【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第72讲 直线与圆的位置关系 Word版含解析]

限时集训(七十二) 直线与圆的位置关系(限时：40分钟 满分：50分)1.(满分10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以BC 为直径的圆O交AC 于点D ，连结OD ，并延长交BA 的延长线于点E ，圆O 的切线DF 交EB 于F .(1)证明：AF ＝BF ；(2)若ED ＝8，sin E ＝45，求OC 的长． 2．(满分10分)如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC是圆O 的割线，与圆O 交于B 、C 两点，圆O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明A 、P 、O 、M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小． 3．(满分10分)(2012·宿迁模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)∠AED ＝∠AFD ；(2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .4．(满分10分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .5．(满分10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，过点A的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D .(1)求证：AC 2＝AP ·AD ； (2)如果∠ABC ＝60°，⊙O 的半径为1，且P 为弧»AC 的中点，求AD 的长．答 案限时集训(七十二) 直线与圆的位置关系1．解：(1)证明：连结BD ，则∠BDC ＝90°，由DF 是切线，得FB ＝FD ，∠FDO ＝∠EDF ＝90°，∵∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BCD ＝90°，∠BAD ＋∠BCD ＝90°.∴∠FDA ＝∠BAD .∴FA ＝FD ，∴AF ＝BF .(2)sin E ＝OC OC ＋ED ＝45，OC OC ＋8＝45，OC ＝32. 2．解：(1)证明：连结OP 、OM . 因为AP 与圆O 相切，所以OP ⊥AP .因为M 是圆的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OPA ＋∠OMA ＝180°.由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A 、P 、O 、M 四点共圆．(2)由(1)，得A 、P 、O 、M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OP M .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°.3．证明：(1)连结AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°，又EF ⊥AB ，∠EFA ＝90°，则A 、D 、E 、F 四点共圆．∴∠DEA ＝∠DFA .(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF .连结BC ，显然△ABC ∽△AEF ，∴AB AE ＝AC AF .即AB ·AF ＝AE ·AC .∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2.4．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠AC B ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .5．解：(1)证明：连结BP . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∠ACB ＝∠APB ，∴∠ABC ＝∠APB .∴△ABP ∽△ADB . ∴AB AP ＝ADAB ，即AB 2＝AP ·AD .∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AP ·AD .(2)∵∠ABC ＝60°且AB ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠BAC ＝60°.∵P 为弧AC 的中点． ∴∠ABP ＝∠PAC ＝30°.∴∠BAP ＝90°.∴BP 是⊙O 的直径．∴BP ＝2. ∴AP ＝12BP ＝1.在Rt △PAB 中，AB 2＝BP 2－AP 2＝3， ∴AD ＝AB 2AP ＝3.。

1、[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－83．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π34．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45、[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．496．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－117．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．9、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12 C. [－2，2] D. ⎣⎡⎦⎤－22，2210．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．11．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．1、D 2．B 3．D 4．B 5 C6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7、25 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2555 . 8、439、A10．(x －2)2＋(y －1)2＝411．0或6。

1.如图，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么P等于( B ) A．15° B．20° C．25° D．30° 解析：由已知，COCP，即OCP＝90°. 又COB＝2CAB＝70°，所以P＝90°－COB＝20°. 故选B. 2.已知AB与CD相交于圆内一点P，且APD＝30°，则弧AD与弧BC所成的圆心角的度数和为( C ) A．30° B．45° C．60° D．180° 解析：特殊位置法：点P是圆心即可得正确答案为C. 3.点P为O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PCOP交圆于C，则PC的长为( B ) A．4 B．6 C．8 D．9 解析：如右图． 因为OPPC， 所以P为弦CD的中点， 故PC2＝PA·PB＝9×4， 即PC＝6(负值舍去)． 4.(2012·北京市房山区4月一模)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA＝，PB＝1，则ABC＝(B ) A．70° B．60° C．45° D．30° 解析：由切割线定理得PA2＝PB·PC. 因为PA＝，PB＝1，所以解得PC＝3， 即BC＝2，OA＝1，OP＝2， 因为OAPA，所以P＝30°，AOB＝60°， 因为OA＝OB，所以ABC＝60°，故选B. 5.(2012·北京市西城区第一学期期末)如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若＝，则＝ . 解析：根据切割线定理有 PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)，＝， PB2＋PB·BC－BC2＝0， (2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0， 所以＝－(舍去)，＝. 