专题训练二二次函数图象与a,b,c,bac等符号问题

二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．A．1B．2C．3D．42如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2aA．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x2A．1B．2C．3D．42其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④2A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜32图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．A．1个B．2个C．3个D．4个2点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个2标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、413、已知二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论：①c=2；②b 2－4ac<0；③当x=1时，y 的最小值为a+b+c 中，正确的有14、已知二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0) 的图像如图所示，（1）给出三个结论：①b2-4ac>0；②c>0；③b>0，其中正确结论的序号是：（2）给出三个结论：①9a+3b+c<0；②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是：15、函数y=x2 +bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x＜3 时，x2 +（b﹣1）x+c＜0；④2322=+cb. 其中正确的有16、已知二次函数y=ax2 +bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b 2．其中正确的是______________一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ），2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）＜＞﹣3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）﹣，∴＜4．（2014•襄城区模拟）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）=8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4． 其中正确的是（ ）=，然后根据④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c ，利用c 的取②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a ＜0． ∵对称轴x==1，a=∴﹣1≤≤，即﹣1≤a ≤．a==1∴b=﹣2a=，n=a+b+c=≤，9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ）即：﹣。

二次函数专题训练1——图像特征与a、b、c、△符号的关系（1）1、已知二次函数y =ax2+ bx + c，如图所示，若a0 ，c0 ，那么它的图象大致是（）C．第三象限D．第四象限3、已知二次函数y = ax + bx+ c的图象如下，则下列结论正确的是（）Aab< 0 B bc< 0Ca+ b+ c> 0 D a- b+ c< 0 4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；^ ③b2-4ac>0，其中正确的个数是（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个c5、二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图1，则点M（b，a）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D．第四象限6、二次函数y = ax + bx + c的图象如图所示，则（）A、a0，b 2-4ac0 B、a0，b2-4ac0C、a0，b2-4ac0 D、a 0，b2-4ac02、已知二次函数y = ax +bx + cA．第一象限B．第二象限7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax2+bx+1 的图象大致为（）9、二次函数y = ax +bx+c（a 0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2-4ac 0 B．a 0-b 012、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2>4ac；② 2a＋b=0；③ a－b＋c=0；④5a<b．其中正确结论是（）．A ②④B ①④C ②③D ①③28、已知函数y = ax正确的是（A．a>0，c>0C．a<0，c>0C．c0D．2aA. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个13、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>^ 0，^ ③4a+2b+c>0，④（a+c）2<b2．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个14、如图，抛物线y =ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x =1，且经过点P（3，0），则a -b+c的值为（）A. 0B. －1C. 1D. 219、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，^ 则下列结论：①a、b 同号；②当x=1 和x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是( )))23、函数y=ax+b 与y=ax2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( )A. ab>0,c>0B. ab<0,c>0A．B．C．D．二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系（2）5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+ m 和y = -mx 2 +2x +2（m 是常数，且m 0） 的图象可．能．是（ ） ）1、 ，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）2、已知函数 y=ax 2+ax 与函数 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．a6、次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a与正比例函数y＝（b＋c）x9、如图为二次函数y=ax2＋b x＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2＋b x＋c=0 的根是x1= －1, x2= 3③a＋b＋c>0 ④当x>1 时，y 随x 的增大而增大。

第５题 二次函数：根据图像判断a 、b 、c 符号及值的专题1、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴．(以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第(2)问计分)第(1)问：给出四个结论：① 0a >；② 0b >；③ 0c >；④ 0a b c ++=．其中正确结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）．第(2)问：给出四个结论：① 0abc <；② 20a b +>；③ 1a c +=；④1a >．其中正确结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）．（浙江省2006）2、二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中①a ＜0 b ＞0 c ＞0； ②4a+2b+c=3； ③ ； ④b2-4ac ＞0；⑤当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．正确的个数是 个3、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是 。

