河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷

2021-2022学年河南省重点高中高三（上）阶段性数学试卷（文科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−3<x<1}，B={x|x≥0}，则A∪B=()A. {x|0≤x<1}B. {x|x≥0}C. {x|−3<x<1}D. {x|x>−3}2.若复数z=2−i2+i，则z的虚部为()A. −45i B. 45i C. −45D. 353.命题“∀x>1，2x−1>0”的否定是()A. ∃x>1，2x−1≤0B. ∀x≤1，2x−1>0C. ∀x>1，2x−1≤0D. ∃x>1，2x−1>04.某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是()A. 甲成绩的中位数为32B. 乙成绩的极差为40C. 甲乙两人成绩的众数相等D. 甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数5.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,y)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗+2b⃗ =()A. (5,−6)B. (3,6)C. (5,4)D. (5,10)6.已知S n是等比数列{a n}前n项的和，若公比q=2，则a1+a3+a5S6=()A. 13B. 17C. 23D. 377.函数f(x)=sin(x+π3)+sinx的最大值为()A. 2B. √3C. 2√3D. 48. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. y =1−x 2B. y =x|x|C. y =e x −e −xD. y =lg(√x 2+1−x)9. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A. 若l//α，l//β，则 α//βB. 若l//α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则 l ⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l ⊥β10. 已知定义在R 上的奇函数y =f(x)满足f(x +2)=−f(x)，若∀x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，则下列结论正确的是( )A. y =f(x)图象关于直线x =2020对称B. y =f(x)在[2019,2021]上为减函数C. y =f(x)图像关于点(2020,0)中心对称D. y =f(x)在[2020,2022]上为增函数11. 已知直线l ：y =kx 与圆C ：x 2+y 2−6x +5=0交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则k 的值为( )A. √147B. √142C. ±√142D. ±√14712. 已知函数f(x)=ae x −x 2(a ∈R)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,4e 2)B. (0,2e )C. (0,2e 2)D. (0,4e )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={4+log 3x,x >043−2x ,x ≤0，则f[f(log 149)]=______． 14. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a+b)2cd的最小值是______．15. 已知曲线y =x +lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1(a ≠0)相切，则a =______16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，若AD =DB =BC =CD =1，∠ADB =120°，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x(千元)和销售量y(千件)之间的一组数据如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x i 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y i111086515(1)试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2．参考数据：∑x i 5i=1y i =392，∑x i 25i=1=502.5．18. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB//CD ，∠DAB =90°，PA ⊥AD ，且PA =AB =2AD =2DC =2，PB =√2AB ． (Ⅰ)证明：平面PAC ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的侧面积．19. 已知等差数列{a n }的前四项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }通项公式；(2)设b n =a n +2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2+y 2=2上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)动直线1与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问：△OMN(O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值.求出该定值；若不为定值.试说明理由．21. 已知函数f(x)=1(x−1)2+aln(x +1)(a ∈R)．(1)设g(x)=f(x −1)，若g(x)在区间(1,2)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(−1,1)，f(x)≥1，求实数a 的值．22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，其中θ为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)若α=π3，曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求|OM|⋅|ON|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+2|x −1|．(1)当a =2时，解不等式f(x)≤4；(2)若存在x ∈[1,2]，使得不等式f(x)>x 2成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|−3<x<1}，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|−3<x<1}∪{x|x≥0}={x|x>−3}．故选：D．由已知直接利用并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=3−4i5=35−45i，∴复数2−i2+i 的虚部为−45．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为命题“∀x>1，2x−1>0”是全称命题，所以该命题的否定为特称命题，即为：“∃x>1，2x−1≤0”，故选：A．已知命题为全称命题，根据全称命题与特称命题的关系即可求解．本题考查了全称命题与特称命题的否定，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：对于A，将甲的成绩按照从小到大的顺序排列之后，最中间的数字为32，故A正确；对于B ，乙成绩的极差为52−10=42，故B 错误； 对于C ，甲的众数为32，乙的众数为42，故C 错误； 对于D ，x 甲−=11+22+23+24+32+32+33+41+529=30，x 乙−=10+22+31+32+35+42+42+50+529=3519，所以甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数，D 错误； 故选：A ．根据数字特征进行逐一计算，判断各个选项即可． 本题考查了茎叶图中的数字特征，属于基础题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了向量共线定理和向量坐标运算，属于基础题． 利用向量共线定理和向量坐标运算即可得出． 【解答】 解：∵a ⃗ //b ⃗ ， ∴y −2×2=0， 解得y =4，∴a ⃗ +2b ⃗ =(1,2)+2(2,4)=(5,10)． 故选D ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查等比数列的三项和与前6项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等比数列的通项公式和前n 项和公式直接求解． 【解答】解：∵S n 是等比数列{a n }的前n 项和，公比q =2，∴a 1+a 3+a 5S 6=a 1+a 1q 2+a 1q 4a 1(1−q 6)1−q=1+22+241−261−2=13．故选：A ．7.【答案】B【解析】解：f(x)=sin(x +π3)+sinx =12sinx +√32cosx +sinx =32sinx +√32cosx =√3(√32sinx +12cosx)=√3sin(x +π6)， 故函数的最大值为√3， 故选：B ．利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得函数的最值． 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的最值，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：解：对于A ，函数为偶函数，故选项A 错误；对于B ，函数y =x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，则函数在R 上为单调递增函数，故选项B 错误；对于C ，函数y =e x −e −x 为奇函数，因为y =e x 和y =−e −x 均为R 上的增函数，则函数为增函数，故选项C 错误；对于D ，函数y =lg(√x 2+1−x)为奇函数，函数可变形为y =√x 2+1+x ，因为t =√x 2+1+x为单调递减函数，而y =lgt 为单调递增函数，则f(x)为单调递减函数，故选项D 正确． 故选：D ．利用基本初等函数的性质，结合奇偶性的定义，函数单调性的判断方法，逐一分析判断即可．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．根据直线与平面、平面与平面的位置关系对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l的平面与α的交线为m，则l//m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；若α⊥β，l//α，则有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．10.【答案】C【解析】解：对于A，因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x)=f(−x)，故函数f(x)的对称轴为x=1，因为f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，所以对称轴为x=1+4k(k∈Z)，则x=2020不满足x=1+4k(k∈Z)，故选项A错误；对于B，因为∀x1，x2∈[0,1]且x1≠x2时，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，则x1[f(x1)−f(x2)]>x2[f(x1)−f(x2)]，所以(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，故函数f(x)在[0,1]上为单调递增函数，则函数f(x)在[4k,4k+1](k∈Z)上为单调递增函数，当k=505时，f(x)在[2020,2021]上为单调递增函数，故选项B错误；对于C，f(2020)=f(4×505+0)=f(0)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，则f(2020)=0，所以y=f(x)图像关于点(2020,0)中心对称，故选项C正确；由f(x)的对称轴为x=1可得，f(x)在[1,2]上为单调递减函数，所以f(x)在[4k+1,4k+2](k∈Z)上为减函数，当k=505时，f(x)在区间[2021,2022]上为减函数，故选项D错误．