3.2导数在函数单调性、极值中的应用(理_测试)

限时作业15导数在函数单调性、极值中的应用一、选择题1.函数f (x)二的单调递减区间是().A.[e, +8)B. [1, +8)C. [0, e]D. [0, 1]2.f (x) =X3-3X2+3X的极值点的个数是().A.0B. 1C. 2D. 33.设f (x) =kx—21 n x,若f(x)在其定义域内为单调增函数，则k的取值范围是().A. (—8, 1]B. [1, +8)C. (-8,—1]D. [—1,+8)4.已知对任意实数x,有f (-x) =-f (x), g (-x) =g (x),且x>0 时,f' (x) >0, g (x) >0,则x<0 时().A.f' (x) >0, g (x) >0B.f' (x) >0, g (x) <0C.f' (x) <0, g (x) >0D.f' (x) <0, g (x) <05.在R上可导的函数f（x）的图象如图所示,则关于x的不等式x・f'仗）〈0的解集为（）.A.(-g,—1) U (0, 1)B.(-1,0) U (l,+8)C.(-2,-1) U (1,2)D.(-8, -2) U (2, +8)6.已知向量a, b满足|a|二2|b|H0,且关于x的函数f (x) =x3+1 a|x2+a • bx在R上单调递增，贝！J a, b的夹角的取值范围是().A. B.C. D・二、填空题7.已知函数f (x) = (m-2)x24-(m2-4) x+m是偶函数，函数g (x) =-x3+2x2+mx+5在(-°°, +°°)内单调递减,则实数m的值为__________ •8.已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=l处取得极值10,则f(2)= __________ .9.已知某质点的运动方程为s(t)*+bt%t+d,如图所示是其运动轨迹的一部分，若t丘时,s (t)〈3d：恒成立，则d的取值范围为__________ ・三、解答题10.2011山东泰安模拟)若函数f (x) =x3-ax2+ (a-1) x+1在区间(1,4) 上为减函数,在区间(6, +8)上为增函数，试求实数a的取值范围.11.2011 湖南高考，文22)设函数f(x)=x—aln x(aGR).(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个极值点Xi和X2,记过点A(xi, f (xi)), B(X2, f (x2))的直线的斜率为k.问:是否存在a,使得k=2-a?若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由.12.2011福建高考，文22)已知a, b为常数，且a^O,函数f (x)二-ax+b+axln x, f (e)二2 (e二2. 718 28…是自然对数的底数).(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间;⑶当a=l时,是否同时存在实数m和M (m<M),使得对每一个t e [m, M], 直线尸t与曲线y=f (x) (xW)都有公共点?若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M;若不存在，说明理由.参考答案一、选择题1. A2. A3. B4. B5. A6.B 解析:易得f' (x) =x2+1 a | x+a • b,函数 f (x) =x3+1 a | x2+a • bx在R上单调递增时，方程x2+ a| x+a *b=0的判别式厶=| a12-4a ・bWO, 设a, b的夹角为9 ,则a 12~41 a | | b cos 8 WO,将|a|=2|b|H0 代入上式得l-2cos 9 ^0,即cos 8三，又0 WGWn，故0 W8W・二、填空题7.-2 8. 189・(1>或(1〈-1解析：T质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,.•.s' (t)=3t2+2bt+c.由图可知，s(t)在t=l和t=3处取得极值.则s (1)=0, s' (3)=0,即・•・.•.s' (t) =3t2_12t+9=3(t_l) (t-3)・当tw 时,s' (t)>0;当te (1, 3)时,s' (t)<0；当te (3, 4)时,s' (t)>0,当t=l时,s (t)取得极大值4+d.又J s (4)二4+d,・••当t e时,s (t)的最大值为4+d.・••当tw时,s(t)<3d2恒成立，A4+d<3d2,即d>或d〈-1.三、解答题10•解:函数f(x)的导函数F (x) =x2-ax+a-l.令f' (x)=0,解得x=l 或x=a-l.当a-1W1,即aW2时，函数f (x)在(1, +-)上为增函数不合题意；当a-l>l,即a>2 时,函数f (x)在(-8, 1)上为增函数在(1, a-1)上为减函数在(a-1, +°°)上为增函数.依题意应有当xe (1, 4)时,F (x)<0;当xe (6,+oo)时,f (x)>0.所以4Wa-1W6,解得5W&W7.所以a的取值范围为[5, 7].11 •解：(l)f(x)的定义域为(0,+oo).f (x)二1+-二.令g (x) =x2-ax+l,其判别式A二『_4・①当|a|W2 时，A WO, f' (x)20・故f(x)在(0,+B)上单调递增.②当a<-2时，A >0, g (x)=0的两根都小于0.在(0, +◎上,f，(x)>0.故f(x)在(0,+8)上单调递增.③当a>2时，A>0, g(x)=O的两根为XF, X2二.当0<x<Xi 时,f' (x) >0;当xKxg时,f' (x) <0;当x>X2 时,f (x) >0.故f(X)分别在(0, x.), (x2, +8)上单调递增，在伉,x2)上单调递(2)由⑴知，a>2・因为f(X1)-f(x2) =(X1-X2) +-a(In x-ln x2),所以k==l+-a •.又由(1)知,XiX2=l,于是k=2-a •.若存在a,使得k=2-a,贝lj=l・即In x-ln x2=xi-x2.