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2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
天津市和平区2014届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•和平区一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（l，1）C．（1，﹣l）D．（﹣1，﹣l）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．解答：解：由=．所以复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题．2．（5分）（2013•和平区一模）若f（x）=asinx+b（a，b为常数）的最大值是5，最小值是﹣1，则的值为（）A．﹣B．或﹣C．﹣D．考点：三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据题意可知a为非零常数，因此由﹣1≤sinx≤1分a＞0和当a＜0两种情况加以讨论，分别建立关于a、b的方程组，解之可得到a、b的值，从而得到的值，得到本题答案．解答：解：∵﹣1≤sinx≤1，∴a＞0时，f（x）在sinx=1时，取得最大值a+b=5；在sinx=﹣1时，取得最大值﹣a+b=﹣1．联解可得a=3，b=2．此时的值为当a＜0时，f（x）在sinx=﹣1时，取得最大值﹣a+b=5；在sinx=1时，取得最大值a+b=﹣1．联解可得a=﹣3，b=2．此时的值为﹣故选：B点评：本题给出函数f（x）=asinx+b的最大最小值，求实数a、b之值．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的值域与最值等知识，属于中档题．3．（5分）（2013•和平区一模）在如图所示的计算1+3+5+…+2013的值的程序框图中，判断框内应填入（）A．i≤504 B．i≤2009 C．i＜2013 D．i≤2013考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=5，第二圈：S=1+5，i=9，第三圈：S=1+5+9，i=13，…依此类推，第503圈：1+3+5+…+2013，i=2017，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤2013，故选D．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型．4．（5分）（2013•和平区一模）己知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，设a=f（），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：不等关系与不等式．专题：综合题．分析：由函数f（x+1）是偶函数，且当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减作出函数f（x）的图象的大致形状，结合图象可以得到a，b，c的大小关系．解答：解：因为函数f（x+1）是偶函数，所以其图象关于直线x=0对称，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．又当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递减，其图象大致形状如图，由图象可知，f（2）＜f（）＜f（1）．即c＜a＜b．故选A．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了函数的性质，训练了数形结合的解题思想方法，是基础题．5．（5分）（2013•和平区一模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．分析：求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos∠A1BE的大小．解答：解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．点评：本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力．6．（5分）（2013•和平区一模）若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y﹣1=0对称的两点A，B，则a 的取值范围是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y﹣1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数a的取值范围．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A和B在抛物线上，所以有①②①﹣②得，．整理得，因为A，B关于直线x+y﹣1=0对称，所以k AB=1，即．所以y1+y2=a．设AB的中点为M（x0，y0），则．又M在直线x+y﹣1=0上，所以．则M（）．因为M在抛物线内部，所以．即，解得．所以a的取值范围是（）．故选C．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于a的不等式，是中档题．7．（5分）（2013•和平区一模）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：分别确定函数零点的大致范围，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选D．点评：本题考查函数零点的定义，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置是解题的关键．8．（5分）（2013•和平区一模）已知命题p：关于x的函数f（x）=2x2+ax﹣1在[3，+∞）上是增函数；命题q：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实数根．若pVq为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（）D．[﹣12，+∞）A．（﹣12，4）∪（4，+∞）B．（﹣12，4]∪[4，+∞）C．（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）考点：复合命题的真假；二次函数的性质．分析：根据一元二次函数的单调区间求出命题P为真命题的条件，利用解不等式求得一元二次方程存在实数根的条件；再根据复合命题真值表判断求解即可解答：解：∵函数f（x）=2x2+ax﹣1在[3，+∞）上是增函数，∴﹣≤3⇒a≥﹣12，∴命题P为真命题的条件是：a≥﹣12；∵关于x的方程x2﹣ax+4=0有实数根，∴△=a2﹣16≥0⇒a≥4或a≤﹣4，∴命题q为真命题的条件是：a≥4或a≤﹣4；∵pVq为真命题，p∧q为假命题，根据复合命题的真值表，命题P、命题q一真一假∴a＜﹣12或﹣4＜a＜4，故选C点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了一元二次函数的单调区间及一元二次方程存在根的判定．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．9．（5分）（2013•和平区一模）某初中校共有学生1200名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取l名，抽到八年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，则在九年级应抽取60名学生．七年级八年级九年级女生204 a b男生198 222 c考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求得八年级女生的人数，可得九年级的人数b+c 的值．求出每个个体被抽到的概率，再用九年级的人数乘以此概率，即得在九年级应抽取的人数．解答：解：八年级女生的人数为a=1200×0.18=216，故九年级的人数为b+c=1200﹣204﹣198﹣216﹣222=360．每个个体被抽到的概率为=，故在九年级应抽取的人数为360×=60，故答案为60．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．10．（5分）（2013•和平区一模）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位cm），可得这个几何体的体积是12cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半．∴=12．故答案为12．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．11．（5分）（2013•和平区一模）在（x﹣）8的二项展开式中，x2的系数是﹣7．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．解答：解：根据二项式定理，（x﹣）8的通项为T r+1=C8r•（x）8﹣r•（﹣）r=（﹣）r C8r•（x）8﹣2r，当8﹣2r=2时，即r=3时，可得T4=x2=﹣7x2．即x2项的系数为﹣7，故答案为：﹣7．点评：本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．12．（5分）（2013•和平区一模）如图，已知AB为圆O的直径，AC与圆O相切于点A，CE∥AB交圆O于D、E两点，若AB=2，CD=，则线段BE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用矩形和圆的性质可得2CD+DE=AB=2，即可得到CE．再利用切割线定理和勾股定理即可得出AD，再利用同圆的等弧所对的弦相等即可得出．解答：解：设CD=，则2×+DE=2，解得DE=，∴．∵AC与圆O相切于点A，∴AC⊥AB，AC2=CD•CE==．∴AD2=AC2+CD2=，解得．∵CE∥AB，∴，∴BE=AD=．故答案为．点评：熟练掌握矩形和圆的性质、切割线定理和勾股定理、同圆的等弧所对的弦相等是解题的关键．13．（5分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．解答：解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．14．（5分）（2013•和平区一模）如图，在△ABC中，=，E是BD上的一点，若=m+，则实数m的值为．考点：平面向量的正交分解及坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理可设，再利用向量的运算法则及已知可得，利用已知及向量相等即可得出．解答：解：设==，∴==，又=m+，∴m=，∴，解得m=．故答案为．点评：熟练掌握向量的共线定理、运算法则及向量相等是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．