第二章过程特性及其数学模型资料
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过程控制第二章 过程对象的动态特性讲诉
W0 ( S ) K (TS 1) n
Rn 1
如果 T1 T2 Tn T 则 若还具有纯延迟 则 W0 ( S )
K 0 S e (TS 1) n
串联多容对象的动态特性等于各单容对象动态特性的乘积
二、无自平衡能力的双容过程
利用前面所学知识 对于水箱1：
容量滞后 n ：一般是物料或能量传递克服一定的阻 力而引起的。
返回
§2.3 用响应曲线法辨识过程的数学模型
问题的提出：
许多工业过程，其内部工艺过程较为复杂或存在非线
性因素，甚至过程机理不明确，因而很难通过机理法对其 建模，只有采用实验建模的方法。 响应曲线法：又称1 ( S ) Q2 ( S ) Q1 ( S )
1 A1 R2 S 1
对于水箱2：
W02 ( S ) H 2 ( S ) Q2 ( S )
1 A2 S
H 2 ( S ) 1 1 1 1 W0 ( S ) Q1 ( S ) A1R2 S 1 A2 S T1S 1 Ta s
方法二：列写系统中各元件的微分方程；
在零初始条件下求拉氏变换； 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量； 整理成传递函数的形式。
返回
§2.1 单容对象的动态特性
单容对象：只有一个储蓄容量的对象。
一、自平衡过程的动态特性
自平衡过程：指过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏 ， 不需要操作人员或仪表等干预，依靠其自身逐渐达到新 的平衡状态的过程。
式中： q1，q2，h --分别为偏离某一平衡状态 q10，q20，h0 的增量 讨论：(1)、静态时，q1=q2，dh/dt=0 ； (2)、当q1变化时h变化 q2变化。
经线性化处理，有：
Rn 1
如果 T1 T2 Tn T 则 若还具有纯延迟 则 W0 ( S )
K 0 S e (TS 1) n
串联多容对象的动态特性等于各单容对象动态特性的乘积
二、无自平衡能力的双容过程
利用前面所学知识 对于水箱1：
容量滞后 n ：一般是物料或能量传递克服一定的阻 力而引起的。
返回
§2.3 用响应曲线法辨识过程的数学模型
问题的提出：
许多工业过程，其内部工艺过程较为复杂或存在非线
性因素，甚至过程机理不明确，因而很难通过机理法对其 建模，只有采用实验建模的方法。 响应曲线法：又称1 ( S ) Q2 ( S ) Q1 ( S )
1 A1 R2 S 1
对于水箱2：
W02 ( S ) H 2 ( S ) Q2 ( S )
1 A2 S
H 2 ( S ) 1 1 1 1 W0 ( S ) Q1 ( S ) A1R2 S 1 A2 S T1S 1 Ta s
方法二：列写系统中各元件的微分方程；
在零初始条件下求拉氏变换； 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量； 整理成传递函数的形式。
返回
§2.1 单容对象的动态特性
单容对象：只有一个储蓄容量的对象。
一、自平衡过程的动态特性
自平衡过程：指过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏 ， 不需要操作人员或仪表等干预，依靠其自身逐渐达到新 的平衡状态的过程。
式中： q1，q2，h --分别为偏离某一平衡状态 q10，q20，h0 的增量 讨论：(1)、静态时，q1=q2，dh/dt=0 ； (2)、当q1变化时h变化 q2变化。
经线性化处理，有：
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
第2章 被控对象的特性
10
举例
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描 述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
a1yt a0 yt xt
（2-2）
或表示成 Tyt yt Kxt
（2-3）
式中
T a1 , K 1
a0
a0
上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象 的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。
2020年7月10日星期五 2时9分7秒
衡。 水槽 对象
例如水槽对象
稳定时Q1＝Q2，h保持稳定。如Q1突 然增加，h逐渐增加，由于h↑，Q2随液 体静压强↑而↑，Q1与Q2的差值逐渐减小， h↑减慢，最后Q1与Q2重新相等， h又自 行稳定在新的高度h/上.
