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第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数第1课时变量与函数（1）——变量与函数的意义及关系一、新课导入1.导入课题汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h.在这个过程中，哪些量变化，哪些量不变？这些量之间有什么关系？这就是我们今天要学习的“变量与函数（1）”(板书课题).2.学习目标（1）知道常量、变量，感受两个变量之间的变化关系.（2）了解函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型.3.学习重、难点重点：能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.难点：函数的概念的理解.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P71到P72的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：仔细阅读课文内容，关键词语、重点内容做上记号.（4）自学参考提纲：①指出课本中四个问题中的变量和常量.②在同一个问题中，如果存在两个变量，那么这两个变量之间应存在什么关系？③完成P71的练习.④上面这些问题中的两个变量都有什么样的关系？⑤在圆的面积S和半径r中，r每取一个值，S都有唯一值与它对应吗？2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对同一个问题中的两个变量的相关联系和一一对应关系的理解.②差异指导：对个性和共性问题进行分类指导.（2）生助生：小组研讨，帮助解决疑难问题.4.强化（1）强调常量与变量的意义.（2）组织学生交流练习中的问题的答案.（3）强调同一问题中的两个变量之间的对应关系.1.自学指导（1）自学内容：P73例1上面的部分.（2）自学时间：4分钟.（3）自学要求：完成思考中的两个问题的阅读理解，对函数定义进行逐词逐句研读领会其含义.（4）自学参考提纲：①分别指出思考中的两个问题的自变量和函数.②什么叫做函数值？③给出自变量x的一个值，函数y可以有两个以上的值吗？会不会存在自变量x的多个值对应的函数y的值都相同呢？2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对思考中x与y的对应关系的确定与理解，是否能区别自变量与函数的意义.②差异指导：对学生学习中存在的疑问进行点拨、引导.（2）生助生：小组研讨，帮助解答疑难问题.4.强化（1）理解思考中的两个问题.（2）讲解归纳板书函数的定义.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己本节课的学习收获和存在的疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方式方法、学习成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时内容是学生的认知，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率p与时间t之间的关系，下列说法正确的是(C)A.数100和p，t都是变量B.数100和p都是常量C.p和t是变量D.数100和t都是常量2.(15分)下列关系式中，y不是x的函数的是(B)A.y+x=0B.|y|=2xC.y=|2x|D.y=2x2+43.(15分)下面分别给出了变量x，y之间的对应关系的图象，其中y是x的函数的是(D)4.(15分)在下表中，设x表示乘公共汽车的站数（站），y表示应付的票价(元).根据此表，下列说法正确的是(A)A.y是x的函数B.y不是x的函数C.x是y的函数D.以上说法都不对5.(15分)下列有序实数对中，是函数y=2x-1中自变量x与函数值y的一对对应值的是(D)A.(-2.5，4)B.(-0.25，0.5)C.(1，3)D.(2.5，4)二、综合运用(15分)6.如图，在一个半径为18 cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量、函数各是什么？答案：小圆半径、圆环面积.（2）如果挖去的圆半径为x(cm)，那么圆环的面积y(cm2)与x的关系式是y=324π-πx2；（3）当挖去圆的半径由1 cm变化到9 cm时，圆环面的面积由323πcm2变化到243πcm2.三、拓展延伸(15分)7.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系(其中0≤x≤30)：（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？答案：x是自变量,y是函数.（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？答案：13分钟（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？答案：2＜x＜13，13＜x＜20（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少?答案：52.9。
18.1变量与函数（1）教学目标：1、掌握函数的概念，理解两个变量之间的对应关系．2、知道函数关系的三种表示方法。
3、能列出简单的函数关系式。
创设情景：看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？想一想：在这个变化过程中，任选时刻t的一个确定值，温度T有几个值和这个时刻对应？课堂研讨：问题1：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的？问题2：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________．解 :(1) l 与f 的乘积是一个定值，即lf＝300 000，或者说(2)波长l越，频率f 就越。
函数的定义：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做。
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的。
试一试：下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由。
（1）xy=2 （2）x2+y2=10 （3）x+y=5 （4）|y|=3x+1 （5）y=x2-4x+5 （6）x2+y=10函数关系的表示：表示函数关系的方法通常有三种：问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为，如问题2中的课堂练习：1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间 t（时）的关系式；(3)n 边形的内角和 S与边数n 的关系式．2.写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量：①时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式；②底边长为10的三角形的面积S与这边上的高h之间的关系式；③某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂重物x(千克)之间的关系式;3.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．4.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是: 。
18.1变量与函数自主学习（预习与交流）1.变量：在某个变化过程中，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的量。
2.常量：在某个变化过程中，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的量。
3.函数的概念：如果在一个＿＿＿＿＿＿＿过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个取值，y都有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么，y就叫做x的函数，x是＿＿＿＿＿，y是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4.函数的表示方法：＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿。