捷达应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•和平区一模）已知函数f（x）=1﹣2sin2（x+）+2sin（x+）cos（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）利用二倍角的正弦与余弦及两角和与差的正弦函数将f（x）转化为一个角的一个三角函数的形式，即可求其周期；（II）利用正弦函数的单调性，解不等式﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z）即可求得函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=1﹣2sin2（x+）+2sin（x+）cos（x+）=cos（2x+）•cos+cos（2x+）sin=sin（2x+）∴函数的最小正周期为：T==π．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x+）当﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），即kπ﹣≤x≤+kπ，k∈Z．时函数是增函数．所以函数的单调增区间为：[kπ﹣，+kπ]，k∈Z．点评：本题考查二倍角的余弦，考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性，考查分析与运算推理能力，属于中档题．16．（13分）（2013•和平区一模）一个袋子内装有2个绿球，3个黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得1个绿球得5分，每取得1个黄球得2分，每取得1个红球得l分，用随机变量X表示取2个球的总得分，已知得2分的概率为．（I）求袋子内红球的个数；（II）求随机变量并的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（I）由题意设袋中黑球的个数为n个，由于p（ξ=0）==，化简即可得到n的方程求解即可；（II）由题意由于随机变量X表示取2个球的总得分，根据题意可以得到X=2，3，4，6，7，10．利用随机变量的定义及等可能事件的概率公式求出每一个值下的概率，并列出其分布列，有期望的定义即可求解．解答：解：（Ⅰ）设袋中红球的个数为n个，p（ξ=0）==，化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4 或n=﹣1 （舍去），即袋子中有4个红球（Ⅱ）依题意：X=2，3，4，6，7，10．p（X=2）=，p（X=3）==，p（X=4）==，p（X=6）==，p（X=7）==，p（X=10）==，X的分布列为：∴EX=2×+3×+4×+6×+7×+10×=．点评：此题考查了学生让那个对于题意的正确理解的能力，还考查了等可能事件的概率公式及离散型随机变量的定义与分布列，并应用分布列求出随机变量的期望．17．（13分）（2013•和平区一模）如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E为PB的中点，AC=AD=BC=1，PC=2．（I）求证：DE∥平面ABC：（II）求证：PD⊥平面BCD；（III）设Q为PB上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣CD﹣B为45°．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，可知为平面ABC的一个法向量，利用⇔，DE⊄平面ABC，⇔DE∥平面ABC即可证明．（II）利用=0⇔PD⊥BC，⇔PD⊥CD．及BC∩DC=C，即可证明PD⊥平面BCD．（III）由（II）可知：=（1，0，﹣1）为平面BCD的法向量，由，，λ∈（0，1），可得Q（0，λ，﹣2λ+2）．再求出平面QCD 的一个法向量，利用两个法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．解答：（I）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），E，．可知为平面ABC的一个法向量，∵，∴．∵DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．（II）证明：∵，=（0，1，0），=（1，0，1）．∴=0，．∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，∴PD⊥平面BCD．（III）解：由（II）可知：=（1，0，﹣1）为平面BCD的法向量，∵，，λ∈（0，1）．∴Q（0，λ，﹣2λ+2）．设平面QCD的法向量为，由，得，令z=1，则x=﹣1，，∴，λ∈（0，1）．∴cos45°===，解得．点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系利用向量证明线面平行与垂直、利用平面的法向量求二面角的余弦值等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）（2013•和平区一模）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．解答：解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n﹣1，即．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1==﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．点评：熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．19．（14分）（2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设出题意方程，利用离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，建立方程组，即可求椭圆C的标准方程；（II）设出直线PA方程，代入椭圆方程，设出直线BE方程，利用韦达定理，令y=0，即可证得结论；（III）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可求•的取值范围．解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），抛物线方程可化为，其焦点为（0，）由题意，可得，∴∴椭圆C的标准方程为；（II）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12=0①设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1），直线BE的方程为令y=0，可得将y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式，整理可得②由①得x1+x2=﹣，代入②整理可得x=﹣1∴直线BE与x轴相交于定点M（﹣1，0）；（III）解：当过点M的直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且设S（x1，y1），T（x2，y2）在椭圆C上，直线代入椭圆方程，可得（4m2+3）+8m2x+4m2﹣12=0△=144（m2+1）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=∴y1y2=m2（x1+1）（x2+1）=﹣∴==﹣﹣∵m2≥0，∴∈[﹣4，﹣）当过点M的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=﹣1，S（﹣1，），T（﹣1，﹣）∴=﹣综上所述，•的取值范围为[﹣4，﹣]．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查向量的数量积公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（14分）（2013•和平区一模）已知函数f（x）=x﹣﹣3lnx+1（I）求函数f（x）的单调区间：（II）求f（x）在区间[1，e2]上的值域；（III）若方程7f（x）+m=+4x在[l，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）求出函数f（x）的定义域，求出f′（x），列出x变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，由表即可得其单调区间；（II）由（I）可知f（x）在[1，e2]上的极值，再求出f（x）在区间端点处的函数值，其最小者为最小值，最大者为最大值，从而得值域；（III）方程7f（x）+m=+4x可化为3（x﹣﹣7lnx）+7+m=0，令g（x）=3（x﹣﹣7lnx）+7+m，则方程7f（x）+m=+4x在[1，4]上有两个不相等的实数根等价于g（x）=0在[1，4]上有两个不相等的实数根，利用导数可求得g（x）在[1，4]上的极值及区间端点处的函数值，结合图象可得不等式组，解出即可；解答：解：（I）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣==，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：所以f（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减．（II）由（I）可知在区间（1，e2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，由f（1）=0，f（2）=2﹣3ln2，f（e2）=﹣5，因为f（2）＜f（1）＜f（e2），所以f（x）在区间[1，e2]上的值域为[2﹣3ln2，﹣5]；（III）由f（x）=x﹣﹣3lnx+1及7f（x）+m=+4x，得3（x﹣﹣7lnx）+7+m=0，令g（x）=3（x﹣﹣7lnx）+7+m，则方程7f（x）+m=+4x在[1，4]上有两个不相等的实数根等价于g（x）=0在[1，4]上有两个不相等的实数根，g′（x）=3（1+﹣）==，x∈[1，4]，当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，2]上单调递增；当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）在[2，4]上单调递减，依题意，g（x）=0在[1，4]上有两个不相等的实数根，则，解得21ln2+2＜m≤42ln2﹣，所以实数m的取值范围是（21ln2+2，42ln2﹣]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查方程思想、数形结合思想，考查学生运用知识解决问题的能力．。