6.(2012·广东省惠州市第四次调研)如图，已知直角三角形ABC中，ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD＝ . 解析：ADC为直径AC所对的圆周角，则ADC＝90°. 在RtACB中，CDAB. 由等面积法有AB·CD＝CA·CB，故得CD＝. 7.(2013·衡水调研)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB，垂足为D，且AD＝5DB，设COD＝θ，则tanθ的值为 . 解析：设BD＝k(k>0)． 因为AD＝5DB，所以AD＝5k，AO＝OB＝＝3k， 所以OC＝OB＝3k，OD＝2k. 由勾股定理得， CD＝＝＝k， 所以tan θ＝＝＝. 8.如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，OAB＝30°. (1)求APB的大小； (2)当OA＝3时，求AP的长． 解析：(1)因为在ABO中，OA＝OB，OAB＝30°， 所以AOB＝180°－2×30°＝120°. 因为PA，PB是O的切线， 所以OAPA，OBPB， 即OAP＝OBP＝90°， 所以APB＝60°. (2)如图，过点O作ODAB交AB于点D. 因为在OAB中，OA＝OB，所以AD＝AB. 因为在RtAOD中，OA＝3，OAD＝30°， 所以AD＝OA·cos 30°＝，AP＝AB＝3. 9.(2013·吉林省长春市3月第二次调研)如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC. (1)求证：BE＝2AD； (2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长． 解析：(1)证明：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形， 所以BDE＝BCA， 又DBE＝CBA， 所以BDE∽△BCA， 即有＝，而AB＝2AC，所以BE＝2DE， 又CD是ACB的平分线， 所以AD＝DE，从而BE＝2AD. (2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t， 根据割线定理得BD·BA＝BE·BC， 即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)， 所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0， 解得t＝或t＝－2(舍去)，即AD＝.。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系基础回顾一、点与圆的位置关系若圆(x －a)2＋(y －b) 2＝r 2，那么点(x 0，y 0)在圆上⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2；圆外⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＞r 2；圆内⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＜r 2． 二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法： 1．代数法(判别式法)．Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 2．几何法：圆心到直线的距离⎩⎪⎨⎪⎧d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离Ｗ.一般宜用几何法．三、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含 设圆O 1与圆O 2的半径分别为r 1和r 2，于是有 1.||O 1O 2>r 1＋r 2⇔相离． 2.||O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切．3.||r 1－r 2<||O 1O 2<r 1＋r 2⇔相交．4.||O 1O 2＝||r 1－r 2⇔内切．5.||O 1O 2<||r 1－r 2⇔内含． 四、弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2.基础自测Ｋ1．直线y ＝kx ＋2与圆：x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是(B )A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－3，3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由圆心到直线的距离公式可得d ＝|2|1＋k2>1，解得－3<k<3，故选B.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 解析：点(1，2)关于y ＝x 对称的点为(2，1)．3．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为2x －y ＝0．解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1，2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.4．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：()x －12＋()y －12＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为2．解析：如图，过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵C ：()x －12＋()y －12＝2的圆心为C ()1，1，半径为2， 点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴|AD|＝|CD|－|AC|＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.高考方向1.直线与圆的三种位置关系、弦长、最值等是近几年高考命题的热点.2.常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性、平面几何性质结合考查.3.题型主要以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.品味高考1．(2014·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 2．(2014·某某卷)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A(m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值X 围为[2，3]．解析：设Q(6，q)，由AP →＋AQ →＝0得P(2m －6，－q)，又点P 在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2m－6≤0，0≤4－（2m －6）2≤4，解得2≤m≤3.高考测验1．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线l ：2x ＋y ＝0是确定的，圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径．圆的圆心为(1，－2)，半径为3，因为点(1，－2)在直线l ：2x ＋y ＝0上，所以，最大距离为圆的半径3.故选C.2．已知x 、y 满足x 2＋y 2＝4，则z ＝3x －4y ＋5的取值X 围是(A ) A ．[－5，15] B ．[－10，10] C ．[－2，2] D ．[0，3]解析：z ＝3x －4y ＋5 即直线 3x －4y ＋5－z ＝0，由题意可得直线和圆 x 2＋y 2＝4有交点，故有|0－0＋5－z|9＋16≤2，化简可得－10≤z－5≤10，解得－5≤z≤15，故选A.课时作业1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是(C ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：圆心C(0，0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝11＋k 2＜11＜2＝r ，且圆心C(0，0)不在该直线上. 