亦即x2--21n x2=0(x2> 1). (*)再rtl⑴知，函数h(t)=t—21n t在(0, +8)上单调递增,而x2>l, 所以X2--21n x2>l--21n 1=0•这与(*)式矛盾.故不存在a,使得k=2-a.12.解：(1)由f (c)=2 得b二2.(2)由⑴可得f (x)二-ax+2+axln x.从而f' (x)=aln x.因为aHO,故：(1)当a>0 时，由f' (x) >0 得x>l,由f' (x)〈0 得0<x<l;(2)当a<0 吋，由f' (x)〉0 得0<x<l,由f' (x) <0 得x>l.综上，当a>0时，函数f (x)的单调递增区间为(1, +8),单调递减区间为(0,1);当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1, +°°)・(3)当a二1 时,f (x)二-x+2+xln x, f' (x)=ln x.由⑵可得，当x在区间内变化时,f' (x)、f(x)的变化情况如下表:X 1 (1, e) ef' (x) —0 +f(x) 2-单调递减极小值1单调递增2又2-<2,所以函数f(x)的值域为[1,2].据此可得，若则对每一个t E [m, M],宜线y=t与曲线y二f (x)都有公共点.并且对每一个t e (-oo, m) U (M, +8),直线y二t与曲线y二f (x)都没有公共点.综上，当a=l时,存在最小的实数m=l,最大的实数M=2,使得对每一个t e [m, M],直线y=t与曲线y=f (x)都有公共点.。

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。

3.2 导数的应用五年高考考点1 函数的单调性1．（2009江苏，3,5分）函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为 2．（2013江西．21,14分）已知函数a x a x f |),21|21()(--=为常数且a>0． (1)证明：函数)(x f 的图象关于直线21=x 对称； (2)若0x 满足,))((00x x f f =但,)(00x x f =/则称0x 为函数)(x f 的二阶周期点．如果)(x f 有两个二阶周期点,,21x x 试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的21,x x 和a ，设3x 为函数))((x f f 的最大值点，))),((,(11x f f x A ))),((,(22x f f x B⋅)0,(3x C 记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．3．（2013四川，21,14分）已知函数⎩⎨⎧><++=,0,ln ,0,2)(2x x x a x x x f 其中a 是实数设))(,()),(,(2211x f x B x f x A为该函数图象上的两点，且⋅<21x x (1)指出函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且<2x ,0求12x x -的最小值； (3)若函数)(x f 的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．智力背景生日的奇迹 （二） 因为只要求5个人生日相同，所以第1个孩子的生日没有任何限制，可以看作只有1种结果，其余4个孩子的生日分别有365种结果（假设所生的每个孩子的年份都不是闰年，且各不相同），根据乘法原理：4个孩子的生日共有3654种不同的结果，而要和第1个孩子生日相同，则只有1种结果，所以，这对夫妇生5个孩子，要生日相同的概率为P(A) =1/3654.你不觉得这个概率太小了吗？4．（2013重庆．17,13分）设,ln 6)5()(2x x a x f +-=其中,R a ∈曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴相交于点(0，6).(1)确定a 的值；(2)求函数)(x f 的单调区间与极值．5．（2012北京，1813分）已知函数)(),0(1)(2x g a ax x f >+=.3bx x +=(1)若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当b a 42=时，求函数)()(x g x f +的单调区间，并求其在区间]1,(--∞上的最大值． 6．（2012大纲全国．20,12分）设函数].,0[,cos )(π∈+=x x ax x f (1)讨论．)(x f 的单调性；(2)设,sin 1)(x x f +≤求a 的取值范围．7．（2011江苏．19,16分）已知a ，b 是实数，函数,)(3ax x x f +=,)(2bx x x g +=)(/x f 和)(/x g 分别是)()(x g x f 和的导函数．若0)()(//≥⋅x g x f 在区间，上恒成立，则称)()(x g x f 和在区间，上单调性一致．(1)设a>0．若)()(x g x f 和在区间),1[+∞-上单调性一致，求b 的取值范围；(2)设a<0且a≠b．若)()(x g x f 和在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求︱a –b ︱的最大值． 8．（2010课标全国．21,12分）设函数.1)(2ax x e x f x---= (1)若a=0，求)(x f 的单调区间；(2)若当x≥0时,0)(≥x f 求a 的取值范围．考点2 函数的极位与最值1.（2013福建．8，5分）设函数)(x f 的定义域为)0(,00=/x x R 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是 ( ))()(,.0x f x f R x A ∈∀ )(.0x f x B --是的极小值点)(.0x f x C --是的极小值点 )(.0x f x D ---是的极小值点2．（2013浙江．