2014年天津高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（理01）】i 是虚数单位，复数734ii +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，得⎨⎪⎧x ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1³1＋2³1＝3.【2014年天津卷（理03）】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.15B.105C.245D.945【答案】B【解析】1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.【2014年天津卷（理04）】函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为A.(0，)+∞B.(-∞，0)C.(2，)+∞D.(-∞，2)-【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.【2014年天津卷（理06）】如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD 平分∠CBF ，∴△ABF∽△BDF .∵AB BD ＝AF BF ，∴AB ²BF ＝AF ²BD .∵AF BF ＝BF DF，∴BF 2＝AF ²DF .故①②④正确．【2014年天津卷（理07）】设a 、b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .【2014年天津卷（理08）】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A.12 B.23 C.56 D.712 【答案】C【解析】 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由＝μ得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ²AF ＝(λ＋1，3(λ－1))²(μ＋1，3(1－μ))＝1，①＝(λ－1, 3(λ－1))²(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（理09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300³44＋5＋5＋6＝60【2014年天津卷（理10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .【答案】20π3【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝π³12³4＋13π³22³2＝20π3.【2014年天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a 的值为____________.【答案】12- 【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________.【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2a c =. 所以2221cos 24b c a A bc +-==-.【2014年天津卷（理13）】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为___________.【答案】3【解析】将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋（y －2）2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )，解得a ＝3或a ＝0(舍)【2014年天津卷（理14）】已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_____________.【答案】01a <<或9a >.【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋91|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【2014年天津卷（理15）】（本小题满分13分）已知函数2()cos sin()34f x x x x π=++，x R ∈. ⑴求()f x 的最小正周期； ⑵求()f x 在闭区间[4π-，]4π上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ²cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.【2014年天津卷（理16）】（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13²C 27＋C 03²C 37C 310＝4960， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4²C 3－k 6C 310(k ＝0，1，2，3)，随机变量X 的数学期望E (X )＝0³16＋1³12＋2³310＋3³130＝65.【2014年天津卷（理17）】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. ⑴证明：BE DC ⊥；⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)故BE ²DC ＝0， 所以BE ⊥DC .(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ²BD ＝0，n ²PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE 〉＝n ²BE |n |²|BE |＝26³2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λ，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ²AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²AB ＝0，n 1²BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝－310³1＝－31010.易知二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面PAD .因为AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示，在△PAC 中，过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AG ，所以∠PAG 为二面角F AB P 的平面角．在△PAG 中，PA ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠PAG ＝31010，所以二面角F AB P 的余弦值为31010.【2014年天津卷（理18）】（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12||||AB F F =.⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率.解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有＝(x 0＋c ，y 0)，＝(c ，c )．由已知，有²＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.【2014年天津卷（理19）】（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2²2＋x 3²22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .【2014年天津卷（理20）】（本小题满分14分）设()()xf x x ae a R =-∈，x R ∈.已知函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <.⑴求a 的取值范围；⑵证明21x x 随着a 的减小而增大； ⑶证明12x x +随着a 的减小而增大.解：(1)由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x “函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a －e 2a <0.故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝x e x ，由g ′(x )＝1－x ex ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln tt －1.①令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x，得u ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2. 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．。
2014年天津市和平区高考数学一模数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的最大值为（）A．10B．8C．7D．23．（5分）若集合A＝{x∈R|x﹣4|≤2}，非空集合B＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（1，3）D．[1，3] 4．（5分）某程序框图如图所示，当程序运行后，输出T的值是（）A．29B．31C．55D．565．（5分）已知函数f（x）＝．设a＝log20.8，则f（f（a））的值等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣26．（5分）将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos（2x+φ），φ∈（﹣π，π]的图象，则φ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），且当x≠1时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（1，2），则（）A．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）8．（5分）如果关于x的不等式＞0的解集为（﹣1，3），则不等式＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，]二、填空题：本大题共6小是题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位cm），则4个这样的几何体的体积之和为cm3．10．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+（a﹣1）y＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝．11．（5分）已知直线y＝2x+m过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝，则+的最小值为．13．（5分）在△ABC所在的平面上有一点P，满足++＝，则△PBC与△ABC的面积之比是．14．（5分）如图，A是⊙O上的点，PC与⊙O相交于B、C两点，点D在⊙O 上，CD∥AP，AD与BC交于E，F为CE上的点，若∠EDF＝∠P，AE＝12，ED＝6，EF＝4，则PB＝．三、解答题：本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（13分）设f（x）＝sin x+sin（x+）﹣cos（x+），x∈[0，2π]．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，（Ⅱ）若锐角△ABC中，f（A）＝，a＝2，b＝，求角C及边c．16．