湘教版九年级数学下册 垂径定理教案

《垂径定理》教学设计教案
课题：垂径定理
教学内容：垂径定理的概念、内容及应用
教学目标：
1.了解垂径定理的概念和内容。

2.掌握垂径定理的应用方法和技巧。

3.通过课堂练习和课后作业，提高学生的解题能力和思维能力。

教学重点和难点：
教学过程：
1.导入（5分钟）
教师首先介绍垂径定理的概念和基本应用，引出本节课的主题，并说明课程的目标和
教学重点及难点。

2.讲解（20分钟）
教师以图像和问题出发，引导学生理解垂径定理的概念和原理，然后逐步讲解垂径定
理的一般结论、特殊结论及不等式定理的推导过程和相关练习和问题。

教师带领学生完成一组课堂练习，然后让学生自己在课本和课堂练习中解决相关问题。

课堂练习中要带领学生培养解题的思路和解题的步骤，提高解题的能力和积极性。

教师邀请学生上台分享课上或课后做的垂径定理相关问题的解答和思路，并指导学生
如何巩固和加强相关知识和应用。

教师引导学生自主学习、思考和实践垂径定理相关问题，鼓励学生自主发现问题点，
深入思考问题的解决方案，并及时对学生的提问进行解答和指导。

教学方法：
1.课堂讲解
2.演示分析
3.课堂练习
4.展示分享
教学工具：
1.黑板
2.笔
3.投影仪
4.计算器
5.纸笔
教学评价：
2.课堂参与
4.家庭作业
5.期末考试
教学反思：
本节课通过注重理论知识的讲解，课程的练习和展示，进一步加深了学生对垂径定理的理解和应用能力。

但是还需要在今后的教学中加强对知识点的理解和掌握以及对学生思维能力的培养和提升。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。

1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。

1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。

2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。

第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。

3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。

3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。

3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。

第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。

4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。

第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。

5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。

第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。

6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。

第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。

7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。

7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。

7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。

7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。

第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。

8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。

*2.3 垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形； 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶． 它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究 探究点一：垂径定理【类型一】 利用垂径定理求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型二】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3cm ≤OP ≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为Rm ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R。

2.3 垂径定理1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算。

自学指导阅读课本P58~59，完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,它也是中心对称图形，对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足:①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE=DE；④错误!=错误!;⑤错误!=错误!。

自学反馈1.已知:⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则AB的长为（ D )A． B．4cmC． D．8cm2.如图，⊙O的半径为4，弦AB⊥OC于C，且OC=3,则AB的长等于．活动1 小组讨论例1 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E，DE=2cm,求⊙O的直径CD的长.解：连接OA.设OA=rcm ，则OE=r —2(cm ）. ∵CD ⊥AB ， 由垂径定理得AE=2AB=4（cm)。

在Rt △AEO 中，由勾股定理得 OA 2=OE 2+AE 2。

即r 2=（r —2）2+42. 解得r=5。

∴CD=2r=10（cm).例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 平行. 求证：弧AC=弧BD. 证明：作直径EF ⊥AB ， ∴弧AE=弧BE. 又∵AB ∥CD,EF ⊥AB ， ∴EF ⊥CD. ∴弧CE=弧DE 。

因此弧AE —弧CE=弧BE —弧DE ， 即弧AC=弧BD 。

活动2 跟踪训练2.图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为如（ C ）A．2 B．3 C．4 D．53。

如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）,其跨度为24米，拱的半径为13米,则拱高为（ B ）A．5米B．8米C．7米D．5米5。

湘教版九年级下册数学《垂径定理》教案教学目标1、探索并证明垂径定理。

2、运用垂径定理解决一些有关证明，计算问题。

教学重点、难点：垂径定理的证明以及运用。

教学过程一、预习导学学生自主学习教材P58,完成下列各题：1、把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次后，发现了什么？由此你得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称图形是任意一条过圆心的直线。

（设计意图：让学生动手实验、探索，并发现结论，激发学生的求知欲望）2、在图（1）的ΘＯ中，A、B是任一条方法，C、D是ΘＯ的直径且CD⊥AB，垂足为E。

（1）如图是轴对称图形吗？如果是其对称轴是什么？（2）将ΘＯ沿CD所在直线对折，你能发现图中有哪些等量关系？（3）你能证明你的结论吗？ECOA BD （图1）·设计意图：通过实验让学生探索、发现垂径定理，初步感知。

