导数的单调性与极值题型归纳

3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：3．函数的最值试一试：1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．变式1 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．考点4 含有参数的分类讨论例4：已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．课堂练习：1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值后作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．10．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值教师版知识梳理 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 试一试1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令e x－a≥0，则e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 考点二 利用导数求函数的极值 例2设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．(2014·福建三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．变式已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.例4：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[6分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[14分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[16分]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 答案：(0，＋∞)2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e)≥4，解得m ≤－3e.又f ′(x )＝x ＋mx 2，且x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0, 即f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，即m ＝－3e. 答案：－3e3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1，无极大值． f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．)9．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．10．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。

专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性1.证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1. ！3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．…题型四 用单调性与导数关系证不等式6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2.7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.；题型五、函数的极值问题8．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝1xC ．y ＝3x －1D ．y ＝x 29．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点…10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________．12．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________．题型六、利用极值求参数范围13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称…B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．题型七、导数用于解决实际问题15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．1216．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．题型八、图像问题17.二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限18.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ):巩固练习：19.定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}20．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )—21.若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22.已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．23.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题24．求证：x >0时，1＋2x <e 2x . （25.设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.26．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．·27.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．28．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．|专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案1.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 2.解 (1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)，令f ′(x )>0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. …∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)；令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)，∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． 3.解 ∵函数y ＝f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－1x＝2x －1x ＋1x， x (－∞，－1)－1 (－1,0) #(0,1)1 (1，＋∞)f ′(x )－＋－＋#f (x )↘ 1 ↗ ↘ 1 ↗ 22－1)，(0,1)上单调递减．4.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， "即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－5.解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3， |即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．6.审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，证明f (x )在(0，＋∞)上单调增，由f (x )>f (0)＝0证得．[规范解答] 令f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，(4分)则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x.(6分)当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(8分) ^于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立．(12分)7.证明 设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22.∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3. 8.[答案] D[解析] 画出图像即可知y ＝x 2存在极值f (0)＝0. '9.[答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题． f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时 f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点． 对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．[解析] 如y ＝x 3，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点． 11.[答案] －1e[解析] y ′＝(x ＋1)e x ＝0，x ＝－1.&当x <－1时，y ′<0，当x >－1时y ′>0 ∴y min ＝f (－1)＝－1e12.[答案] 3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.13.[答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称， ∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)， ∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .|显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.14.[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0. 因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3. 15.[答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值． 16.[答案]C 2N C 1[解析] 设每批生产x 台，则一年生产N x 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2Nx (0<x <N )． （y ′＝C 1－C 2Nx 2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数．17.[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A. 18.[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.19.[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12， ∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B. .20.[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)， ∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)， 即f ′(π3)＝－12. ∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0， 故f (x )在R 上递减．又∵－12<log 32， ∴f (－12)>f (log 32)， 即f (a )>f (b )． &21.[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 22.[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f1>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.23.[答案] (－3，－2) )[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．24.[分析] 利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定．[解析] 设f (x )＝1＋2x －e 2x ， 则f ′(x )＝2－2e 2x ＝2(1－e 2x )． 当x >0时，e 2x >1，f ′(x )＝2(1－e 2x )<0，所以函数f (x )＝1＋2x －e 2x 在(0，＋∞)上是减函数．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即当x >0时，1＋2x －e 2x <0，即1＋2x <e 2x . 25.[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝a x ＋x ＋1－x －1x ＋12＝a x ＋2x ＋12~∵a ＝0，∴f ′(x )＝2x ＋12，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)， 即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a x ＋12＋2x x x ＋12＝ax 2＋2a ＋1x ＋ax x ＋121°当a ＝0时，f ′(x )＝2x ＋12>0，∴f (x )在(0，＋∞)递增． 令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋aΔ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋42°当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根x 1＝－a ＋1－2a ＋1a，x 2＝－a ＋1＋2a ＋1a《∵a >0，∴x 1<0，x 2<0.∴g (x )>0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0 故f (x )在(0，＋∞)递增．3°当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0. 故f (x )在(0，＋∞)递减． 当Δ>0，即－12<a <0时， x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a >0， x 2＝－a ＋1－2a ＋1a>0 ∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；∴f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减．综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)递增． 当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)递减(其中x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a)． 当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)递减．26.[分析] 如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ，然后利用导数求最值．[解析] 设矩形边长为AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去) .当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0， ∴当x ＝23时，S 取得最大值，此时，S 最大＝3239，y ＝83. 即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．[点评] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．27.[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去．∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减．当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增．∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.28.[分析] [解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1e x －12＋1＝e x e x －x －2e x －12. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.。

