同济大学材料力学 7 梁变形共28页文档

材料力学
出版社 理工分社
第7章 弯曲变形
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
7.1概述 梁在载荷作用下，产生应力的同时也会发生变形。在许多工程问题中，梁不 仅要满足强度条件，同时还必须满足刚度条件，即梁的变形必须控制在工程 规定的许可范围之内，否则会影响正常工作。 例如，图7.1所示的齿轮轴，若弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的 配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低寿命，还会影响加工精度。再比如， 桥式起重机大梁在起吊重物时，若变形过大，将使梁上小车行走困难，出现 爬坡现象，还会引起较严重的振动；管道变形过大，将影响管道内物料的正 常输送，出现积液、沉淀和法兰连接不密等现象；楼板梁变形过大，将使下 面的抹灰层开裂、脱落。因此，若变形超过允许范围，即使仍然是弹性的， 也被认为是一种失效。
挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量，二者都是梁截面位置x的函数。 在如图7.4所示的坐标系中，向上的挠度和逆时针的转角为正。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为公式(7.1)，即
横力弯曲时，梁截面上既有弯矩也有剪力。虽然式(a)只揭示了弯矩对弯曲 变形的影响，但对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 忽略，所以式(a)也可作为横力弯曲变形的基本方程，此时1/ρ 为x的函数， 即
(6)求指定截面挠度和转角 自由端处，x=l，代入以上两式即得自由端B处的转角与挠度，分别为
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例7.2简支梁在左端支座处承受集中力偶作用，如图7.9所示。求梁的转角方
程和挠度方程，并确定
和
图7.9
页 退出
材料力学
解(1)计算简支梁的支反力，写出弯矩方程为 (2)建立挠曲线近似微分方程并积分 利用式(7.5)建立挠曲线近似微分方程，积分两次后得

M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个

B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值

5ql 故有 yC = − (↓) 384 EI
4
ql θA = − (顺时针转动) 24
第八章 梁的变形
1 1 1 3 2 θ= ( qlx − qx ) + C EI 4 6 1 1 1 4 3 y= ( qlx − qx ) + Cx + D EI 12 24 边界条件： 边界条件： x = 0 时，y0 = 0 ； x = l 时，yl = 0 3 3 1 1 2 1 3 ql ql θ = ( qlx − qx − ) C=− EI 4 6 24 24EI 3 1 1 1 4 ql 3 D=0 y = ( qlx − qx − x) EI 12 24 24
第八章 梁的变形第二节 梁变形的基本方程来自一、挠曲轴线近似微分方程
M ( x) 1 = 梁任一截面的曲率 ρ ( x) EI y′′ 1 =± 曲线 y = f (x) 的曲率 ρ ( x) ′2 )3 / 2 (1 + y 二阶小量 y ′′ M ( x) =± 2 3/ 2 EI (1 + y ′ )
dy θ ≈ tan θ = y′ = dx
第八章 梁的变形
dy θ ≈ tan θ = y′ = dx
由此可知， 由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y = f (x) ， 就可求出挠度和转角。 就可求出挠度和转角。 挠度和转角的正负号的 挠度和转角的正负号的规定 挠度： 轴正方向同向为 挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 轴正方向同向为正 反之为 转角： 逆时针方向转动为正 反之为 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。 方向转动为
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y′′ = ± EI
第八章 梁的变形 挠曲轴线 近似微分方程

截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
Mmax
FL 4
16kNm
ym a x205 0 09.4 615.63mm
ym ax96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mym ax IZ
24.09MPa
max
Mym ax IZ
15.12MPa
15
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁 上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗 弯强度［σ］=215MPa。
q30kNm
A
B
WZ
M max
61.2cm3
0.5m
FA46.9kN
31.9
2m FB28.1kN
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
15
kN
28.1
13.16
kNm
16
3.75
例题
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］ =50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强
材料力学
讲授:顾志荣
1
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
总体概述
点击此处输入 相关文本内容
点击此处输入 相关文本内容
2
材料力学
第七章 弯曲应力
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
3
第七章 弯曲应力
一 基本概念与假设 二 梁的正应力强度计算 三 梁的剪应力强度计算 四 梁的合理设计

一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件

A a EI F=qa D a B a
3 3 3
B B×a Cq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图 a 和 b 所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
3
（向下）
2 3 qa 2a qa B B1 B 2
16EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa4 wCq 8 EI
Cq
qa3 6 EI
F qa FB FB 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
q F/ 2
B

+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa BFB 2 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq B a
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C （顺时针） 6 EI 12EI 4 EI
C1 2l B1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI

EIy ( x )
( M ( x)dx)dx C x C
1
2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF A
C
B
D
P
边界条件： y A 0 连续条件：y C 左 =
第七章 弯曲变形 y
C右
yB 0
yD 0 D 0
C左 C右
（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
第七章 弯曲变形
4
3
A
练习题
第七章 弯曲变形
§7 —5 梁的刚度校核
一、梁的刚度条件
ymax y ymax ymax L L
max
其中[]称为许用转角；[δ /L]称为许用挠跨比。
二、刚度计算 、校核刚度： 、设计截面尺寸； 、确定外载荷。
一、前提条件：弹性、小变形。
二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于
各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B ( F1 , F2 , , Fn ) B1 ( F1 ) B 2 ( F2 ) Bn ( Fn )
第七章 弯曲变形
1 1 2 C1 FL ; C2 FL3 2 6
d)
确定挠曲线、转角方程
F 2 y x 2 Lx 2 EI
e) 自由端的挠度及转角


y
FL3 y ( L) 3EI
第七章 弯曲变形
FL2 ( L) 2 EI
x
F y ( x) 3Lx 2 x 3 6 EI
y Ba qa4 ; 8 EI

积分一次：
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处 位移为已知的条件。
第三节 用积分法求弯曲变形
例题1：求该悬臂梁的最大挠度和转角
y
d 2wy 0,M 0
dx 2
d 2 wy M dx 2 EI
d 2wy 0,M 0
dx 2
y
d 2 wy M dx 2 EI
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
挠曲线近似微分方程
M x：梁的弯曲方程
d 2 y f (x) M (x) 挠曲线近似微分方程
d2x
EIZ
* 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个
A 0 0
D1
D2
0 Pl
2
C1 C2 16
1
1 EIZ
( Pl2 16
Px2 4
)
2
1 EIZ
[
P 2
(x
l )2 2
1 4
Px2
Pl 2 16
]
1 Pl2x Px3
y1 EIZ ( 16
) 12
y2
1 EIZ
[
P 6
(x
l )3 2
1 12
Px3
Pl 2 x ] 16
x 0，x l，max
、ymax
Pl3 3EIZ
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
解：
建立坐标、 写弯矩方程
B
L
ym a x

积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6