故选C.2．直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为(D ) A.π3B.π6C.π2D.2π3 解析：弦心距为d ＝|0＋0＋2|12＋12＝1，r ＝2， ∴cos θ2＝12，∴θ＝2π3.故选D.3．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为(B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G(1，3)．最长弦AC 为过点E 的直径，则|AC|＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图所示．易知|BG|＝10，|EG|＝（0－1）2＋（1－3）2＝5，|BD|＝2|BE|＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝10 2.故选B.4．(2013·某某四校联考)直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是(C )A ．± 2 B.2－1 C ．22－1 D ．1解析：圆心坐标为(－2，1)，则圆心到直线y ＝x －1的距离d ＝|－2－1－1|2＝22，又圆的半径为1，则圆上的点到直线的最短距离为22－1.5．圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝8116与圆(x －sin θ)2＋(y －1)2＝116(θ为锐角)的位置关系是(D )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：两圆圆心之间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋（1＋1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4，因为θ为锐角，所以0<sin θ<1，12<sin θ＋12<32，174<⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4<254，所以172<d<52，又两圆的半径之和为52，两圆的半径之差的绝对值为2，所以两圆相交． 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值X 围是(D ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1，1＋22] D ．[1－22，3] 解析：曲线方程化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4＜(0≤y≤3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆，利用数形结合， 当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足 圆心(2，3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，∵是下半圆，故可得b ＝1＋22(舍去)，当直线过(0，3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a ＝1．解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－（3）2＝1a，即a ＝1.8．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是x －y ＝0．解析：圆的最长弦为圆的直径，所以直线l 经过圆的圆心(3，3)，因为直线l 过原点，所以其方程为x －y ＝0.9．已知点A(－1，1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆C 的最短路程是9．解析：点A 关于x 轴的对称点为A′(－1，－1)，又圆心坐标为C(5，7)，圆的半径r ＝2，根据几何光学的性质，所求的最短路程为|A ′C|－r ＝（－1－5）2＋（－1－7）2－2＝8.10．已知圆C 1：x 2＋y 2＝2和圆C 2，直线l 与圆C 1相切于点A(1，1)，圆C 2的圆心在射线2x －y ＝0(x≥0)上，圆C 2过原点，且被直线l 截得的弦长为4 3.(1)求直线l 的方程； (2)求圆C 2的方程． 解析：(1)∵AO⊥l，∴k l ＝－1k OA＝－1.又∵切点为A(1，1)∴直线l 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设圆心C 2(a ，2a )(a≥0)，则r ＝5a ，∵C 2到直线l 的距离d ＝|3a －2|2，∴（3a －2）22＋12＝5a 2，化简得a 2＋12a －28＝0，解得a ＝2或a ＝－14(舍去)．∴C 2的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝20.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由两圆外一点P(a ，b)引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，且满足|PA|＝|PB|.(1)某某数a 、b 间满足的关系式； (2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程，若不存在，说明理由．解析：(1)∵|PA|＝|PO|2－1，PB ＝|PC|2－1，∴a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2，∴a ＋2b －5＝0为a ，b 满足的关系式．(2)|PA|2＝|PO|2－1＝(5－2b)2＋b 2－1＝5(b －2)2＋4， ∴当b ＝2时，|PA|min ＝2.(3)假设存在半径为r的圆P，满足题设，则|PO|＝r－1，|PC|＝r＋1，∴|PC|＝|PO|＋2，即（a－2）2＋（b－4）2＝a2＋b2＋2，化简得a2＋b2＝4－(a＋2b)，又∵a＋2b＝5.∴a2＋b2＝－1，不可能，∴不存在这样的圆P.。

2.2.2 直线与圆的位置关系一、基础过关1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是________．2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为________．3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______________．4．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为____________．7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB 满足：以AB为直径的圆经过原点．二、能力提升9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为____________________．12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．三、探究与拓展13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．答案1．相交2．y ＝2x3．(x －2)2＋(y －1)2＝14．2 35．46．(x －3)2＋y 2＝47．解 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |. 由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.8．解 假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m y ＋2＝－x －得AB 的中点N 的坐标N (－m ＋12，m －12)，由于以AB 为直径的圆过原点，所以AN ＝ON .又AN ＝CA 2－CN 2＝9－m ＋22， ON ＝－m ＋122＋m －122. 所以9－＋m 22＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．9.710．