（13分）甲、乙两种产品的误差指标划分为小于或等于1.5的为一等品，现从这批产品中随机抽取这两种产品各6什进行检验，其误差指标记录如下：已知两种产品检验数据的平均数相等（Ⅰ）求出表中a的值，并求出甲种产品检验数据的标准差；（Ⅱ）若从被检验的6件甲种产品中任取2件，求这2件都是一等品的概率．17．（13分）如图，已知正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，AC 交BD于O点，M为EF的中点，BC＝，BF＝1（Ⅰ）求证：BC⊥AF：（Ⅱ）求证：BM∥平面ACE；（Ⅲ）求二面角B﹣AF﹣C的大小．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，S14＝196，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n＝2a，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）＝（a﹣）x2﹣2ax+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求g（x）＝f（x）+ax在x＝1处的切线方程；（Ⅲ）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）过点（，），离心率e＝（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）若直线y＝kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围；（Ⅲ）经过椭圆左顶点A的直线交椭圆丁另一点B，线段AB的垂直平分线上的一P满足•＝4，若P点在y轴上，求出P点的坐标．2014年天津市和平区高考数学一模数学（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数＝＝＝1+i．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的最大值为（）A．10B．8C．7D．2【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝，平移直线y＝，由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，1），此时z max＝3×2+2×1＝8，故选：B．3．（5分）若集合A＝{x∈R|x﹣4|≤2}，非空集合B＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（1，3）D．[1，3]【解答】解：∵集合A＝{x∈R|||x﹣4|≤2}＝[2，6]，由集合B不为空集可得2a≤a+3，即a≤3，由B⊆A得，解得a∈[1，3]，故选：D．4．（5分）某程序框图如图所示，当程序运行后，输出T的值是（）A．29B．31C．55D．56【解答】解：第一次循环后得到T＝2，n＝2；第二次循环后得到T＝4，n＝3；第三次循环后得到T＝7，n＝4；第四次循环后得到T＝11，n＝5；第五次循环后得到T＝16，n＝6；第六次循环后得到T＝22，n＝7；第七次循环后得到T＝29，n＝8；结束循环．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）＝．设a＝log20.8，则f（f（a））的值等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵a＝log20.8＜0，∴f（a）＝f（log20.8）＝＞0，则f（f（a））＝f（0.8）＝5×0.8﹣3＝4﹣3＝1，故选：A．6．（5分）将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos（2x+φ），φ∈（﹣π，π]的图象，则φ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos[2（x﹣）]＝cos（2x﹣）＝cos（2x+φ），∵φ∈（﹣π，π]，则φ的值为：．故选：D．7．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），且当x≠1时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（1，2），则（）A．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）【解答】解：函数f（x）对定义域R内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），即函数图象的对称轴是x＝1，∵导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），∴f′（x）（1﹣x）＞0，∴x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；∵a∈（1，2），∴0＜log2a＜1；∵f（0）＝f（2），∴f（2）＜f（log2a）；∵23＞2＞1，∴f（2a）＜f（2），∴f（2a）＜f（2）＜f（log2a）．故选：B．8．（5分）如果关于x的不等式＞0的解集为（﹣1，3），则不等式＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，]【解答】解：不等式＞0等价为（ax﹣1）（x+b）＞0，即a（x﹣）（x+b）＞0，则对应方程的两个根为x＝﹣b，或x＝，∵x的不等式＞0的解集为（﹣1，3），∴a＜0，且x＝﹣b＝3，x＝＝﹣1，解得a＝﹣1，b＝﹣3，则不等式＜0等价为，即（2x+3）（2x﹣1）＞0，即（x+）（x﹣））＞0，解得x＞或x＜﹣，即不等式＜0的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故选：A．二、填空题：本大题共6小是题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位cm），则4个这样的几何体的体积之和为48+8πcm3．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与半圆锥的组合体，直三棱柱的侧棱长为2，底面三角形的一条边长为4，且该边上的高为3，∴三棱柱的体积为×4×3×2＝12（cm3）；半圆锥的高为3，底面直径为4，∴半圆锥的体积为××π×22×3＝2π（cm3），∴一个几何体的体积V＝12+2π（cm3），4个几何体的体积4V＝48+8π（cm3），．故答案为：48+8π10．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+（a﹣1）y＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝5．【解答】解：x2+y2＝4①x2+y2+（a﹣1）y＝0②两式相减得：（a﹣1）y＝﹣4，此即为公共弦的方程．∵圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2．两个圆的公共弦长为2，∴圆心（0，0）到直线（a﹣1）y＝﹣4的距离为：＝1．∴y＝＝1，∵a＞0，∴a＝5．故答案为：5．11．（5分）已知直线y＝2x+m过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是e＞．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵直线y＝2x+m过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）有交点，∴应有＞2，∴＞4，解得e＞．故答案为：e＞．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝，则+的最小值为12．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝，∴+＝＝＝12，当且仅当x＝2y＝时取等号．因此+的最小值为12．故答案为：12．13．（5分）在△ABC所在的平面上有一点P，满足++＝，则△PBC与△ABC的面积之比是2：3．【解答】解：由++＝，得++﹣＝0，即+++＝0，得++＝0，即2＝，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故＝．故答案为：2：314．（5分）如图，A是⊙O上的点，PC与⊙O相交于B、C两点，点D在⊙O 上，CD∥AP，AD与BC交于E，F为CE上的点，若∠EDF＝∠P，AE＝12，ED＝6，EF＝4，则PB＝10．【解答】解：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE＝EF：EA．即EF•EP＝DE•EA．∵AE＝12，ED＝6，EF＝4，∴4•EP＝72，∴EP＝18，∵CD∥AP，∴，∴EC＝9，∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA＝CE•EB，∴EB＝8，∴PB＝EP﹣EB＝10．故答案为：10．三、解答题：本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（13分）设f（x）＝sin x+sin（x+）﹣cos（x+），x∈[0，2π]．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，（Ⅱ）若锐角△ABC中，f（A）＝，a＝2，b＝，求角C及边c．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin x+sin（x+）﹣cos（x+）＝sin x+sin x+cos x﹣＝sin x+cos x＝∴函数f（x）的最小正周期：2π；∵x∈[0，2π]．∴．当，即x∈时，函数f（x）为单调增函数；当，即x∈时函数是减函数；当，即x∈时，函数f（x）为单调增函数；（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）＝，∴，∴，∴A＝，∵a＝2，b＝，由，∴sin B＝＝，∴B＝，∴C＝，由余弦定理可知a2＝c2+b2﹣2cb cos A，可得c2﹣2c+2＝0，解得C＝或．∵C﹣A＝∴c＞a，故．16．（13分）甲、乙两种产品的误差指标划分为小于或等于1.5的为一等品，现从这批产品中随机抽取这两种产品各6什进行检验，其误差指标记录如下：已知两种产品检验数据的平均数相等（Ⅰ）求出表中a的值，并求出甲种产品检验数据的标准差；（Ⅱ）若从被检验的6件甲种产品中任取2件，求这2件都是一等品的概率．【解答】解：（Ⅰ）＝1.4，＝因为两种产品检验数据的平均数相等，所以，，解得a＝1.8，＝[（0.8﹣1.4）2+（1.4﹣1.4）2+（1.8﹣1.4）2+（0.6﹣1.4）2+（2.4所以，S2甲﹣1.4）2﹣（1.4﹣1.4）2]＝0.36，所以S＝0.6．甲（Ⅱ）从被检验的6件甲种产品中任取2件基本事件有个，其中这6件产品中有4件事一等品，任取2件都是一等品的有，所以这2件都是一等品的概率是．17．（13分）如图，已知正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，AC 交BD于O点，M为EF的中点，BC＝，BF＝1（Ⅰ）求证：BC⊥AF：（Ⅱ）求证：BM∥平面ACE；（Ⅲ）求二面角B﹣AF﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，∴FB⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴FB⊥BC，∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∵AB∩FB＝B，∴BC⊥面ABF，∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF．（Ⅱ）证明：连结EO，∵AC交BD于O点，M为EF的中点，∴BM BO，∴BMEO是平行四边形，∴OE∥BM，又BM不包含于平面ACE，OE⊂平面ACE，∴BM∥平面ACE．（Ⅲ）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0），A（），F（），C（0，，0），，，＝（），设平面CAF的法向量，则，取x＝，得，又平面ABF的法向量，∴cos＜＞＝＝，∴＜＞＝60°，∴二面角B﹣AF﹣C的平面角为60°．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，S14＝196，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n＝2a，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，S14＝196，∴＝7（a3+a12）＝196，解得a12＝23，∴d＝＝＝2，∴a n＝a3+（n﹣3）d＝5+（n﹣3）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）∵＝（2n﹣1）•2n，∴，①2T n＝1•22+3•23+…+（2n﹣1）•2n+1，②①﹣②，得：﹣T n＝2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）•2n+1＝（2+22+23+24+…+2n+1）﹣4﹣（2n﹣1）•2n+1＝（2n﹣2﹣2）﹣4﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣（2n﹣3）•2n+1﹣6，∴T n＝（2n﹣3）•2n+1+6，n∈N*．19．（14分）已知函数f（x）＝（a﹣）x2﹣2ax+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求g（x）＝f（x）+ax在x＝1处的切线方程；（Ⅲ）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝1时，，＝．对于∀x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递增．∴f（x）max＝f（e）＝，．（II）g（x）＝，g（1）＝．g′（x）＝（2a﹣1）x﹣a+，g′（1）＝a．∴g（x）＝f（x）+ax在x＝1处的切线方程是＝a（x﹣1），即；（III）函数f（x）＝（a﹣）x2﹣2ax+lnx的定义域为（1，+∞），f′（x）＝＝．（i）当a时，恒有f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．要满足在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，则f（1）＝﹣a﹣≤0即可，解得．∴实数a的取值范围是．（ii）当a时，令f′（x）＝0，解得x1＝1，．①当1＝x1＜x2时，即时，在区间（x2，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．②当x2≤x1＝1时，即a≥1，在区间（1，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，不合题意．综上（i）（ii）可知：实数a的取值范围是．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）过点（，），离心率e＝（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）若直线y＝kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围；（Ⅲ）经过椭圆左顶点A的直线交椭圆丁另一点B，线段AB的垂直平分线上的一P满足•＝4，若P点在y轴上，求出P点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+＝1（a＞b＞0）过点（，），离心率e＝∴，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线y＝kx+2代入椭圆方程，可得（4k2+1）x2+16kx+12＝0，∵直线y＝kx+2与椭圆有两个交点，∴△＝（16k）2﹣48（4k2+1）＞0，∴k＜﹣或k＞；（Ⅲ）设P（0，y0）①AB⊥y轴，A（﹣2，0），B（2，0），则＝（﹣2，﹣y0），＝（2，﹣y0）∴•＝﹣4+y02＝4，∴y0＝±2；②AB与y轴不垂直时，设B（x1，y1）（y1≠0），AB的中点（，），则线段AB的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣）令x＝0，则y0＝＝﹣，∴＝（﹣2，y1），＝（x1，y1）∴•＝﹣2x1+y12＝﹣2x1+•＝4，∴x1＝﹣或x1＝﹣2（舍去），∴y12＝＝，∴y1＝±，∴y0＝±，综上，P点的坐标为（0，±2），（0，±）．。
2013年高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A 二、填空题：9.80 10.21 11.3 12.7.5==弦长＝ 773.13 14.4三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分） 答案：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 最小值.0,231最大值---------6分 （2）2,13===b a C ，π----------13分16．（13分）．(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则P (A )＝1－21025C C ＝79．-----3分(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，-----6分 P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，------8分P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，-------10分 P (ξ＝3)＝112，------12分ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.---------13分17．（13分）[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .-------4分(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD . FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a 2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，∴z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．---------8分 (3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)．cos<BD →，n >＝BD →·n|BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为36------13分 18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,3-),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1)3(222=-=b ,------2分故曲线C 的方程为1422=+y x .-----5分(2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,1422kx y y x 消去y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx-3=0,-------7分 故43,42221221+-=+-=+k x x k k x x .-----------9分 22||-||OB OA =x12+y 12-(x 22+y 22)=(x 12-x 22)+4(1-x 12-1+x 22) =-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)4)(6221+-=k x x k .---------11分因为A 在第一象限,故x 1>0. 由43221+-=k x x 知x 2<0,从而x 1-x 2>0. 又k>0,故0||||22>-OB OA ,即在题设条件下,恒有||||OB OA >.--------13分 19.（14分）解：（Ⅰ）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+------1分 当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a =------2分 当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=------4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列------5分（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+=∴ 123n n b +=- ------9分（Ⅲ）12132n n n n a n c b +-==+ ------10分 ∴2341135212222n n n T +-=++++① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分20.（14分）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，----1分∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = -----5分解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x -+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =（舍去），2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．------6分当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ----8分∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a 01a <<， ∴a 不合题意．-------10分 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a xa f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．