8，5分）已知e 为自然对数的底数，设函数)(x f ),2,1()1)(1(=--=k x e k x 则( )A ．当k=l 时，f(x)在x=l 处取到极小值B ．当k=l 时，f(x)在x=l 处取到极大值C ．当k=2时，f(x)在x=l 处取到极小值D ．当k=2时，f(x)在x=l 处取到极大值3．（2013湖北．10，5分）已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点),(,2121x x x x <则( )21)(,0)(21->>⋅x f x f A 21)(,0)(21-<<⋅x f x f B 21)(,0)(21-<>⋅x f x f C 21)(,0)(21-><⋅x f x f D4．（2012陕西．7,5分）设函数,)(xxe x f =则 ( ))(1.x f x A 为=的极大值点 )(1.x f x B 为=的极小值点 )(1.x f x C 为-=的极大值点 )(1.x f x D 为-=的极小值点5．（2012重庆，8，5分）设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为),(x f 且函数)()1(x f x y -=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(l)B ．函数f(x)有极大值f-2）和极小值f(l)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2）D ．函数f(x)有极大值f-2）和极小值f(2) 6．（2011广东．12，5分）函数13)(23+-=x x x f 在x=处取得极小值．智力背景三十六军官问题（一） 大数学家欧拉曾提出一个问题：从不同的6个军团各选6种不同军阶的6 名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且翠阶各不 相同，应如何排这个方队？欧拉提出用(1，1)表示来自第一个军团具有第一种军阶的军官，用(1，2)表示 来自第一个军团具有第二种军阶的军官，用(6，6)表示来自第六个军团具有第六种军阶的军官，7．（2011江苏．12.5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在点P 处的切线L 交y 轴于点M ．过点P 作L 的垂线交y 轴 于点N ．设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是8．（2013天津，20,14分）已知函数.ln )(2x x x f = (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s ，使);(s f t =(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为),(t g s =证明：当>t 2e 时，有⋅<<211)(ln 52nt t g 9．（2013课标全国II ，21，12分）已知函数+-=x e x f x （ln )().m(1)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 的单调性； (2)当2≤m 时，证明.0)(>x f10.（2013浙江，22，14分）已知,R a ∈函数ax x x x f 33)(23+-=.33+-a(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；(2)当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值． 11.（2013山东．21，13分）设函数 71828.2)(=<+=e c exx f h 是自然对数的底数，).R c ∈ (1)求)(x f 的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程)(|ln |x f x =根的个数．12.（2013江苏．20,16分）设函数-=-=x e x g ax x x f )(,ln )(,ax 其中a 为实数．(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在(1，)∞+上有最小值，求a 的取值范围； (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论． 13.（2013广东，21，14分）设函数∈--=k kx e x x f x （2)1()().R(1)当1=k 时，求函数)(x f 的单调区间；(2)当]1,21(∈k 时，求函数)(x f 在[0，k]上的最大值M 14.（2012安徽，19，13分）设函数⋅>++=)0(1)(a b aeae x f xx(1)求)(x f 在),0[+∞内的最小值；(2)设曲线)(x f =γ在点))2(,2(f 处的切线方程为,23x y =求a ，b 的值 15.（2011江西．19,12分）设.22131)(23ax x x x f ++-= (1)若),32()(+∞在x f 上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当O<a<2时，)(x f 在[1，4]上的最小值为)(316x f 求-在该区间上的最大值. 智力背景三十六军官问题（二） 在前面的表示方法下，欧拉要解决的问题题是如何将这36个数对排成方阵，使得每行每列的数无论从第一个数看还惹从第二个教看，都恰好由l 、2、3、4、5、6组成．历史上称这个问题为三十六军官问题，直到20世纪初才被证明 ．这样的方队是排不起来的，到1960年，证明了n=4t+ 2(t ≥2)阶欧拉方阵都是存在的.考点3 导数的实际应用1．（2013四川．10.5分）设函数e R a a x e x f x ,)(∈<-+=为自然对数的底数）．若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使得,))((00y y f f =则a 的取值范围是( )],1.