44433422243144044C C C C C )(b ab b a b a a b a ++++=+．3.归纳、猜想?)(=+n b a)N (C C C C C )(*222110∈++++++=+---n b b a b a b a a b a n nn r r n r n n n n n n n n4.引导学生观察二项式定理，强调应该注意的问题三、二项式定理的应用例1、例2、例3、解决开始问题、探究1008四、归纳小结五、作业。
1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？ 答案 能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )， 则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数， 根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 7的展开式中倒数第三项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案84x8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3， 解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180， 则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234.因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。
1．3.1 二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．错误!错误!我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1）两个计数原理的内容是什么?（2)排列的定义与排列数公式是什么？(3）组合的定义与组合数公式是什么？活动设计:学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：（板书)（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．（2)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．A错误!＝n（n－1）（n－2)…(n－m＋1)＝错误!.(3）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m，n＝错误!＝错误!.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题:如何利用两个计数原理得到（a＋b）1,(a＋b)2，(a＋b）3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：（1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考,允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝（a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将（a＋b）2与（a＋b）3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的,并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．错误!(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)（a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4,a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1:(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？（2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗?（3）你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表n 展开式的二项式系数1234567活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn.设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？ 活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1n n －k ＋1k， 所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n 最大． (板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大． 设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n 2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n ，令x ＝1，则即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n ＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中，令a＝1，b＝－1，则得(1－1)n＝C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n C n n，即0＝(C0n＋C2n＋…)－(C1n＋C3n ＋…)，所以C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．【巩固练习】C17＋C27＋C37＋…＋C77＝__________解：因为C07＋C17＋C27＋C37＋…＋C77＝27＝128，所以【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________.2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x，n≥y，x ，y ，n∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________．4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________.请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：由2n ＝2 048＝211，得n ＝11.2．解：由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12.3．解：由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．解：由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12. 设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________． 3．已知(x 3＋1x 2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项． 1．解：在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r中， 令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．解：中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192. 3．解：由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x 30－5r ，所以当r ＝6时，不含x 的项是210. 课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用．3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( )A ．16B ．15C ．14D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1【答案或解答】1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 023 3．D 4.D【拓展练习】5．若(31x ＋51x2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项． 6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值．答案：5.解：系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115. 6．解：依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1.∴x＝1或x ＝110. 设计说明二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教材从传授知识的角度出发，有它的合理性，但教学过程中不能照本宣科平铺直叙．经过认真探索，发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力．同时还能发挥教材中史情内容的教育功能，唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情，并转化为学习数学的动力而发奋学习．这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，要求教师不断地挖掘规律，简化学生的记忆负担．即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，要想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此引入了杨辉三角，利用图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，教与学是一对矛盾，它是一个已知教未知和未知求新知的过程，两者对立统一、辩证发展．现代教育学强调：“在教学过程中，应自始至终地确立学生的主体地位及教师在教学中的主导作用．”那么在“以教师为主导，学生为主体”的教学思想指导下，如何来发挥“主导与主体”作用呢？我们认为一定要突出“引”和“放”，即在教师正确引导下，放开让学生积极参与教学，而不是简单地接收、模仿．这里关键在于教师设法创造良好的教学环境，思路一起探索，疑难一同解决，规律共同发现，结论一起获得，错误一起纠正，师生密切配合才能提高学生的学习效果，促进其个性健康发展．第四，要充分发挥“以教师为主导、学生为主体”的作用，首先要深入研究教材，结合教材具体内容及学生实际情况和需求(学生感兴趣)，创设适合学生思维水平的教学环境，贯彻启发性原则，激发学习动机，引起学习兴趣，使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与，突出“引”与“放”．本课如果照本宣科则平淡无奇，对学生思维能力的培养毫无作用．上述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳，能摸到”，促进学生思维能力的提高．第五，引导学生积极参与的内容要防止两种情形．一是过易，不能充分发挥学生的主体作用．二是过难，学生摸不着头绪就没兴趣参与．教师要在充分了解学生的原有认知结构的前提下，确立一个相对较低的起点，难度高的还要适当铺设台阶，多层次展开问题，使每个层次的学生在我们引导下都能积极参与，做到一分耕耘一分收获．第六，要重视并加强对学生数学思想方法的培养，善于揭示教材的内隐性．像杨辉三角教学中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比较内隐，如果不是精心研究，并去揭示三角数阵的结构，以及它与二项式系数性质相联系的规律，不去展开观察、分析、类比和归纳等思维过程，就不能够发展学生的智能，其他功能也会受影响．只有当学生从被动上升到主动去应用这些数学思想和方法，才能形成能力，培养学生只学会还不够，教师培养学生的目标是使之会学，那将是受益终身的财富．备课资料伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．。
湖南省益阳市高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理教案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省益阳市高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理教案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖南省益阳市高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理教案新人教A版选修2-3的全部内容。
二项式定理C n 1＋C n 2＋C n 3＋…＋C n n 等于（ )A ．63B ．64C ．31D ．324．设(x －1）21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.知识梳理 1．二项式定理 二项式定理二项式系数二项展开式中各项的系数C n k （k ∈{0,1，2，…，n ｝)2.二项式系数的性质二项展开式形式上的特点例题选讲题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数 例1 已知在x 3n 的展开式中，第6项为常数项．(1）求n ；（2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．(1)若二项式 （2x ＋x a )7的展开式中x31的系数是84，则实数a 等于( ）A ．2B 。
45C ．1 D.42（2）设二项式(x －x a )6（a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ,则a 的值是________．题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在（2x －3y )10的展开式中，求：(1）二项式系数的和；（2)各项系数的和;（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；（5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．已知f (x ）＝（1＋x )m ＋(1＋2x )n （m ,n∈N ＊)的展开式中x 的系数为11.(1）求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x的奇次幂项的系数之和．题型三 二项式定理的应用例3 (1)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值;(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位）(1)设a ∈Z ,且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于（ )A ．0B ．1C ．11D ．12（2)S ＝C 271＋C 272＋…＋C 2727除以9的余数为________．高考链接 1，x 36的展开式中的第四项是______． 2．若（x －x2a )6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________每日一练1,在x 3n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．－7B ．7C ．－28D ．282，如果x23n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中x31的系数是（ )。