故选：C．由题意，结合函数奇偶性、单调性、对称性以及周期性的定义，判断得到f(x)的单调性、周期性、对称性以及奇偶性，依次判断四个选项即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性、单调性、对称性以及周期性的判断与应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由x2+y2−6x+5=0，得(x−3)2+y2=4，可得圆心C(3,0)，半径r=2，由△ABC为等腰直角三角形，得圆心到直线的距离d=√k2+1=√2，解得k=±√147．故选：D．由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由△ABC为等腰直角三角形，可得圆心到直线l的距离等于√2，由此列式求得k值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】A【解析】解：令f(x)=ae x−x2=0，可得a=x2e x，若g(x)=x2e x ，则g′(x)=x(2−x)e x，∴当0<x<2时，g′(x)>0，g(x)递增；当x<0或x>2时，g′(x)<0，g(x)递减；∴g(x)有极小值g(0)=0，极大值g(2)=4e2，又x→−∞，g(x)→+∞；x→+∞，g(x)→0；可得g(x)图象如下：∴要使题设函数有三个不同零点，则g(x)与y=a有三个不同交点，∴0<a<4e2，∴实数a的取值范围(0,4e2)．故选：A．将问题转化为g(x)=x2e x与y=a有三个不同交点，利用导数研究g(x)的性质并画出图象，数形结合法判断a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的性质，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．13.【答案】4【解析】解：∵log 149=−log 23=log 213∈(−2,−1)， ∴f(log 149)=f(log 2 13)=43−2log 213=43−13=1，∴f[f(log 149)]=f(1)=4+log 31=4，故答案为：4．根据分段函数的解析式，先求出f(log 149)的值，进而求得结论．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】4【解析】解：∵x 、a 、b 、y 成等差数列，∴a +b =x +y∵x 、c 、d 、y 成等比数列，∴cd =xy则(a+b)2cd=(x+y)2xy=y x+xy+2≥4(x >0,y >0)，故答案为4．由条件x >0，y >0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a 、b 、c 、d 转化成关于x 、y 的表达式(a+b)2cd=(x+y)2xy=y x+xy+2≥4(x >0,y >0)本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．15.【答案】8【解析】 【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，求出切线方程，运用两线相切的性质是解题的关键．属于中档题．求出y =x +lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据Δ=0得到a 的值． 【解得】解：y =x +lnx 的导数为y′=1+1x ，曲线y =x +lnx 在x =1处的切线斜率为k =2，则曲线y =x +lnx 在x =1处的切线方程为y −1=2x −2，即y =2x −1． 由于切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切， 故由方程y =ax 2+(a +2)x +1和y =2x −1联立， 得ax 2+ax +2=0，又a ≠0，两线相切有一公共点， 所以有Δ=a 2−8a =0， 解得a =8． 故答案为8．16.【答案】133π【解析】解：如图所示，因为DB =BC =CD =1，所以△BCD 为等边三角形，取BD 中点M ，连接CM ，则△BCD 外接圆圆心在CM 上，且设为O 2，由正三角形性质可得，△BCD 外接圆半径r =CO 2=√33，则O 2M =√32−√33=√36，在△ABD 中，∠ADB =120°，AD =BD =1，所以AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos120°=3，即AB =√3， 由正弦定理得△ABD 外接圆半径r′=AB2sin∠ADB =√32×√32=1，设△ABD 外接圆圆心为O 1，则O 1A =O 1B =O 1D =r′=1， 所以四边形ADBO 1为菱形，过O 2作平面BCD 的垂线，过O 1作平面ADBO 1的垂线，两线交于点O ， 则O 为三棱锥的外接球的球心，连接O 1M ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD =BD ， CM ⊥BD ，O 1M ⊥BD ，所以四边形OO 1MO 2为矩形，则OO 1=MO 2=√36，所以三棱锥的外接球半径R =BO =√OO 12+BO 12=√1312，所以三棱锥的外接球的表面积S =4πR 2=13π3．故答案为：13π3．根据题意，分别找到等边△BCD 外接圆的圆心O 2和三角形△ABD 外接圆圆心O 1，即可找到三棱锥外接球球心，根据边长，即可求得外接球半径R ，代入公式，即可得答案． 本题主要考查球与多面体的切割问题，球的表面积的计算等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)由表可知，x −=15×(9+9.5+10+10.5+11)=10，y −=15×(11+10+8+6+5)=8，所以b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，a ̂=8−(−3.2)×10=40，故y 关于x 的回归直线方程为y ̂=−3.2x +40． (2)当x =8时，y ̂=−3.2×8+40=14.4， 因为|y ̂−y|=|14.4−15|=0.6<0.65， 所以可认为所得到的回归直线方程是理想的．【解析】(1)由表可知x −和y −的值，再根据b 和a ̂的参考公式，求得回归系数，得解； (2)把x =8代入(1)中所得回归方程，再计算|y ̂−y|的值，并与0.65比较大小，即可得解． 本题考查线性回归方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：由PA =AB =2，PB =√2AB =2√2，∴PA 2+AB 2=PB 2，∴AB ⊥PA ，又PA ⊥AD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AP ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，在直角梯形ABCD 中，由题意得AC =BC =√2， ∴AC 2+CB 2=AB 2，∴BC ⊥CA ，∵AP ∩AC =A ，AP 、AC ⊂平面APC ，∴BC ⊥平面APC ， ∵CB ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．(2)由(1)知PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形， 由题意得：S △PAD =12×PA ×AD =1，S △PAB =12×PA ×AB =2， S △PDC =12×PD ×CD =12×√5×1=√52，S △PBC =12×PC ×BC =12×√6×√2=√3，∴四棱锥P −ABCD 的侧面积为S =3+√3+√52．【解析】(1)推导出AB ⊥PA ，PA ⊥AD ，从而AP ⊥平面ABCD ，PA ⊥BC ，再推导出BC ⊥CA ，从而BC ⊥平面APC ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBC ．(2)由PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形，能求出四棱锥P −ABCD 的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意知{4a 1+6d =10(a 1+2d)2=(a 1+d)(a 1+6d)，解得a 1=−2，d =3，或a 1=52，d =0， 所以a n =3n −5，a n =52，(2)b n =3n −5+2n ，或b n =52+2n ， 当b n =3n −5+2n时，S n =n(−2+3n−5)2+1−2n 1−2=3n 2−7n2+2n −1，当b n =52+2n 时，S n =52n +2n −1．【解析】(1)利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a 2，a 3，a 7等比数列关系组成方程组求得a 1和d ，最后根据等差数列的通项公式求得a n ．(2)把(1)中求得b n =3n −5+2n ，或b n =52+2n ，进而根据分组求和求得答案． 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．20.【答案】解：(1)设双曲线C 的半焦距为c ，由点A(a,0)在圆O ：x 2+y 2=2上，可得a =√2，由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −√2,0)⋅(c −√2,0)=2−c 2=−2，解得c =2，所以b 2=c 2−a 2=2， 故双曲线C 的标准方程x 22−y 22=1；(2)设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y =±x ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =±√2，|OD|=√2，|MN|=2√2， 所以S △OMN =12⋅|MN|⋅|OD|=2；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，则k ≠0，D(−mk ,0)， 把直线l 的方程与C ：x 2−y 2=2联立可得，(k 2−1)x 2+2kmx +m 2+2=0， 由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交， 所以直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以k 2−1≠0且m ≠0，所以{△=4k 2m 2−4(k 2−1)(m 2+2)=0k 2−1≠0，可得m 2=2(k 2−1)>0，解得k >1或k <−1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =kx +my =x，解得y 1=m 1−k ， 同理可得y 2=m1+k ，所以S △OMN =12⋅|OD|⋅|y 1−y 2|=12⋅|m k |⋅|m 1−k −m 1+k| =|m 21−k 2|=2，综上所述，△OMN 的面积恒为定值2．【解析】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于较难题．(1)利用点A 在圆O 上，求出a 的值，设双曲线C 的半焦距为c ，利用数量积的坐标表示结合AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，即可求出c 的值，由a ，b ，c 的关系求出b 的值，即可得到答案； (2)设直线l 与x 轴相交于点D ，当直线l 的斜率不存在时，求出三角形的面积；当l 的斜率存在时，设直线l 的方程，与双曲线方程联立，通过直线与双曲线的位置关系，得到m 与k的关系，然后联立直线l与渐近线方程，求出点M，N的纵坐标，由三角形的面积公式求解即可．21.【答案】解：(1)依题意，g(x)=1(x−2)2+alnx,g′(x)=−2(x−2)3+ax，∵g(x)在区间(1,2)上单调递增，∴g′(x)≥0，即−2(x−2)3+ax≥0，即a≥2x(x−2)3在(1,2)上恒成立，令ℎ(x)=2x(x−2)3，则ℎ′(x)=2(x−2)3−6x(x−2)2(x−2)6=2(x−2)−6x(x−2)4=−4x−4(x−2)4<0在(1,2)上恒成立，∴ℎ(x)在(1,2)上单调递减，则ℎ(x)<ℎ(1)=−2，∴a≥−2，即实数a的取值范围为[−2,+∞)；(2)f′(x)=−2(x−1)3+ax+1=a(x−1)3−2(x+1)(x+1)(x−1)3，∵x∈(−1,1)，∴(x+1)(x−1)3<0，令m(x)=a(x−1)3−2(x+1)，当a≥0时，由于x∈(−1,1)，于是m(x)<0，则f′(x)>0，f(x)在(−1,1)单调递增，又f(0)=1，所以当x∈(−1,0)时，f(x)<1，不满足题意；当a<0时，m(−1)=−8a，m(1)=−4，又m′(x)=3a(x−1)2−2<0，∴m(x)在(−1,1)单调递减，存在x0∈(−1,1)，使得m(x0)=0，且当x∈(−1,x0)时，m(x)>0，f′(x)<0，当x∈(x0,1)时，m(x)<0，f′(x)>0，∴f(x)在(−1,x0)单调递减，在(x0,1)单调递增，∴f(x)在(−1,1)有唯一的最小值点x0，又f(0)=1，要使得f(x)≥1恒成立，当且仅当x0=0，则f′(x0)=f′(0)=0，即−a−2= 0，解得a=−2，综上，实数a的值为−2．