二、探究展示 （一）合作探究探究1：引导学生利用等腰三角形的性质证明垂径定理，得到定理后，还可进一步帮助学生分析定理中的题设和结论，并可将定理改述为：一条直线若满足:（1）过圆心，（2）垂直于弦，则可以推出；（1）平分弦，（2）平分弦所对的优（劣）弧。

探究2：如图（2），弦AB=8cm ，CD 是ΘＯ的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，CE=2cm ，求ΘＯ的直径CD 的长。

说明：把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径r 圆心EC ABD（图2）·O到弦的距离d ，弦长a 之间的关系式：r 2=d 2+（2a）2（设计意图：垂径定理的巧妙运用，初步感受“连半径”这一辅助线作法） 探究3：证明：圆的两条平行方法所夹的弧相等。

已知：如图（3）在ΘＯ中，弦AB 与弦CD 平行，求证：AC=BD设计意图：“连半径”或“作垂直”都可以解决问题，经一步发现垂径定理的好处。

（二）展示提升1、如图（4）,AB 是ΘＯ的直径，C 是ΘＯ上一点，AC=8cm ，AB=10cm,OD⊥BC 于点D,求BD 的长。

*2.3垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形；2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求边如图，点A、B是⊙O上两点，AB ＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP 于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝12AB＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型二】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB ＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP 最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

*2.3 垂径定理教学目标：【知识与技能】1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证．2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算．【过程与方法】在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力．【情感态度】通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．【教学重点】垂径定理及运用．【教学难点】用垂径定理解决实际问题．教学过程：一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（2）如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）学生回答或展示：【教学说明】（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD ．（2）AM=BM ，AC BC AD BD ==，． 二、思考探究，获取新知探究1 垂径定理及其推论的证明．1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程．已知：直径CD ，弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为点M ．求证：AM=BM ， AC BC AD BD ==，【教学说明】连接OA=OB ，又CD ⊥AB 于点M ，由等腰三角形三线合一可知AM=BM ，再由⊙O 关于直线CD 对称，可得AC BC AD BD ==，．学生尝试用语言叙述这个命题． 2.得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以得出结论(垂径定理推论)：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3.学生讨论写出已知、求证，并说明．学生回答：【教学说明】已知：AB 为⊙O 的弦(AB 不过圆心O)，CD 为⊙O 的直径，AB 交CD 于点M ，MA=MB ．求证：CD ⊥AB ， AC BC AD BD ==，． 证明：在△OAB 中，∵OA=OB ，MA=MB ，∴CD ⊥AB ．又CD 为⊙O 的直径，∴AC BC AD BD ==，． 4.同学讨论回答，如果条件中，AB 为任意一条弦，上面的结论还成立吗?学生回答：【教学说明】当AB 为⊙O 的直径时，直径CD 与直径AB 一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直．探究2 垂径定理在计算方面的应用．例1讲教材例1例2已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 与CD 间的距离．解：(1)当AB 、CD 在O 点同侧时，如图①所示，过O 作OM ⊥AB 于M ，交CD 于N ，连OA 、OC ．∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD 于N ．在Rt △AOM 中，AM=5cm ，22OA AM -．在Rt △OCN 中，CN=12cm ，22OC CN -．∵MN=OM-ON ，∴MN=7cm ．(2)当AB 、CD 在O 点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm ，ON=5cm ，MN=OM+ON ，∴MN=17cm ．∴AB 与CD 间的距离是7cm 或17cm ．【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去．2.AB 、CD 与点O 的位置关系没有说明，应分两种情况：AB 、CD 在O 点的同侧和AB 、CD 在O 点的两侧．探究3与垂径定理有关的证明．例3讲教材例2【教学说明】1.作直径EF ⊥AB ，∴AE BE =．又AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ．∴CE DE =．∴AE CE BE DE -=-，即AC BD =．2.说明直接用垂径定理即可．三、运用新知，深化理解1.如右图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．202.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4)，N(0，-10)， 函数k y x=(x ＜0)的图象过点P ，则k=______．3.如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证：四边形ADOE 为正方形．【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解．2.求k值关键是求出P点坐标．3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形．【答案】1．D 2．283．解：由OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形ADOE为矩形．再由垂径定理;AE=12 AC，AD=12AB，且AB=AC，∴AE=AD，∴矩形EADO为正方形．四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上．3.教师强调：①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况．课堂作业：教材习题2.3第1、2题．教学反思：本节课由折叠圆形入手，让学生猜想垂径定理并进一步推导论证，在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力，加深了对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．。