①abc>0，②a+b+c=2，③a>21，④b<1４、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4５、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）．A 、13-B 、12- C 、－1 D 、－2 (第1题) 第（４）题二次函数：根据图像判断a、b、c符号参考答案：1、第(1)问答对得3分，少选、错选均不得分，答案是：①，④；第(2)问答对得5分，少选、错选均不得分，答案是：②，③，④2、解：①根据二次函数开口向下，∴a＜0，对称轴为- ＞0，∴b＞0，二次函数交于y轴正半轴，∴c＞0，故正确；②令x=2，由图象知：y=4a+2b+c=3，故正确；③对称轴为- ，由图象知：- ＜2，故错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即可得△＞0，∴b2-4ac＞0，故正确；⑤由图象可知当x＜2时，y随x的增大先增大后减小，故错误；故正确的个数为：3个，3、①abc>0不正确，图像开口朝上则a>0,对称轴x=-b/2a在y轴左侧，则-b/2a<0，则b>0，图像与y轴交点为负，则c<0,那么abc<0。

专题01 二次函数图象与系数a 、b 、c 相关结论的判断问题一、单选题1．（2021·山东烟台招远市中考一模）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【分析】 从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可．【详解】∵从图象上看出,直线x =1与抛物线的交点位于第四象限，∴0a b c ++<，故①正确；∵从图象上看出,直线x = -1时，函数有最大值，y =a -b +c ，当x =0时，函数值为y =c =1，∴1a b c -+>，故②正确；∵-12b a=-＜0， ∴ab ＞0，∵c =1,∴0abc >，故③正确；∵0a b c ++<，b =2a ，∴30a c +<，故④正确；∵1a b c -+>，b =2a ，∴1c a ->，故⑤正确．故选D ．2．（2021·四川广安市中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -≥+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-， ∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．3．（2021·广东肇庆市九年级月考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<．其中结论正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】 观察抛物线与x 轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y 轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x =1，即可对③作出判断；观察图象当x =-2时，y >0，从而可对④作出判断；观察图象当x =3时，y <0，从而可对⑤作出判断．【详解】抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，即24b ac >，故①正确；抛物线开口向上，0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧，0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故②正确；12b a-=， 20a b ∴+=，故③错误；2x =-时，0y >，420a b c ∴-+>，即80a c +>，故④错误；根据抛物线的对称性可知，当3x =时，0y <，930a b c ∴++<，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a 的符号、看对称轴的位置可确定b 的符号、看抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，看抛物线与x 轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定2ax bx c ++的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．4．（2021·黑龙江牡丹江市中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c >0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12b a-=， ∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0， ∴ab c>0；故①正确； ∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a∴c =32b ， ∴-3＜32b ＜-2， ∴﹣2＜b 43<-，故②错误； ∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．5．（2021·湖北荆门中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】 解：抛物线开口向下0a ∴<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=⎧⎨++=⎩2am bm a b ∴+=+20am bm a b ∴+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-0am a b ∴++=,(1)am c a m b ∴=+=-0c ∴>110m ∴-<+<10m +<11022m +∴-<< 1022b a∴-<-< 10b a∴>> 0a b ∴<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am ∆=+--222(1)44a m a m a =+-+2244a b b a a a--=-⋅+ 22444b a ab a =+++24()4b a a b a =+++2440b ac a =-+>244ac b a ∴-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．6．（2021·四川达州市中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负 ②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系 ③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图象开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图象与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <00abc ∴>故①正确； ②122b x a =-=得=-a b 0a b ∴+=故②错误；③2y ax bx c =++经过()2,0420a b c ∴++=又由①得c <04230a b c ∴++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等∴ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b =-20a c ∴+=即12c a=- ∴ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确； ⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++ 0a > ∴ 函数有最小值1142a b c ++∴ 21142am bm c a b c ++≥++ 化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．7．（2021·广西福绵九年级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，给出下列结论：①0abc >；②当2x >时，0y >；③80a c +>；④30a b +<，其中正确的结论有( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】该函数开口方向向上，则a ＞0，由对称轴可知，b ＝−2a ＜0，与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，再根据一些特殊点，比如x ＝1，x ＝−1，顶点等进行判断即可．【详解】 解：函数开口方向向上，0a ∴>，对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20b a ∴=-<， 抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确，由图象可知，当0x =时，0y c =<，由函数的对称性可知，2x =时，0y c =<，且当1x >时，y 随x 的增大而增大，故②错误，当2x =-时，420y a b c =-+>，即80a c +>，故③正确，320a b a b a a +=++=>，故④错误，综上，正确的是①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键．