311．x 2＋y 2＝412．解 (1)如图，连结PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为(x ，－2－34x )．圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×AP ×AC ＝AP . 因为AP 2＝PC 2－CA 2＝PC 2－1，所以当PC 2最小时，AP 最小．因为PC 2＝(1－x )2＋(1＋2＋34x )2＝(54x ＋1)2＋9. 所以当x ＝－45时，PC 2min ＝9. 所以AP min ＝9－1＝2 2.即四边形PACB 面积的最小值为2 2.(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠APB ＝60°，AC ＝1，所以PC ＝2.设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＋y －2＝4，3x ＋4y ＋8＝0.整理可得25x 2＋40x ＋96＝0， 所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．13．(1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)．又∵M 到圆心C (1,2)的距离为d ＝－2＋－2＝5<5，∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1. ∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，取到的最短弦长为4 5.。

高考数学（理科）一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案学案50 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理 1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ (2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系： d<r⇔________，d＝r⇔________，d>r⇔________. 2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________________________．注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|xA－xB| ＝＋＋－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则|O1O2|>r1＋r2 ________；|O1O2|＝r1＋r2 ______；|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2 ________；|O1O2|＝|r1－r2| ________；0≤|O1O2|<|r1－r2|�鸠�________． (2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y ＋(F1－F2)＝0. 自我检测 1．(2010•江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是( ) A.－34，0 B.－∞，－34∪0，＋∞ C.－33，33 D.－23，0 2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0 C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0 3．(2011•宁夏调研)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为( ) A．2 B．23 C．3 D．25 5．(2011•聊城月考)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离探究点一直线与圆的位置关系例1 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二圆的弦长、中点弦问题例2 (2011•汉沽模拟)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0. (1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点； (2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y ＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时， (1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax －2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．探究点四综合应用例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)若O为坐标原点，且OM→•ON→＝12，求k的值． 1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条． 2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手． (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( ) A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切 2．(2011•珠海模拟)直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x －2＝0相切，则实数m等于( ) A.3或－3 B．－3或33 C．－33或3 D．－33或33 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( ) A.3 B．2 C.6 D．23 4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是( ) A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6] 5．(2010•全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→•PB→的最小值为( ) A．－4＋2 B．－3＋2 C．－4＋22 D．－3＋22二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________. 7．(2011•三明模拟)已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________. 8．(2011•杭州高三调研)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分) 9．(12分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P 的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点． (1)当α＝3π4时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．10．(12分)(2011•湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50 直线、圆的位置关系自主梳理 1．相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0 自我检测 1．A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在． (2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类． (3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则|PM|＝|PC|2－R2. 解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x. ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3. ∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0. 综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0. 即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0. 解方程组2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得点P的坐标为－310，35. 变式迁移1 解设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝|k＋2－2k|k2＋1，∴k＝34，另一条斜率不存在，方程为x＝2. ∴切线方程为x＝2和3x－4y ＋6＝0. 圆心C为(1,1)，∴kPC＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x＋2y－4＝0. 例2 解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r. 方法一代数法：弦长|AB|＝1＋k2|x2－x1| ＝1＋＋－4x1x2；方法二几何法：弦长|AB|＝2r2－d2. (2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．解(1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC，则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由点C到直线AB的距离公式，得|－2k－6＋5|k2＋－＝2，解得k＝34. 当k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0. 方法二当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5. 联立直线与圆的方程y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.① 设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.② 由弦长公式，得1＋k2|x1－x2| ＝＋＋－4x1x2]＝43. 将②式代入，解得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋20＝0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0. ∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即CD→•PD→＝0， (x＋2，y－6)•(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明由kx－y－4k＋3＝0，得(x－4)k－y＋3＝0. ∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)．由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4. ∴直线和圆总有两个不同的交点． (2)解kPC＝3－44－3＝－1. 可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝22. 例3 解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9； C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果C1与C2外切，则有＋＋－2－＝3＋2. (m＋1)2＋(m＋2)2＝25. m2＋3m－10＝0，解得m ＝－5或m＝2. (2)如果C1与C2内含，则有＋＋＋－2. (m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1，∴当m ＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．变式迁移3 解(1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A的直径，将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0.② 设圆B的圆心为(x，y)，∵x＝ay＝b，∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0. (2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2. 由②得b＝－12[(a＋1)2＋4]≤－2，∴b2≥4，b2＋1≥5.当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，∴⊙B 方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 例4 解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1. 于是可知，kAB＝1. 设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，解得－3－32<b<－3＋32. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12b2＋2b－2. 由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0. 即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 变式迁移4 解(1)方法一∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1. 将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.① 由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，得4－73<k<4＋73. 方法二同方法一得直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0. 又圆心到直线距离d＝|2k－3＋1|k2＋1＝|2k－2|k2＋1，∴d＝|2k－2|k2＋1<1，解得4－73<k<4＋73. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得x1＋x2＝4＋4k1＋k2x1x2＝71＋k2，∴OM→•ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝4k＋＋k2＋8＝12⇒k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1. 课后练习区 1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.1 9．解(1)当α＝3π4时，kAB＝－1，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分) 故圆心(0,0)到AB的距离d＝|0＋0－1|2＝22，从而弦长|AB|＝2 8－12＝30.(6分) (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由x21＋y21＝8，x22＋y22＝8，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝12.(10分) ∴直线l的方程为y－2＝12(x＋1)，即x －2y＋5＝0.(12分) 10. 解已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．(4分) 设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则 |5k＋2＋3|12＋k2＝1，(8分) 即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－43，k2＝－34. 则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0. (12分) 11．解两圆的标准方程分别为 (x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m. (1)当两圆外切时，－＋－＝11＋61－m. 解得m＝25＋1011.(4分) (2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m－11＝5. 解得m＝25－1011.(8分) (3)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y ＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.(12分) 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为－|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)。