有自衡的对象有利于控制。除部分反 应器、锅炉汽包、泵排液对象之外，大 多数有自衡性质。
湖北大学化学化工学院 杨世芳
8
(2)参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模 型。对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微 分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来 表示。
2020年7月10日星期五 2时9分5秒
湖北大学化学化工学院 杨世芳
9
对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述方程式来描述
当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为 非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到， 有时也可以通过计算来得到。
特点
形象、清晰，比较容易看出其定性的特征
缺点 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难
表达形式 对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示
2020年7月10日星期五 2时9分5秒
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控
化工仪表及自动化第2章
1 A
Q12 Q 2
整理得
T1T 2 d h2 dt
2 2
T1 T 2
dh 2 dt
h 2 KQ 1
式中 T1 AR 1 为第一只贮槽的时间常数； T2 AR 2 为第二 只贮槽的时间常数； K R 2 为整个对象的放大系数。
17
第二节 对象数学模型的建立
第二章作业：P33，第8题
第二节 对象数学模型的建立
一、建模目的
（1）控制系统的方案设计 （2）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3）制定工业过程操作优化方案 （4）新型控制方案及控制算法的确定 （5）计算机仿真与过程培训系统 （6）设计工业过程的故障检测与诊断系统
9
第二节 对象数学模型的建立
二、机理建模
根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关 的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平 衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象 （或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。
10
第二节 对象数学模型的建立
二、机理建模
制器和执行器组成。系统的控制质量与被控对象的特性 有密切的关系。 研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输 入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称 为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变 量变化的因素，如下图所示。 几个概念 输出变量 输入变量 通道 控制通道 干扰通道
2.积分对象
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时， 称为积分对象。
Q2为常，A为贮槽横截面积
h
1
Q dt A
1
说明，所示贮槽具有积分特性。
第二章 过程特性及其数学模型
表示RC电路特性的微分方程式：
方程的解为： eo ei (1 et / RC )
e0的变化曲线如下：
13.已知一个简单水槽，其截面积为0.5m2，水槽中 的液体由正位移泵抽出，即流出流量是恒定的。 如果在稳定的情况下，输入流量突然在原来的基 础上增加了0.1m3/h，试画出水槽液位Δh的变化 曲线。
种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡
方程式等。 1、一阶对象（单容对象）
举例
1
Q1
如图所示为一液体储槽对象
其静态方程
Q1 Q2
h
2 Q2
Rs
h为一不变的常数。用微分方程来
描述对象往往着眼于变化量。
当在某一时刻t1到t2这段时间内Q1
Q1
发生变化，Q1＞Q2，这时流入水槽
水量为
h
dV (Q1 Q2)(t2 t1) (Q1 Q2)dt
干扰
对象
被控变量
对象的输入输出量
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。
二、数学模型的表示方法： 1.非参量模型：用曲线、图表表示系统的输入与
输出量之间的关系。
2.参量模型：用数学方程式表示的系统输入与输 出量之间的关系。
输 入
y
t
t τ0 τn 反应器温度控制系统
n—容量滞后
τ
所以滞后时间 0 n
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分，
两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