《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。

2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。

教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。

2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。

2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。

教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。

第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。

2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。

教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。

2. 引导学生验证垂径定理的正确性。

教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。

2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。

教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。

第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力。

教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。

2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。

教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。

2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。

教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。

第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。

2. 提高学生解决实际问题的能力。

教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。

2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。

教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。

2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。

教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。

2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。

第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。

培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

1.2 过程与方法：通过观察、猜想、证明的过程，让学生体验数学的探究过程。

运用图形计算器或信息技术工具，帮助学生更好地理解垂径定理。

1.3 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心。

培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析：分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。

理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。

2.2 学情分析：了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。

了解学生对几何证明的掌握程度，为学生提供必要的支持。

第三章：教学重难点3.1 教学重点：让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。

能够运用垂径定理解决相关的几何问题。

3.2 教学难点：理解并证明垂径定理。

灵活运用垂径定理解决实际问题。

第四章：教学方法与手段4.1 教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、猜想、证明。

运用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论。

4.2 教学手段：使用图形计算器或信息技术工具，展示几何图形，帮助学生更好地理解垂径定理。

提供相关的练习题和案例，供学生实践和应用垂径定理。

第五章：教学过程5.1 导入：通过引入实际问题或情境，激发学生的兴趣和好奇心。

引导学生观察和猜想垂径定理的内容。

5.2 探究与证明：引导学生进行小组合作学习，共同探究垂径定理的证明过程。

引导学生运用几何知识和证明方法，进行逻辑推理和证明。

5.3 应用与练习：提供相关的练习题和案例，让学生运用垂径定理解决问题。

引导学生进行自主学习和合作交流，解答练习题和案例。

鼓励学生反思自己的学习过程，提出问题和建议，为后续学习做好准备。

1. 导入新课通过展示实际问题，引入垂径定理的概念和意义。

提供具体的垂径定理案例，让学生观察和分析，引导学生猜想垂径定理的内容。

第五章：垂径定理的证明通过引导学生运用已有知识，尝试证明垂径定理。

湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理一. 教材分析湘教版数学九年级下册第 2.3节“垂径定理”是圆的相关性质和定理的重要内容。

本节内容主要介绍垂径定理及其应用，通过探究圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现圆的基本定理，为后续学习圆的其它性质和定理打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算等知识，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但对于证明垂径定理，学生可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师应注重引导学生探究，突破难点。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.学会运用垂径定理解决相关问题。

3.培养学生的观察、分析和推理能力。

4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：证明垂径定理的过程。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会运用垂径定理解决问题。

3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。

2.学习资料：收集与垂径定理相关的学习资料，供学生课后拓展学习。

3.教学道具：准备一些圆形的教具，如圆规、圆盘等，以便于直观展示。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆形物体，如圆桌、圆规等，引导学生回顾圆的基本概念和性质。