[e A ]1,1.[1--e B ]1,1.[+e C ]1,1.[1+--e e D2．（2013辽宁．12.5分）设函数)(x f 满足=+⋅)(2)(2x xf x f x ,8)2(,2e f x e x =则x>0时，)(x f ( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 3．（2013辽宁，21，12分）已知函数=+=-)(,)1()(2x g e x x f x.cos 2123x x x ax +++当]1,0[∈x 时，(1)求证：;11)(1xx xf +≤- (2)若)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 4．（2013湖南，22，13分l 已知a>0，函数⋅+-=|2|)(ax ax x f(1)记f(x)在区间[O ，4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a ，使函数y=f （x ）在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 5．（2011山东，21，12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为380π立方米，且.2r l ≥假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r ．6．（2011福建，18，13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元／千克）满足关系式,)6(1032-+-=x x ay 其中a x ,63<<为常数，已知销售 价格为5元／千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 7．（2009湖南．19，13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为x x )2(+万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？智力背景被墨水盖住的算式 据说英国物理学家牛顿小的时候，有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没 有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹，图显 示了这个令人不快的结果，式中只剩下了3个数字较为清晰，小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道 题凑巧用了O 、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个．你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗？（答案：289 +764 =1053）解读探究知识清单1．函数的单调性对于在(a ，b)内的可导函数)(),(x f x f 在（a ，b ）的任意子区间内都不恒等于0．为①)(0)(/x f x f ⇔≥ 为②)(0)(/x f x f ⇔≤2．函数的极值(1)判断)(0x f 是极值的方法一般地，当函数)(x f 在点0x 处连续时，a ．如果在0x 附近的左侧③ ，右侧④ ，那么)(0x f 是极大值；b ．如果在0x 附近的左侧⑤ ，右侧⑥ ，那么)(0x f 是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 a ．求);(x fb ．求方程⑦____的根；c ．检查)(x f 在方程⑧ 的根的左、右侧的值的符号．如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得⑨ ；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得⑩ 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数)(x f 在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数)(x f 在[a ，b]上单调递增，则为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数)(x f 在[a ，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值．(3)设函数)(x f 在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，求)(x f 在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤如下：a ．求)(x f 在(a ，b)内的b ．将)(x f 的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【知识拓展】1．在确定函数的单调区间，求函数 的极大（小）值时，都应首先考虑所给函数的定义域，函数的单调区间应是其定义域的子集．2．当求出函数的单调区间（如单调增区间）有多个时，不能把这些区间取并集，)0)((0)(3//<>⋅x f x f 是是)(x f 在某一区间上为增函数（或减函数）的充分不必要条件．4．极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但如果连续函数在开区间（a ，b ）内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值．5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可．6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点．知识清单答案智力背景莱氏数学游戏 俄国诗人慕蒙托夫也是一个数学爱好者，他在服役时，有一次给周圃的军官做一个 数学游戏．