【解析】(1)求出g(x)的解析式，再对其求导，结合题意可将问题转化为a≥2x(x−2)3在(1,2)上恒成立，令ℎ(x)=2x(x−2)3，求出ℎ(x)在区间(1,2)上的最大值即可；(2)对函数f(x)求导，然后分a≥0及a<0讨论，然后利用导数转化求解即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)，曲线C 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，依题意，曲线C 1的普通方程为cosαy −sinαx =0； 即曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)； 曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=4，即x 2+y 2−2x −3=0， 故曲线C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．(2)将θ=π3代入曲线C 2的极坐标方程ρ2−2cosθ⋅ρ−3=0中， 可得ρ2−ρ−3=0，设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=−3，故|OM|⋅|ON|=|ρ1|⋅|ρ2|=3．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|，当x ≤−2时，f(x)=−(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−3x ≤4，解得x ≥−43，结合x ≤−2，得不等式的解集为⌀；当−2<x ≤1时，f(x)=(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−x +4≤4，解得x ≥0，结合−2<x ≤1，得0≤x ≤1；当x >1时，f(x)=(x +2)+2(x −1)，不等式f(x)≤4化为3x ≤4，解得x ≤43，结合x >1，得1<x ≤43；综上知，不等式f(x)≤4的解集为[0,43].(2)当1≤x ≤2时，f(x)=|x +a|+2|x −1|=|x +a|+2x −2， 不等式f(x)>x 2可化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义知，x +a >x 2−2x +2或x +a <−x 2+2x −2， 即存在x ∈[1,2]，使得a >x 2−3x +2，或a <−x 2+x −2． 即a >(x −32)2−14，或a <−(x −12)2−74， 由x =32时(x −32)2−14取得最小值−14；由x =1时−(x −12)2−74取得最大值为−2； 所以a >−14，或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(−14,+∞)．【解析】(1)a =2时f(x)=|x +2|+2|x −1|，利用分段讨论法求出不等式f(x)≤4的解集．(2)1≤x ≤2时f(x)=|x +a|+2x −2，不等式f(x)>x 2化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义化为关于a 的不等式，从而求得实数a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立的应用问题，是中档题．。

2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题 含答案(III)（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（56分）2．方程 的解是 ．3．函数sin cos ()sin cos 44xxf x x x ππ-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期 . 4. 满足的锐角的集合为 . 5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 . 7．在的二项展开式中，常数项等于 . 8. 函数的单调递增区间为 . 9．设等比数列的公比,且()135218lim ,3n n a a a a -→∞++++=班级 姓名 班级学号 考试学号则 . 210. 若()22,[1,)x x af x x x++=∈+∞的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11. 函数的值域为 .12.随机抽取9个同学中，恰有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果用最简分数表示）. 答： 13.函数的最小值为 .014.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 . 二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（ ）17. 对于任意实数，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取……………………………（ B ）A. B. C. D.18．对任意两个非零的平面向量，定义,若平面向量与的夹角，且和都在集合中.则（ ）三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：（1）三棱锥的体积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（6分）EDPCBA解：⑴122323,2ABCS=⨯⨯= …………2分 三棱锥的体积为1142323333ABCV SPA =⨯⨯=⨯⨯= ……… 6分 ⑵取中点连接则（或其补角）是异面直线与所成的角，……… 8分在中，2,2,DE AE AD ===222223cos ,2224ADE +-∠==⨯⨯所以异面直线与所成的角的大小为……… 12分20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结，………2分 由已知，122060A A ==，……4分 ，又12218012060A A B =-=∠， 是等边三角形，………6分 ， 由已知，，1121056045B A B =-=∠，………8分乙甲乙在中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-2220220=+-⨯⨯ ．．………12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． ………14分解法二：如图，连结，………2分由已知，122060A A ==，………4分 ，cos 45cos60sin 45sin 60=-，sin 45cos60cos 45sin 60=+．………6分在中，由余弦定理：22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯乙甲．． ………8分由正弦定理：11121112222(13)2sin sin 210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， ，即121604515B A B =-=∠， ………10分2(1cos15sin1054+==．在中，由已知，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B AB A B AB =++22210(1210(14+=+-⨯+⨯．，………12分乙船的速度的大小为海里/小时．………14分 答：乙船每小时航行海里．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O 中，直线与抛物线＝2相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线过点T （3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 2122606ky y k y y --=⇒=- ………6分又 ∵ ，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，………8分综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). ………10分该命题是假命题. ………12分 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB 的方程为：，而T(3,0)不在直线AB 上；……… 14分说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值. 解：(1)由已知 ………2分|2||2|,0x a x a a -=+=即解得.……… 4分(2)2212,2()12,2x x a x af x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ………6分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；………10分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；………14分由22(2)(1)044a a a ---=>，知的最小值为. ……… 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分) 已知函数的定义域是且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x ∈时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） (1) 由得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+, ----------------------3分由得, ----------------------4分 故是奇函数. ----------------------5分(2)当x ∈时,，. ----------------------7分 而)(1)(1)1(x f x f x f =--=-，. ----------------------11分（3）当x ∈Z)时,，………………………密封线…………………………………………密封线………， 因此123)2()(--=-=k x k x f x f .----------------------13分 不等式 即为，即. ----------------------14分 令，对称轴为，因此函数在上单调递增. ----------------------15分因为221111(2)(2)(2)42224g k k k k k k +=+-++=+-，又为正整数，所以，因此在上恒成立，----------------------17分 因此不存在正整数使不等式有解.----------------------18分32909 808D 肍> w25572 63E4 揤A24148 5E54 幔6n20491 500B 個i40499 9E33 鸳22000 55F0 嗰r^。