然后提出问题：“你们认为圆有什么特殊的性质呢？”让学生思考，为引入垂径定理做铺垫。

2. 呈现（10分钟）教师通过课件展示垂径定理的定义和证明过程。

首先，展示一个圆和一条垂直于弦的直径，让学生观察并描述其性质。

接着，引导学生推理，证明垂径定理。

在这个过程中，教师要注意引导学生掌握证明的关键步骤。

3. 操练（10分钟）教师提出一些与垂径定理相关的问题，让学生独立解决。

如：“在一个圆中，如果一条弦的长度是10cm，那么它所对的圆周角是多少度？”在学生解答过程中，教师要及时给予指导和鼓励。

湘教版数学九年级2.3垂径定理教学设计知识回顾：1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2、同学们知道赵州桥吗？1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，求桥拱的半径(精确到0.1 m)．你能解决这个关于赵州桥的问题吗？一、垂径定理的猜想与证明1、请同学们剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E，再将纸片沿着直径CD对折，请同学们比较AE与EB，AC与BC，AD与BD你能发现了什么结论？折，如图，可以发现AE与BE重合，AC，AD分别与BC，BD重合．即AE=BE，AC= BC，AD=BD．你能用所学过的知识证明你的结论吗？2、探究垂径定理的证明．请同学们先画出图形，再根据图形写出已知、求证．小组讨论定理的证明过程．已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点E．求证：AE=BE，AC= BC，AD=BD．猜想是否正确，还有待于证明．请同学生们从以下两方面寻找证明思路．①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明．②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明．根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．请同学们用所学的知识判断下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？垂径定理的几个基本图形：二、垂径定理的逆定理的探究在下列五个条件中：①CD是直径；②CD⊥AB；③AM=BM；④=；⑤AD BDAC BC=．只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论．请试着写出这样的命题．你可以写出相应的命题吗？请小组讨论写出你的条件和结论，并写出用语言叙述的命题．3、例1 如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O的直径CD的长．例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．小组合作讨论：弦和圆心的位置关系有几种情况？根据讨论画出图形并证明结论．已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行．．求证：AC BD请根据例2的证明归纳出结论．垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．三、应用垂径定理解决实际问题如何解决“赵州桥”的问题：如图，OA=OC=R，OD=OC-CD=R-7.2，AB=18.7．即：18.72+(R -7.2)2=R 2． R ≈27.9(m)．答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m ．归纳：应用垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a ，半径r ， 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解．弓形中重要数量关系弦a ，弦心距d ，弓形高h ，半径r 之间有以下关系：d+h=r ，222()2a r d =+．1、半径为4 cm 的⊙O 中，弦AB =4 cm ， 那么圆心O 到弦AB 的距离是________cm ．2、⊙O 的直径为10 cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长是________cm ．3、半径为2 cm 的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是________cm ．4、如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 是弦AC 的中点，BC =8 cm ，求OD 的长．5、如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，CD =8 cm ，求直径AB 的长．6、如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？。

湘教版数学九年级下册《2.3 垂径定理》教学设计一. 教材分析《2.3 垂径定理》是湘教版数学九年级下册的一部分，主要讲述了垂径定理的内容及其应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了直线、圆的基本性质和勾股定理的基础上进行的，是进一步培养学生解决实际问题的能力的关键。

教材通过丰富的实例和图示，引导学生探索、发现并证明垂径定理，进而运用该定理解决一些相关问题。

二. 学情分析学生在进入九年级下册之前，已经学习了直线、圆的基本性质和勾股定理等知识，具备了一定的几何基础。

但是，对于证明和解决复杂几何问题的能力还有一定的欠缺。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、操作、思考、讨论等方法，逐步理解和掌握垂径定理，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决一些相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等方法，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。

2.难点：如何引导学生发现并证明垂径定理。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、思考，发现垂径定理。

2.小组合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队协作能力。

3.实践操作法：学生通过实际操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备等。

2.学具：直尺、圆规、剪刀、彩笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、圆的基本性质和勾股定理，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示实例和图示，引导学生观察、思考，发现垂径定理。

同时，教师在黑板上进行示范性讲解，阐述垂径定理的证明过程。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决一些与垂径定理相关的实际问题。

教师巡回指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。

学会运用垂径定理解决实际问题。

1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。

学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。

1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。

培养学生的合作意识和解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。

通过实际例题，展示垂径定理的应用。

2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。

学生具备一定观察和实验的能力。

第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。

引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。

3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。

引导学生总结垂径定理的表述。

3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。

通过示例，解释垂径定理的应用。

3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。

教师引导学生互相讨论和解答问题。

第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。

学生之间互相评价，分享解题经验和思路。

4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。

学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。

第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。

5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。

5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。

第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。

6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。

6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。

第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。

垂径定理教学设计垂径定理（第一课时）教学设计兰甲明【教学内容】§ 7. 3垂径定理（初三《几何》课本 P 76~P 78） 【教学目标】1. 知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；② 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题; ③ 掌握辅助线的作法一一过圆心作一条与弦垂直的线段。

2. 能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3. 情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规 【教学设计】、实例导入，激疑引趣1.实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课•茅以升）,其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。

因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有 1400多年历史，被 誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧也叫弓高）为7.2米。

请问：桥拱的 半径（即AB 所在圆的半径）是多少?通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一2.导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的米，拱高（弧的中点到弦 AB 的距离, （图1问题。

二、尝试诱导，发现定理1复习过渡：①如图2(a)，弦AB将。

O分成几部分？各部分的名称是什么？②如图2(b)，将弦AB变成直径O被分成的两部分各叫什么?2 •实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。

从而得到圆的一条基本性质一一圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴3 •运动变换：①如图3(a)，AB、CD是。

湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是湘教版数学九年级下册第2.3节的内容。

本节课主要介绍垂径定理及其应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的重要基础。

教材通过生活中的实例引入垂径定理，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析初三学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具有一定的观察、分析和解决问题的能力。

但部分学生在学习过程中对概念的理解不够深入，解决问题的能力有待提高。

此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要通过本节课的学习加以锻炼。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，掌握垂径定理的应用。

2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.提高学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：如何将实际问题转化为垂径定理问题，灵活运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、分析、解决问题。

