下载文档原格式
3.2等比数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设{a n}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{a n}前7项的和为()A.63B.64C.127D.128解析:设公比为q(q>0),则1·q4=16,解得q=2(q=-2舍去).于是S7=错误！未找到引用源。
=127.答案:C2.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意知,错误！未找到引用源。
两式相减,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,则q=错误！未找到引用源。
=4.答案:B3.若数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a∈R,且a≠0),则此数列是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析:当n=1时,a1=S1=a-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n-1)-(a n-1-1)=a n-a n-1=a n-1(a-1).当a-1=0,即a=1时,该数列为等差数列,当a≠1时,该数列为等比数列.答案:C4.公比q≠-1的等比数列的前3项,前6项,前9项的和分别为S3,S6,S9,则下面等式成立的是()A.S3+S6=S9B.错误！未找到引用源。
=S3·S9C.S3+S6-S9=错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
=S3(S6+S9)解析:由题意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.∴(S6-S3)2=S3(S9-S6),整理得错误！未找到引用源。
=S3(S6+S9).答案:D5.已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列错误！未找到引用源。
的前5项和为()A.错误！未找到引用源。
或5B.错误！未找到引用源。
或5C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
解析:设{a n}的公比为q.由9S3=S6知q≠1,于是错误！未找到引用源。
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )． A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152. 答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )． A ．－14B.14C ．－23 D.23解析 由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )．A ．16B ．32C ．64D ．256解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )． A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3， ∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．A. 2B.32C.322D ．2解析 |CD|＝1＋1＝2，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1，∴S △CDA ＝12×2×12＝12，S △CDB ＝12×2×1＝1.故所求区域面积为32.答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m)x ＋(3－m)＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m ＜3. 答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )． A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关 解析 因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝ a n (1－q)(1－q 2)＝a n (1－q)2(1＋q)＞0. 答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )． A. 3 B.2C ．±3D ．± 2解析 等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }， 则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝± 3.答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m＝ 1. 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q)＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n .∴b n ＝3－n.∴S 10＝－25. 答案 －2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝PA sin ∠PBA ，60sin 15°＝PAsin 135°，∴PA ＝60(3＋1)，PQ ＝PA ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C(1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析 如图，设AB ＝k ， 则AC ＝2k ，再设BD ＝x ， 则DC ＝2x.在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x.② 由①②得x 2－4x －1＝0， 解得x ＝2＋5(负值舍去)． 答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析 因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23， 所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n(n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x>b}， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0， 即x 2－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解 据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×3×32＝1534.19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6) 解 (1)第一年末的住房面积为 a ·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)． 第二年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102，第四年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103，第五年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b.依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 法一 作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二 设2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y)≤－12，－52≤52(x －y)≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt.此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。
§10 专题一——数列求和时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A. 12 B. 18 C. 22 D. 442．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．5103．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．4004．已知数列{a n }为等比数列，前三项为：a ，12a ＋12，13a ＋13，且S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .则T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．9⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23nB ．81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C.815⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n D ．81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n 5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－156．已知函数f (x )满足f (0)＝1，f (x ＋1)＝32＋f (x )(x ∈R )，则数列{f (n )}的前20项和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝90，则a3＋a4＋a8＝________.8．已知数列{a n}的通项公式a n＝1n－n＋，则它的前n项和S n＝__________.9．数列5,55,555,5555，…的前n项和S n＝________.三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．设f(x)＝12x＋2，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值．11.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝74，S 6＝634.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n；(1)设b n＝a n2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.§11 专题二——数列求通项时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512 B.133C ．