河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知平面向量a r ，b r 满足，1b =r ，则向量b r ）a rB ．-14arD共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）A ．11B ．13C ．14D ．166．已知数列{}n a 为等比数列，,,,m t p q 均为正整数，设甲：m t p q a a a a =；乙：m t p q +=+，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件7．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin B A A C +=-，则A ，C 的大小关系为（ ）A ．C A >B ．C A=C ．C A<D ．无法确定8．已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①()()32226128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令()()3g x f x x =+，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的图象关于1x =对称B ．()13f ¢=-C ．()320242024f =D ．()2202532025f =-´¢故32322(26128)(260()()128)g x x x x x x g x x -=-+-+-+--+=，则得()g x 的图象关于1x =对称，故A 正确；对于B ，由A 项已得()g x 的图象关于1x =对称，则(1)0g ¢=，由()()3g x f x x =+，可得()()23g x f x x ¢+¢=，则()()1133f g =-¢=-¢，故B 正确；对于C ，因()f x 为奇函数，故()()3g x f x x =+也是奇函数，图象关于(0,0)对称，因()g x 的图象关于1x =对称，故函数()g x 的周期为4|10|4T =-=，又()()3g x f x x =+，则()3(2024)(0)020242024g g f ===+，解得()320242024f =-，故C 错误；对于D ，因()()3g x f x x =+为奇函数，且周期为4，则()()23g x f x x ¢+¢=，由()()23g x f x x ¢¢-=-+，因()[()][()]()f x f x f x f x ¢¢¢¢-=--=--=，故()()g x g x ¢¢-=，即函数()()23g x f x x ¢+¢=为偶函数；由()()344(4)g x f x x +=+++，可得()()2443(4)g x f x x +=+++¢¢，因()()3g x f x x =+的周期为4，则()()4g x g x +=，求导得()4()g x g x +=¢¢，即函数()()23g x f x x ¢+¢=的周期为4.于是，2(2025)(1)0(2025)32025g g f ¢¢¢===+´，故得2(2025)32025f ¢=-´，即D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.18．(1)1a=2(2)①(]0,1；②证明见解析【分析】（1）求导，根据（2）①对a进行讨论，即数单调性，即可根据单调。

2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.(](),14,-∞-+∞ B.()(),14,-∞-⋃+∞ C.()5,1-- D.(]5,1--【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R 51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2.若2z i z i +=-=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z ==，故选：C.3.已知()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，所以()()()()()()()22222lg5lg 20lg 2lg5lg 4lg 2l 5g5l g lg5lg g 2l 22f ⨯=⨯+++=⨯+=+⨯()()22lg 5lg 2lg101=+==.故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B5.若x ，y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（）A.3-B.5- C.8 D.7-【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出可行域，令2z x y =-，即1122y x z =-，所以平移斜率为12的直线，12z -相当于在y 轴上的截距，找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令2z x y =-，即1122y x z =-，12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距，平移直线12y x =，当直线过A 点时，截距最大，z 最小，联立203x y x -+=⎧⎨=⎩，可得()A 3,5，故在A 点时取得最优解，代入2z x y =-，可得7z =-.故选：D.6.已知：()1,2a =r，b = a b - 的最大值是（）A.B. C.+ D.-【答案】B 【解析】【分析】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r 可得a =得a b -=.【详解】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r ，得a == 所以a b -== ，因为0πθ≤≤，所以1cos θ1-＃，即52520cos 45θ≤-≤≤≤所以a b -的最大值为.故选：B.7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()1cos f x x x=+ B.()1sin f x x x =+C.()1cos f x x x=- D.()1sin f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A ，C ，由函数在0x =处的变化趋势排除B ，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数()f x 为奇函数,对于A:()()()11cos cos f x x x f x x x-=-+=+≠---，()f x 不是奇函数排除A 选项；()()()11cos cos f x x x f x x x-=--=+≠--，()f x 不是奇函数排除C 选项；对于B ,当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，但()10,sin 0x f x x x→=+>排除B ；故选：D.8.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.6B.6- C.3D.36【答案】B 【解析】【分析】先由已知条件求出πsin 6α⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简计算可得答案.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πsin 63α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132326-=⨯-⨯=，故选：B9.在ABC 中，30C =︒，b =，c x =.若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A.12B.32C.1D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理得到sin 2B x=，再分030B ︒<≤和30B ︒>两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出x 的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理sin sin b c B C =，即sin sin 30x B ︒=，所以sin 2B x=，因为ABC 只有一解，若30B ︒>，则90B ︒=，若030B ︒<≤显然满足题意，所以10sin 2B <£或sin 1B =，所以1022x <≤或12x =，解得x ≥或2x =；故选：D10.若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合，则ϕ的一个可能取值为（）A.π3B.π3-C.2π3-D.4π3-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对()g x 的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，周期2πT ω=，函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，得函数πππ2sin 2sin 236y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，而()()()ππ2cos 22sin 22sin 222g x x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意π2,2π,Z π26k k ωϕ=+=-∈，Z 2,π32πk k ϕ∴=-∈，令32ππ2π3k ϕ=-=，得1Z 2k =∉，故A 错误；令32ππ23πk ϕ=-=-，得1Z 6=∉k ，故B 错误；令2π2π332πk ϕ=-=-，得0Z k =∈，故C 正确；令32π34π2πk ϕ=-=-，得1Z 3=-∉k ，故D 错误.故选：C.11.已知函数()πe (cos ),0,2π1,,02x x a x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪--∈- ⎥⎪⎝⎦⎩在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥B.3a ≥ C.2a ≥ D.12a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】利用导数求解π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()e (cos )x f x x a =-，则()e (cos sin )0xf x x x a '=--≤所以πcos sin 4a x x x ⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因此1a ≥，要使()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则需要()()01201e cos0a a f a ≥⎧⇒≥⎨=-≥-⎩,故选：C12.已知：22π1tan 8π1tan 8a -=+，2b =，4log 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<b D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】222222πππ1tan cos sin π888cos πππ421tan cos sin 888a --====++，2242log 3log 3log 3log 42c ===，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322<，即a c <，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()00f x '=，且()01,2x ∈，当0x x <时，()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，即22log 30log 222>⇒>⇒>，即b c >，所以a c b <<.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos ,x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭可得解.【详解】2023ππsin πsin 674πsin 3332⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，2023ππ1cos πcos 674πcos 3332⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得202320231πcos π332⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：12.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为__________.【答案】9π【解析】【分析】在ABC)cos c b A a -=)sin sin cos sin C B A A -=利用π--C B A =消角可得cos 2B =，则角B可求，又b =，可利用正弦定理求ABC 的外接圆直径，ABC 的外接圆面积可求.【详解】 在ABC)cos c b A a -=，∴)sin sin cos sin C B A A -=，又π--C B A =，())sin sin cos sin B A B A A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin B A B A B A A +-=，sin sin B A A =，又在ABC 中sin 0A >，∴2cos 2B =.又 在ABC ，0πB <<，∴π4B =，∴ABC的外接圆直径=6sin 22b B ==，∴ABC 的外接圆的面积为9π.故答案为：9π.15.