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Numerical Experiments with Support Vector Machines Mikhail Kanevski 1

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非线性方程和非线性方程组的迭代解法

非线性方程和非线性方程组的迭代解法
则称序列（Ｘ。）至少Ｐ阶收敛．当ｐ＝ｌ，０＜Ｃ＜１时，称序列（ｘ“）至少线性收
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101

极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法

极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法

收稿日期：2020-09-13作者简介：杨程程（1996-），女，辽宁铁岭人，硕士研究生。

极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法杨程程，张荣培（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110034）摘要：对圆形区域上的二维非线性薛定谔方程进行了研究。

首先，用极坐标方式表示拉普拉斯算子，将计算区域分别沿r 和θ方向进行网格划分，运用中心差分的方法进行空间离散，离散格式用Kronecker 积表示，并写成非线性常微分方程组的形式。

然后，应用积分因子方法进行时间离散，在实现过程中采用Kroylov 子空间的方法求解指数矩阵与向量的乘积。

最后，在数值试验中给出爆破解的数值算例，证明了该方法可以有效地捕捉爆破现象。

关键词：二维非线性薛定谔方程；极坐标；中心差分；Kroylov 子空间中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）01-0092-05DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.01.018第17卷第1期2021年1月Vol.17No.1Jan.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）非线性薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，在等离子物理、非线性光学、激光晶体中的自聚焦、晶体中热脉冲的传播以及在极低温度下的Bose -Einstein 凝聚体的动力学等领域内有着重要的应用［1-4］。

近年来，许多学者在求解非线性薛定谔方程时应用了许多数值方法，例如有限差分方法［5］、有限元法［6］、谱方法［7］和紧致积分因子法［8］等等。

但这些方法均在直角坐标系下求解，而在极坐标下求解的非线性薛定谔方程的文章比较少［9］，本文考虑在圆形区域上求解极坐标下的二维非线性薛定谔方程。

考虑计算区域为Ω={}()x ,y :x 2+y 2<1的二维非线性薛定谔方程：iu t +Δu +||u 2u =0（1）式中，u ()x ,y 为复函数；i 2=-1为虚数单位；Δu =u xx +u yy 为拉普拉斯算子。

支持向量分类机原理讲述

支持向量分类机原理讲述

l
j
j 1
s.t. 其中
l
yii 0
i 1
0 i C,i 1, l
(2.3.5)
(xi ) (1, 2[xi ]1, 2[xi ]2, 2[xi ]1[xi ]2,[xi ]12,[xi ]22)T
(xj ) (1, 2[xj ]1, 2[xj ]2, 2[xj ]1[xj ]2,[xj ]12,[xj ]22)T
yii 0,
i 1
对偶问题
i 0,i 1 l
i 为原始问题中与每个约束条件对应的Lagrange乘子。这是
一个不等式约束条件下的二次函数寻优问题，存在唯一解 *
1. 线性可分问题
根据最优解
* (a1* , , al* )T
l
计算 w*
yi i* xi，选择
[x]1
1b w2
D
1 b w2
（w x) b 1 （w x) b 1
[x]2

1-b w2

1 w2
b
2

D2

w1
D
w2
求出两条极端直线的距离：
D
2
2
w12 w22 w
(w x) b 0
2
|| w ||
wb
min
1 || w ||2,
把约束条件放松到 yi w xi b i 1。（即“软化” 约束条件）
1, l T
l
体现了训练集被错分的情况，可采用 i 作
i 1
为一种度量来描述错划程度。
两个目标：1. 间隔
2 w
尽可能大
2.

