弹性力学-02 同济大学工程硕士课件

设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦 为 l2、m2，则
τ xy sin α 2 cos(90 − α 2 ) m2 σ 2 − σ x (或 = ) = tan α 2 = = = σ 2 −σ y τ xy cos α 2 cos α 2 l2
应力主向的计算公式：
（3）σN 的主应力表示
s
= τ yx
的方向是顺时针的，则该 τ
N
为
（3）若AB面为物体的边界S，则 X N = X
l (σ x ) s + m(τ xy ) s = X m(σ y ) s + l (τ xy ) s = Y
YN = Y
（3-6） —— 平面问题的应力边界条件
2. 一点的主应力与应力主向
（1）主应力
若某一斜面上 力
τ xy
B YN
cos( N , x) = l cos( N , y ) = m
dx = ds ⋅ m dy = ds ⋅ l
y
s
N
外法线
由微元体平衡： （注意：此处是力的平衡，而不是应力的平衡！）
∑ X = 0, − σ x dy ×1 − τ yx dx ×1 + X N ds ×1 = 0
− σ x ds ⋅ l × 1 − τ yx ds ⋅ m × 1 + X N ds × 1 = 0 整理得： X N = lσ x + mτ yx （2-a） ∑ Y = 0, − σ y dx ×1 − τ xy dy ×1 + YN ds ×1 = 0 YN = mσ y + lτ xy （2-b） 整理得：
∂σ x ≈σx + dx ∂x ∂τ xy ≈ τ xy + dx ∂x
考虑微元体在x方向的平衡，即 ∑ X = 0 ，得 ∂τ yx ∂σ x dx )dydz − σ x dydz + (τ yx + dy )dxdz − τ yz dxdz (σ x + ∂x ∂y
这因为 σ x、 τ xy、
εy
1 γ zy 2
1 ∂v ∂u ∂v ∂u γ . + 说明： 对于前者， xy = ( + ) ；对于后者 γ xy = 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
⎡εx ⎢ [ε ] = ⎢γ yx ⎢γ zx ⎣
γ xy γ xz ⎤ ⎥ ε y γ yz ⎥ γ zy ε z ⎥ ⎦
或记为
⎡ ⎢ εx ⎢ ⎢1 γ ⎢ 2 yx ⎢ ⎢1γ ⎢ 2 zx ⎣ 1 γ xy 2 1 ⎤ γ xz 2 ⎥ ⎥ 1 ⎥ γ yz ⎥ 2 ⎥ εz ⎥ ⎥ ⎦
[ε ] =
弹性力学
许 强
同济大学土木工程学院
2008-3-28 1
第二章 弹性力学问题的建立
要点 —— 建立弹性力学问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
主 要 内 容
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 §2-10 应力和一点的应力状态 和坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程 静力边界条件 位移分量和应变分量 几何方程 应变协调方程 广义虎克定律 弹性力学的基本方程及三类边值问题 解决问题的两条途径 解的唯一性定律 逆解法和半逆解法 圆柱体的扭转 圣维南原理
2
τ N = ± l 2 − l 4 (σ 2 − σ 1 )
1 ⎛1 2⎞ τ N = ± − ⎜ − l ⎟ (σ 2 − σ 1 ) 4 ⎝2 ⎠
显然，当
2
y
τN
B
σN
s
N
1 2 1 − l = 0 (l = ± ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
τ max σ1 − σ 2 =± τ min 2
1 由 l=± 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
小结： （1）斜面上的应力
X N = lσ x + mτ yx YN = mσ y + lτ xy
（2-a） （2-b）
σ N = l 2σ x + m 2σ y + 2lmτ xy （2-c） τ N = lm(σ y − σ x ) + (l 2 − m 2 )τ xy（2-d）
由
表明：
y
τN
B
σN
s
N
由
σ N = l 2σ x + m 2σ y + 2lmτ xy
τ N = lm(σ y − σ x ) + (l 2 − m 2 )τ xy
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2
= l 2 (σ 1 − σ 2 ) + σ 2
σ1
与 σ2 互相垂直。
τ N = lm(σ 2 − σ 1 )
1 X υ ΔS − σ x ΔSl − τ yx ΔSm − τ zx ΔSn + X ΔS Δh = 0 3