课堂导学（合作与探究）（一）函数的有关概念：例1：下列几个式子:①y=x,②x≧2），③y=±2x.其中那些表示y是x的函数？它的自变量、因变量、常量各是什么？分析：判断是不是函数，必须要看两个方面：一是是否又两个变量，二是对x的每一个值，y是否有唯一的对应值。
在分析表达式中的常量和变量时，要紧扣定义。
解：表示y是x的函数的函数有①②，①中的自变量是x，因变量是y,常量是1；②中的自变量是x，因变量是y,常量是1、-2.学点训练：1.用总长为100m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（m2）与一边长L（m）之间的关系式为S=L(50-L)那么下列说法正确的是（）A.L是常量、S是变量、S是L的函数B.50是常量、S和L是变量、L是S的函数C. 50是常量、S和L是变量、S是L的函数D. L是变量、50是常量、L是S的函数2.下列变量之间：⑴凸多边形的对角线条数和变数;⑵三角形面积与它的底边（高为定值）；⑶x-y=3中的y与x; ⑷y与x；⑸圆的面积与圆的半径，其中成函数关系的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个反馈与诊断1.小花用40元钱购买5元／件的商品，则她剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x(件)之间的关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中常量是＿＿＿＿，变量是＿＿＿＿。
2.在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么对于下列式子s=vt,下列说法正确的是（）A.s,v,t三个量都是变量B. s与v是变量，t是常量C. s是常量,v与t是变量D. s与t是变量，v是常量3.指出下列数学表达式中的常量与变量（1）y=2x2 (2)y=ax2+b(a,b是常数，且a≠0) (3)y=90+13x课堂反思：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿1.我今天学到什么知识？2.我感受到了什么？3.还存在什么疑惑呢？。
《19.1.1 变量与函数（1）》教学设计一、教学目标知识与技能1.了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.过程与方法经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.情感、态度与价值观引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.二、教学重难点【重点】认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系.【难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量.三、教学过程设计活动一：情境感知，新课导入万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.【师生活动】学生说出自己的看法.教师也可以让学生举出自己熟悉的例子,据此引出今天学习的课题:变量与函数.【设计意图】由学生经历的事情提问题,能引起学生的好奇心.活动二：问题探究，新知领悟（一）变量与常量的概念问题1:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?(出示教材表19-1)表19-1t/h 1 2 3 4 5s/km【师生活动】学生填表,并思考.教师引导学生交流:1.根据题意填写下表:t/h 1 2 3 4 5s/km2.在以上这个过程中,变化的量是.不变化的量是.3.试用含t的式子表示s.4.这是个行程问题，发现：随着时间t的变化，汽车行走的路程S_____________________.【设计意图】挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量.问题2:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?【师生活动】学生分析问题,并同桌交流.教师引导解析.1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元; 第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元; 第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元. 2．在以上这个过程中，变化的量是_________,不变化的量是______．3．试用含x的式子表示y．_______4.这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．【设计意图】通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.问题3:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S 分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?【师生活动】学生活动填表,并讨论.教师引导学生交流.1.填表:半径r(cm) 10 20 30圆面积S(cm2)2.圆面积S与圆的半径R之间的关系式是；其中变化的量是；不变化的量是.3.这个问题反映了________随______的变化过程．【设计意图】挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.问题4:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?【师生活动】学生活动小组讨论后,教师进行解析:因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10 m的一半,即5 m.若矩形一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).若矩形一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).若矩形一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).若矩形一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.【设计意图】在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗?【师生活动】学生分组讨论,交流自己的看法.按照有无变化,我们发现其中有些量(例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……)的值是变化的,有些量的值始终不变(例如速度60 km/h;电影票的单价10元……),因此可分为两类.师生共同总结出变量和常量的定义并板书.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.【设计意图】通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念.练习1 指出下列问题中的变量和常量：(1)某市的自来水价为4元／t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt，月应交水费为y元．(2)某地手机通话费为0.2元／min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率(圆周长与直径之比)为π．(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．【解答】(1)变量是x,y；常量是4.(2)变量是t,w；常量是0.2, 30.(3)变量是r,C；常量是π.(4)变量是x,y；常量是10.活动三:典例分析，知识理解例1 填空(1)某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y （元）与学生数n（个）的关系式是。
变量与函数(1)
【学习内容】14．1．1变量与函数
【学习目标】
（1）理解变量、常量的概念以及相互之间的关系；能指出一个变化过程中的变量与常量。
（2）能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式。
（3）学生通过对实际问题的讨论和分析，感受事物变化过程的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。
【学习重点】1．理解变量、常量．
【学习难点】常量与变量之间的关系，准确判断变量。
【学习过程】
【创设情境】
问题一：我到超市购买了若干瓶矿泉水，这种矿泉水的单价是每瓶 1.2元，花费的总金额为y元，购买的瓶数为x瓶，先填写下表，再用含x的式子表示y.