他让一个军官先想好一个数，不要告诉别人，然后在这个数上加25，心算好了以后，再加上 125，然后再减去37.把算好的结果减去原来想的那个数，结果再乘5并除以2，最后，莱蒙托夫对那个军 官说：答案是⋅21282突破方法方法1 导数与单调性（或单调区间）一般地，涉及函数（尤其是一些复杂函数）的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解，函数在定义域内存在单调区间，就是不等式0)(0)(//<>x f x f 或在定义域内有解，这样就可以把问题转化为解不等式，例1 （2012山东．22,13分）已知函数k ekx x f x<+=ln )(为常数，e =2.71828t"是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点(1，f(l)）处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设),()()(/2x f x x x g +=其中)(/x f 为)(x f 的导函数．证明：对任意.1)(,02-+<>e x g x 解题思路解析(1)由,ln )(xe kx x f +=得),,0(,ln 1)(/+∞∈--=x xex x kx x f x（1分） 由于曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线与x 轴平行， 所以,0)1(/=f 因此k=1． （3分） (2)由(1)得),,0(),ln 1(1)(/+∞∈--=x x x x xex f x 令 ),,0(,ln 1)(+∞∈--=x x x x x h当)1,0(∈x 时，;0)(>x h 当),1(+∞∈x 时，.0)(<x h （5分） 又 ,0>xe 所以)1,0(∈x 时，;0)(/>x f.0)(,),1(/<+∞∈x f N x因此)(x f 的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为).,1(+∞ （7分） (3)证明：因为),()()(g /2x f x x x += 所以⋅+∞∈--+=),0(),ln 1(1)(x x x x ex x g x 因此对任意,0>x21)(-+<e x g 等价于⋅++<---)1(1ln 12e x e x x x x（8分）由(2)中),,0(,ln 1)(+∞∈--=x x x x x h得 ),,0(),ln (ln 2ln )(2/+∞∈--=--=-x e x x x h 因此当),0(2-∈e x 时，)(,0)(/x h x h >单调递增； 当),(2+∞∈-e x 时，)(,0)(/x h x h <单调递减， 所以)(x h 的最大值为,1)(22--+=e e h 故.1ln 12-+≤--e x x x （10分） 设 ).1()(+-=x e x xϕ 因为 ,1)(0/e e e x xx-=-=ϕ所以),0(+∞∈x 时，)(,0)(/x x ϕϕ>单调递增， （11分）,0)0()(=>ϕϕx故),0(+∞∈x 时，,0)1()(>+-=x e x xϕ即.11>+x e x（12分） 所以).1(11ln 122--++<+≤--e x e e x x x x 因此，对任意.1)(,02-+<>e x g x （13分） 【方法点拨】 (1)利用导数的符号判断函数的增减性一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a ，b)内，如果,0)(/>x f 那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果,0)(/<x f 那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．(2)求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数)(x f 的定义区间．②求),(/x f 令,0)(/=x f 解此方程，求出它在定义区间内的二切实根，③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间．④确定)(/x f 在各小开区间内的符号，根据)(/x f 的符号判定函数)(x f 在每个相应小开区间内的增减性．方法2导数与极值（或最值）例2（2012重庆．16,13分）设,12321ln )(+++=x x x a x f 其中,R a ∈曲线)(x f y -在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的极值． 解题思路解析 (1)因为,12321ln )(+++=x x x a x f 故=)(/x f ⋅+-23212x x a 由于曲线)(x f y =在点（1，f(l)）处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即,0)1(/=f 从而,02321=+-a 解得=a .1- （5分）智力背景千岛碧水画中游 动人数字显神奇千岛湖即新安江水库 ，建于上世纪50年代，水库坝高105米，长462米，库长约150公里，最宽处述l0 余公里，最深处达100余米，面积约580平方公 里，比杭州西湖 大104倍，蓄水量可迭178亿立方米，比西湖多3000多倍，湖内常见的岛屿有398个，大中岛屿1078 个，它以群山巍峨叠翠、湖水澄清、岛屿星罗棋布、形态奇特著称，既似太湖的烟波浩渺，又有西湖的娟秀气韵，恰似白居易《江南好》中“卷来江水绿如蓝”．(2)由(1)知 ),0(12321ln )(>+++-=x x x x x f 2222/2)1)(13(212323211)(x x x x x x x x x f -+=--=+--= （8分）令,0)(/=x f 解得31(31,1221-=-==x x x 因不在定义域内，舍去）．