4D ．52．在等差数列{a n }中，a 1＝－35，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于( )A.3n＋12 B.3n＋32C.3n－12 D.3n－324．若等比数列{a n }对于一切自然数n 都有a n ＋1＝1－23S n ，其中S n 是此数列的前n 项和，又a 1＝1，则其公比q 为( )A ．1B ．－23C.13 D ．－135．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2010等于( ) A ．－1 B ．5 C ．1 D ．－46．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1n，(n ∈N ＋)，则此数列是( ) A ．等差数列B．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不是等差数列，也不是等比数列二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a2 015＝________.8．福娃“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n＝________.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)．9．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．{a n}的各项均为正数，且满足a n＋1＝a n＋2a n＋1，当a1＝2时，求{a n}的通项公式．11.已知等差数列{a n}的公差d不为0，设S n＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1.(1)若q＝1，a1＝1，S3＝15，求数列{a n}的通项公式；(2)若a1＝d且S1，S2，S3成等比数列，求q的值．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．一、选择题 1．C 由题可知S 11＝a 1＋a 112＝a 2＋a 102＝11×42＝22，故选C. 2．D 等比数列{a n }中，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q3＝18，①a 1q ＋q 2＝12.②用①÷②得1－q ＋q 2q ＝32，整理得2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12(舍去)，于是a 1＝2，S 8＝a 1q 8－q －1＝2(28－1)＝510.3．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.4．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋122＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13解得a ＝3(－1舍)，T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n1－49＝815⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n . 5．A a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.6．D 由f (0)＝1，f (x ＋1)＝32＋f (x )得f (1)＝52，f (n ＋1)－f (n )＝32，∴S n ＝n ×52＋n n －2×32. n ＝20时，S 20＝335.二、填空题 7．30解析：∵{a n }是等差数列，由S 9＝90，S 9＝9a 5，得a 5＝10， ∴a 3＋a 4＋a 8＝(a 2＋a 5)＋a 8＝(a 2＋a 8)＋a 5＝3a 5＝30. 8.n 2n ＋1解析：a n ＝1n －n ＋＝(12n －1－12n ＋1)×12， S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 9.5×10n ＋1－45n －5081解析：a n ＝59(10n－1)，∴S n ＝59[－10n 1－10－n ]＝n ＋1－81－59n . 三、解答题10．∵f (x )＝12x ＋2，∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋122x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x＝2＋2xx＋22＝22. 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (5)＋f (6)， 则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)． ∴2S ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)]．12 ∴原式＝12{[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]＋…＋[f (6)＋f (－5)]}＝12×12×22＝3 2. 11．(1)设{a n }的首项为a 1，公比为q当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，则S 6＝2S 3，不合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q 31－q ＝74，a 1－q61－q ＝634，两式相除得1＋q 3＝9， ∴q ＝2，∴a 1＝14 ∴a n ＝a 1q n －1＝14×2n －1＝2n －3 (2)b n ＝log 2a n ＝log 22n －3， ∴b 1＝－2， ∴T n ＝n b 1＋b n 2＝n －2＋n －2＝n n －2. 12．(1)证明：由a n ＋1＝2a n ＋2n ，得a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1， ∵b n ＝a n2n －1，∴b n ＋1＝b n ＋1，又b 1＝1，∴b n 是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知b n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴b n ＝n ，∴a n ＝n 2n －1. ∴S n ＝1×21＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1， 2S n ＝1×20＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减，得S n ＝n ×2n －1×20－21－22－…－2n －1＝(n －1)×2n＋1.。
章末综合测评(三)不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1b B．0＜ab＜1C．ab＞b2 D.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴两边同乘以b得ab＞b2，故选C.【答案】 C2．设m＝(x＋5)(x＋7)，n＝(x＋6)2，则m、n的大小关系是()A．m≤n B．m＞nC．m＜n D．m≥n【解析】∵m＝(x＋5)(x＋7)＝x2＋12x＋35，n＝(x＋6)2＝x2＋12x＋36，∴m－n＝－1＜0，∴m＜n.【答案】 C3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是()A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a【解析】不等式化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a.∵a＜0，∴x1＞x2，∴不等式的解为x＜5a或x＞－a.【答案】 B4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是() 【导学号：47172135】A.|a＋b|2≥|ab| B.ba＋ab≥2C.a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22D．(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b≥4【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b22，当且仅当a ＝b时取等号，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 【答案】 C5．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图像与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【解析】 由题意知Δ＝b 2－4a 2＞0， ∴(b －2a )(b ＋2a )＞0，∴⎩⎨⎧ b －2a ＞0，b ＋2a ＞0，或⎩⎨⎧b －2a ＜0，b ＋2a ＜0，画图知选C. 【答案】 C6．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：47172136】A.72 B ．4 C.92D ．5【解析】 ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b2a ，∵a ＞0，b ＞0，∴2a b ＋b2a ≥22a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C. 【答案】 CA.12 B.14 C.16D.18【解析】 设m ＝x －2y ，则y ＝12x －m2，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y ＝12x －m 2，由图可知当直线y ＝12x －m 2过点A 时，直线y ＝12x －m2的截距最大，此时m 最小，由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)，此时m 最小，为2－2×2＝－2，则z ＝2x －2y的最小值为2－2＝14，故选B.【答案】 B8．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )【导学号：47172086】A ．(－∞，2]B ．(－2,2)C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a －2≠0时，即a ≠2时，由题意，得⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围为－2＜a ≤2，故选C. 【答案】 C＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( ) 【导学号：47172137】A.256B.83C.113D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时取等号)．