8．（2021·山东日照中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 ①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】 解：①抛物线图象开口向上，0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧，a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<，0abc ∴<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中a ，b ，c 与函数图象的关系．9．（2021·山东枣庄中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ≠）．正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】 先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】 解：抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c ∴<>， 抛物线的对称轴为122b x a =-=， 0b a ∴=->， 0abc ∴<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将=-a b 代入得：20b c -+=，则结论②正确； 抛物线的对称轴为12x =， 32x ∴=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ， 又当12x ≥时，y 随x 的增大而减小，且3522<， 12y y ∴>，则结论④错误； 由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+， 12m ≠， 214b c am bm c +>++∴， 即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．10．（2021·山东日照九年级月考）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =；⑤若(),m n m n <为方程()()3230a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由函数图象可得，0a <，0b <，0c >， 则0abc >，故①正确；122b a -=-，得a b =， 3x =-时，930y a bc =-+=，60a c ∴+=，6c a ∴=-，33630a c a a a ∴+=-=->，故②正确； 由图象可知，当12x <-时，y 随x 的增大而增大，当102x -<<时，y 随x 的增大而减小，故③错误；抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线12x =-，∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)， 20ax bx c ∴++=的两个根为13x =-，22x =， 211()0a b c x x ∴+⋅+=的两个根为13x =-，22x =，∴一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =，故④正确；该函数与x 轴的两个交点为(3,0)-，(2,0)，∴该函数的解析式可以为(3)(2)y a x x =+-，当3y =-时，3(3)(2)a x x -=+-∴当3y =-对应的x 的值一个小于3-，一个大于2，∴若m ，()n m n <为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，故⑤错误； 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．（2021·四川省宜宾市中考一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，下列结论：①40a b +=；93a c b +>；③8720a b c ++>；④若点()13,A y -、点21,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、点37,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该函数图象上，则132y y y <<；⑤若方程(1)(53a x x +-=-)的两根为1x 和2x ，且12x x <，则1215x x <-<<；⑥44a b b a+=-， 其中正确的结论有（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【分析】利用对称轴方程得到−2b a＝2，则b ＝−4a ，于是可对①进行判断；利用x ＝−3时，y ＜0可对②进行判断；利用图象过点（−1，0）得到a −b ＋c ＝0，把b ＝−4a 代入得到c ＝−5a ，则8a ＋7b ＋2c ＝−30a ，然后利用a ＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A 、B 、C 点到对称轴的距离的大小得到y 1＜y 2＜y 3．则可对④进行判断．根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），所以方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断； 根据b ＝−4a ，可对⑥进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝−2b a＝2， ∴b ＝−4a ，即4a ＋b ＝0，所以①正确；∵x ＝−3时，y ＜0，∴9a −3b ＋c ＜0，即9a ＋c ＜3b ，所以②错误；∵抛物线经过点（−1，0），∴a −b ＋c ＝0，而b ＝−4a ，∴a ＋4a ＋c ＝0，则c ＝−5a ，∴8a ＋7b ＋2c ＝8a −28a −10a ＝−30a ，∵a ＜0，∴8a ＋7b ＋2c ＞0，所以③正确；∵点A （−3，y 1）到直线x ＝2的距离最大、点C （72，y 3）到直线x ＝2的距离最小，抛物线开口向下，∴y 1＜y 2＜y 3．所以④错误．∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（−1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），∴抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），∴方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，∴x 1＜−1＜5＜x 2；所以⑤正确；∵b ＝−4a ， ∴()()4145a b b a +=-+-=-，故⑥错误； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考真题）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图象可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a -=-， 根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图象可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．二、填空题13．（2021·北京师大附中九年级月考）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④16a +4b +c ＞0．其中正确结论的个数是：___．【答案】3【分析】根据二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应代数值的符号即可．【详解】解：图象开口方向向上，所以0a >， 对称轴为12b a-=，20b a =-< 图象与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <∴0abc >，①错误；由图象可得，当1x =-时，0y <，即0a b c -+<，∴30a c +<，②正确；图象与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，③正确；由图象可知，当2x =-时，0y >，又因为(2,)y -关于1x =对称的点为(4,)y∴当4x =时，0y >，即1640a b c ++>，④正确所以正确的个数为3故答案为3【点睛】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象确定出对应代数值的符号．