当)1,0(∈x 时，,0)(/<x f 故)(x f 在(0，1)上为减函数； （10分） 当),1(+∞∈x 时，,0)(/>x f 故)(x f 在),1(+∞上为增函数． （12分）故)(x f 在x=l 处取得极小值.3)1(=f （13分） 【方法点拨】 1．利用导数研究函数的极值的一般步骤： (1)确定定义域．(2)求导数⋅)(/x f(3)①若求极值，则先求方程0)(/=x f 的根，再检验)(x f 在方程根的左右值的符号，求出极值．（当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=)(/x f 0根的大小或存在情况，从而求解． 2．求函数)(x f y =在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数)(x f y =在(a ，b)内的极值；(2)将函数)(x f y =的各极值与端点处的函数值)(),(b f a f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.方法3利用导数证明不等式——构造函数法导数作为一种研究数学知识的工具，在求单调性、最值、切线等方面发挥了独特的作用，大有不可替代之势．同样，巧妙地构造函数，通过研究函数的单调性也能完成一些不等式的证明问题， 例3（2011山东潍坊模拟，12分）已知定义在正实数集上的函数=+=)(,221)(2x g ax x x f ,ln 32b x a + 其中a>0．设两曲线)(),(x g y x f y ==有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：).0)(()(>≥x x g x f解题思路解析 ,3)(,2)()1(2//x a x g a x x f =+=由题意知 ),()(),()(0/0/00x g x f x g x f ==即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=++=+020202032,ln 3221x a a x b x a ax x （3分） 由,32020x a a x =+得a x =0或a x 30-=（舍去）．即有 .ln 325ln 322122222a a a a a a a b -=-+=（4分）令),0(ln 325)(22>-=t t t t t h 则).ln 31(2)(/t t t h -=于是当,0)ln 31(>-t t 即310e t <<时，;0)(/>t h （5分） 当,0)ln 31(<⋅-t t 即31e t >时，.0)(/<t h （6分）故)(t h 在).,0(31e 上为增函数，在),(31+∞e 上为减函数， （7分）于是)(t h 在),0(+∞上的最大值为,23)(3231e e h =即b 的最大值为.2332e （8分）(2)证明：设x a ax x x g x f x F ln 3221)()()(22-+=-=),0(>-x b 则).0()3)((32)(2/>+-=-+=x xa x a x x a a x x F （9分） 故)(/x F 在（O ，a ）上为减函数，在),(+∞a 上为增函数． (10分)于是)(x F 在),0(+∞上的最小值是)()()(00x f x F a F ==.0)(0=-x g (11分) 故当x>0时，有,0)()(≥-x g x f 即当x>0时，⋅≥)()(x g x f (12分) 【方法点拨】 利用导数证明不等式的方法 1．构造函数),(x ϕ求其单调区间； 2．判断区间端点函数值与0的关系；3．判断定义域内)(x ϕ与0的大小关系，证不等式．方法4利用导数求参数范围根据不等式在某区间上恒成立，求参数的范围时，可先分离参数，然后再转化为求函数在区间上的最值问题来解决．例4（2011安徽．16,12分）设,1)(ω+=xe xf 其中a 为正实数．(1)当34=a 时，求)(x f 的极值点；(2)若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解题思路解析 对f(x)求导得①.)1(21)(222/ax axax e x f x+⋅-+=（2分）(1)当3=a 时，若,0)(=x f 则,03842=+-x x 解得 ⋅==21,2321x x （4分）智力背景电脑算命 “电脑算命”看’起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”．我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句像中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年、月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子．电脑算命是对科学的亵渎．结合①，可知所以231=x 是极小值点，212=x 是极大值点． （7分） (2)若)(x f 为R 上的单调函数，则)(/x f 在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立， （10分）因此 ,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合a>0，知O<a ≤1． （12分） 【方法点拨】 利用导数求参数范围的方法三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：55分钟 分值.70分一、选择题（每题5分，共15分）1．（2013河北石家庄二模．12）已知函数1)(+-=mx e x f x的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )2.≤m A 2.>m B 21.-≤m C 21.->m D 2．（2013陕西宝鸡一模，9）已知函数,1)(3--=ax x x f 若)(x f 在（-1，1）上单调递减，则a 的取值范围为 ( )3.≥a A 3.>a B 3.≤a C 3.<a D 3．