【答案】 A10．已知O 是坐标原点，点P (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1 ，y ≤2，上的一个动点，则OP →·OM→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】 OP →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OP →·OM→的取值范围是[0,2]，故选C. 【答案】 C11．已知实数x ，y 满足2x ＋y －5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．210【解析】 ∵y ＝5－2x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(5－2x )2＝5x 2－20x ＋25＝5(x －2)2＋5，∴当x ＝2时，x 2＋y 2的最小值为 5. 【答案】 A12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x －y ＝0对称，动点P (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋2≥0，kx －my ≤0，y ≥0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝b －2a －1的取值范围是( ) 【导学号：47172138】A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】 由题意分析直线y ＝kx ＋1与直线x －y ＝0垂直，所以k ＝－1，即直线y ＝－x ＋1.又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2在直线x －y ＝0上，可求得m ＝－1.则不等式组为⎩⎨⎧－x －y ＋2≥0，－x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域如图，ω＝b －2a －1的几何意义是点Q (1,2)与平面区域上点P (a ，b )连线斜率的取值范围．k OQ ＝2，k AQ ＝－2，故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 【答案】 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若关于x 的不等式m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．【解析】 法一：由m (x －1)＞x 2－x 整理得(x －1)(m －x )＞0，即(x －1)(x －m )＜0，又m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，所以m ＝2.法二：由条件知，x ＝2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根， ∴m ＝2. 【答案】 2 14．函数y ＝16－x －x2的定义域是________． 【导学号：47172139】 【解析】 要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0，即x 2＋x －6＜0.∵Δ＝1＋24＝25＞0，∴方程x 2＋x －6＝0有两个不相等的实数根分别为－3,2.∴不等式x 2＋x －6＜0的解为－3＜x ＜2， ∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜2}． 【答案】 {x |－3＜x ＜2}15．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．【解析】由⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，作出可行域如图．由图可知，目标函数z ＝2x －y 在点A (2，－1)处取最大值z ＝2×2＋1＝5. 【答案】 516．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 由x 2＋y 2＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得 －233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值为233. 【答案】233三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎨⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1＞0.【解】3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)， 2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1＋∞)，所以，原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12∪(1,6)．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围. 【导学号：47172140】【解】 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14. 此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解． 此时，原不等式的解集为空集． 当a 2－4≠0时，由题意，得⎩⎨⎧a 2－4＜0，Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)＜0，∴－2＜a ＜65.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ＜65. 19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值． 【解】 (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6. 当且仅当⎩⎨⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12， 即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y x，x ＋2y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32，y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.20．(本小题满分12分)某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200，∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．∴该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大的收益是70万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜(k ＋1)x －k2－x.【解】 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b －x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)原不等式即为x 22－x ＜(k ＋1)x －k 2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2时，1＜x ＜k 或x ＞2； ②当k ＝2时，x ＞1且x ≠2； ③当k ＞2时，1＜x ＜2或x ＞k .综上所述，当1＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜k 或x ＞2}； 当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＞1且x ≠2}； 当k ＞2时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2或x ＞k }．22．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) 【导学号：47172141】【解】(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2，∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k·32，解得：k＝6 000，∴y＝6 000x2，即此钻石的价值与重量的函数关系式为y＝6 000x2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2，现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率＝6 000(m＋n)2－6 000m2－6 000n26 000(m＋n)2×100%＝2mn(m＋n)2×100%≤2×⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22(m＋n)2＝12，当且仅当m＝n时取等号．即当m＝n时，价值损失的百分率最大．。
2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7=错误！未找到引用源。
=49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A.错误！未找到引用源。
B.1C.2D.3解析:∵S5=错误！未找到引用源。
=5a3,∴a3=错误！未找到引用源。
S5=错误！未找到引用源。
×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由错误！未找到引用源。
≤n≤错误！未找到引用源。
.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15=错误！未找到引用源。
=15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足错误！未找到引用源。
(n∈N+),则错误！未找到引用源。
的值是()A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
解析:因为错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+错误！未找到引用源。
d=20,∴错误！未找到引用源。
解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+错误！未找到引用源。
§3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()A.{a n+1}B.错误！未找到引用源。
C.{4a n}D.{错误！未找到引用源。