意义： 1.表示对象的惰性； 2.τ大时控制困难。 四、根据阶跃响应曲线作图求特性参数K、T和τ
方程的解为： eo ei (1 et / RC )
e0的变化曲线如下：
13.已知一个简单水槽，其截面积为0.5m2，水槽中 的液体由正位移泵抽出，即流出流量是恒定的。 如果在稳定的情况下，输入流量突然在原来的基 础上增加了0.1m3/h，试画出水槽液位Δh的变化 曲线。
种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡
方程式等。 1、一阶对象（单容对象）
举例
1
Q1
如图所示为一液体储槽对象
其静态方程
Q1 Q2
h
2 Q2
Rs
h为一不变的常数。用微分方程来
描述对象往往着眼于变化量。
当在某一时刻t1到t2这段时间内Q1
Q1
发生变化，Q1＞Q2，这时流入水槽
水量为
h
dV (Q1 Q2)(t2 t1) (Q1 Q2)dt
干扰
对象
被控变量
对象的输入输出量
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。
二、数学模型的表示方法： 1.非参量模型：用曲线、图表表示系统的输入与
输出量之间的关系。
2.参量模型：用数学方程式表示的系统输入与输 出量之间的关系。
输 入
y
t
t τ0 τn 反应器温度控制系统
n—容量滞后
τ
所以滞后时间 0 n
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分，
两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
意义： 1.表示对象的惰性； 2.τ大时控制困难。 四、根据阶跃响应曲线作图求特性参数K、T和τ
第二章过程特性
控变量的变化越缓慢。 To越小，被控变量的变化
越快。
希望To适中
（2）扰动通道时间常数Tf 对控制系统的影响 过程的时间常数Tf 越大越好，相当于对扰动信号进 行滤波。
希望Tf大
➢纯滞后τ
定义：在输入变化后，输出不是随之立即变化，
而是需要间隔一段时间才发生变化，这种现象称
为纯滞后（时滞）现象。
q(t)/f(t)
的阶跃扰动作用，过程从原
有稳定状态达到新的稳定状
态时被控变量的变化量 c()
与扰动幅度Δf之比。
f(0)
c() c() c(0) K f f f
c(t)
扰动对系统的影响还要考虑 Δf的大小。
c(0)
很明显，希望Kf小一些。
f
t
c( ) t
➢时间常数T
时间常数T是表征被控变量变化快慢的 动态参数。
定义中的纯滞后包
括了两种滞后：纯滞
A
后、容量滞后。
t
实际工业过程中
c(t)
的纯滞后时间是指纯
滞后与容量滞后时间
之和
o c
c(0)
t
D
τ0
具有纯滞后时间的阶跃响应曲线
纯滞后τo是由于信息的传输需要时间而引起的。
加料斗
q(t)/f(t)
A t
u
c(t)
l
o l / u 去反应器
c(0) D
τ0
t
控制通道的响应曲线：当被控作用u(t)做阶跃变化 （扰动f(t)不变）时被控变量的时间特性c(t) 扰动通道的响应曲线：当扰动f(t)做阶跃变化（控制 作用u(t) 不变）时被控变量的时间特性c(t)
响应曲线有四种：
h(t)
θ(t)
越快。
希望To适中
（2）扰动通道时间常数Tf 对控制系统的影响 过程的时间常数Tf 越大越好，相当于对扰动信号进 行滤波。
希望Tf大
➢纯滞后τ
定义：在输入变化后，输出不是随之立即变化，
而是需要间隔一段时间才发生变化，这种现象称
为纯滞后（时滞）现象。
q(t)/f(t)
的阶跃扰动作用，过程从原
有稳定状态达到新的稳定状
态时被控变量的变化量 c()
与扰动幅度Δf之比。
f(0)
c() c() c(0) K f f f
c(t)
扰动对系统的影响还要考虑 Δf的大小。
c(0)
很明显，希望Kf小一些。
f
t
c( ) t
➢时间常数T
时间常数T是表征被控变量变化快慢的 动态参数。
定义中的纯滞后包
括了两种滞后：纯滞
A
后、容量滞后。
t
实际工业过程中
c(t)
的纯滞后时间是指纯
滞后与容量滞后时间
之和
o c
c(0)
t
D
τ0
具有纯滞后时间的阶跃响应曲线
纯滞后τo是由于信息的传输需要时间而引起的。
加料斗
q(t)/f(t)
A t
u
c(t)
l
o l / u 去反应器
c(0) D
τ0
t
控制通道的响应曲线：当被控作用u(t)做阶跃变化 （扰动f(t)不变）时被控变量的时间特性c(t) 扰动通道的响应曲线：当扰动f(t)做阶跃变化（控制 作用u(t) 不变）时被控变量的时间特性c(t)
响应曲线有四种：
h(t)
θ(t)
过程控制 第二章(过程建模与过程特性)
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
例1.液体储罐的动态模型 1.液体储罐（一阶对象） 干扰作用 Q1 h
液体储罐的 动态模型？ ？
控制作用
水槽
Q2
列写微分方程式的依据可表示为： 对象物料蓄存量变化率＝单位时间内（流入对象物料—流出对象物料）
假定t＜0时，Q1=Q10，Q2= Q20, 且Q10= Q20， h =h0, 当t≥0时，Q1= Q10+ΔQ1，Q2= Q20+ΔQ2，h = h0+Δh, 则在很短一段时间d t内，由物料平衡关系可得：
u(t ) u1 (t ) u1 (t t )
其中