（2013湖北黄石二模，7）设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( )3.V A 32.V B 34.V C ⋅32.V D二、填空题（共5分）4．（2013东北八校4月．5）已知函数+++==bx ax x x f y 33)(232=x c 在处有极值，其图象在x=l 处的切线平行于直线+x 6,052=+y 则)(x f 的极大值与极小值之差为 三、解答题（共50分）5．（2013北京东城高三上学期期末）已知,R a ∈函数xax f =)(.1ln -+x (1)当a=l 时，求曲线)(x f y =在点（2，f(2)）处的切线方程； (2)求)(x f 在区间（O ，e]上的最小值．6．（2013山东聊城三模．21）一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 7．（2013北京昌平一模，21）已知函数).(4)(23R a ax x x f ∈-+-= (1)若函数)(x f y =的图象在点P （1，f(l)）处的切线的倾斜角为]1,1[)(,4-在求x f π上的最小值；(2)若存在),,0(0+∞∈x 使,0)(0>x f 求a 的取值范围． 8．（2012北京海淀4月模拟．18）已知函数.)(h e x f -=).0)(1(2<-+k kx x (1)求)(x f 的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数)(x f 的极大值等于?32-e若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由，智力背景大海里的船 英国劳埃德保险公司曾从拍卖市场买下一艘船，这艘船1894年下水，在大西洋上曾138次遭遇冰山，116次触礁，13次起火，207次被风暴扭断桅杆，然而它从没有沉没过，现在这艘船就停泊在英国萨伦港的国家船舶博物馆里．使这艘船名扬天下的是一名来此观光的律师．当时，他刚打输了 一场官司，委托人也于不久前自杀了，每当商界的委托人请他辩护，无论输赢，他都建议他们去看看这艘 船．它使我们知道：在大海上航行的船没有不带伤的．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：55分钟 分值.70分一、选择题（每题5分，共15分）1．（2013江西上饶5月，10）已知,3)(3m x x x f +-=在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以)(),(),(c f b f a f 为边长的三角形，则m 的取值范围是 ( ) 2.>m A 4.>m B 6.>m C 8.>m D2．（2013天津北辰二模．6）设直线x=t 与函数)(,)(2x g x x f =x ln =的图象分别交于点M ，N ，则当｜ MN ｜达到最小时t 的值为 ( )1.A 21.B 25.C 22.D3．（2013湖南株洲一模．7）横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为 ( )d d A 33,3. d d B 36,33. d d C 33,36. d d D 3,36. 二、填空艇（每题5分，共10分）4．（2013黑龙江哈尔滨一模．13）函数x x y cos 2+=在区间⋅]2,0[π上的最大值是5．（2013江苏扬州4月，9）曲线)0(32>-=x x y 上与定点P(O ，2)距离最近的点的坐标为 三、解答题（共45分）6．（2013北京东城一模）已知函数a e a ax x x f x（-++=)()(2为常数，e 为自然对数的底数）． (1)当a=0时，求);2(f(2)若)(x f 在x=0时取得极小值，试确定a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，设由)(x f 的极大值构成的函数为g(a)，将a 换元为x ，试判断曲线)(x g y =是否能与直线y x 23-m m （0=+为确定的常数）相切，并说明理由． 7．（2013山西临汾一模．21）定义在R 上的函数23)(bx ax x f +=3++cx 同时满足以下条件：)(x f ①在(O ，1)上是减函数，在),1(+∞上是增函数；)(/x f ②是偶函数；)(x f ③的图象在0=x 处的切线与直线2+=x y 垂直．(1)求函数)(x f y =的解析式；(2)设,ln 4)(m x x g -=若存在],,1[e x ∈使),()(x f x g <求实数m 的取值范围． 8．（2013贵州毕节二模．20）已知函数).0(ln )(>=x x x x f(1)求函数)(x f 的最小值；(2)设),)(()(/2R a x f ax x F ∈+=讨论函数)(x F 的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线)(x f y =交于,().,(211x B y x A ))(212x x y <两点，求证：⋅<<211x kx 9．（2012河南郑州三模．21）已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++--)1)(1(),1(123x e c x bx x x x α在32,0==x x 处存在极值． (1)求实数a ，b 的值；(2)函数)(x f y =的图象上存在两点A ，B 使得△AOB 是以坐标原点0为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围；(3)当c=e 时，讨论关于x 的方程)()(R k kx x f ∈=的实根个数．智力背景药剂师的砝码 省肿瘤医院某药剂师要将300克的药粉分成100克和200克各一份，可是天平只有30克和35克两个砝码善于推理的药剂师用这台天平称了两次，就把药粉分好了，你知道他是怎样称的吗？ 答案：分两步，第一步将30砝码放一盘上，再把300克药粉分别倒在两个盘上，使天平平衡．于是，一盘有药粉165克，另一盘135克；第二步利用35克砝码，从135克药粉中称出35克，加到16克药粉中.。