北京科技大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：直线与圆本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设圆C 的方程为222220x y x y +---=，直线l 的方程为(1)10m x my +--=，圆C 被直线l 截得的弦长等于( ) A ． 4 B ． 22 C ． 2 D ． 与m 有关【答案】A2．若c b a ,,成等比数列，则两条直线0=++c by ax 与0=+cy bx 的位置关系是( )A ． 平行B ． 重合C ． 垂直D ． 相交但不垂直【答案】A3．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=( ) A ．3 B ．2 C ．3 D ．6【答案】A4．若直线5421x y m +=+与直线23x y m +=的交点在第四象限，则m 的取值范围是( )A ．2m <B ．32m >C ．32m <-D ．322m -<< 【答案】D5．已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆2220x x y -+=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(22,22)-B ．(2,2-）C ．22(,)-D ．11(,)88-【答案】C6．方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，则实数k 的取值范围是( )A ．38->k B ．38-<k C ．11<<-k D ．1-<k 或4>k【答案】D 7．已知过点和的直线与直线平行，则的值为( )A ．0 B.-8 C.2D. 10【答案】B8．若直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,则a 值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．0或－1【答案】C9．已知直线y=kx-2k-1与直线x+2y-4=0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是( )A ． 2123<<-kB ．2321-<>k k 或C ． 2321-≤≥k k 或D ． 61->k 【答案】B10．已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆224460x y x y +-++=上任意一点，则点C 到直线AB 距离的最小值是( )A ．2B ．32C ．322D ．42【答案】A11．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为( ) A ．23 B ．43 C ．52D ．556 【答案】D12．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是( )A ． 1(,2)(,)3-∞-+∞U B ． 1(,)(2,)3-∞-+∞U C ． 1(,2)3-D ． 1(2,)3-【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．经过点C(2 ,－3), 且与两点M(1 , 2)和N(－1 ,－5)距离相等的直线方程是____________.【答案】7102y x =-或3342y x =--（72200x y --=或3460x y ++=） 14．已知M (1， 0)、N (－1， 0)，直线2x+y=b 与线段MN 相交，则b 的取值范围是 ． 【答案】[-2,2]15．若直线1:=+by ax l 与圆1:22=+y x C 相切,则=+22b a ____________ 【答案】116．若直线b x y +=和曲线21x y -=恰有一个公共点,则b 的取值范围是 ；【答案】[){}21,1⋃-三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设O 点为坐标原点，曲线222610x y x y ++-+=上有,P Q 两点，满足关于直线04=++my x 对称，又满足OP OQ ⊥ (1）求m 的值(2）求直线PQ 的方程.【答案】（1）曲线方程为9)3()1(22=-++y x ，表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.Q 点,P Q 在圆上且关于直线04=++my x 对称∴圆心（－1，3）在直线上，代入直线方程得m=－1.(2）∵直线PQ 与直线y=x+4垂直， b x y PQ y x Q y x P +-=∴方程设),,(),,(2211将直线b x y +-=代入圆方程. 得.016)4(2222=+-+-+b b x b x232232,0)16(24)4(422+<<->+-⨯⨯--=∆b b b b 得由韦达定理得216),4(22121+-=⋅--=+b b x x b x xb b b x x x x b b y y 4216)(22121221++-=⋅++-=⋅Q OP OQ ⊥ ，12120,x x y y ∴+=即26140b b b -++=，解得1(22,232)b =∈-+ 所以所求直线方程是1y x =-+18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点)0,2(A 和点)1,3(B ，且圆心C 在直线03=--y x 上，过点)1,0(P 且斜率为k 的直线与圆C 相交于不同的两点N M ,. 求圆C 的方程, 同时求出k 的取值范围. 【答案】（1）方法一：AB 的中垂线方程为3+-=x y 联立方程303x y y x --=⎧⎨=-+⎩解得圆心坐标)0,3(()23201r =-+=故圆的方程为1)3(22=+-y x方法2：设圆C 的方程为()()222r b y a x =-+-,依题意得：()()()⎩⎨⎧=-+-=+-=--.132032222r b a b a b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧===103r b a 故圆的方程为1)3(22=+-y x方法一由直线1+=kx y 与圆相交，得圆心C 到直线的距离小于半径∴04311132<<-⇒<++k k k 方法二：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧>∆+-=+⇒=+-++⇒⎩⎨⎧=+-+=012609)62()1(1)3(12212222k k x x x k x k y x kx y 由04306802<<-⇒>--⇒>∆k k k 19．已知ΔABC 的三边方程是AB ：5120x y --=，BC ：340x y ++=CA ：5120x y -+=， (1）求∠A 的大小.(2）求BC 边上的高所在的直线的方程. 【答案】由题意知 15AC k =、5AB k =、13BC k =- (1）由到角公式的tanA =51515151⨯+-=+-ACAB AC AB k k k k ∴12tan5A arc ∠= (2）设BC 边上的高所在的直线的斜率为k ，则∵BC 边上的高所在的直线与直线BC 垂直 ∴113BC k k k ⨯=-=- 即3k =∵ 51205120x y x y --=⎧⎨-+=⎩∴点A 的坐标为(3,3)A代(3,3)A 入点斜式方程得 360x y --=20．直线l 经过点(5,5)P ，且和圆C ：2225x y +=相交，截得弦长为45，求l 的方程．【答案】如图易知直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为5(5)y k x -=-．圆C ：2225x y +=的圆心为（0，0）, 半径r=5，圆心到直线l 的距离2551k d k-=+．在Rt AOC ∆中，222d AC OA +=，222(55)(25)251k k-+=+． 22520k k ⇒-+=，∴ 2k =或12k =．21．已知，过点M(－1,1)的直线l 被圆C ：x 2+ y 2－2x + 2y －14 = 0所截得的弦长为43，求直线l 的方程. 【答案】由圆的方程可求得圆心C 的坐标为(1,－1)，半径为4 ∵直线l 被圆C 所截得的弦长为4 3 ∴圆心C 到直线l 的距离为2(1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =－1，此时C 到l 的距离为2，可求得弦长为43，符合题意。