14．（2021·湖北新洲九年级月考）抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列判断中：①0abc >；②20a b -=；③240b ac ->；④420a b c ++>；其中判断正确的选项是____________．【答案】②③④【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b ＝2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x 轴交点个数可对③进行判断； 利用当x =2时，y ＞0，可对④判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝−1， ∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b ＝2a ，∴20a b -=，所以②正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴Δ＝240b ac ->，所以③正确；∵当x =2时，y ＞0，∴420a b c ++>，所以④正确．故答案是：②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分；图象过点(3,0)A -，对称轴为1x =-，给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <．其中正确的是__________．（填序号）【答案】①④【分析】①由图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可以推出b 2﹣4ac ＞0，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知a ＜0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得到c ＞0，由对称轴为x ＝2b a -＝﹣1，可对②进行分析判断；③由x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，可对③进行分析判断；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，即可对④进行判断．【详解】①∵图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， 又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∵对称轴为x ＝2b a-＝﹣1， ∴2a ＝b ，∴2a +b ＝4a ，a ≠0，故②错误；③∵x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，故③错误；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，要注意数形结合思想的运用．16．（2021·贵州黔东南中考真题）如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ≠的函数图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中 －1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点坐标以及过特殊点时系数a 、b 、c 满足的关系等知识进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，因此b ＞0，与y 轴的交点在正半轴，c ＞0，所以abc ＜0，故①错误；对称轴在0～1之间，于是有0＜-2b a＜1，又a ＜0，所以2a +b ＜0，故②正确； 当x =-2时，y =4a -b +c ＜0，故③错误；当x =m （1＜m ＜2）时，y =am 2+bm +c ＜2，所以am 2+bm ＜2-c ，故④正确；当x =-1时，y =a -b +c ＜0，当x =1时，y =a +b +c =2，所以-2b ＜-2，即b ＞1，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a 、b 、c 满足的关系是正确判断的前提．17．（2021·山东泰安中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣，根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点，∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．18．（2021·山东济宁中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x =，下面结论：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④方程()20y ax bx c a =++≠必有一个根大于1-且小于0．其中正确的是____（只填序号）．【答案】①②④．【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．【详解】解：由图象可得，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；∵-2b a=1， ∴b =-2a ，∴2a +b =0，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x =1， ∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；∴当x =-1时，y =a -b +c ＜0，∴y =a +2a +c ＜0，∴3a +c ＜0，故③错误；故答案为：①②④．19．（2021·湖北武汉市九年级月考）如图，二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于两点()1,0x ，()2,0，其中101x <<，下列四个结论①0abc <；②20a c -<；③240a b c ++>；④44a b b a+<-，正确的序号是__________．【答案】①④【分析】根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y 轴的交点可判断①正确；根据图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0）和对称轴的位置可判断②错误；当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ，结合对称轴可判断③错误；根据对称轴12b a-＞；可得2a +b ＜0，变形可判断④正确； 【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1， ∴2021222b a ++-＜＜，∴1322b a -＜＜， 当322b a -＜时，b ＞﹣3a ， ∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0，∴b ＝﹣2a 12-c ， ∴﹣2a 12-c ＞﹣3a ， ∴2a ﹣c ＞0，故②错误；③当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ， 给14a 12+b +c 乘以4，即可化为a +2b +4c ， ∵抛物线的对称轴在1322b a -＜＜， ∴x 12=关于对称轴对称点的横坐标在32和52之间， 由图象可知在32和2之间y 为负值，2和52之间y 为正值， ∴a +2b +4c 与0的关系不能确定，故③错误； ④∵12b a-＞， ∴2a +b ＜0，∴（2a +b ）2＞0，4a 2+b 2+4ab ＞0，4a 2+b 2＞﹣4ab ，∵a ＞0，b ＜0，∴ab ＜0， ∴2244a b ab+-＜， 即44a b b a+-＜， 故④正确．故答案：①④．20．（2021·湖北武汉市九年级月考）抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，下列四个结论：①0abc >；②20a c -<；③()()30a b a b -->；④若m ，n （m n <）为关于x 的方程()()1210a x x x +-+=的两个根，则32m n -<+<-．其中正确的结论是______（填写序号）．【答案】②④【分析】由题意可知，a ＜0，c ＜0，由对称轴可知得出b ＜0，故判断①；由当x ＝−2时，y ＝0和当x ＝−1时，y ＞0可以判断②；由当x ＝−1时，a −b ＋c ＞0和322b a --＞，可以判断③；y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a （x ＋2）（x −x 1）向上平移1个单位得到，对称轴不变，可以判断④．【详解】解：∵抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，∴抛物线的大致形状为∴a ＜0，对称轴2b a-＜0， ∴b ＜0， ∴0abc ＜，故①错误；∵当2x =-时，0y =，即420a b c -+=①，当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞②，由①得：24b a c =+，把24b a c =+代入②×2得：2(4)+20a a c c -+＞，整理得：2a c -＜0，故②正确；当1x =-时，+a b c -＞0，∴0a b c --＞＞， 又∵322b a --＞， ∴30＜-a b ，∴()(3)0a b a b --＜，故③错误；∵1(2)()10a x x x +-+=，即y '为21(2)()y ax bx c a a x x =++=+-向上平移1个单位得到，∴12,m n x -＜＞， ∴3122m n +--＜＜， ∴32m n -+-＜＜，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；△决定抛物线与x 轴交点个数：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．。