若()e e 1xx f x =+，则()2e 11ef x +-<的解集是______________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据题意求得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，结合()2e 11(1)ef f +==，把不等式转化为()1(1)f x f -<，得到11x -<，即可求解.【详解】由函数()e e 1xx f x =+，可得()()11e e e ex xx xf x f x ---=+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，可得()e e0x xf x -'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又由()2e 11(1)e f f +==，所以不等式()2e 11ef x +-<等价于()1(1)f x f -<，则满足11x -<，解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.16.不等式()()222e 1a b a b m m -+--≥-对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[1,2]-【解析】【分析】设(,e ),(1,)a P a Q b b +，则可得22PQ m m ≥-，而,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，可求出PQ 的最小值，从而可解关于m 的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e ),(1,)aP a Q b b +，则()()222e 1aPQ b a b =-+--，所以22PQ m m ≥-，因为,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，所以将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，切点到直线1y x =-的距离最小，此时PQ 最小，设切线为y x m =+，切点为00(,)x y ，则()x f x e =，得()e x f x '=，所以0e 1x =，得00x =，则01y =，所以PQ 的最小值为点(0,1)到直线1y x =-的距离d ，d ==，即PQ ，所以22m m ≥-，即220m m --≤，解得12m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[1,2]-，故答案为：[1,2]-【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e ),(1,)a P a Q b b +，22PQ m m ≥-，进一步转化为曲线()x f x e =上的点和直线1y x =-的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .AB AC ⋅=- ，ABC 的面积等于3.（1）求A ；（2）求222b c a +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）23【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得tan A =，进而求解即可；（2）由（1）可得bc =，结合余弦定理可得222b c a +=-22221b c a a +=-，再根据基本不等式可得2222b c a bc +=-≥=2a ≥.【小问1详解】因为cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅=⋅=- 又1sin 32ABC S bc A ==△，两式相除得，tan A =又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知，cos bc A ⋅=-2π3A =，所以bc =，又2221cos 22b c a A bc +-==-，即222b c a +=-所以2222221b c a a a a+=--=，又因为2222b c a bc +=-=1423b c ==⨯时等号成立，所以2a ≥210a <≤，即214303a -≤-<，即2243113a≤-<，所以222b c a +的最小值为23.18.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，且{}n b 是以2为公比的等比数列.（1）证明：24n n a a +=；（2）若2122n n n c a a -=+，求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）154n n c -=⋅，()5413n n S =-【解析】【分析】（1）先求得n b ，然后根据递推关系证得24n n a a +=.（2）先求得n c ，然后结合等比数列前n 项和公式求得n S .【小问1详解】依题意，11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，1b ==，且{}n b 是以2为公比的等比数列，所以11222n n nb --==，所以1212122n n n n a a --+==，则21122n n n a a +++=，两式相除得224,4n n n na a a a ++==.【小问2详解】由（1）知数列{}2n a 和数列{}21n a -都是公比为4的等比数列，所以1211222221142,42n n n n n n a a a a -----=⋅==⋅=，22211212222254n n n n n n c a a ----=+=+⨯=⨯，1154,4n n n nc c c ++=⨯=，所以数列{}n c 是首项为5，公比为4的等比数列，所以()()514541143n n n S -==--.19.已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--13cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++1cos 2sin 21222x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭sin 2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .【小问2详解】解：因为()()()33sin 212212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()sin 21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()11,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()ln a f x x x x=+-，其中a ∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）450x y --=（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）先将2a =代入得到()f x 解析式，对()f x 求导可得切线的斜率，由()1f 得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将()f x 代入得到2ln 2a x x x x <+-，所以将对于任意()1,x ∈+∞都有()2f x >转化成了()2min ln 2<+-a x x x x ，构造函数()2ln 2g x x x x x =+-，对()g x 求导判断函数()g x 单调递增，从而得()()1g x g >，即得证.【小问1详解】当2a =时，由已知得()2ln =+-f x x x x ，故()2121=++'f x x x ，所以()11214f '=++=，又因为()21ln1111=+-=-f ，所以函数()f x 的图象在点()1,1-处的切线方程为()141+=-y x ，即450x y --=；【小问2详解】由()2f x >，()1,x ∈+∞，得2ln 2<-+a x x x x ，设函数()2ln 2g x x x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-，因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->，故函数()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-，因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >成立，所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21n n S n a n +=∈N.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和53n T <.【答案】（1）32n a n =-（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()1231n S n n =-，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．【小问2详解】由（1）可得()3212n n n S -+=，所以，所以()1231n S n n =-，当1n =时，11513S =<，当2n ≥时，()122121211(13133(1)31()3n S n n n n n n n n ==⋅<⋅=----，12111n nT S S S =++⋯+211211211131232331n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 525333n =-<,综上53n T <.22.已知()21e 12x f x x x =---.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【答案】（1）()f x 在R 上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解M ，N ，即可作差求解大小.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ,()e 1xf x x '=--，令()()(),e 1xx f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--³故函数()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<，所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-,而()51e 2e 2N f M '≥=->-=,因此M N <。

2021届河南省南阳市高三期中质量评估数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,A y y x x ==+∈R ，{}2,xB y y x ==∈R ，则A B 等于（ ）A ．{}1,2B ．{}0,1C ．()0,∞+D ．()(){}0,1,1,2【答案】C【分析】求出集合,A B 中的元素，再由交集定义求解． 【详解】由已知{}1,A y y x x R ==+∈=R ，{}{}2,0(0,)x B y y x y y ==∈==+∞R ，所以(0,)A B =+∞．故选：C 2．已知11abi i=-+-，其中,a b 是实数，则复数a bi -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数相等的条件求得,a b ，从而可得结果. 【详解】由11abi i=-+-， 得()()()()1111a bi i b b i =-+-=-++，101b a b +=⎧∴⎨=-⎩，即2,1a b =-=-， ∴复数2a bi i -=-+在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，位于第二象限，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念以及复数相等的性质，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知函数()f x 的定义域[]22-,，则函数()1f x -的定义域为（ ） A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]0,2【答案】B【分析】由1[2,2]x -∈-可得．【详解】由题意212x -≤-≤，解得13x -≤≤，所以(1)f x -的定义域是[1,3]-． 故选：B ．4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.5．已知：数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若12024a =，且20202019320202019S S -=，则2021S =（ ） A ．