}答案:A2.在等比数列{a n}中,2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或2C.-1或2D.-1或-2解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,∴q=-1或q=2.答案:C3.若一个等比数列的首项为错误！未找到引用源。
,末项为错误！未找到引用源。
,公比为错误！未找到引用源。
,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6解析:在等比数列中,∵错误！未找到引用源。
,∴n-3=1,即n=4,故选B.答案:B4.若数列{a n}满足a n+1=4a n+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是()A.{a n+6}B.{a n+1}C.{a n+3}D.{a n+2}解析:由a n+1=4a n+6可得a n+1+2=4a n+8=4(a n+2),因为a1>0,所以a n>0,从而a n+2>0(n∈N+),因此错误！未找到引用源。
=4,故{a n+2}是等比数列.答案:D5.在等比数列{a n}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于()A.48B.72C.144D.192解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,得q3=错误！未找到引用源。
=8.所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.答案:D6.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{b n}的连续三项,则数列{b n}的公比为()A.错误！未找到引用源。
§13 正弦定理时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．在△ABC 中，下列等式正确的是( ) A ．a:b ＝∠A :∠B B ．a :b ＝sin A :sin B C ．a :b ＝sin B :sin A D ．a sin A ＝b sin B2．在△ABC 中，若a ＝3，sin A ＝13，sin B ＝23，则b ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．63．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，a ＝λ，b ＝3λ，A ＝45°，则满足此条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个5．已知△ABC 的外接圆的半径是2，a ＝23，则∠A 等于( ) A ．30°或150° B．30°或60° C ．60°或120° D．60°或150°6．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．在△ABC 中，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝3，则B ＝________.8．在△ABC 中，已知a ＋b －csin A ＋sin B －sin C＝4，则其外接圆的直径为________．9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且2a －c c ＝tan Btan C .求角B 的大小为________．三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．在△ABC 中，a ＋2b ＝2c,3a ＋2b ＝3c ，求sin A B C .11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin C＝104，当a＝2，且2sin A＝sin C时，求b的长．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝(b,3a )，n ＝(c ，b )，且m ∥n ，C －A ＝π2，求B .一、选择题1．B 由正弦定理直接判断．2．D 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可知b ＝a sin Bsin A＝6.3．C A ＝180°－(B ＋C )＝45°.然后再利用正弦定理求出b ＝4 6. 4．A (法一)根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得 sin B ＝b sin A a ＝62，即 sin B >1，这是不成立的，所以不存在满足此条件的三角形．(法二)b sin A ＝62λ>a 且角A 为锐角，所以三角形无解． 5．C 根据正弦定理得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝32，0°＜A ＜180°，∴A ＝60°或120°.6．D a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴tan A ＝tan B ＝tan C . ∴A ＝B ＝C .二、填空题 7．30°解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝12.又∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝30°.8．4解析：根据正弦定理有a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C＝2R (其中R 是其外接圆的半径)，故由已知得2R ＝4.9．60°解析：∵2a －c c ＝tan B tan C ，根据正弦定理，得2sin A －sin C sin C ＝tan B tan C ＝sin B cos Csin C cos B .化简为2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ，∴cos B ＝12.∵0°<B <180°，∴B ＝60°. 三、解答题10．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2c ，3a ＋2b ＝3c ，得a －2c ＝3a －3c ，即c ＝2a ，∴a c ＝12.∴b ＝32a . ∴a b ＝23，则a b c ＝由正弦定理知：sin A B C ＝a b c ＝答：sin ABC ＝11．∵a ＝2，sin C ＝104，2sin A ＝sin C ，∴sin A ＝108， ∵sin C ＞sin A ，∴C ＞A ， ∴cos A ＝368，cos C ＝±64，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝108×(±64)＋368×104＝315±1516， ∴sin B ＝154或sin B ＝158， 由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴b ＝26或 6.12．∵m ∥n ，∴b 2＝3ac .由正弦定理得，sin 2B ＝3sin A sinC ＝3sin2A sin C 2cos A ①，又C －A ＝π2，A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2＋A,2A ＝π2－B .则sin C ＝cos A ，sin2A ＝cos B ，代入①得sin 2B ＝32cos B ，即2cos 2B ＋3cos B －2＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)，∴B ＝π3.。
§3基本不等式3．1基本不等式1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)[基础·初探]教材整理基本不等式阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．1．基本不等式如果a，b a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中a＋b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．2．基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．意义(1)几何意义：半径不小于半弦．(2)数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．()(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b.()(3)a ＋b2≥ab 与a 2＋b 2≥2ab 这两个不等式成立的条件是相同的．( ) 【解析】 (1)应为任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)a 2＋b 2＝2ab ，即(a －b )2＝0，∴a ＝b .(3)a ＋b2＝ab 中a 、b ∈R ＋，a 2＋b 2≥2ab 中a 、b ∈R . 【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型]已知M ＝3x ＋3y2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy(其中，0＜x ＜y )，试比较M 、N 、P 之间的大小．【精彩点拨】 根据基本不等式的条件和指数函数的单调性判断大小． 【尝试解答】 3x ＋3y 2≥23x ·3y 2＝3x ＋y ＝(3)x ＋y，又0＜x ＜y ，上式“＝”不成立，∴3x ＋3y2＞(3)x ＋y ，即M ＞N .即N ＞P ，∴M ＞N ＞P .利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小，达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．[再练一题]1．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，试比较P ，Q ，M 之间的大小．【解】 因为P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ，M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，所以只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小． 显然a ＋b 2＞ab，又因为a ＋b 2＜a ＋b，⎝ ⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞(a ＋b )24也就是a ＋b 4＜1可得所以a ＋b ＞a ＋b 2＞ab .而y ＝log 12x 为(0，＋∞)上的减函数，故Q ＞P ＞M .已知，a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 【精彩点拨】 巧妙利用a ＋b ＋c ＝1，用a ＋b ＋c 去乘式子⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 后展开，便可构造出基本不等式的模型进而可证明不等式．