u 2 (t ) u1 (t t )
假定对象无明显非线性，则矩形脉冲 响应就是两个阶跃响应之和，即
y(t ) y1 (t ) y1 (t t )
Rs
Rs
将此关系式代入上式，便有：
(Q1 h )d t Adh Rs
AR S dh h RS Q1 dt
移项整理后可得：
令
T ARS
K RS
代入上式得：
THale Waihona Puke dh h KQ1 dt
上式是用来描述简单的水槽对象特性的一阶常系数微分方 程式。式中T称时间常数，K称放大系数。
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
第二章 过程特性及其数学模型
A—水槽截面积 将dV代入
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
thx3-过程特性及其数学模型
阶跃反应曲线法：用实验的方法来测取对象在阶跃输入作用下， 输出量随时间的变化规律。
（1）阶跃反应曲线法
特点：简易但精度较差。如果输入量是流量，只要将阀门的 开度作突然的改变，便可认为施加了一个阶跃干扰，同时还 可以利用原设备上的仪表把输出量的变化记录下来，既不需 要增加仪器设备，测试工作量也不大。但由于对象在阶跃信 号作用下，从不稳定到稳定所需时间一般较长，这期间干扰 因素较多，因而测试精度受到限制。为提高测试精度就必须 加大输入量的幅度，这往往又是工艺上不允许的。
•
回顾&作业
• • • • • • 被控对象的特性；★ 对象的数学模型； 机理建模法（一阶模型的建立方法）；★ 实验建模法（阶跃反应曲线法）；★ 混合建模法。 作业：Ex6。
2.系统辨识
系统辨识：应用对象的输入输出的实测数据来决定其模 型的结构和参数，通常称为~。 • • 根据测试数据确定模型结构（包括结构形式、方程阶次 及时滞情况等）。 在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参 数。
3.典型实验测取法
（1）阶跃反应曲线法 （2）矩形脉冲法
（1）阶跃反应曲线法
•
•
（2）矩形脉冲法
• 特点：提高了精度，对工 艺影响较小。采用~时， 由于加在对象上的干扰经 过一段时间后即被除去， 因此干扰的幅值可以取得 较大，提高了实验精度。 同时，对象的输出量又不 会长时间偏离给定值，故 对工艺生产影响较小。
六、混合建模法
1.混合建模：将机理建模和实验建模结合起来，先由机理分 析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未 知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。 • 比较实用的方法 2.参数估计：在已模型结构的基础上，通过实测数据来确 定其中的某些参数，称为~。 • 试比较参数估计与系统辨识
（1）阶跃反应曲线法
特点：简易但精度较差。如果输入量是流量，只要将阀门的 开度作突然的改变，便可认为施加了一个阶跃干扰，同时还 可以利用原设备上的仪表把输出量的变化记录下来，既不需 要增加仪器设备，测试工作量也不大。但由于对象在阶跃信 号作用下，从不稳定到稳定所需时间一般较长，这期间干扰 因素较多，因而测试精度受到限制。为提高测试精度就必须 加大输入量的幅度，这往往又是工艺上不允许的。
•
回顾&作业
• • • • • • 被控对象的特性；★ 对象的数学模型； 机理建模法（一阶模型的建立方法）；★ 实验建模法（阶跃反应曲线法）；★ 混合建模法。 作业：Ex6。
2.系统辨识
系统辨识：应用对象的输入输出的实测数据来决定其模 型的结构和参数，通常称为~。 • • 根据测试数据确定模型结构（包括结构形式、方程阶次 及时滞情况等）。 在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参 数。
3.典型实验测取法
（1）阶跃反应曲线法 （2）矩形脉冲法
（1）阶跃反应曲线法
•
•
（2）矩形脉冲法
• 特点：提高了精度，对工 艺影响较小。采用~时， 由于加在对象上的干扰经 过一段时间后即被除去， 因此干扰的幅值可以取得 较大，提高了实验精度。 同时，对象的输出量又不 会长时间偏离给定值，故 对工艺生产影响较小。
六、混合建模法
1.混合建模：将机理建模和实验建模结合起来，先由机理分 析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未 知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。 • 比较实用的方法 2.参数估计：在已模型结构的基础上，通过实测数据来确 定其中的某些参数，称为~。 • 试比较参数估计与系统辨识
【精选】第2章 被控过程特性及其数学模型
z d
5、状态方程形式
x Ax Bu 或 y Cx Du
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du
(k)
（2）用非参量形式表示模型，如曲线、数据表格等。
六 、被控过程数学模型的建立方法
（一）机理演绎法（解析法） （二）实验辨识法（响应曲线法、相关 分析法、最小二乘法） （三）混合法
Ts 1
（一） 机理演绎法建模
其输入－输出特性：
（一） 机理演绎法建模
例2
Q1
A
dh dt
Q2 0
Q1
Q2
A
dh dt