导数与函数的单调性解析与归纳导数与函数的单调性在微积分中占据着重要的地位，它们能够帮助我们更深入地了解函数的性质。

本文将围绕导数与函数的单调性展开讨论，并对其中的解析与归纳进行详细阐述。

一、导数的定义与计算方法函数的导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

导数的定义可以用极限来表达，即函数在某点处的导数等于该点附近的函数值变化量与自变量变化量的比值，在数学中可以表示为：\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}} \]具体计算导数的方法有多种，如基本的导数运算法则、链式法则、高阶导数等。

这些计算方法能够帮助我们在具体问题中快速求得函数的导数。

二、导数与单调性的关系函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。

导数与函数的单调性有着密切的联系，具体而言，函数在某一区间上单调递增的条件是其导函数大于零，而单调递减的条件是导函数小于零。

通过导数的符号变化，我们可以判断函数的单调性。

三、导数与函数单调性的解析和证明为了判断函数的单调性，我们需要分析函数的导数在定义域内的符号变化。

具体解析单调性的方法有以下几个步骤：1. 求得函数的导数；2. 找出导数的零点，即导数为零的点，这些点即为函数可能改变单调性的位置；3. 针对导函数的零点，作出符号变化表，利用导函数的符号变化可以得出函数的单调性。

举个例子，考虑函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们可以按照上述步骤解析其单调性：1. 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$；2. 根据 $f'(x) = 0$，我们可以解得导数的零点为 $x_1 = 1-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$ 和 $x_2 = 1+\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$；3. 绘制导数的符号变化表：\[\begin{array}{ccccc}x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 \\f'(x) & \text{负} & 0 & \text{正} & \text{负} \\\end{array}\]根据符号变化表可以得出函数在 $(-\infty, x_1)$ 单调递减，在 $(x_1, x_2)$ 单调递增，在 $(x_2, +\infty)$ 单调递减。

利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。

导数的应用（单调性与极值）一、求函数单调区间1、函数y=x y—3x的单调递减区间是_______________2、函数/U）=（x—3）"的单调递增区间是____________3、函数金） = hu—Q（“>0）的单调递增区间为（）A.（0,》B. 十8）B. C. （— 8, » D. （— 8, “）4、函数y=x—2shu・在（0,2町内的单调增区间为_____5、求函数/（A）=A（e v—1）—y的单调区间.6、已知函数/（x）=-+x+（6/ — l）ln A + 15«,其中“<0,且—1.讨论函数夬尤）的单调性.二、导函数图像与原函数图像关系导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率导函数大小决定原函数陡峭平缓1、若函数y=f(x)的导函数在区间R/, h ］上是增函数，则函数 >=心)在区间［⑺切上的图象可能是()2、若函数y=f(x)的导函数在区间饲上是先增后减的函数，则函数y=J(x)在 区间［g b ］上的图象可能是()4、函数/(x)的导函数f (x)的图象，如图所示，则(B. x=0是极小值点 D.函数人劝在(1,2)上单增三. 恒成立问题 1、已知函数f (x)二x'-；x~+bx+c.若f(x)在(-8, +oo)上是增函数，求b 的取x=\是最小值点C. x=2是极小值点3、设曲线y =工+1在其任一点(X,刃处切线斜率为g(x),则函数y=g(x)・cos x值范围；72、已知函数/(x) = 4x+av2-|x3(xeR)在区间［-1,1］上是增函数，求实数a的取值范围.3、若函数)'=丘_亦+4在(02)内单调递减，则实数"的取值范亂4、已知函数f(x)=ax-\nx,若/⑴＞1在区间(1, +~)rt恒成立，实数。

的取值范围。

四. 极值的应用U 若 ynalnx+bF+x 在 x=l 和 x=2 处有极值，则，b= ---------------------- 2、当函数y=x ^取极小值时，x=（） A •需 B ・-珏 C. ~ln2 D. In2 3、函数用）=丘一3加+3方在（0,1）内有极小值，则（ ）A. 0<b<lB. XIC. h>0D. /?<|r 34、函数）=专+/ — 3兀一4在［0,2］上的最小值是（5、已知函数f(x) = — x 3 + 3A 2+9%+«.A. 17 B. 10 TC. -4D. 64 T⑴求・ZU)的单调递减区间：⑵若用)在区间［一2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.6、设函数/U) = 2v3+3+3+8c在x= 1及x=2时取得极值. ⑴求°、b的值；(2)若对任意的•胆［0,3］,都有/(x)vc2成立，求c的取值范围.7、若函数J［x)=x i-3x+a有三个不同的零点，则实数。