【尝试解答】 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立，故1a ＋1b ＋1c ≥9.不等式证明问题可考虑使用基本不等式，运用时注意对要证的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后进行证明，同时要注意基本不等式成立的条件．[再练一题]2．已知a、b、c为不等正数，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.【导学号：47172038】【证明】1a＋1b＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c·abc＝bc＋ac＋ab＝bc＋ac2＋ab＋ac2＋bc＋ab2＞abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.[探究共研型]图3-3-1如图3-3-1，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式a＋b 2≥ab的几何解释吗？探究1如何用a、b表示PQ、OP的长度？【提示】由射影定理可知PQ＝ab，而OP＝12AB＝a＋b2.探究2通过线段OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？【提示】半径OP＝a＋b2，显然，它大于或等于PQ，即a＋b2≥ab，其中当且仅当点Q与圆心O重合，即a＝b时等号成立．已知a、b、c＞0，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.【精彩点拨】利用基本不等式证明．【尝试解答】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，a＋c≥2ac，∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ac)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c时等号成立．在利用基本不等式证明的过程中，常需把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．[再练一题]3．已知a、b、c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.【证明】因为a、b、c都是正数，所以a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc，∴(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2ab·2bc·2ac＝8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是()A.12B．1C．2 D．4 【解析】x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2. 【答案】 C2．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q≠1，设P＝a2＋a92，Q＝a4·a7，则P与Q的大小关系是()A．P＜Q B．P＞QC ．P ＝QD ．无法确定【解析】 由等比数列，得Q ＝a 4a 7＝a 2a 9，而P ＝a 2＋a 92，且a 2＞0，a 9＞0，q ≠1，a 2≠a 9，∴a 2＋a 92＞a 2a 9，即P ＞Q .选B.【答案】 B3．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________．【解析】 当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0时“＝”成立，此时a ＝1. 【答案】 a ＝14．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .【解析】 根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．【答案】 ③5．设a 、b 、c 均为任意实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【导学号：47172039】【证明】 ∵a 、b 、c 均为任意实数， ∴a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .。
§2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=错误！未找到引用源。
,则角B的平分线的长是()A.错误！未找到引用源。
B.2错误！未找到引用源。
C.1D.错误！未找到引用源。
解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=错误！未找到引用源。
,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在△ABC中,若AC=错误！未找到引用源。
,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即7=AB2+4-2×2×AB×错误！未找到引用源。
.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=错误！未找到引用源。
.答案:B3.若△ABC的周长等于20,面积是10错误！未找到引用源。
,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=错误！未找到引用源。
bc sin A,得10错误！未找到引用源。
bc×sin 60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-2bc cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足c sin A=a cos C.当错误！未找到引用源。
§2 数列的函数特性时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数项 D. 不能确定 3．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1,2,3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列 4．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20的值是( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D.325．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是( ) A ．5－3n B ．3·2n －1－1 C ．5－3n 2D ．5·2n －1－36．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014的值为( )A. 67B. 57C. 37D. 17二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它的最小项是________． 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(－1)n，则a 100＝________.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．根据函数y ＝x －11x －20.5的单调性，求数列{n －11n －20.5}的最大项与最小项的值．11.在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 014.在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．一、填空题1．A a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故选A. 2．A3．C C 中数列是递减数列，故C 不正确，A 、B 、D 都正确．4．B a 1＝0，a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－33－3＋1＝－23－2＝3，a 4＝3－33×3＋1＝0，a 5＝0－30×3＋1＝－3，a 6＝－3－33－3＋1＝3，∴a n 的取值规律是0，－3，3循环取值， ∴a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3.5．D 由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3可得a 2＝7，当n ＝2时，经验证只有D 适合． 6．A 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 014＝671×3＋1，所以a 2 014＝a 1＝67.二、选择题 7．－9解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 8．0解析：可用累加法求之．因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝(－1)n，所以a 2－a 1＝－1，a 3－a 2＝1，a 4－a 3＝－1，…，a 100－a 99＝－1，将以上各式左右两边分别相加可得：a 100－a 1＝－1，所以a 100＝0.也可以通过研究数项的规律特征求之．由a n ＋1－a n ＝(－1)n ，a n ＋2－a n ＋1＝(－1)n ＋1，两式相加得：a n ＋2－a n ＝0，即a n ＋2＝a n ，因为a 1＝1，a 2－a 1＝－1，所以a 2＝a 1－1＝0，故得该数列奇数项均为1，偶数项均为0，所以a 100＝0.9．8解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n －10a 1＝S 1＝－8适合上式∴a n ＝2n －10(n ∈N *) ∴5＜2k －10＜8 得7.5＜k ＜9 ∴k ＝8. 三、解答题 10．函数y ＝x －11x －20.5在(－∞，20.5)上为减函数，在(20.5，＋∞)上也为减函数，因此a n ＝n －11n －20.5当n ＝20时a 20最小，当n ＝21时a 21最大，且a 20＝－18，a 21＝20.11．(1)a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a na n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 014＝a 3×671＋1＝a 1＝12，∴a 2 014＝12.12．因a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂式子的形式且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．(1)令a n a n －1≥1(n ≥2)，即n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≥1.整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1≥1.整理得n ＋1n ＋2≥1011.解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．。