【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 文一、选择题1．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x ＋y0y ＝a2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交解析：由已知得x20＋y20＜a2，且x20＋y20≠0，又∵圆心到直线的距离d ＝a2x20＋y20＞a ， ∴直线与圆相离．答案：C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：依题意，可设圆心坐标为(a ，a)、半径为r ，其中r ＝a ＞0，因此圆方程是(x －a)2＋(y －a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8，选C.答案：C3．若a 、b 、c 是直角三角形的三边(c 为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长等于( )A ．1B ．2C. 3 D ．2 3答案：B4．若圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上至多有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－∞，2－3]B ．[2＋3，＋∞)C ．(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)D ．[2－3，2＋3]答案： C5．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案：B6．已知圆x2＋y2＋x －6y ＋3＝0上的两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则直线PQ 的方程为( )A ．y ＝－12x ＋32B ．y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54C ．y ＝－12x ＋14D ．y ＝－12x ＋12或y ＝－12x ＋54解析：由P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称知直线kx －y ＋4＝0过已知圆的圆心(－12，3)，则k ＝2，直线PQ 的斜率kPQ ＝－12. 设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋b ，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P 、Q 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋b x2＋y2＋x －6y ＋3＝0的解，消去y 得54x2＋(4－b)x ＋b2－6b ＋3＝0，故x1＋x2＝－－5， ①x1x2＝－6b ＋5， ② 由OP ⊥OQ ⇒x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(－12x1＋b)·(－12x2＋b)＝0， 54x1x2－b 2(x1＋x2)＋b2＝0， 将①，②代入得b ＝32或b ＝54. 所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54.故选B. 答案：B二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a ＜0)，则|a|2＝2，解得a ＝－2， 故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y2＝2.答案：(x ＋2)2＋y2＝28．过原点的直线与圆x2＋y2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．解析：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－22＝0，即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．若⊙O ：x2＋y2＝5与⊙O1：(x －m)2＋y2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．解析：依题意得|OO1|＝5＋20＝5，且△OO1A 是直角三角形，S △OO1A ＝12·|AB|2·|OO1|＝12·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1||OO1|＝2×5×255＝4. 答案：4三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.解析：(1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，2x ＋3y ＋1＝0，得圆心C 的坐标为(4，－3)．又因为圆的半径r ＝|OC|＝5，所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P ，Q 点的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10. ③令x ＝0，由①得y2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F ＝48.⑤解②③⑤组成的方程组，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x －12＝0，或x2＋y2－10x －8y ＋4＝0.11．已知m ∈R ，直线－(m2＋1)y ＝4m 和圆x2＋y2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m2＋1x －4m m2＋1， 直线l 的斜率k ＝m m2＋1， 因为|m|≤12(m2＋1)， 所以|k|＝|m|m2＋1≤12， 当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心为C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离为d ＝21＋k2. 由|k|≤12，得d≥45＞1， 即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 12．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C ：x2＝4y 是否相切？说明理由．解析：方法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m)．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径r ＝|MP|＝－＋－＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －m ，x2＝4y得x2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切；(2)当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切． 方法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧ m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.(2)同方法一．。