1、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1、0＜x2＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0，②2a-b＜0，③a＜-1，④b2+8a＞4ac中，正确的结论是①②③④考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：首先根据抛物线的开口方向可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，-2＜x1＜-1、0＜x2＜1说明抛物线的对称轴在-1～0之间，即x=- ＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．解答：解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=- ＞-1，且c＞0；①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；②已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．点评：此题主要考查的是二次函数系数与图象的关系，难度适中．补充对结论③的解答：a关系的是开口，那就取不可能取到的值。

令x1=-2；x2=1，列出两点式y=a（x-x1）（x-x2），代入点（-1，2），求得a= -1.因-1开口最大而取不到，绝对值越大开口越小，所以取小于-1.2、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有①②③④（填上正确结论的序号）．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向向上得到a＞0，由对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=1，得2a+b=0，从而确定b＜0，由此确定①正确；由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴得到c＜0，进一步得到2a+b-c=-c＞0，由此判定③正确；由于当x=1时，y=a+b+c＜0，当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，由此即可推出3b＜2c，由此判定④正确；根据题意得到a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，即（a+b+c）（a-b+c）＜0，可推出②错误．解答：解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=1，得2a+b=0，2a=-b，∴a、b异号，即b＜0，∴①正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴2a+b-c=-c＞0，∴③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，∴3b＜2c，∴④正确；∵a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）2-b2＜0，②错误．正确答案：①③④．故填答案：①③④．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=$-\frac{b}{2a}$判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2-4ac＞0；②1个交点，b2-4ac=0；③没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号；（6）由对称轴公式x=$-\frac{b}{2a}$，可确定2a+b的符号．1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、44、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小5、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、46、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个7、（2011•昆明）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A、b2-4ac＜0B、abc＜0C、-b2a＜-1D、a-b+c＜08、（2011•鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac ＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个9、（2011•广西）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④10、（2011•防城港）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限11、（2010•昭通）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞012、（2010•梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=513、（2010•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞014、（2010•铁岭）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A、abc＞0B、b＞a+cC、2a-b=0D、b2-4ac＜015、（2010•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、416、（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A、②③B、②④C、①③D、①④17、（2010•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=318、（2010•荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根19、（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个20、（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＞0B、c＜0C、b2-4ac＜0D、a+b+c＞021、（2010•鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（）个．A、1B、2C、3D、422、（2010•百色）二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y≤0时，x＜0或x＞4；③函数解析式为y=-x（x-4）；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、①③。