2017-2018学年北师大版高中数学必修五全册同步习题目录第一章数列1.1数列1.1.1习题第一章数列1.1数列1.1.2习题第一章数列1.2等差数列1.2.1.1习题第一章数列1.2等差数列1.2.1.2习题第一章数列1.2等差数列1.2.2.1习题第一章数列1.2等差数列1.2.2.2习题第一章数列1.3等比数列1.3.1.1习题第一章数列1.3等比数列1.3.1.2习题第一章数列1.3等比数列1.3.2习题第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用习题第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1习题第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2习题第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例习题第三章不等式3.1不等关系习题第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1习题第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2习题第三章不等式3.3基本不等式3.3.1习题第三章不等式3.3基本不等式3.3.2习题第三章不等式3.4简单线性规划3.4.1习题第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2习题第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3习题1.1数列的概念课后篇巩固探究A组1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是()A.①B.①②C.①②③D.①②③④解析:4个都构成数列.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为()A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.,0,,0D.2,0,2,0解析:把n=1,2,3,4分别代入a n=中,依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1,,…的一个通项公式是()A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,故a n=.答案:A4.已知数列{a n}的通项公式a n=,若a k=,则a2k=()A. B.99 C.D.143解析:由a k=,于是k=6(k=-6舍去).因此a2k=a12=.答案:C5.已知数列,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有()A.1个B.2个C.3个D.以上都不对解析:由已知可得该数列的一个通项公式a n=.令a n=0.98,解得n=49,令a n=0.96,解得n=24,令a n=0.94,解得n=∉N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=x2+1,点(n,a n)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=.解析:由题意知a n=n2+1,因此a10=102+1=101.答案:1017.数列,3,,3,…的一个通项公式是.解析:数列可化为,…,即,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为a n=,n∈N+.答案:a n=8.已知数列{a n}的通项公式a n=,则-3是此数列的第项.解析:令-3,得-3,解得n=9.答案:99.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…(2),…(3),-1,,-,-,…(4)3,33,333,3 333,…解(1)各项是从4开始的偶数,所以a n=2n+2.(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,2n,故所求数列的通项公式可写为a n=.(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第二项1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为a n=(-1)n+1·.(4)将数列各项写为,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n=(10n-1).10.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?解(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)设3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.设3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵∉N+,-2∉N+,∴68不是该数列的项.B组1.数列2,-,4,-,…的通项公式是()A.a n=2n(n∈N+)B.a n=(n∈N+)C.a n=(n∈N+)D.a n=(n∈N+)解析:将数列各项改写为,-,-,…,观察数列的变化规律,可得a n=(n∈N+).答案:C2.已知数列{a n}的通项公式a n=,则a n·a n+1·a n+2等于()A. B. C. D.解析:∵a n=,a n+1=,a n+2=,∴a n·a n+1·a n+2=.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有()个点.A.n2-n+1B.2n2-nC.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:A4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是.解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴a n=2n+1.答案:a n=2n+15.在数列,…中,有序数对(a,b)可以是.解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1×3,2×4,3×5,4×6,…,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,所以解得a=,b=-.答案:6.导学号33194000已知数列{a n}的通项公式a n=a·2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=.解析:由已知得解得即a n=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.答案:-77.如图,有m(m≥2)行(m+1)列的士兵队列.(1)写出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数;(2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;(3)若把(1)中的数列记为{a n},求该数列的通项公式a n;(4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,….(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.前4项分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6.因此a n=(n+1)(n+2).(4)由(3)知a10=11×12=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数.8.导学号33194001在数列{a n}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a2 017;(3)是否存在m,k∈N+,满足a m+a m+1=a k?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.解(1)设a n=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,解得所以a n=4n-2.(2)a2 017=4×2 017-2=8 066.(3)由a m+a m+1=a k,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,整理后可得4m=2k-1,因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数,故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成立,即不存在m,k∈N+,使a m+a m+1=a k.1.2数列的函数特性课后篇巩固探究A组1.数列{n2-4n+3}的图像是()A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析:a n=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是递增数列.答案:A3.若数列{a n}的通项公式a n=,则在数列{a n}的前20项中,最大项和最小项分别是()A.a1,a20B.a20,a1C.a5,a4D.a4,a5解析:由于a n==1+,因此当1≤n≤4时,{a n}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,a n>0,且{a n}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4.答案:C4.已知{a n}的通项公式a n=n2+3kn,且{a n}是递增数列,则实数k的取值范围是()A.k≥-1B.k>-C.k≥-D.k>-1解析:因为{a n}是递增数列,所以a n+1>a n对n∈N+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)>n2+3kn,整理得k>-,当n=1时,-取最大值-1,故k>-1.答案:D5.给定函数y=f(x)的图像,对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像是()解析:由a n+1>a n可知数列{a n}为递增数列,又由a n+1=f(a n)>a n可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.答案:A6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其中a,b均为正常数,则a n+1与a n的大小关系是. 