G(s) 1 1 As TI s
TI －积分时间常数
（一） 机理演绎法建模
其输入－输出特性：
（一） 机理演绎法建模
自平衡的概念及其实质
所谓有自平衡能力的过程是指被控过程在干扰作用下，原有 的平衡状态被打破后，在没有人或控制装置的干预下，自身可 以恢复到新的平衡状态，这种过程称为有自平衡能力的过程（ 如例1），否则称为无自平衡能力的过程（如例2）。
五 、被控过程数学模型的表示形式
（1）用参量形式表示模型
1、微分方程形式：
an y(n) (t) a1y' (t) y(t)
bmu(m) (t ) b1u'(t ) b0u(t )
2、差分方程形式：
an y(k n) a1y(k 1) y(k) bmu(k m d) b1u(k 1 d) e(k)
第二章 被控过程的数学建模
讨论的问题：
一、 被控过程的特性？ 二、 什么是被控过程的数学建模？ 三 、被控过程数学建模的作用？ 四 、被控过程数学模型的类型？ 五 、被控过程数学模型的表示形式？ 六 、被控过程数学模型建立的方法？
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第二节 对象数学模型的建立
消去Q12、Q2、h1
dh1 dt
1 A
Q1
Q12
整理得
dh2 dt
1 A
Q12
Q2
T1T2
d 2h2 dt 2
T1
T2
dh2 dt
h2
KQ1
式中 T1 AR1 为第一只贮槽的时间常数；T2 AR2 为第二 只贮槽的时间常数；K R2 为整个对象的放大系数。
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第二节 对象数学模型的建立
图2-2 水槽对象
对象物料蓄存量的变化率 ＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物料
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第二节 对象数学模型的建立
Q1 Q2 dt Adh （2-4）
若h的变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比
h Q2 Rs
（2-5）
将上式代入（2-4）式，移项
图2-2 水槽对象
dh ARs d，多数化工对象动态特性可以忽略输入 量的导数项，因此可表示为
an ynt an1 yn1 t a1 yt a0 yt xt
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第一节 化工过程的特点及其描述方法
举例 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描 述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
a1yt a0 yt xt
（2-2）
或表示成
Tyt yt Kxt
（2-3）
式中
T a1 , K 1
a0
a0
上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象 的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。
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第二节 对象数学模型的建立 • 一、建模目的
（1）控制系统的方案设计 （2）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3）制定工业过程操作优化方案 （4）新型控制方案及控制算法的确定 （5）计算机仿真与过程培训系统 （6）设计工业过程的故障检测与诊断系统
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第二节 对象数学模型的建立
3.二阶对象
（1）串联水槽对象
假定输入、输出量变化很小的情况下， 贮槽的液位与输出流量具有线性关系。
图2-5 串联水槽对象
Q12
h1 R1
Q2
h2 R2
假定每只贮槽的截面积都为A，则
Q1 Q12 dt Adh1 Q12 Q2 dt Adh2
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第二节 对象数学模型的建立
二、机理建模
根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关 的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平 衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象 （或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。
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制器和执行器组成。系统的控制质量与被控对象的特性
有密切的关系。
研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输 入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称 为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变 量变化的因素，如下图所示。