毕业论文：基于支持向量机(SVM)的蘑菇毒性检测系统(终稿)-精品

毕业论文：基于支持向量机(SVM)的蘑菇毒性检测系统(终稿)-精品

目录摘要........................................................................................................................................ I I 关键词........................................................................................................................................ I I Abstract ...................................................................................................................................... I I Key Words .................................................................................................................................. I I 1引言.. (1)1.1研究意义 (1)1.2国内外研究情况 (1)2支持向量机理论 (3)2.1支持向量机基础理论 (3)2.2C-SVM算法及其变形算法 (7)2.3 V-SVM算法 (9)3 LIBSVM软件 (12)3.1LIBSVM软件简介 (12)3.2LIBSVM软件的使用方法 (12)3.3LIBSVM的工具包 (15)4 Qt图形库 (18)5 系统的设计与实现 (19)5.1分类问题的提出及SVM分类原理 (19)5.2支持向量机与蘑菇毒性分析相结合 (21)5.2.1 蘑菇毒性检测系统总体框架 (21)5.2.2 蘑菇物理属性的数据描述 (21)5.2.3 蘑菇属性数据学习模型的建立 (23)5.2.4 蘑菇毒性预测部分 (26)6 总结 (27)6.1结论 (27)6.2下一步工作 (28)参考文献 (29)致谢 (30)基于支持向量机（SVM）的蘑菇毒性检测系统摘要本文根据模式识别理论，对支持向量机的分类机制，核函数算法和松弛变量的定义进行了研究，采用了LIBSVM工具结合蘑菇毒性样本数据在linux下开发出了蘑菇毒性检测系统，该系统着重分析了样本数据的分割和参数变量的定义对分类精确率的影响。

QP-problems

QP-problems

1.1 Notation
k k will denote the 2-norm of vectors and matrices througout the paper. When other
norms are used, this will be indicated explicitly.
2 The penalty function
Abstract
In this paper we describe numerical tests using the Friedlander-Mart nezSantos-method for solving QP problems. It turns out that the exact penalty function given by these authors introduces some additional illconditioning, disabling accurate solution of mildly illconditioned QP's if not combined with a preconditioner.
1
where f 2 ical testing we use the easier
quadratic form (1). Since f is convex, the Karush-Kuhn-Tucker conditions are necessary and su cient for x being a global minimizer of (2). Friedlander et.al. use the KKT-conditions to construct an exact penalty function which de nes a "primal-dual" box-constrained optimization problem with 2n + m variables. In the third section their Trust-Region-SQP method for solving the penalty problem is described. For testing this combination of penalty-function and Trust-Region-SQP approach a special problem generator is used. Numerical results are presented.

数据挖掘中的经典算法

数据挖掘中的经典算法

大家都知道，数据挖掘中有很多的算法，不同的算法有着不同的优势，它们在数据挖掘领域都产生了极为深远的影响。

那么大家知道不知知道数据挖掘中的经典算法都有哪些呢？在这篇文章中我们就给大家介绍数据挖掘中三个经典的算法，希望这篇文章能够更好的帮助大家。

1.K-Means算法K-means algorithm算法是一个聚类算法，把n的对象根据他们的属性分为k个分割，k大于n。

它与处理混合正态分布的最大期望算法很相似，因为他们都试图找到数据中自然聚类的中心。

它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。

这种算法在数据挖掘中是十分常见的算法。

2.支持向量机而Support vector machines就是支持向量机，简称SV机（论文中一般简称SVM）。

它是一种监督式学习的方法，这种方法广泛的应用于统计分类以及回归分析中。

支持向量机将向量映射到一个更高维的空间里，在这个空间里建立有一个最大间隔超平面。

在分开数据的超平面的两边建有两个互相平行的超平面。

分隔超平面使两个平行超平面的距离最大化。

假定平行超平面间的距离或差距越大，分类器的总误差越小。

这些优点也就成就了这种算法。

3.C4.5算法然后我们给大家说一下C4.5算法，C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法其核心算法是ID3算法. C4.5算法继承了ID3算法的优点，并对ID3算法进行了改进，这种改进具体体现在四个方面，第一就是在树构造过程中进行剪枝，第二就是能够完成对连续属性的离散化处理，第三就是用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足，第四就是能够对不完整数据进行处理。

那么这种算法的优点是什么呢？优点就是产生的分类规则易于理解，准确率较高。

其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。

相信大家看了这篇文章以后对The k-means algorithm算法、Support vector machines、C4.5算法有了比较是深刻的了解，其实这三种算法那都是十分重要的算法，能够帮助数据挖掘解决更多的问题。

