力法和位移法的基本方程

第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。

（可选用各种各样的基本结构）。

位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。

位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。

由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。

位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。

第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。

称为位移法的基本结构。

在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。

由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。

两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。

此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。

ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。

由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。

位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。

位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。

它们都是基于牛顿第二定律的原理，但是在具体实践中有所不同。

本文将重点介绍位移法的典型方程与力法的典型方程的相似之处。

位移法是一种基于位移概念的结构分析方法。

它的基本思想是将结构分解为若干个简单的结构单元，再根据单元的受力情况，求出每个单元的位移，最终得到整个结构的位移。

在位移法中，通过位移来求解结构的内力和反力，因此也被称为弹性位移法。

位移法的典型方程是弹性位移方程，也称为位移-位移方程。

弹性位移方程的形式为：$begin{bmatrix}k_1 & k_2 & cdots & k_n k_2 & k_3 & cdots & k_{n+1} vdots & vdots & ddots & vdots k_n & k_{n+1} & cdots & k_{2n-1} end{bmatrix} begin{bmatrix}u_1 u_2 vdots u_n end{bmatrix} = begin{bmatrix}f_1 f_2 vdots f_nend{bmatrix}$其中，$k_i$表示第$i$个单元的刚度系数，$u_i$表示第$i$个单元的位移，$f_i$表示第$i$个单元的外力。

弹性位移方程的求解过程是将结构分解为若干个单元，然后根据单元的刚度系数和外力，求解出每个单元的位移，最终得到整个结构的位移。

力法是一种基于力概念的结构分析方法。

它的基本思想是将结构分解为若干个受力平衡的杆件或板块，然后根据杆件或板块的受力平衡条件，求解出每个杆件或板块的内力和反力。

在力法中，通过力来求解结构的内力和反力，因此也被称为弹性力法。

力法的典型方程是弹性力学方程，也称为力-位移方程。

弹性力学方程的形式为：$begin{bmatrix}k_1 & k_2 & cdots & k_n k_2 & k_3 & cdots & k_{n+1} vdots & vdots & ddots & vdots k_n & k_{n+1} & cdots & k_{2n-1} end{bmatrix} begin{bmatrix}f_1 f_2 vdots f_n end{bmatrix} = begin{bmatrix}u_1 u_2 vdots u_nend{bmatrix}$其中，$k_i$表示第$i$个单元的刚度系数，$f_i$表示第$i$个单元的内力或反力，$u_i$表示第$i$个单元的位移。

位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。

位移法是通过求解结构的位移来得到结构的反力，而力法是通过已知的外力和支座反力来求解结构的内力和位移。

尽管这两种方法的思想和计算过程不同，但它们的本质是相同的，都是基于平衡原理和变形原理，因此它们的典型方程也具有相似性。

一、位移法的典型方程位移法是一种基于变形原理的方法，它假设结构的变形是已知的，通过求解结构的位移来得到结构的反力。

位移法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{u}=boldsymbol{F}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{u}$是结构的位移向量，$boldsymbol{F}$是结构的外力向量。

在这个方程中，$boldsymbol{u}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{F}$是已知量。

因此，通过求解这个方程，可以得到结构的位移和反力。

二、力法的典型方程力法是一种基于平衡原理的方法，它假设结构的外力和支座反力是已知的，通过求解结构的内力和位移来满足平衡条件。

力法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{x}=boldsymbol{P}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{x}$是结构的位移向量，$boldsymbol{P}$是结构的等效节点力向量。

在这个方程中，$boldsymbol{x}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{P}$是已知量。

因此，通过求解这个方程，可以得到结构的内力和位移。

三、位移法和力法的相似性位移法和力法的本质是相同的，它们都是基于平衡原理和变形原理的。

因此，它们的典型方程也具有相似性。

首先，它们的典型方程都是线性方程组。

在位移法和力法中，结构的刚度矩阵和等效节点力向量都是已知的，未知量是结构的位移和反力（力法中是内力和位移）。

一、静定结构在支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只会发生刚体位移。

因此，静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。

应用虚功方程求解时，虚拟状态的选取同前，因实际状态的变形为零，因此内力虚功为零。

这时结构的位移表达式可以根据式（8-9）改写为（8-28）如果令表示支座移动所引起的位移，为虚拟状态中的支座反力，表示支座位移，则式（8-28）改写为（8-29）式（8-29）就是计算结构由于支座移动所引起的位移表达式。

例8-11 图8-30a 所示为三铰刚架。

支座B 有水平位移a 和竖向位移b ，试求铰C 两边截面的相对转角。

图8-30解：为求C 铰两边截面的相对转角，需在其两边截面施加一对方向相反的单位力偶。

此时因单位力偶的作用产生的支座反力为、、、，如图8-30b 所示。

利用式（8-29），得∑⋅-=c R k K ∆ic ∆R c ∑⋅-=c R ic∆Ax F Ay F Bx F By F ())(h a 0a h 1b F a F c R By Bx C ic 弧度-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⋅-⋅-=⋅-==∆∑ϕ负号表示C处的相对转动的方向与所设的单位力偶的转向相反。

例1 已知简支梁AB跨度为l，右支座B竖直下沉Δ，如图(a)所示。

求梁中点C的竖向位移ΔCV。

解：(1) 在梁中点C处加单位力P=1，如图(b)所示。

(2)计算单位荷载作用下的支座反力:由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。

由对称得B支座反力RB=1/2 (↑)(3) 计算ΔCVΔCV=-∑RC=-(-1/2×Δ)=Δ/2 (↓)例2 图示三铰刚架跨度l=12m，高为h=8m。

已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm (向右)，如图(a)所示。

求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。

解: (1) 在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。

(2) 计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。