几个概念
肇庆图学2-院1 对象的输入输出量
2
输出变量
输入变量 ？
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第二节 对象数学模型的建立
二、机理建模
优点
具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大 的适应性，便于对模型参数进行调整。
缺点
对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表 达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时， 不能适用。
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第二节 对象数学模型的建立
举例 1.一阶对象
（1）水槽对象 依据
ei
T RC
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第二节 对象数学模型的建立
2.积分对象
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时， 称为积分对象。
Q2为常数，变化量为0
图2-4 积分对象 肇庆学院
dh
1 A Q1dt
1
h A Q1dt
其中，A为贮槽横截面
积，h为液位，Q1为流 入量的变化量。
说明，所示贮槽具有积分特性。
令
T ARs , K Rs
dh 则 T dt h KQ1
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第二节 对象数学模型的建立
（2）RC电路
ei若取为输入参数， eo为输出参数，根据基尔霍夫定理
图2-3 RC电路
由于 消去i
ei iR e0
i C de0 dt
RC
de0 dt
e0
ei
或
T
de0 dt
e0
第二章 过程特性及 其数学模型
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内容提要
1、化工过程的特点及其描述方法 2、对象数学模型的建立
（1）建模目的 （2）机理建模 （3）实验建模
3、描述对象特性的参数
（1）放大系数Κ （2）时间常数Τ （3）滞后时间τ
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第一节 化工过程的特点及其描述方法
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控
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第一节 化工过程的特点及其描述方法
对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
an ynt an1 yn1t a1 yt a0 yt bm xmt bm1xm1t b1xt b0 xt
特点 缺点
形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难
表达形式 对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示
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第一节 化工过程的特点及其描述方法
2.参量模型
当数学模型是采用数学方程式来 描述时，称为参量模型。对象的参量模 型可以用描述对象输入、输出关系的微 分方程式、偏微分方程式、状态方程、 差分方程等形式来表示。
通道 控制通道 干扰通道
第一节 化工过程的特点及其描述方法
对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
静态数学模型
基础 特例
动态数学模型
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第一节 化工过程的特点及其描述方法
用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分 析的数学模型（c）不完全相同。
一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况，研究对 象的输入变量 是如何影响输 出变量的。
（a）
研究的目 的是为了 使所设计 的控制系 统达到更 好的控制 效果。
（b）
在产品规格和产 量已确定的情况 下，通过模型计 算，确定设备的 结构、尺寸、工 艺流程和某些工 艺条件。
（c）
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第一节 化工过程的特点及其描述方法
• 数学模型的表达形式分类
1.非参量模型
当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为 非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到， 有时也可以通过计算来得到。