专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)

第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值

【套路秘籍】

一．函数的单调性

在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值

(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：

①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；

②求方程f ′(x )＝0的根；

③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值

(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．

【套路修炼】

考向一 单调区间

【例1】求下列函数的单调区间：

（1）3

()23f x x x =-； （2）2

()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析

【解析】（1）由题意得2

()63f x x '=-.

令2

()630f x x '=->，解得2x <-

或2

x >.

当(,2x ∈-∞-

时，函数为增函数；当)2

x ∈+∞时，函数也为增函数.

令2

()630f x x '=-<，解得22x -

<<.当(22

x ∈-时，函数为减函数.

故函数3

()23f x x x =-

的单调递增区间为(,2-∞-

和)2+∞

，单调递减区间为(22

-. （2）函数2

()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞

.1()2f x x x '=-

= 令()0f x '>

，解得2x >

；令()0f x '<

，解得02

x <<. 故函数2

()ln f x x x =-

的单调递增区间为(

)2+∞，单调递减区间为(0,)2

. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]． f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－1

2·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x 2

＞0.

即⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x ＞0，

2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)． 令f ′(x )＜0，则1－x

2x －x 2＜0，即⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x ＜0，

2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)． 【举一反三】

1．函数y ＝4x 2＋1

x 的单调增区间为________．

【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞

【套路总结】

用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性

证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'

()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间 ①求函数的定义域D ②求导'

()f x

③解不等式'

()f x ＞()<0得解集P

④求D

P ,得函数的单调递增（减）区间。

一般地，函数()f x 在某个区间可导，'

()f x ＞0⇒()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导，'

()f x ＜0⇒()f x 在这个区间是减函数

当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接

【解析】 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >1

2，

∴函数y ＝4x 2＋1

x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x

＋1

的单调增区间是________．

【答案】 (e －1，＋∞)

【解析】 由f (x )＝x ·e x －e x ＋

1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1， 所以函数f (x )的单调增区间是(e －1，＋∞)．

3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________． 【答案】 ⎝⎛⎭

⎫0，1

e 【解析】 因为函数

f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )<0时，解得0

e

，即函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______． 【答案】 ⎝

⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π

2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，

则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调增区间为⎝

⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π

2. 考向二 极值

【例2】求函数f (x )＝2x

x 2＋1－2的极值．

【答案】见解析

【解析】函数的定义域为R.f ′(x )＝2

x 2＋1－4x 2x 2＋1

2＝－2

x －1x ＋1

x 2＋12

. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.

当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

x (－∞，－1)

－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )

↘

极小值

↗

极大值

↘

由表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－2

2

－2＝－3；