-----12分③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a 又a e >，∴a e >．------13分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．-------14分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2、本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，复数7i34i+=+（）A ．1i -B ．1i -+C ．1731i 2525+D ．1725i 77-+【解析】A7i (7i)(34i)2525i1i 34i (34i)(34i)25++--===-++-（2）设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩，，，≥≤≥则目标函数2z x y =+的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】B画出可行域，易知目标函数2z x y =+在1,1x y ==时取得最小值3（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（）(第3题图)i ≥4？输出S 否是i =i +1S =S ×T T =2i +1S =1，i =1结束开始A ．15B ．105C ．245D ．945【解析】B该框图意在计算连续正奇数乘积，当4i ≥输出时，实际计算的乘积为1357105S =⨯⨯⨯=（4）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为（）A ．(0),+∞B ．(0)-∞,C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞-【解析】D函数的单调增区间是函数24y x =-的单调减区间与不等式240x ->的解集的交集，因此 函数的单调递增区间是(,2)-∞-（5）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【解析】A由渐近线斜率为2知2b a =，因此5c a =，又∵左焦点坐标为(5,0)-，即5c =，a =故双曲线方程为221520x y -=（6）如图ABC △是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅．则所有正确结论的序号是（）F DCEBA(第6题图)A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④【解析】D由AD 平分BAC ∠知,BAD CAD BD CD ∠=∠=，由弦切角以及圆周角关系可知：FBD CBD DCB DAB ∠=∠=∠=∠，因此①正确；由切割线定理可直接得出②正确； 由相交弦定理可知③错误由上述结论可推知FDB ∆与FBA 相似，即FB DBFA BA=，因此④正确（7）设a b ∈R ，，则“a b ＞”是“a a b b ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件【解析】C由a b >，可分三种情况：①0a b >≥，则22a a a b b b =>=②0a b >>，则0a a b b >>；③0a b ≥>，则22a a a b b b =->-=， 综上可知，a a b b > 由a a b b >，亦可分三种情况①0a a b b >≥，由绝对值的非负性知此时a b 、非负，因此22a b >，两边开方得a b > ②0a a b b ≥>，此时显然0a b ≥>③0a a b b >>，同理可知a b 、同负，∴2222,a b a b ->-<，即a b <，∴a b > 综上可知，a b >因此a b >是a a b b >的充要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E F ，分别在边BC DC ，上，BE BC DF DC =λ=μ，．若213AE AF CE CF ⋅=⋅=-，，则λ+μ=（ ） A ．12B ．23C ．56D ．712【解析】C,AE AB AD AF AB AD λμ=+=+，代入已知得442(1)1AE AF μλλμ⋅=+-+=(1),(1)CE CB CF CD λμ=-=-，代入已知得22(1)(1)3CE CF μλ⋅=---=-两式联立消去λμ可得56λμ+=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、 四年级的本科生人数之比为4556∶∶∶，则应从一年级本科生中抽取_____________名学生．【解析】60由分层抽样方法知抽取人数应为4300604556⨯=+++人（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m ．侧视图主视图俯视图(第10题图)【解析】20π3该几何体上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，因此其体积为22120ππ22π1433V=⨯⨯⨯+⨯⨯=（11）设{}n a是首项为1a，公差为1-的等差数列，n S为其前n项和．若124S S S，，成等比数列，则1a的值为__________．【解析】12-由于该数列为等差数列，因此112141,2,46S a S a d S a d==+=+，由于124S S S、、等比且1d=-知2111(21)(46)a a a-=-，解得112a=-（12）在ABC△中，内角A B C，，所对的边分别是a b c，，．已知12sin3sin4b c a B C-==，，则cos A的值为_______．【解析】14-由2sin3sinB C=可得23b c=，代入14b c a-=可得2a c=，由余弦定理知2222229414cos32422c c cb c aAbc c c+-+-===-⋅⋅（13）在以O为极点的极坐标系中，圆4sinρθ=和直线sin aρθ=相交于A B，两点．若AOB△是等边三角形，则a的值为_______．【解析】3以极点为平面直角坐标系原点，极轴作为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则4sinρθ=所表示圆的直角坐标方程为22(2)4x y+-=，而sin aρθ=则表示直线y a=由已知，直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形，则弦AB所对圆心角为120︒，该弦到圆心距离等于半径的一半，因此易知213a=+=取值范围为______________． 【解析】(0,1)(9,)+∞方程()10f x a x --=的实根与()y f x =图象和1y a x =-图象交点一一对应由函数图像变换可知，()f x 图象为将23y x x =+沿x 轴向上翻折得到，而1y a x =-图象则由y a x =图象沿x 轴向右平移一个单位得到。
天津市和平区2014届高三第一次模拟考试数学理试题温馨提示：本试卷包括第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利!第I 卷选择题（共40分）注意事项：1答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的．(1)已知i 为虚数单位,则复数23i i-+等于 (A) 1122i + (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122i -- (2)设变量x,y 满足约束条件3,1,0,x y x y y k +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≥⎩，若函数32z x y =+的最大值为12，则k 等于(A)3 (B) -3 (C) 3或-3 ( D)2(3)若集合{}|125A x R x x =∈++-≤，非空集合{}|23x R a x a =∈≤≤+，则实 数a 的取值范围是(A)()0,+∞ (B) [)1,-+∞ (C) ()1,0- (D) []1,0-(4)某程序框图如图所示,当程序运行后，输出T 的值是(A) 204(B) 140(C) 91(D) 55(5)已知函数31(),0,()2log ,0,x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩。
设a =(())f f a 的值等于(A) 12(B)2 (C)3 (D) -2 (6)将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，得到(]cos(2),,y x ϕϕππ=+∈-的图象，则ϕ的值为(A)23π (B) 23π- (C)56π ( D) 56π- (7)己知定义在R 上的函数()y f x =满足)()(4)f x f x =-，且当x ≠2时，其导函数'()f x 满足1'()'()2f x xf x >,若(2,3)a ∈,则 (A)2(log )(2)(2)a f a f f << (B) 2(2)(2)(log )a f f f a <<(C)2(2)(log )(2)a f f a f << (D) 2(2)(log )(2)a f f a f <<(8)设不等式2220x ax a -++≤的解集为A ，若[]1,3A ⊆，则实数a 的取值范围是(A)111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦ (B)111,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C)112,5⎛⎤ ⎥⎝⎦(D) (]1,3- 第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷卡上，答在本试卷上的无效。