∑
X υ = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Yυ = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ Zυ = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎪ ⎭
τmax、 τmin 的方向与σ1
（ σ2 ）成45°。
§2-3
研究对象：
平衡微分方程
静力边界条件
1）建立平衡微分方程时，在 物体内任取一微元体作为 研究分析对象，其所列方 程适用于体内任意点处力 的平衡。 2）建立静力边界条件时，在 物体的边界上任取一微元 体作为研究分析对象，其 所列方程适用于边界上任 意点处力的平衡。
τ xy
y B
τN
YN
σN
s
N
求解得：
τ yx m = l σ −σ y
X N = lσ x + mτ yx YN = mσ y + lτ xy
σ N = lX N + mYN τ N = lYN − mX N
（2-e）
2 σ 2 − (σ x + σ y )σ + (σ xσ y − τ xy ) = 0
σ1 σ x + σ y ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 ⎟ + τ xy = ± ⎜ ⎜ 2 ⎟ σ2 2 ⎝ ⎠
2
—— 平面应力状态主应力的计算公式
由式（2-e）易得：
I = σ1 + σ 2 = σ x + σ y
（2）应力主向
主应力 主应力
—— 平面应力状态应力第一不变量
σ 所在的平面 —— 称为主平面； σ 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
σ1 σ x + σ y ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 ⎟ + τ xy = ± ⎜ ⎜ 2 ⎟ σ2 2 ⎝ ⎠
2
（2-e）
σ 1 −σ x tan α1 = τ xy τ xy tan α 2 = σ 2 −σ y
（2-f） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
τ max σ1 − σ 2 =± τ min 2
τ yx m = l σ −σ y
m σ −σ x = l τ yx
设σ1 与 x 轴的夹角为α1， σ1与坐标轴正 向的方向余弦为 l1、m1，则
τ xy sin α1 cos(90 − α1 ) m1 = σ 1 − σ x (或 = ) tan α1 = = = τ xy σ1 − σ y cos α1 cos α1 l1
σ1
结论
任一点P，一定存在两 互相 垂直的主应力σ1 、 σ2 。
与 σ2 分别为最大和最小正应力。
（4）最大、最小剪应力 τ N = lm(σ 2 − σ 1 ) 由 m = ± 1− l2 l 2 + m2 = 1
O P
σ2 σ1
dx dy ds A
x
τ N = ±l 1 − l (σ 2 − σ 1 )
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2 = l 2 (σ 1 − σ 2 ) + σ 2
τ N = lm(σ 2 − σ 1 )
l (σ x ) s + m(τ xy ) s = X m(σ y ) s + l (τ xy ) s = Y
（3-6）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
（2-4）
平面问题一点斜面上的应力，一点的主应力与应力主向 1. 斜面上的应力
（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN
O P
σy τ yx
dx dy ds A XN
x
设P点的应力分量已知：σ x , σ y , τ xy = τ yx σ x 斜面AB上的应力矢量: s（斜面上的全应力）
斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
X N = lσ x + mτ yx YN = mσ y + lτ xy
（2-a） （2-b）
O
σy τ yx
σx
P dx dy ds A XN
x
（2）斜面上的正应力与剪应力 σ N = lX N + mYN τ N = lYN − mX N 将式（2-a）（2-b）代入，并整理得：
τ xy
y B
τN
σN
σ N = l σ x + m σ y + 2lmτ xy
2 2
（1）运用了剪应力互等定理：τ xy 说明： （2） τ N 的正负号规定：
将 N 转动90°而到达 τ 正；反之为负。
N
τ N = lm(σ y − σ x ) + (l 2 − m 2 )τ xy