导数的应用（单调性与根值）一、求函数单嵋区间1、函Uy=V-3%的单调递减区间是____________________2、函数心） = （x-3）N的单调«!§E间是______________3、函数心） = lnx-族少0）的单调递增区同为（）A. （0,》B.1B. C. （一，J D. （一，3）4、函S y= x- 2sinx 在(0,2n)内的单E fa］为 ___________5、求函U XA）= A（e x-1）-|fj 单凋区间.6、已知函U M = ~ + x+（^-1）ln%+15<?,其中衣0,且砂-1.过论函数心）的单X调性.二、导函数图像与原函数图像关系导函数正负决定原函数递増递减导函数大小等于原函數上点切线的斜率导函数大小决定原函数陡晞平缓1、若函54 y= M的导函数在区间［刀,力］上是増函数,则函Uy= M在区同“,力］2、若函数y= M的导函数在区间勿上是先增后城的函I函数在区同【么力］上的图象可能是（）3、设曲M y=v + 1在其任一点（儿力处幼线斜率为zXA）, i函数y二财・cos x 的部分图象可以为（）4、函数/w的导函a/w的图象，如图所示，|()%=1是最小值直B. x=0是檢小值点C. x=2是板小值点D.函数心)在(1,2)上单增三.恒成立冋题K已知函U f(x)=x3-lx2+bx+c.若偸)在(+8)上是塔函数，求b的取值XU；2、已知函数/(X) = 4x + av2-|x3(XG/?)在区间［一1,1］上是增函数，XX数a的取axis ・3、若函Uj/=y-^ + 4在(0,2)内单调递毓,则实数刀的取值X围。

4、已知函U M = ax- Inz,若心)>1在区间(1, +吋内恒成立，实数刀的取值X 围。

皿、根值的应用1、若_/= Nnx+ b殳+ x在x= 1和%= 2处有极值，则3= ________ , b- _________2、当函数方上2”取极小值时,%=(•-蕊-In2 D. In2 A•需B3、函数心)=#-3加+3力在(0,1)内有枚小値，则()A. 0</?<1B. b<A1C. b> 0 D・力eg4、函»y=| + y-3%-4在［0,2］上的最小值是()17 10A- -T B.盲64C. -4D.5、已知函U /(A)=- V + 3V + 9x+ a.⑴求心)的单调递减区同;(2)若心)在区同[-2,2]上的最大值为20,求它在该区同上的最小值.6、设函数心) = 2#+ 3/+ 3加+ 8cSx=1 @ x=2时取得榄值. ⑴求么Q的值；(2)若对任意的xe [0,3],都有心)<d成立，求c的取值X ffl.7、若函数二刀有三个不同的零点，则实数刀的取值X围是8、设函U 4^) = 6A3 + 3(^+ 2)V + 2ax.(1) 若心)的两个机值点为爲，X2, fl ^ = 1, XX数刀的值；(2) 是否存在实数刀，使fl 4A)是(-「+吋上的单调函数？若存在，求岀刀的值; 若不存在，说明理由.9、已知XG R,$ il： eh 加.。

第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即 时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。