2.运用实例讲解，让学生体会数学与生活的联系。

3.利用小组合作学习，提高学生的团队协作能力。

4.注重个体差异，给予学生个性化的指导。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。

2.设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。

3.准备课件，展示教学内容和过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如自行车轮子、圆形桌面等，引导学生观察并提出问题：“为什么自行车轮子上的辐条都是垂直于轮子的直径？圆形桌面的四个角的线段为何是相等的？”让学生思考并回答，从而引出垂径定理的概念。

2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。

通过课件展示垂径定理的证明过程，让学生理解并掌握垂径定理。

同时，给出垂径定理的符号表示，便于学生记忆和应用。

3.操练（10分钟）设计一组练习题，让学生运用垂径定理进行计算和证明。

题目难度逐渐增加，让学生在实践中巩固所学知识。

B AC O M 第2章 圆2.3垂径定理教学目标：知识与技能：掌握圆的轴对称和中心对称的性质;理解垂径定理是圆的对称性的体现，掌握垂径定理。

过程与方法：通过学生动手，探究圆的对称性，利用对称性研究垂直于弦的直径的性质，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力。

情感态度价值观：通过对圆的进一步认识，加深学生对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情。

教学重点：利用圆的对称性引出定理，证明定理。

教学难点：垂径定理证明，定理的应用。

教学过程：一、情景导入1、通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2、从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？二、探究新知1、探究一：圆的两种对称性（1）什么是相等的圆（等圆）？（2）圆有几种对称性？圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，或任意一条直径所在的直线． 按下面要求完成下题： 2、利用圆的对称性性质思考： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（是轴对称图形，其对称轴是CD ．）（2）你能发现图中有哪些线段的等量关系？有哪些弧相等？说一说你理由．（AM=BM ，即直径CD 平分弦AB , AC BC = , AD BD = ）3、归纳结论：（垂径定理 ）垂直于弦的直径平分这条弦．并且平分弦所对的两条弧。

下面进行证明：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM. AC BC = , AD BD =分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OBBA C O M在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OB OM OM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BM ， ∴AOC BOC ∠=∠,AOD BOD ∠=∠∴ AC BC = , AD BD =探究二：下列结论是否 正确？平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦．1、要强调“弦不是直径”？2、上述结论即为垂径定理的一个逆定理．三、巩固新知：⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( ) ⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( )⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧( )⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 四、例题讲解：例1、如图，弦AB=8cm ，CD 是⊙O 的直径，CE 垂直于AB ，垂足为D ，DC=2Cm.求⊙O 的直径CE 的长。

2.3 垂径定理-湘教版九年级数学下册教案一、教学目标1.知道直线与圆的位置关系；2.掌握垂径定理及其应用方法；3.能够正确应用垂径定理解题。

二、教学重点1.垂径定理的概念和证明；2.垂径定理的应用。

三、教学难点1.垂径定理的证明；2.垂径定理在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入新知识通过一道经典题目：如何用铅锤和细绳测量树的高度？来引出本节课的主题——垂径定理。

教师将铅锤绑在细绳上，让学生借助墙壁等建筑物，使铅锤垂直于地面，通过简单的计算，就能测量出建筑物的高度。

在实际问题中，垂直与圆心连线的直径被称为“垂径”，利用垂径定理可以解决底层问题。

2. 正式学习介绍垂径定理的概念和证明。

垂径定理是指：如果在圆上任取两点，连接两点并将其延长，将较长的线段作垂直于较短的线段，交于O点，则O点是这个圆的圆心。

在介绍概念和定义后，需要利用具体数学问题进行实践操作，提高学生对垂径定理的理解。

3. 拓展讲解将垂径定理应用到圆的位置关系中来。

如：① 直线与圆的位置关系；② 弦长关系。

① 直线与圆的位置关系；③ 切线定理。

4. 练习根据教师的要求，给出多个实际问题，让学生使用垂径定理来解决问题。

问题可以是如何使画线正中间等实际问题，让学生用垂径定理来解决。

5. 讲评讲解练习题的解法和解答过程，强化学生在学习过程中掌握的知识和技能，加深对垂径定理的理解和应用。

五、教学效果评价通过每节课的独立测验、实验操作、现场观察、课堂表现和评测瑕疵，对学生的学业情况进行评估，确保学生达到了预期的教学目标。

六、教学反馈在实施教学过程中，与学生沟通交流，掌握学生的学习状态及学习状况，及时采取反馈策略，提高教学效果。

同时，应根据学习情况进行调整，灵活处理教材，确保实现教学效果。