九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版

第2题图九年数学导学案课题3．3 垂径定理课型新授课课时第1课时学习目标1．经历探索垂径定理的过程，发展合情推理和演绎推理的能力。

2．能够利用垂径定理解决计算及证明问题。

3．培养学生的合作交流意识，探究意识。

学习重点垂径定理学习难点利用垂径定理的计算导学流程教学过程教学内容预习交流问题导学交流展示一、问题引入：对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．．几何语言：（如右图）∵∴（不是直径）的直径________于弦，并且平分________________________________．二、基础训练：1圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．2如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．3如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．三、例题展示：例1 2021 浙江省湖州市已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．第3题图评价点拨巩固延伸达标测试例2如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB＝36mm，求点O到AB的距离及co∠OAB的值．四、课堂检测：1 2021 广东省中山市如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_________ ．22021 浙江省嘉兴市如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（）A 2B 4C 6 D83如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．84如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5教学反思OA B第4题图第5题图第3题图E BDOCA第2题第1题图。

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

垂径定理逆定理:平分弦(不就是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

一、如何运用垂径定理:垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质,就是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据。

在解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,以构成垂径定理的基本图形(而实际中,往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以)。

在运用垂径定理时,涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高(弦所对的弧的中点到弦的距离)h这四者之间的关系,如图所示,它们的关系就是:222)2(adr+=,hdr+=,根据这两个公式,在a,d,r,h四个量中,知道任意两个量便可求出其她两个量。

典型中考题讲解:1、(2014•盘锦三模)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为E,,(1)求AB的长;(2)求⊙O的半径.2、(2014•浦东新区二模)已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:(1)圆心O到AQ的距离;(2)线段EF的长.3、(2014•金山区一模)如图,已知AB就是⊙O的弦,点C在线段AB上,OC=AC=4,CB=8.求⊙O的半径.4、(2014•槐荫区一模)如图,在⊙O中,点C就是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求⊙O半径的长.5、.(2014•天河区二模)如图,AB就是⊙O的弦,半径OA=20cm,∠AOB=120°,求线段AB的长.二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论:(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。

(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

垂径定理教学目标：1.掌握垂径定理中相关的概念；2.掌握垂径定理的推理、应用.知识梳理：1．弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做______。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是____________，____________________是它的对称轴．3.垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且____________________．(2)平分弦(__________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)_________夹的弧相等．参考答案：1.（1）弦心距2.(2)轴对称图形,经过圆心的任一直线3.(1) 平分弦所对的两条弧(2) 不是直径(5) 平行弦经典例题解析：1.垂径定理的基本概念【例1】（2018浙江绍兴中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED. ∠AOC=60°【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧。

【答案】B练习1.(2017四川梅州一模）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A.是正方形B.是长方形C.是菱形D.以上答案都不对【答案】C练习2.（2018甘肃天水一中期末）下面四个判断中正确的是（）A.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦B.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦C.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦D.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦【答案】C2.垂径定理的简单计算【例2】（2019江苏徐州一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A.10B.8C.5D.3【解析】根据垂径定理，可求CP的长度，根据勾股定理可求半径。

3.3垂径定理教学设计1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。

证明：连接OA,OB,则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,⌒AC和⌒BC重合,⌒AD和⌒BD重合.∴⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD.练一练：下列图形，符合垂径定理的条件吗？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。

垂径定理推论的探索如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。

（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

条件：①CD是直径；②AM=BM结论（等量关系）：③CD⊥AB；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.例题：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD,点0是⌒CD让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容。

学生认真读题、让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径。

《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

该节内容分为2课时。

本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。

其对称轴是任一条过圆心的直线。

【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。

（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。

做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。

2．得到一条折痕CD。

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。