解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1-a n>0,故a n+1>a n.答案:a n+1>a n7.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n2-5n+2,则数列{a n}的最小值是.解析:∵a n=2n2-5n+2=2,∴当n=1时,a n最小,最小为a1=-1.答案:-18.导学号33194002已知数列{a n}满足a n+1=若a1=,则a2017=.解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…,所以{a n}是周期为3的周期数列,于是a2 017=a672×3+1=a1=.答案:9.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n2-21n+20<0,得1<n<20,所以共有18项小于0.(2)由a n=n2-21n+20=,可知对称轴方程为n==10.5.又n∈N+,故n=10或n=11时,a n有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.10.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2;(2)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知a n=-2.∵n∈N+,∴>0,∴a n=-2>-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,a n=-2.∵a n+1-a n==<0,即a n+1<a n,∴数列{a n}是递减数列.B组1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),∴f(n+1)>f(n),∴f(n)是递增数列.答案:A2.设函数f(x)=数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.D.(1,2)答案:B)2n-2-3·,则数列3.导学号33194003若数列{a n}的通项公式为a n=7·(34{a n}的()A.最大项为a5,最小项为a6B.最大项为a6,最小项为a7C.最大项为a1,最小项为a6D.最大项为a7,最小项为a6解析:令t=,n∈N+,则t∈(0,1],且=t2.从而a n=7t2-3t=7 .又函数f(t)=7t2-3t在上是减少的,在上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.答案:C4.若数列{a n}的通项公式为a n=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;④-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n>0,得0<n<,故数列{a n}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以①错,②正确;当n=3时,数列{a n}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令-2n2+13n=-70,得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.答案:②④5.若数列中的最大项是第k项,则k=.解析:已知数列最大项为第k项,则有即由k∈N+可得k=4.答案:46.已知数列{a n}满足a n=+…+.(1)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:a n≥对一切正整数恒成立.(1)解因为a n=+…+,所以a n+1=+…+=+…+.所以a n+1-a n=,又n∈N+,所以.所以a n+1-a n>0.所以数列{a n}是递增数列.(2)证明由(1)知数列{a n}是递增数列,所以数列的最小项为a1=,所以a n≥a1=,即a n≥对一切正整数恒成立.7.导学号33194004已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.解(1)由a n=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则n2-n-30=60.解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴当n=6时,a n=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N+)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得-5<n<6.又n∈N+,∴0<n<6,∴当0<n<6(n∈N+)时,a n<0.(3)由a n=n2-n-30=-30(n∈N+),知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,S n不存在最大值.第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.{}B.C.{3a n}D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.{},,{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2 018,解得n=673.答案:D4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A. B.- C.- D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d==-=-.故选B.答案:B5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有()A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7·a9=0解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{a n}中,若a1=7,a7=1,则a5=.答案:37.在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为a1,公差为d,由已知得②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{a n}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点()在直线x-y-=0上,则数列{a n}的通项公式为a n=.解析:由题意知(n≥2),∴{√a n}是以√a1为首项,以为公差的等差数列,∴+(n-1)d=(n-1)=n.∴a n=3n2.答案:3n29.已知数列{a n},{b n}满足是等差数列,且b n=n2,a2=5,a8=8,则a9=. 解析:由题意得,因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,所以=-,所以a9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第项.解析:设a n=3n-1,公差为d1,新数列为{b n},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=a n-a n-1=3,d2=,则b n=2+(n-1)=n+,b29=23,令a n=23,即3n-1=23.故n=8.答案:811.若一个数列{a n}满足a n+a n-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{a n}为等和数列,h 为公和.已知等和数列{a n}中,a1=1,h=-3,则a2 016=.解析:易知a n=∴a2 016=-4.答案:-412.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.解由已知,得∴解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.13.导学号33194005已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第110项是{a n}的第几项?解(1)∵a1=3,d=-5,∴a n=3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{a n}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,∴{b n}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项,即b n=a m,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n=a m=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{b n}的通项公式为b n=13-20n(n∈N+).(3)b110=13-20×110=-2 187,设它是{a n}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439.14.导学号33194006已知数列{a n}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有,设b n=,n∈N+.(1)求证:数列{b n}为等差数列.(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n∈N+时,-2=2+=4⇔b n-b n-1=4,且b1==5.∴{b n}是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n=,n∈N+.∴a1=,a2=,∴a1a2=.令a n=,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.∴若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项a n.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3, 又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).B组1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()A. B. C. D.解析:令b n=,则b2=,b6==1.由题意知{b n}是等差数列,∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.∴b4=b2+2d=+2×.∵b4=,∴a4=.答案:A2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A. B.± C.- D.-解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以a5=a1+4d=.