2014年天津市和平区高考数学一模数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，则复数3+i 2−i等于（ ）A 1−iB −1−iC 1+iD −1−i2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤3x −y ≥−1y −1≥0，则目标函数z =3x +2y 的最大值为（ ）A 10B 8C 7D 23. 若集合A ={x ∈R|x −4|≤2}，非空集合B ={x ∈R|2a ≤x ≤a +3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ）A (3, +∞)B [−1, +∞)C (1, 3)D [1, 3]4. 某程序框图如图所示，当程序运行后，输出T 的值是（ ）A 29B 31C 55D 565. 已知函数f(x)={(2)x ，x <05x −3,x ≥0．设a =log 20.8，则f （f(a)）的值等于（ ）A 1B 2C −1D −26. 将函数y =cos2x 的图象向右平移π6个单位，得到y =cos(2x +φ)，φ∈(−π, π]的图象，则φ的值为（ ）A π6 B −π6 C π3 D −π37. 己知定义在R 上的函数y =f(x)满足f(x)=f(2−x)，且当x ≠1时，其导函数f′(x)满足f′(x)>xf′(x)，若a ∈(1, 2)，则（ ）A f(log 2a)<f(2a )<f(2)B f(2a )<f(2)<f(log 2a)C f(log 2a)<f(2)<f(2a )D f(2)<f(log 2a)<f(2a ) 8. 如果关于x 的不等式ax−1x+b>0的解集为(−1, 3)，则不等式2ax+12x−b<0的解集是（ ）A (−∞, −32)∪(12, +∞) B (−32, 12) C (−∞, −12)∪(32, +∞) D (−12, 32]二、填空题：本大题共6小是题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上 9. 某几何体的三视图如图所示（单位cm ），则4个这样的几何体的体积之和为________cm 3．10. 若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+(a −1)y =0(a >0)的公共弦长为2√3，则a =________． 11. 已知直线y =2x +m 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．12. 已知x >0，y >0，且x +y =34，则4x+1y的最小值为________．13. 在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA →+PB →+PC →=AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．14. 如图，A 是⊙O 上的点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，点D 在⊙O 上，CD // AP ，AD 与BC 交于E ，F 为CE 上的点，若∠EDF =∠P ，AE =12，ED =6，EF =4，则PB =________．三、解答题：本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设f(x)=sinx +sin(x +π6)−cos(x +4π3)，x ∈[0, 2π]．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调区间，（2）若锐角△ABC 中，f(A)=√2，a =2，b =√6，求角C 及边c ．16. 甲、乙两种产品的误差指标划分为小于或等于1.5的为一等品，现从这批产品中随机抽取这两种产品各6什进行检验，其误差指标记录如下：已知两种产品检验数据的平均数相等（1）求出表中a 的值，并求出甲种产品检验数据的标准差；（2）若从被检验的6件甲种产品中任取2件，求这2件都是一等品的概率．17. 如图，已知正方形ABCD 和矩形BDFE 所在的平面互相垂直，AC交BD 于O 点，M 为EF 的中点，BC =√2，BF =1 （1）求证：BC ⊥AF ：（2）求证：BM // 平面ACE ；（3）求二面角B −AF −C 的大小．18. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=5，S 14=196，n ∈N ∗ （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2n ⋅a n =2a ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19. 已知函数f(x)=(a −12)x 2−2ax +lnx ，a ∈R（1）当a =1时，求f(x)在区间[1, e]上的最大值和最小值； （2）求g(x)=f(x)+ax 在x =1处的切线方程；（3）若在区间(1, +∞)上，f(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围． 20. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(√3, 12)，离心率e =√32（1）求椭圆的方程：（2）若直线y =kx +2与椭圆有两个交点，求出k 的取值范围；（3）经过椭圆左顶点A 的直线交椭圆丁另一点B ，线段AB 的垂直平分线上的一P 满足PA →⋅PB →=4，若P 点在y 轴上，求出P 点的坐标．2014年天津市和平区高考数学一模数学（文科）答案1. C2. B3. D4. A5. A6. D7. B8. A9. 48+8π 10. 5 11. e >√5 12. 12 13. 2:3 14. 1015. 解：（1）f(x)=sinx +sin(x +π6)−cos(x +4π3)=sinx +√32sinx +12cosx +12cosx −√32sinx =sinx +cosx=√2sin(x +π4)∴ 函数f(x)的最小正周期：2π；∵ x ∈[0, 2π]．∴ x +π4∈[π4,9π4]．当x +π4∈[π4,π2]，即x ∈[0,π4]时，函数f(x)为单调增函数； 当x +π4∈[π2,3π2]，即x ∈[π4，5π4]时函数是减函数；当x +π4∈[3π2,9π4]，即x ∈[5π4，2π]时，函数f(x)为单调增函数； （2）在锐角△ABC 中，f(A)=√2，∴ √2sin(A +π4)=√2， ∴ sin(A +π4)=1，∴ A =π4，∵ a =2，b =√6， 由a sinA=b sinB，∴ sinB =bsinA a=√32，∴ B =π3，∴ C =π−π4−π3=5π12，由余弦定理可知a 2=c 2+b 2−2cbcosA ，可得c 2−2√3c +2=0，解得C =√3−1或c =√3+1． ∵ C −A =5π12−π3=π12>0∴ c >a ， 故c =√3+1． 16. 解：(1)x 乙¯=1.6+1.3+0.7+2.1+1.5+1.26=1.4，x 甲¯=0.8+1.4+a +0.6+2.4+1.46=6.6+a6因为两种产品检验数据的平均数相等， 所以，6.6+a 6=1.4，解得a =1.8，所以，S 甲2=16[(0.8−1.4)2+(1.4−1.4)2+(1.8−1.4)2+(0.6−1.4)2+(2.4−1.4)2−(1.4−1.4)2]=0.36， 所以S 甲=0.6．（2）从被检验的6件甲种产品中任取2件基本事件有C 62=15个，其中这6件产品中有4件事一等品，任取2件都是一等品的有C 42=6，所以这2件都是一等品的概率是615=25．17. （1）证明：∵ 正方形ABCD 和矩形BDFE 所在的平面互相垂直，∴ FB ⊥平面ABCD ，∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ FB ⊥BC ， ∵ ABCD 是正方形，∴ BC ⊥AB ， ∵ AB ∩FB =B ，∴ BC ⊥面ABF ， ∵ AF ⊂平面ABF ，∴ BC ⊥AF ． （2）证明：连结EO ，∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点，∴ BM = // BO ，∴ BMEO 是平行四边形， ∴ OE // BM ，又BM 不包含于平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM // 平面ACE ．（3）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴， 建立空间直角坐标系，B(√2,√2, 0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0, √2, 0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0)， 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅AF →=√2y +z =0˙，取x =√2，得n →=(√2,√2,−2)，又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos <n →，m →>=√2√8=12，∴ <n →，m →>=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘． 18. 解：（1）∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=5，S 14=196， ∴ S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 3+a 12)=196，解得a 12=23， ∴ d =a 12−a 312−3=23−59=2，∴ a n =a 3+(n −3)d =5+(n −3)×2=2n −1． （2）∵ b n =2n a n =(2n −1)⋅2n ，∴ T n =1⋅2+3⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n ，① 2T n =1⋅22+3⋅23+...+(2n −1)⋅2n+1，②①-②，得：−T n =2+(23+24+...+2n+1)−(2n −1)⋅2n+1=(2+22+23+24+...+2n+1)−4−(2n −1)⋅2n+1 =(2n−2−2)−4−(2n −1)⋅2n+1 =−(2n −3)⋅2n+1−6，∴ T n =(2n −3)⋅2n+1+6，n ∈N ∗．19. 解：（1）当a =1时，f(x)=12x 2−2x +lnx ，f ′(x)=x −2+1x=(x−1)2x．对于∀x ∈[1, e]，f′(x)≥0恒成立，∴ f(x)在区间[1, e]上单调递增． ∴ f(x)max =f(e)=12e 2−2e +1，f(x)min =f(1)=−32． （2）g(x)=(a −12)x 2−ax +lnx ，g(1)=−12． g′(x)=(2a −1)x −a +1x ，g′(1)=a ．∴ g(x)=f(x)+ax 在x =1处的切线方程是 y +12=a(x −1)，即y =ax −(a +12)；（3）函数f(x)=(a −12)x 2−2ax +lnx 的定义域为(1, +∞)，f′(x)=(2a −1)x −2a +1x=(x−1)[(2a−1)x−1]x ．（1）当a ≤12时，恒有f′(x)<0， ∴ 函数f(x)在区间(1, +∞)上单调递减．要满足在区间(1, +∞)上，f(x)<0恒成立，则f(1)=−a −12≤0即可，解得a ≥−12．∴ 实数a 的取值范围是[−12，12]．（2）当a >12时，令f′(x)=0，解得x 1=1，x 2=12a−1．①当1=x 1<x 2时，即12<a <1时，在区间(x 2, +∞)上有f′(x)>0，此时f(x)在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．②当x 2≤x 1=1时，即a ≥1，在区间(1, +∞)上有f′(x)>0，此时f(x)单调递增，不合题意．综上(1)(II)可知：实数a 的取值范围是[−12，12]．20. 解：（1）∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(√3, 12)，离心率e =√32∴ {a 2−b 2a 2=343a 2+14b 2=1，∴ a =2，b =1，∴ 椭圆的方程为x 24+y 2=1；（2）直线y =kx +2代入椭圆方程，可得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0， ∵ 直线y =kx +2与椭圆有两个交点， ∴ △=(16k)2−48(4k 2+1)>0， ∴ k <−√32或k >√32； （3）设P(0, y 0)①AB ⊥y 轴，A(−2, 0)，B(2, 0)，则PA →=(−2, −y 0)，PB →=(2, −y 0)∴ PA →⋅PB →=−4+y 02=4，∴ y 0=±2√2；②AB 与y 轴不垂直时，设B(x 1, y 1)(y 1≠0)，AB 的中点(x 1−22, y 12)，则线段AB 的垂直平分线方程为y −y 12=−x 1+2y 1(x −x 1−22)令x =0，则y 0=x 12−4+y 122y 1=−32y 1，∴ PA →=(−2, 32y 1)，PB →=(x 1, 52y 1) ∴ PA →⋅PB →=−2x 1+154y 12=−2x 1+154⋅4−x 124=4，∴ x 1=−215或x 1=−2（舍去），∴ y 12=4−x 124=224225，∴ y 1=±4√1415， ∴ y 0=±2√145， 综上，P 点的坐标为(0, ±2√2)，(0, ±2√145)．。