1.
2.．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含x的式子表示y. y=_________________
这个问题反映了购买矿泉水需要的钱____随购买的数量___的变化过程．
问题二：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．
1.
请说明你的道理：路程=__________________
2.．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．s=_________________
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．
【探索新知】
【活动一】以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如______________），有些量的数值是始终不变的（如______________ ）
结论：在一个变化过程中，我们称数值发生变化
．．．．的量为________；
在一个变化过程中，我们称数值始终不变
．．．．的量为________；
【活动二】例题讲解
指出下列关系式中的变量与常量： (1) y = 5x －6 (2) y=
(3) y= 4X 2
＋5x －7 (4) S = Лr 2
解：（1）5和-6是常量，x 和y 是变量。
【活动三】 生活中
1、每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？ •设一场电影票售出票X 张，票房收入y 元，则y 与X 的关系式是________，常量是 ，变量是 .
2.某移动套餐打长途话费为0.6元每分钟，若打x （分），话费为y （元），则 y 与x 的关系式是________常量是 ，变量是 .
3.某种练习本的单价为a 元，x （本）表示购买这种练习本的本数，y （元）表示买练习本的总价，试用含x 的式子表示 y. ________
4.我国淡水资源总量约为2.75×104亿立方米，则人均占有淡水资源量y 立方米与人口数n 的关系式是________，
常量是 ，变量是
讨论：判断是常量还是变量：①看它是否在_________________________中，②看它在____________中的取值情况。
5.汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量Q 升与行驶时间t 小时的关系是_______.变量是 .
6.小颖爸爸开车到加油站给汽车加93号油，她观察了加油的全过程，加油后她把加油站油表上油量刚好是20升的数据记录下来如图：
（1）根据你的经验，指出常量是_______，变量是_______ （2）则金额y （元）与油量x （升）的关系式是
科学常识中
7、在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm ，设重物质量为mkg ，受力后的弹簧长度为L cm, L=_________________常量是_______，变量是_______ 数学问题中
8、如果直角三角形中一个锐角的度数为α，那么另一个锐角的度数β与α间的关系式 是 其中常量是 ,变量
x
6金额（元） 144.6
油量（升） 20
9、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表示为__________，常量是变量是______.
10、一个三角形的底边为5，高h能够任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.面积s 随高h变化的关系式是，其中常量是，变量是，
讨论：现在我们知道了什么是常量，什么是变量，你能举出例子来吗？试一试。
【水平提升】
1、顽皮的小孩向平静的湖面扔了一块石头，水中波纹呈圆形，
问1：怎样用含圆半径r的式子表示圆面积S？
问2：怎样用含圆半径r的式子表示圆周长C?
问3：变量S与变量C的关系?
2、用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相对应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。
设矩形的长为xm，面积为Ｓm2，试用含x的式子表示s． _______________；
3、在回来的路上，途径一个小摊，有个阿姨在卖栗子，看到我们阿姨说：“糖炒栗子好吃，5元钱一斤，如果多买我给你们优惠，即一次购买4斤以上，超过4斤部分的桔子价格打8折。
（1）写出付款金额Y与购买栗子重量X之间的关系式？
（2）爸爸说：我还剩下100元，问最多能买多少斤桔子？
【反思归纳】
小组推荐一位代表，谈谈他们一组在学习中遇到的问题，以及本节课所要掌握的知识。
【课下作业】
☆我能选
1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q•（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（）
A．Q=8x B．Q=8x-50 C．Q=50-8x D．Q=8x+50
2．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）
A．S是变量 B．t是变量 C．v是变量 D．S是常量
3.圆周长公式C=2πR中,下列说法准确的是( ) π
A. π,R是变量,2为常量
B.C,R为变量,2,π为常量
C.R为变量,2,π,C为常量
D.C为变量,2,π,R为常量
☆我能填
4．在一个变化过程中，__________________的量是变量，•________________的量是常量．
5．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y．
x与y之间的关系是_________________．
6.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝4
3
πＲ3．其中变量是_______、•_______，常量是
________．
7．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y与上升高度x之间关系式为__________．
8．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，•则油箱内余油量Ｑ升与行驶时间t小时的关系是_________．
☆我能答
9、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.。