基于支持向量机的弗兰克-赫兹实验曲线拟合

本期推荐本栏目责任编辑：王力基于支持向量机的弗兰克-赫兹实验曲线拟合周祉煜1,孟倩2（1.河北师范大学物理学院，河北石家庄050024；2.江苏师范大学计算机科学与技术学院，江苏徐州221116）摘要：弗兰克-赫兹实验是“近代物理实验”中的重要实验之一，数据量大且数据处理复杂。

支持向量机是一种广泛应用于函数逼近、模式识别、回归等领域的机器学习算法。

本文将支持向量机算法应用于弗兰克－赫兹实验数据的拟合，过程简单，在python 环境下验证该方法拟合精度高，效果好。

支持向量机算法还可应用于其他的物理实验曲线拟合。

关键词：支持向量机；曲线拟合；弗兰克-赫兹实验；Python 中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：1009-3044(2021)13-0001-02开放科学（资源服务）标识码（OSID ）：Curve Fitting of Frank Hertz Experiment Based on Support Vector Machine ZHOU Zhi-yu 1,MENG Qian 2(1.Hebei Normal University,College of physics.,Shijiazhuang 050024,China;2.School of Computer Science and technology,Jiang⁃su Normal University,Xuzhou 221116,China)Abstract:Frank-Hertz experiment is a classical experiment in modern physics experiments.It has a large amount of experimental data and a complicated data processing process.Support Vector Machine is a machine learning algorithm which widely used in function approximation,pattern recognition,regression and other fields.In this paper,support vector machine is used to do curve fitting for the experimental data of Frank-Hertz experiment.The process is simple,and the method is verified to have high curve fit⁃ting accuracy and good effect in python environment.SVM can also be applied to curve fitting in other physics experiments.Key words:support vector machine,curve fitting,Frank Hertz experiment ，python 1998年，Vapnik V N.等人[1]提出了一种新型的基于小样本和统计学习理论的机器学习方法-支持向量机(Support Vector Machine,SVM)，该方法可以从有限的训练样本出发寻找“最优函数规律”,使它能够对未知输出作尽可能准确的预测，可应用于函数逼近、模式识别、回归等领域。

什么是格林函数(Green's function)

一般地，点源作用产生的场就是格林函数。

在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。

集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。

在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。

（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。

注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。

1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。

不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。

如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。

郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。

知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。

”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。

利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。

机器学习总结之三-SVM专题二

支持向量机ห้องสมุดไป่ตู้一个强大的工具，但是它的计算和存储会随着训练向量的数目快速上升。
The core of an SVM is a quadratic programming problem (QP), separating support vectors from the rest of the training data.
多功能性：不同的核函数可以得到特定的决策函数。可以提供常见的核，也可以特别定制核；
The disadvantages of support vector machines include:
SVM的缺点有：
If the number of features is much greater than the number of samples, avoid over-fitting in choosing Kernel functions and regularization term is crucial.
SVM并不能直接提供概率估计，计算中要用到一种比较费时的五折交叉验证；
The support vector machines in scikit-learn support both dense (numpy.ndarray and convertible to that by numpy.asarray) and sparse (any scipy.sparse) sample vectors as input.
和其他分类器一样，SVC, NuSVC and LinearSVC接收两个数组作为输入：一个数组X，大小是训练集的m*n，另一个数组是y，类型是字符串或者整数，大小是m；
1.4.2. Regression
回归