212021⨯ B ．222021⨯C ．232021⨯D ．242021⨯【答案】D【分析】根据数列{}n a 为等差数列知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据通项公式即可求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，12024a =，20202019320202019S S -=， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1=20241S 为首项，3为公差的等差数列， 所以20211+20203=2024+20203=4202120211S S =⨯⨯⨯，所以2202142021S =⨯， 故选：D6．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间B ．()3,5为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在0x =处取得极大值 【答案】D【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数()y f x =的导函数的图象可知： 当1x <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当13x时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当35x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当5x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 单调递减区间为(,1),(3,5)-∞-，递增区间为(1,3),(5,)-+∞， 且函数()f x 在1x =-和5x =取得极小值，在3x =取得极大值， 故选D ．【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．若2cos b a A =，222a b c ab +-=，则下面式子中不可能成立的是（ ）A ．a c b <<B ．a b c ==C ．c b a <<D ．223sin sin sin sin 4B A A B +-=【答案】C【分析】由余弦定理求得C ，再由正弦定理化边为角，可得2B A =或2B A π+=，分类讨论求得,A B ，然后分析各选项成立的可能性．【详解】因为222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，而(0,)C π∈，所以3C π=，又2cos b a A =，由正弦定理得sin 2sin cos sin 2B A A A ==，,A B 是三角形内角，所以2B A =或2B A π+=，若2B A =，则由3C π=得，29A π=，49B π=，则a c b <<，A 可能成立， 若2B A π+=，则由3C π=得，3A B π==，则a b c ==，B 可能成立，此时若2c =则2222232cos 4a b ab C a b ab c +-=+-==，D 可能成立， 只有C 不可能成立． 故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角转化，利用余弦定理求角是解题的一般方法，解题时要注意，由sin sin 2B A =时，结论是2B A =或2B A π+=，不能只得出2B A =，否则出错．8．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解.【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212lnln2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<，a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<，故选：A【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.9．已知：AB 为圆：221x y +=上一动弦，且AB =点(P ，则PA PB⋅最大值为（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．32【答案】C【分析】取AB 的中点为M ，把,PA PB 用PM 表示，根据弦中点性质得M 在以O 为圆心，2为半径的圆上，从而由P 到圆心距离加上圆半径可得PM 的最大值，于是可得结论．【详解】设AB 的中点为M ，则OM AB ⊥，OM =，∴M 在以O为半径的圆上，2221()()()()2PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA PM ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-，又PO ==，∴max22PM==， 2max492PM=， ∴PA PB ⋅的最大值为4912422-=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取弦AB 中点M ，利用M 的轨迹是圆，把,PA PB 用PM 表示，求出PM 的最大值即可得结论，而由点P 到圆心的距离即可得最大值．10．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ） A ．4 B ．1-C ．23D ．6【答案】C【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；（2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C.【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解. 11．若函数()2sin ,0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．3(0,]2C ．3[,2)2D ．[2,)+∞【答案】C【解析】函数2sin ,(0)y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，但最大值不是2，则x ω[-,],-,343242ωπωπωππωππ∈∴≤-<⇒ω的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．(),1-∞C ．0,D ．11,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意得2ln x xa x +=有两个零点 2431(1)(ln (2)12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=） 令()12ln (0)g x x x x =--> , 则2()10g x x'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x xa x+=在(0,1)上为增函数， 可得),(1a ∈-∞，当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2ln x xa x+=在(1,)+∞上单调递减， 可得(0,1)∈a ， 即要2ln x xa x+=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知平面向量α，β，1α=，(1,3β=，()2ααβ⊥-，则2αβ+的值是______．【分析】根据向量垂直向量数量积等于0，解得α·β＝12，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.【详解】由()2ααβ⊥-得()2220ααβααβ⋅-=-⋅=， 所以12αβ⋅=， 所以22224+4=10αβαβαβ+=+⋅所以2αβ+=.14．已知：等比数列{}n a 的前n 项和23nn S a =⋅-，则5a =______．【答案】48【分析】由n S 求出n a ，结合等比数列求得a 值，从而可得5a ．【详解】由题意2n ≥时，11123(23)2n n n n n n a S S a a a ---=-=⋅--⋅-=⋅，又1123a S a ==-，{}n a 是等比数列，所以32222223a a aa a a ===-．解得3a =． 所以453248a =⨯=． 故答案为：48．【点睛】易错点睛：由前n 项和n S 求n a 时，要注意1n n n a S S -=-中有2n ≥，不包括1a ，而11a S =，解题时要注意，否则易出错． 15．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由x 的范围求出26x π+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．【详解】0,3a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746aa π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．16．已知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【分析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnx g x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围．【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2．∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]．【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，122nn n a a +=-+．（1）判断数列{}2nn a +是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）n S 21222n n n +=+-+. 【分析】（1）判断差()()1122n n n na a+++-+是否是常数可得．（2）由（1）可得n a ，然后用分组求和法计算出n S ．【详解】解：（1）由122n n n a a +=-+可得：()()11222n nn na a +++-+=， 又11a =，所以123a +=， 故数列{}2nn a +是首项为3，公差为2等差数列．（2）由（1）可知：212nn a n =+-，所以()()35212482nn S n =++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+21222n nn +=+-+．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查分组求和法．设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 用错位相减法求和，数列11{}n n a a +用裂项相消法求和，{}n n a b +用分组（并项）求和法求和．另外还有倒序相加法．要求数列满足12132n n n a a a a a a --+=+=+=．18．如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，7BD =，AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长． 【答案】（1）217；（243. 【分析】（1）设2AD k =，3AB k =，由余弦定理求出AD ，AB ，再由正弦定理能求出sin ABD ∠；（2）由AB BC ⊥可得cos sin DBC ABD ∠=∠，由此可得sin DBC ∠，再利用正弦定理能求出CD ．【详解】解：（1）因为:2:3AD BD =， 所以可设2AD k =，3AB k =，0k >．又7BD =π3DAB ∠=， 所以由余弦定理，得()()222π732232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，32sin 212sin 77AD DABABD BD∠∠===．（2）因为AB BC ⊥， 所以21cos sin DBC ABD ∠=∠=所以27sin DBC ∠=因为sin sin BD CDBCD DBC=∠∠，所以3CD==．19．已知数列{}n a是首项为2的等差数列，数列{}n b是公比为2的等比数列，且数列{}n na b⋅的前n项和为()12nnS n n+*=⋅∈N.（1）求数列{}n a、{}n b的通项公式；（2）若111c a b=，当2n≥时，1n n n nc c a b--=⋅，求数列{}n c的通项n c．【答案】（1）()1na n n*=+∈N，()2nnb n*=∈N；（2）12nnc n+=⋅.