二次函数专题图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1、已知二次函数y=ax 2十bx+c ，如图所示，若a<0 , CA 0,那么它的图象大A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3、已知二次函数y = ax 2+ bx+ c 的图象如下, 则下列结论正确的是 （ ）A ab< 0B bc< 0C a+ b+ c> 0D a- b+ c< 0 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a^0）的图象如图所示，则下歹U 结论:①a>0;②c>0; ?@b 2-4ac>0,其中正确的个数是（）A . 0个B . 1个 C. 2个 D . 3个c5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1,则点M （b, a ）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、二次函数y =ax2*bx +c的图象如图所示，则（）A 、a>0 , b 2- 4ac<0B 、a 》0 , b 2- 4ac 》0C 、a <0 , b -4ac<0D 、a<0 , b -4ac 》07、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么 致为（）y=ax 2+bx+1的图象大致是（2、已知二次函数y =ax 2+成+c 的图象如图所示，则点(ac,bc)在C. a<0, c>0D. a> 0, c< 09、二次函数y =ax 2+bx +c （a#0）的图象如图所示,10、二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是)(1) abcv 0; (2) a+ b+ cv 0; A. 1B 2C .3D. 411、已知二次函数y = ax +bx+«g 。

）的图象如图所示，有下列5 个结论：①碗>0；②b<a+c 海 如+23+t >0；④2t <3b - ⑤a.+b>就颂+b ）,（牌*1的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个12、如图是二次函数 y= ax 2+ bx+ c 图象的一部分，图象过点A （— 3, 0）, 对称轴为x=— 1.给出四个结论： ①b2 >4ac;②2a + b=0 ;③a- b+ c=0;④5a v b.其中正确结论是（）.13、二次函数 y=ax 2+bx+c （a 乒0）的图象如图所示，下列结论：①c<0,②b>?0, ?③4a+2b+c>0,④（a+c ） 2<b 2.其中正确的有 （8、已知函数y = ax+ bx +c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ A. a>0, c> 0 B. av 0, cv 0则下歹0说法不正确的是（）C. CA °D.b2a:::0A ②④B ①④C ②③D ①③(3) a+ c>b; (4) av — 2 .A . 1个B . 2个 C. 3个 D . 4个214、如图，抛物线y = ax +bx 十c （a 》0）的对称轴是直线 x = 1，且经过点P （3, 0），则a-b+c 的值为 （ ）④当y=-2时，x 的值只能取0,其中正确的个数是（ ）A . 1个B . 2个 C. 3个 D . 4个 . .一… 2 .2A. 0B. - 1C. 1D. 2A. — 1 B . 1 C. - 3 D. - 416、已知二次函数 y = ax 2 +bx +c （a 孝0）的图象如图所示，则下列结论：①a,b 同号；②当x=1与x=3时，函数值相等；③4a+b=。

九年级数学下 -- 判定二次函数中的 a-b-c的符号专题练习（1）a 决定抛物线的开口方向： a0； a 0．（2）C 决定抛物线与 y 轴交点的位置，c0抛物线交 y 轴于；c 0 抛物线交 y 轴于；c0．（3）a、b 决定抛物线对称轴的位置：当 a, b 同号时对称轴在y轴；b0对称轴为；a,b 异号对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△ 的符号．1．根据二次函数y=ax2+bx+c 的图象，判断 a、 b、 c、 b2 -4ac 的符号 yxa 0 、b 0 、c 0 、 b2 -4ac 0 ； a 0 、 b 0 、c 0 、b2-4ac 0 ；2、看右图填空：（1）a＋b＋c_______0；（2）a－b＋c_______0；（3） 2a－b _______0 ；（4）4a＋2b＋ c_______0；二、通过 a，b，c，△的符号判断抛物线的位置：1．若a 0 , b 0 , c0 ，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOxOxOxOx A B C D2．若 a＞0，b＞0，c＞0，△ ＞ 0，那么抛物线 y=ax2+bx+c 经过象限．3. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 且 a＜0，a-b+c ＞0；则一定有 b2-4ac 04．如果函数 y=kx+b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1 的大致图象是（）y y y110x0-1x0x-1A B CD2ax 3 经过象限．练习： 1、若抛物线 y=ax +bx+c 开口向上，则直线 y22．二次函数 y=ax +bx+c 的图象如下图 1 所示 , 则下列条件不正确的是 ( )A 、 a 0, b 0, c 0B、 b 24ac0 C、 a b c 0 D、 a b c 0yyyyOxOxOx-O 1x 13．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如上图 2，则点a b , ac在．（）b 2 4ac bA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4、二次函数 y=ax 2+bx+c a 0 的图象，如上图 3，下列结论① c 0 ；② b 0 ；③ 4a 2b c 0 ；④ a c 2b 2 ；其中正确的有（）A 、1 个B、2 个C、3 个D、 4 个20；5． 已知函数 y=ax +bx+c 的图象如上图 4 所示，关于系数 a, b, c 有下列不等式① a 0 ；② b ③ c 0 ；④ 2a b0 ；⑤ a b c0 其中正确的为．6．如下图所示的过原点抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是 __ ．7、二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 yax c 在同一坐标系中的图象大致是 ()yyyyO xOABxxO xOCD8．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线 y ax2bx一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D．第三、四象限9、若抛物线 y ＝x 2－ bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为 ______若抛物线 y ＝ x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为 ______10．已知二次函数 y ＝ ax 2＋bx ＋c(a ≠0) 的图象如图所示 ，有下列结论： ①abc ＞0；② a ＋ b ＋ c=2； ③a1；④ ＜ ．其中正确的结论是( )b12A ．①②B ．②③ C．②④ D ．③④11. 二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a ≠0) 的图象开口向上，图象经过点（-1,2 ）和（ 1,0 ），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；② 2a＋b＞0；③ a＋c＝1；④ a＞1．其中正确的结论是 ( ) A、1个B、2个C、3个D、4个12.二次函数 y＝ax2－2x－1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围 ________。

专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．2017·威海已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．2017·安徽已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．2017·烟台二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A ．①④B ．②④C ．①②③D ．①②③④7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋b c＞0，其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．2017·齐齐哈尔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( ) 图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．图2－ZT －810．2017·天水如图2－ZT －9是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x (ax ＋b )≤a ＋b .其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT －911．2017·株洲如图2－ZT－10，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)，C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B，C两点，交y轴于点A.