纹理物体缺陷的视觉检测算法研究--优秀毕业论文


摘 要
在竞争激烈的工业自动化生产过程中，机器视觉对产品质量的把关起着举足 轻重的作用，机器视觉在缺陷检测技术方面的应用也逐渐普遍起来。与常规的检 测技术相比，自动化的视觉检测系统更加经济、快捷、高效与 安全。纹理物体在 工业生产中广泛存在，像用于半导体装配和封装底板和发光二极管，现代 化电子 系统中的印制电路板，以及纺织行业中的布匹和织物等都可认为是含有纹理特征 的物体。本论文主要致力于纹理物体的缺陷检测技术研究，为纹理物体的自动化 检测提供高效而可靠的检测算法。 纹理是描述图像内容的重要特征，纹理分析也已经被成功的应用与纹理分割 和纹理分类当中。本研究提出了一种基于纹理分析技术和参考比较方式的缺陷检 测算法。这种算法能容忍物体变形引起的图像配准误差，对纹理的影响也具有鲁 棒性。本算法旨在为检测出的缺陷区域提供丰富而重要的物理意义，如缺陷区域 的大小、形状、亮度对比度及空间分布等。同时，在参考图像可行的情况下，本 算法可用于同质纹理物体和非同质纹理物体的检测，对非纹理物体 的检测也可取 得不错的效果。 在整个检测过程中，我们采用了可调控金字塔的纹理分析和重构技术。与传 统的小波纹理分析技术不同，我们在小波域中加入处理物体变形和纹理影响的容 忍度控制算法，来实现容忍物体变形和对纹理影响鲁棒的目的。最后可调控金字 塔的重构保证了缺陷区域物理意义恢复的准确性。实验阶段，我们检测了一系列 具有实际应用价值的图像。实验结果表明 本文提出的纹理物体缺陷检测算法具有 高效性和易于实现性。 关键字: 缺陷检测；纹理；物体变形；可调控金字塔；重构
Keywords: defect detection, texture, object distortion, steerable pyramid, reconstruction
II
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1 IDIAP – Dalle Molle Institute of Perceptual Artificial Intelligence, CP 592, 1920 Martigny, Switzerland 2 Institute of Mineralogy and Petrology, University of Lausanne, BFSH2, 1015 Lausanne, Switzerland
(2) Institute of Mineralogy and Petrology, University of Lausanne, Lausanne, Switzerland
Abstract. The report presents a series of numerical experiments concerning application of Support Vector Machines for the two class spatial data classification. The main attention is paid to the variability of the results by changing hyperparameters: bandwidth of the radial basis function kernel and C parameter. Training error, testing error and number of support vectors are plotted against hyperparameters. Number of support vectors is minimal at the optimal solution. Two real case studies are considered: Cd contamination in the Leman Lake, Briansk region radionuclides soil contamination. Structural analysis (variography) is used for the description of the spatial patterns obtained and to monitor the performance of SVM.
SVM classification of linearly separable data...........................................................................................3 SVM classification of nonseparable data ..................................................................................................5 SVM non-linear classification...................................................................................................................6 4. Description of the software used...............................................................................................................7 5. Case studies...............................................................................................................................................8 Structural analysis. Variography...............................................................................................................9 Leman Lake data .....................................................................................................................................10 Cs137 soil contamination data ................................................................................................................13 5. Results of the experiments ......................................................................................................................16 7. Discussion and Conclusions....................................................................................................................29 8. Acknowledgements .................................................................................................................................30 9. References...............................................................................................................................................30 Nhomakorabea2
IDIAP-RR-99-07
Numerical Experiments with Support Vector Machines
M. Kanevski (1), N. Gilardi (1,2), (1) IDIAP, Case Postale 592, 1920 Martigny, Switzerland. Gilardi@idiap.ch, Kanevski@idiap.ch
1. Introduction...............................................................................................................................................2 2. Objectives of the experiments...................................................................................................................3 3. Support vector machines. basic formulas..................................................................................................3
1. INTRODUCTION
The application of the Support Vector Machines for the environmental and pollution spatial data classification has been considered in our previous papers (Kanevski et al 1999, Gilardi and Kanevski 1999). The simplest case of the SVM, namely two class classification, was used. Original continuous data on sediments contamination by Cadmium in the Leman Lake were transformed to the indicator variable. Indicator transform is a non-linear threshold transformation: all data below threshold obtain label “1”, and above threshold – label “0”. This kind of transformation is widely used in geostatistics while performing so-called probabilistic mapping with indicator kriging (Deutsch and Jurnel 1997, Goovaerts 1997). As a result of indicator kriging map of probabilities to be above predefined level/threshold can be established. Comparison between SVM classification and indicator kriging for the selected threshold was carried out in (Kanevski et al 1999). Of course, threshold transformation is a very “hard” transformation. In order to understand the stability of the results (decision surface), several thresholds near the main one were studied as well. It helped to understand the robustness of the results with small changes.