利用导数求函数单调性题型全归纳一.求单调区间二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2()2ln 0xg x a a '=+>所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()xf x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()xf x e a =-，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0xf x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'()0xf x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <，又*a N ∈，解得：5542a <<，所以正整数a 的取值集合{2} 三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x，若函数()y f x 在1（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x在1（，）上是减函数所以'2ln 1()0(ln )x f x ax 在1（，）上恒成立，即2ln 1(ln )x ax 在1（，）上恒成立令ln ,(1)t x x ，则0t，21()(0)t h t t t ，则max ()ah t因为222111111()=()()24t h t t t tt，所以max 1()=(2)4h t h ，所以14a 变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x 在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数，试求实数a 的取值范围.解：2'()=1f x x ax a因为函数()yf x 在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x，恒成立，即2210(1,4)10,(6,)x ax a x xaxa x，所以2211,(1,4)111,(6,)1x ax x x x ax xx ，所以4161a a，所以57a四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x且时，比较x e 与221x ax 的大小关系.解：令2()21(0)x f x e x axx，则'()=22xf x e x a令'()()g x f x则'()e 2xg x ，令'()0g x 得：ln 2x当ln 2x 时，'()0g x ；当ln 2x时，'()0g x所以ln2min ()()=(ln 2)2ln 2222ln 22g x g x g e aa极小值，因为ln 21a，所以'()()0g x f x ，所以()f x 在0（，）上单调递增 所以()(0)0f x f ，即2210xe x ax ，所以221xe x ax变式：对于R 上的可导函数()y f x ，若满足'(3)()0xf x ，比较(1)(11)f f 与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0xf x所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f > 当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kxG x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k 上单调递增当1()x k ∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >=即()()f x g x >，综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 变式：已知关于x 的方程2(1)xx e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+证明：因为2(1)xx e ax a --=，所以2(1)1x x e a x -=+，令2(1)()1x x e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增 因为关于x 的方程2(1)xx e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、 所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞，要证：120x x <+，只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x ，所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0xxx e x e---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x xx x e x e -=--+，0x ∈-∞（，），则g ()()xx x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，），所以0xx e e -->所以g ()()0xx x x ee -'=-<恒成立所以g()(1)(1)xxx x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减，所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()xf x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)xxxxf x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -=，所以：=3a a e令()3(2)ag a e a a =->，则'2()31310ag a e e =->-> 所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增，又2(2)320g e =-> 所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点，即方程=3aa e 无解 综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 变式：已知函数()ln()(0)x af x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值. 解：1()=x af x ex a -'-+，令()()g x f x '=，则21()=0(x ag x e x a -'+>+） 所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增，所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a -=-=+，即001=x a e x a -+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x af x f x ex a -==-+，由001=x aex a-+得：00=ln()x a x a --+所以0min 00001()()ln()=x af x f x ex a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件，所以12a = 八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e解：令()()xxg x e f x e =-，则()()()(()()1)xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+- 因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，所以()0g x '>， 所以()y g x =为R 上的单调递增函数，又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>xxe xf e 即()1xxe f x e ->，所以()(0)g x g >，所以0x > 即不等式：1)(+>xxe xf e 的解集为0+∞（，） 变式：已知定义在R 上的可导函数()yf x 满足'()1f x ，若(12)()13f m f m m ，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =-，则()()1g x f x ''=-，因为'()1f x所以()()10g x f x ''=-<，所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m ，得：(12)()f m m f m m （1-2)>即(12)()g m g m ->，所以12m m ->，即13m < 九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围. 解： '2()21f x x x a =--+，因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-，即2a =，检验知2a =符合题意. 令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln 3]--（， 变式：已知函数()y f x 是R 上的可导函数，当0x时，有'()()0f x f x x，判断函数13()()F x xf x x的零点个数 解：当0x时，有'()()f x f x x，即'()()xf x f x x令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >， 所以当0x >时，13()()0F x xf x x恒成立，函数()y F x 无零点当0x <时，'()()()0g x xf x f x ，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立所以13()()F x xf x x在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ，所以13()0F x x当x →-∞时，10x，所以()()0F x xf x所以13()()F x xf x x 在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合. 变式：已知函数ln(2)()x f x x=，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围.解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2ex = 所以当02ex <<时，()0,()f x f x '>单调递增当2ex >时，()0,()f x f x '<单调递减由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（1） （2）（4）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解，所以()f x a >-有两个整数解，因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =，所以ln 6ln 23a ≤-<，所以ln 6ln 23a -<≤-。

函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在理论上有着深刻的意义，在实际应用中也能帮助我们解决很多问题。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。

一、函数单调性的定义函数的单调性是指函数在某个区间内的增减性质。

如果对于区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）和\（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就说函数在这个区间上是单调递增的；如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），那么就说函数在这个区间上是单调递减的。

二、函数单调性的判定方法1、导数法对于一个可导函数\（f(x)＼），如果其导数\（f'（x) ＞ 0\）在某个区间内恒成立，那么函数在这个区间上单调递增；如果\（f'（x) ＜0\）在某个区间内恒成立，那么函数在这个区间上单调递减。

例如，函数\（f(x) ＝ x^2\），其导数\（f'（x) ＝ 2x\）。

当\（x ＞0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当\（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减。

2、定义法设\（x_1\），＼（x_2\）是给定区间上的任意两个自变量的值，且\（x_1 ＜ x_2\），计算\（f(x_2) f(x_1)＼），然后判断其正负。

若\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），则函数单调递增；若\（f(x_2) f(x_1) ＜ 0\），则函数单调递减。

三、函数极值点的定义设函数\（f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，且在\（x_0\）附近左侧导数\（f'（x) ＜ 0\），右侧导数\（f'（x) ＞ 0\），则\（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值；若在\（x_0\）附近左侧导数\（f'（x) ＞ 0\），右侧导数\（f'（x) ＜ 0\），则\（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值。

考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值知识点1.求函数单调区间的步骤：①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。

当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数2.求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。

3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。

5.求函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值例题1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________．2. 讨论下列函数的单调性：（1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；（2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3.求下列函数的极值：（1）x x x f 12)(3-=；（2）x ex x f -=2)(；（3）.212)(2-+=x x x f练习1.下列说法正确的是（ ）A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.函数y =216x x +的极大值为（ ） A.3 B.4 C.2 D.53.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为（ ）A.0B.1C.2D.44.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为（ ）A.e －1B.0C.－1D.15．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四个图象中y=f （x ）的图象大致是（ ）7.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y8．函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.9. 求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ； （2）22)(x x x f -=； （3）).0()(>+=b xb x x f10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．11.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围．。