(1)根据图象确定a，b，c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB，BC＝4，求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析专题训练(二) 二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧，a，b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点，则b2－4ac＞0，所以C选项的关系式正确；当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y＝bx的图象上，当x＝1时，y＝b，即公共点的坐标为(1，b)．又点(1，b)在抛物线上，得a＋b＋c＝b，即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0，一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上，而反比例函数y＝b x 的图象的一支在第一象限，故b＞0，一次函数的图象满足y随x的增大而增大，选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上，所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，所以b<0，所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以a＋b＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x＝3时，y＝9a＋3b＋c>0.又－b2a＝1，所以b＝－2a，所以3a＋c>0.所以④错误．综上可知，正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时y＝c，∴C(0，c)，∴OC＝－c.∵OB＝OC，∴B(－c，0)．∵A(－2，0)，∴－c，－2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根，∴－c·(－2)＝ca.∵c≠0，∴a＝12，②正确；∵－c，－2是一元二次方程12x2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根，∴－c＋(－2)＝－b12，即2b－c＝2，①正确；把B(－c，0)代入y＝ax2＋bx＋c，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c，即ac2－bc＋c＝0.∵c≠0，∴ac－b＋1＝0，∴ac＝b－1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在x轴左侧，∴－b2a＜0，∴b＞0，∴a＋b＞0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C，∴c＜0.∴a＋bc＜0，④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，∴－b2a＝－2，∴4a －b ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，∴另一个交点位于(－1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方，∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a.∵当x ＝－3时，y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0，故③正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a ，∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数，a ＜0，∴a(t ＋2)2≤0，∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0，∴at 2＋bt≤4a－2b ，即4a －2b≥at 2＋bt ，∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，∴将它们描在图象上可得由图象可知：y 1<y 3<y 2，故⑤错误． 综上所述，正确的有3个．故选B. 9．[答案] －1＜a ＜0[解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0. ∵函数图象过点(0，1)，∴c ＝1. ∵函数图象过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c)＝－(a ＋1)．由题意知，当x ＝－1时，应有y ＞0， ∴a －b ＋c ＞0， ∴a ＋(a ＋1)＋1＞0， ∴a ＞－1，∴a 的取值范围是－1＜a ＜0. 10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴交点可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，故abc ＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象，当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝3≥x(ax＋b)＋c ，∴x(ax ＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知，a ＞0，且抛物线经过点A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a >0，即a －b ＝2，b ＜0，故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代入0＜a ＜2中，得0＜b ＋2＜2，即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2， 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB ＝4，对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知，当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时，b ＝－1，c ＝－32，抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32，得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC ，当AB ＝BC ＝4时，∵BO ＝3，△BOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－7，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时，∵AO ＝1，△AOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－15，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝153； 当AC ＝BC 时，在△AOC 中，AC 2＝1＋c 2，在△BOC 中，BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC ，∴1＋c 2＝c 2＋9，此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a>0.又∵对称轴x ＝－b2a <0，∴a ，b 同号，即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0. 综上所述，a>0，b>0，c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB ，BC ＝4，∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)．把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．解：∵a＞0，b ＜0，c ＜0，∴b 2－4ac ＞0， ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)． ∵x 1·x 2＝ca ，a ＞0，c ＜0，∴x 1·x 2＜0，∴这个函数图象与x 轴有两个交点，一个交点在x 轴的正半轴上，另一个交点在x 轴的负半轴上．。