【分析】（1）设数列{}n a的公差为d，根据题意可得出1b、d的值，进而可求得数列{}na、{}n b的通项公式；（2）求得()112nn nc c n--=+⋅，利用累加法可求得数列{}n c的通项公式.【详解】（1）设数列{}n a的公差为d，则()21na n d=+-，112nnb b-=⋅，则211112124S a b b===⨯=，求得12b=，2nnb∴=．而322216S=⨯=，即()112242416a b a b d+=++⨯=，解得1d=．211na n n∴=+-=+,所以，数列{}n a的通项公式为()1na n n*=+∈N，数列{}n b的通项公式为()2nnb n*=∈N；（2）当2n≥时，1n n n nc c a b--=⋅，故()()()()11223211122 n n n n n n n n n nc c c c c c c c a b a b a b--------+-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+，可得，1122n n nc a b a b a b=++⋅⋅⋅+，故12nn nc S n+==⋅．【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11na a n d+-=或11nna a q-=进行求解；（2）前n项和法：根据11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 20．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求方程()4ln f x x x =根的个数．【答案】（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---，利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3． ∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，()()140g x g ≤=-<，当3x >时，()55553e e 202212290eg =--->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定.21．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．sin A 、sin B 、sin C 成等比数列．（1）若2c a =，求cos B 的值；（2）当B 取得最大值时，求证：A 、B 、C 成等差数列． 【答案】（1）34；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，再结合正弦定理得到2b ac =，再根据2c a =利用余弦定理求解.（2）由22222cos 22a c b a c ac B ac ac+-+-==，利用基本不等式结合函数cos y x =在()0,π上的单调性，求得max π3B =，再利用等差中项证明. 【详解】（1）因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2sin sin sin B A C =⋅， 由正弦定理得2b ac =，又因为2c a =，故b =．所以2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===． （2）因为2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时，取等号，又函数cos y x =在()0,π上是单调递减， 所以max π3B =， 又因为πA B C ++=， 所以2π23A CB +==， 即A 、B 、C 成等差数列．22．已知函数()22ln f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（1）若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在[]01,x e ∈，使得()()0020f x a x +-≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤或83a ≥；（2）()e e 2,e 1-⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦.【分析】（1）转化条件为2221x a x ≤-或2220x ax a -+≤在[]1,2上恒成立，运算可得解；（2）转化条件为22ln -≤-x x a x x在区间[]1,e 上有解，结合导数确定22ln x xx x --在[]1,e 上的最大值即可得解.【详解】（1）由题意，()22222a x ax af x x a x x-+'=-+=，若()f x 在区间[]1,2上是单调增加，则()0f x '≥即2221xa x ≤-在[]1,2上恒成立，设()()222111212221x x g x x x -==++--，易得()()min 12g x g ==， 故2a ≤；若()f x 在区间[]1,2上是单调减少，则()0f x '≤，即2220x ax a -+≤在[]1,2上恒成立，故只须222222021210a a a a ⎧⨯-⨯+≤⎨⨯-⨯+≤⎩，解得83a ≥， 综上，2a ≤或83a ≥； （2）由题意知，不等式()()0020f x a x +-≥在区间[]1,e 上有解， 即()22ln 0x x a x x -+-≥在区间[]1,e 上有解，因为当[]1,e x ∈时，ln 1x x ≤≤（不同时取等号），ln 0x x ->，所以22ln -≤-x x a x x在区间[]1,e 上有解，令()22ln x x h x x x -=-，则()()()()2122ln ln x x x h x x x -+-'=-， 因为[]1,e x ∈，所以222ln x x +>≥，所以()0h x '≥，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以[]1,e x ∈时，()()()max e e 2e e 1h x h -==-，所以()e e 2e 1a -≤-，所以实数a 的取值范围是()e e 2,e 1-⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将有解问题转化为求函数最值的问题，结合导数即可得解.。

2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5}2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（）A．20B．35C．45D．635．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（）A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（）A．B．C．D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（）A．B．C．D．10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，则不等式f（x）＞3x2+2018的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．设a＝ln1.2，b＝2ln1.1，c＝﹣1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（﹣4，x），＝（3，2）．若⊥，则||＝．14．已知x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．已知函数图象的一条对称轴方程为x＝，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为，则φ＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin A＝，a＝5，则△ABC的面积为，其内切圆的半径为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＜b＜c，cos B＝，cos（2A+C）＝﹣．（1）求sin（A+C）的值；（2）求sin2A的值．18．已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+2n+1（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n．（1）证明：数列是等差数列．（2）求S n．19．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件．已知生产该产品的固定年投入为10万元，每生产1万件该产品需要再投入25万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少？20．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC＝2，∠BAC＝，．（1）求cos∠PBC．（2）若点M在线段PB上，记△ACM的周长为l，证明：l＞5．22．已知函数f（x）＝（ax﹣1）lnx﹣（2a﹣）x+ea．（1）当a＞0时，证明：f（x）≥0；（2）若f（x）在（e，e2）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2021-2022年高三上学期期中联考文科数学含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则为( )A. B. C. D.2.设，则是的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知函数，则( )A.4 B． C．一4 D．【答案】B【解析】4.设平面向量，，则 ( )A ．B ．C . D.5.已知数列的前n 项和为，且，则等于( )A ．-10B ．6C ．10D ．146.函数的图像可能是( )【答案】B【解析】试题分析：因为函数()()ln ln x x x x f x f x x x---==-=--，所以函数是奇函数，排除选项A 和选项C.当时，在区间是增函数，所以选B.考点：1.分段函数的图像与性质；2.函数奇偶性的判断；3.对数函数的图像与性质7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )A. 向左平移个单位 B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A. -2 B．﹣l C．1 D .29.等差数列公差为2，若，，成等比数列，则等于( )A．-4 B．-6 C．-8 D．-10 【答案】B【解析】试题分析：由已知得，解得，所以.考点：1.等比数列的性质；2.等差数列的性质10.设，，，则( )A. c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD. a>b>c11.在△ABC中，若，，此三角形面积，则a的值是( )A. B．75 C．51 D. 4912.设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为( ) A．12 B．1 6 C．18 D．20【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.设集合()(){}|320M x x x =+-<，，则_________.【答案】【解析】14.设是定义在R上的奇函数，当时，，则_________.15.在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式__________．16.对函数，现有下列命题：①函数是偶函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.其中是真命题的是______________________.【答案】①④【解析】三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）命题p：关于x的不等式，对一切恒成立；命题q：函是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【答案】【解析】试题分析：先根据不等式恒成立问题以及二次函数的图像与性质求出为真时的的取值范围，再根据指数函数的图像与性质求出为真时的的取值范围.根据已知条件“或为真，且为假”可知，，一真一假，那么分别求出“真假”和“假真”情况下的的取值范围，两种情况下的的取值范围取并集即可.试题解析：为真：，解得； ------------2分为真：，解得. ------------4分18.（本小题满分12分）已知二次函数,且的解集是（-1，5）．(l)求实数a，c的值；(2)求函数在上的值域．试题解析：（1）由，得：，不等式的解集是，故方程的两根是，…………………3分所以，，所以. …………………6分19.（本小题满分12分）设函数2()2cos 3sin 2f x x x =+．(l)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间．∴函数的最小正周期是. …………6分20.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，首项.(l)求数列的通项公式； (2)设数列，证明数列是等差数列并求前n 项和.得， …………………..2分. …………………..4分（2）由， …………………..6分因为)2(2lg 2lg )1(2lg 1≥=--=--n n n b b n n ，所以是以为首项，以为公差的等差数列. …………………..9分所以 . …………………..12分考点：1.等比数列的前项和；2.等差数列的前项和；3.等比数列的性质；4.等差数列的性质；5.对数及对数运算21.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且.(1)求A的大小；(2)若，试求△ABC的面积．22.（本小题满分14分）已知函数. (l)求的单调区间和极值；(2)若对任意23(0,),()2x mxx f x-+-∈+∞≥恒成立，求实数m的最大值．(2) ，即 ，又， ， …………………..8分令 ，()()()222222ln 3'2ln 3'23'x x x x x x x x x x h x x x ⋅++⋅-⋅++⋅+-== ， ………………….10分31570 7B52 筒20407 4FB7 侷|zT R /31123 7993 禓37290 91AA 醪34333 861D 蘝Z23255 5AD7 嫗36035 8CC3 賃。