答案:B4.导学号33194007在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.又a4+a6=2a5=6,∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.答案:A5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg ,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1.答案:16.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=.解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.可得=2,∴d=.∴这4个根依次为.∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.答案:7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),又解得0<m≤75.∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)∴两个数列共有25个公共项.8.导学号33194009已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=(n∈N+).(1)求证:{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,∴=b n,又b n-1=,∴b n-b n-1==1(n≥2,n∈N+).∵b1==-,∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n=n-3.5,又由b n=得a n=1+=1+.点(n,a n)在函数y=+1的图像上.显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为. 解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1 260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.第2课时a n与S n的关系及裂项求和法课后篇巩固探究A组1.已知数列{a n}的前n项和S n=,则a5的值等于()A. B.- C. D.-解析:a5=S5-S4==-.答案:B2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A. B. C. D.解析:∵S5==15,∴a1=1,∴d==1,∴a n=1+(n-1)×1=n,∴.设的前n项和为T n,则T100=+…+=1-+…+=1-.答案:A3.设{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值解析:由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,又d=a7-a6<0,故A正确;由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0.而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确.故选C.答案:C4.数列的前n项和S n为()A.B.C.D.解析:,于是S n=.答案:C5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为()A.95B.97C.105D.192解析:∵f(n+1)=f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=.∴f(2)-f(1)=,f(3)-f(2)=,……f(20)-f(19)=,∴f(20)-f(1)==95.又f(1)=2,∴f(20)=97.答案:B6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k=.解析:a n=S n-S n-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以a n=2n-10.令5<2k-10<8,解得<k<9.又k∈N+,所以k=8.答案:87.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=,且a4=54,则a1=.解析:因为a4=S4-S3==27a1,所以27a1=54,解得a1=2.答案:28.数列1,,…,,…的前n项和S n=.解析:因为==2,所以S n=1++…+=2=2.答案:9.正项数列{a n}满足-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0,即a n=2n或a n=-1,由于{a n}是正项数列,故a n=2n.(2)由(1)知a n=2n,所以b n=,故T n=.10.导学号33194014已知等差数列{a n}的前n项和为S n,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求a n;(2)若T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|,求T5的值和T n的表达式.解(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.∴a n=2n-7.(2)当n≥4时,a n=2n-7>0;当n≤3时,a n=2n-7<0,∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.当1≤n≤3时,T n=-(a1+a2+…+a n)=-n2+6n;当n≥4时,T n=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+a n=n2-6n+18.综上所述,T n=B组1.若等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,则由b n=所确定的数列{b n}的前n项之和是()A.n(n+2)B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+6)解析:由题意知a1+a2+…+a n==n(n+2),∴b n==n+2.于是数列{b n}的前n项和S n= n(n+5).答案:C2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.25D.28解析:设该等差数列为{a n},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,又a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3,∴4(a1+a n)=21+67=88,∴a1+a n=22.∴S n==11n=286,∴n=26.答案:B3.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+2n(n≥2),则a7=()A.53B.54C.55D.109解析:∵a n=a n-1+2n,∴a n-a n-1=2n.∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n(n≥2).∴a n=1+4+6+…+2n=1+=n2+n-1.∴a7=72+7-1=55.答案:C4.已知数列{a n}为,…,+…+,…,如果b n=,那么数列{b n}的前n项和S n为()A. B. C. D.解析:∵a n=,∴b n==4,∴S n=4=4.答案:B5.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n+1,则a n=.解析:当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时,当n=1时,2n=2≠3.所以a n=答案:6.导学号33194015设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知S6=36,S n=324,若S n-6=144(n>6),则数列的项数n为.解析:由题意可知由①+②,得(a1+a n)+(a2+a n-1)+…+(a6+a n-5)=216,∴6(a1+a n)=216,∴a1+a n=36.∴S n==18n=324,∴n=18.答案:187.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=+2(n-1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}为等差数列,并求a n与S n;(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.(1)证明由a n=+2(n-1),得S n=na n-2n(n-1)(n∈N+).当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),即a n-a n-1=4,故数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,a n=4n-3,S n==2n2-n.(2)解存在自然数n使得S1++…+-(n-1)2=2 019成立.理由如下:由(1),得=2n-1(n∈N+),所以S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2 019,得n=1 010,所以存在满足条件的自然数n为1 010.8.导学号33194016数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N+).(1)求证{a n}是等差数列;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和.(1)证明a n=S n-S n-1=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n(n≥2).∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,∴数列{a n}的通项公式为a n=101-2n(n∈N+).又a n+1-a n=-2为常数,∴数列{a n}是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)解令a n=101-2n≥0,得n≤50.5.∵n∈N+,∴n≤50(n∈N+).①当1≤n≤50时a n>0,此时b n=|a n|=a n,∴{b n}的前n项和S n'=100n-n2;②当n≥51时a n<0,此时b n=|a n|=-a n,由b51+b52+…+b n=-(a51+a52+…+a n)=-(S n-S50)=S50-S n,得数列{b n}的前n项和为S n'=S50+(S50-S n)=2S50-S n=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.由①②得数列{b n}的前n项和为S n'=。