二次函数系数a、b、c与图像的关系专项练习知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．45．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案一．选择题（共9小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；答：②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a ﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c ＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a ≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。

二次函数y= ax2+bx+c系数符号的确定方法一、知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．二、基础练习1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小5、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、46、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个7、（2011•昆明）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A、b2-4ac＜0B、abc＜0C、-b+2a＜-1D、a-b+c＜08、（2011•鸡西）已知二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个9、（2011•防城港）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限10、（2010•昭通）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞011、（2010•梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=512、（2010•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞013、（2010•铁岭）已知二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A、abc＞0B、b＞a+cC、2a-b=0D、b2-4ac＜014、（2010•钦州）已知二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A、②③B、②④C、①③D、①④15、（2010•黔南州）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=316、（2010•荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论错误的是（）A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根17、（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＞0B、c＜0C、b2-4ac＜0D、a+b+c＞018、（2010•鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（）个．A、1B、2C、3D、419、（2010•百色）二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y≤0时，x＜0或x＞4；③函数解析式为y=-x（x-4）；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、①③三、能力练习1.（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有①③④（填上正确结论的序号）．3.（2011•广西）已知：二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④4.（2010•天津）已知二次函数y= ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2-4ac ＞0；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列结论正确序号是 （只填序号）．①abc ＞0，②c=-3a ，③b 2-4ac ＞0，④a+b ＜m （am+b ）（m≠1的实数）．6.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc ＜0；④4ac-b 2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b ＞ax 2+bx 其中正确的有 （填写正确结论的序号）．7.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②a-b+c ＞0；③2a+b=0；④b 2-4ac ＞0⑤a+b+c ＞m （am+b ）+c ，（m ＞1的实数），其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （x 1，0），-3＜x 1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③b 2＞4ac ；④a-b ＞m （ma+b ）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c ＞0．其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个9.已知：如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=-1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB=OC ，则下列结论正确的个数是（ ）①b=2a ②a-b+c ＞-1 ③0＜b 2-4ac ＜4 ④ac+1=b ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点（-1，2），与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1，下列结论：①abc ＞0；②4a-2b+c ＜0；③2a-b ＞0；④b 2+8a ＞4ac ，正确的结论是．11.（2006•武汉）（人教版）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0＜x 1＜1，下列结论：①9a-3b+c ＞0；②b ＜a ；③3a+c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312.如图为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，AB ＞AO ，下列几个结论： （1）abc ＜0；（2）b ＞2a ；（3）a-b=-1；（4）4a-2b+1＜0．其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．113.如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1、0＜x 2＜1．下列结论：①4a-2b+c ＜0，②2a-b ＜0，③a ＜-1，④b 2+8a ＞4ac 中，正确的结论是14.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2；③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④15.（2003•武汉）已知：抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论：①a+b ＞0；②a+c ＞0；③-a+b+c ＞0；④b 2-2ac ＞5a 2，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②b=-2a ；③a-b+c=0；④b ＞5a ．其中正确结论是 ．17、二次函数y= ax 2+bx+c （a≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 18、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y= ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）19、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则下列说法不正确的是（ ）A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、2b a-<20、二次函数y= ax 2+bx+c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、a+b+c ＞0 D 、a-b+c ＜021、 二次函数cbx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xaby=的图象的两个分支分别在第 象限。