河南省南阳市2021届高三第一学期期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。

2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。

第I 卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合A ＝{y|y ＝x ＋1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于A.{1，2}B.{0，1}C.(0，＋∞)D.{(0，1)，(1，2)}2、已知：1a i−＝－1＋bi ，其中a ，b ∈R ，则复数a －bi 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知函数f(x)的定义域[－2，2]，则函数f(x －1)的定义域为A.[－2，2]B.[－1，3]C.[－3，1]D.[0，2]4、已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a//b 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件5.已知：数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和。

若a 1＝2024，且2020201920202019S S −＝3，则S 2021＝A.1×20212B.2×20212C.3×20212D.4×202126、函数y ＝f(x)导函数的图像如图所示，则下列说法错误．．的是A.(－1，3)为函数y ＝f(x)的递增区间B.(3，5)为函数y ＝f(x)的递减区间C.函数y ＝f(x)在x ＝0处取得极大值D.函数y ＝f(x)在x ＝5处取得极小值7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c.若b ＝2acosA ，a 2＋b 2－c 2＝ab ，则下面式子中不可能成立的是A.a<c<bB.a ＝b ＝cC.c<b<aD.sin 2B ＋sin 2A －sinAsinB ＝34 8、已知：a ＝log 232，b ＝log 423，c ＝(32)－2，则a ，b ，c 的大小关系是 A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b9、已知：AB 为圆：x 2＋y 2＝1上一动弦，且|AB|＝2，点P(23，6)，则PA PB ⋅最大值为A.12B.18C.24D.3210、如果函数f(x)＝(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＋1(其中b －a ≥2)在[1，2]上单调递减，则3a ＋2b 的最大值为A.4B.－1C.不存在D.611、若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－3π，4π]上的最小值是－2，但最大值不是2，则ω的取值范围是A.(0，2)B.[32，2)C.(0，32] D.[2，＋∞) 12、已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.(0，1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.(1，1e )第II 卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(13)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是 。

2021年高三上学期期终考试数学文试题含答案考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期为．2．已知集合，，则．3．若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为．4．若数列的通项公式为，则．5．若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________．6．已知，，则的值为Array．7．已知直线：和：，则∥的充要条件是= ．8．的展开式中的系数是（用数字作答）．9．执行右边的程序框图，若，则输出的S = ．10．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．（第9题图）D 1C 1A 111．已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ．12．已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x 的不等式的解集是 ．13．已知抛物线上一点(m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 14．已知命题“若，，则集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅” 是假命题，则实数的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在四边形ABCD 中，，且·＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形16．已知且C ，则（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．B ．C ．D ．17．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ） A ．24B ．48C ．144D ．28818．若是R 上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增； ④在上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的 中点．NPMDCBA（1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列． （1）若，且，求的值； （2）若，求的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B 在上，D 在上，对角线过C 点， 且矩形的面积小于150平方米． （1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆：，称圆心在原点O 、半径是的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F 的距离为． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与轴正半轴的交点P 作直线，使得与椭圆C 都只有一个交点，求的方程；（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”．设函数的定义域为，且．（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①与；②与．E ABCD A 1B 1C 1D 1F黄浦区xx 第一学期高三年级期终考试数学试卷（文科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．； 2．； 3．2； 4．； 5．4 6．； 7．3； 8．36； 9．81； 10．； 11． 12．； 13．； 14．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．C 18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）在正方体中， ∵是的中点，∴， ………………3分 又平面，即平面， 故11111333E CDFCDF V S CE -∆=⋅=⋅⋅=， 所以三棱锥的体积为．………………6分 （2）连，由、分别为线段、的中点，可得∥，故即为异面直线与所成的角． ………………… 8分 ∵平面，平面，∴， 在△中，，， ∴，∴ ．所以异面直线EF 与所成的角为． ………………………… 12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴又，∴， …………………………2分 由得，，∴ ① ………………………4分 又由余弦定理得NPMDCBA∴，∴ ② ………………………6分由①、②得， ……………………………………8分 （2）sin sin cos AM A A A-……………………………………11分由（1）得，∴， 由且，可得故， 所以，即的取值范围为． …………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得， ∴，即，……………………3分 故， ………………………5分 由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为． …………………………………8分 （2）令，则由，可得，故2266(4)166(8)4x t S t x t t+===++- …………………………10分， …………………………12分 当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为（平方米）…………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C 的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 （2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C 只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 ………………6分 ，即，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得， ………………8分 所以直线的方程为，的方程为，或直线的方程为，的方程为． ………………10分 （3）由题意，可设，则有，又A 点坐标为，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--， ………………12分故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分 又，故，所以的取值范围是． …………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知恒成立，令， 可得，∴数列是公差为1的等差数列， 故，又，故． ………………………………3分 （2）当时，，令，可得，由可得，即时，， …………………………………4分 可知在上的取值范围是． 又是的一个“P 数对”，故恒成立， 当时，，…， …………………………………6分 故当为奇数时，的取值范围是；当为偶数时，的取值范围是． ……………………………8分 由此可得在上的最大值为，最小值为．………………10分 （3）由是的一个“P 数对”，可知恒成立， 即恒成立， 令，可得， …………………12分 即，又，∴是一个等比数列，∴，所以． …………………………………15分 当时，由是增函数，故，又12222222n n x --+>⨯+=+，故有．…………………………………18分。