天津市2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．i 为虚数单位，则ii-+11＝ ( )． A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 2. 设b a 、为向量，则“b a b a =•”是“b a //”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D.1724. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ） A ．54 B.45 C. 65 D.565．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3图1否是开始输入Nk =1，S=0)1(1S ++=k k S1+=k kN k <输出S结束图26.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l过A (a,0)，B (0，b )两点，若原点O 到l的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.233或2 B ．2 C.2或233D.2337．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 38.已知函数y=f(x)是定义在数集R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，xf /(x)<f(-x)成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则a,b,c 的大小关系是（ ）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）9. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量=n ______.10.若83a x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7，则实数a =_________. 11．若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2013＝________.12.直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为 13.如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.14.已知点(a ，b )不在直线x ＋y －2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.(13分)已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 (1)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(2)设△A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3，0)(=C f ,若sinB=2sinA ，求a,b 的值.16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．17．（13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．18.(13分) 在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,3-)、(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C,直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点.(1)写出C 的方程;(2)若点A 在第一象限,证明当k>0时,恒有||||OB OA >.19.（14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S是14与2(1)n a +的等比中项. （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（Ⅱ）的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（14分） 已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A 二、填空题：9.80 10.21 11.3 12. 2211722.21005r d -=-=弦长＝ 773.13 14.4三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分） 答案：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 最小值.0,231最大值---------6分 （2）2,13===b a C ，π----------13分16．（13分）．(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则P (A )＝1－21025C C ＝79．-----3分(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，-----6分 P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，------8分P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，-------10分 P (ξ＝3)＝112，------12分ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P112 512 512 112ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.---------13分17．（13分）[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .-------4分(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD .FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a 2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，∴z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．---------8分 (3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)． cos<BD →，n >＝BD →·n |BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为36------13分 18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,3-),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1)3(222=-=b ,------2分故曲线C 的方程为1422=+y x .-----5分(2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,1422kx y y x 消去y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx-3=0,----- --7分 故43,42221221+-=+-=+k x x k k x x .-----------9分 22||-||OB OA =x12+y 12-(x 22+y 22)=(x 12-x 22)+4(1-x 12-1+x 22) =-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)4)(6221+-=k x x k .---------11分 因为A 在第一象限,故x 1>0. 由43221+-=k x x 知x 2<0,从而x 1-x 2>0.又k>0,故0||||22>-OB OA , 即在题设条件下,恒有||||OB OA >.--------13分 19.（14分）解：（Ⅰ）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+------1分 当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a =------2分 当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=------4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列------5分（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= ∴ 123n n b +=- ------9分 （Ⅲ）12132n n n n a n c b +-==+ ------10分 ∴2341135212222n n n T +-=++++ ① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分 20.（14分）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，----1分∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = -----5分解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．------6分 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ----8分∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．-------10分 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a x a f x x+-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．-----12分③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a ， 又a e >，∴a e >．------13分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．-------14分。
