解决实际问题的函数模型建立

如何根据实际问题建立函数模型建立函数模型是解决实际问题中常用的一种数学工具，它能够将变量之间的关系进行抽象和表达，为问题的分析和求解提供有效的途径。

在本文中，将介绍如何根据实际问题建立函数模型，并通过具体案例加以说明。

一、实际问题的分析在建立函数模型之前，我们首先需要对实际问题进行全面的分析和理解。

这包括确定问题的背景、目标和限制条件，明确需要研究和求解的主要变量，以及它们之间的关系等。

二、确定函数的自变量和因变量在建立函数模型时，需要确定函数的自变量和因变量。

自变量是指在问题中可以独立变化的变量，而因变量是自变量变化所导致的结果。

通过明确自变量和因变量，可以为函数模型的建立提供基础。

三、收集数据和观察现象为了建立准确的函数模型，需要收集数据并观察现象。

通过实验、调查或者观察等手段获取数据，并对数据进行整理和分析，以揭示自变量和因变量之间的关系。

这有助于形成初步的函数模型。

四、选择函数类型和形式根据实际问题的特点和需求，选择合适的函数类型和形式。

常见的函数类型包括线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等。

根据数据和观察结果，选择适当的函数形式，并进行函数参数的估计。

五、建立函数模型在确定函数类型和形式之后，根据问题分析和数据观察结果，可以建立函数模型。

函数模型是问题分析和数据处理的产物，它能够简洁、准确地表达变量之间的关系。

六、模型的验证和修正建立函数模型之后，需要对模型进行验证和修正。

使用模型对新的数据进行拟合和预测，并与实际观测结果进行比较，以评估模型的准确性和适用性。

如果模型存在偏差或误差，可以考虑对模型进行调整和修正，以提高模型的精确度和适应性。

七、模型的应用和分析建立准确的函数模型之后，可以将其应用于实际问题的求解和分析中。

通过模型的分析和计算，可以获得对问题的深入理解和洞察，为问题的解决提供有力的支持和指导。

八、模型的优化和改进建立的函数模型可能存在不足之处，可以根据问题的需求和模型的应用，对模型进行优化和改进。

建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。

一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。

【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。

二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。

【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。

高中数学：构建函数模型解决实际问题角度1 构造一次函数、二次函数模型某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润f (x )，g (x )表示为关于投资额x 的函数．(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A ，B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？解：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，可设f (x )＝kx ，将点(1,0.25)代入，得f (x )＝14x (x ≥0)．由B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，可设g (x )＝t x ，将点(4,2.5)代入，得g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元， 创业团队获得的利润为y 万元，则y ＝g (x )＋f (10－x )＝54x ＋14(10－x )(0≤x ≤10)．令x ＝t ，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)， 即y ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52，即x ＝6.25时，y 取得最大值4.062 5.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．角度2 构造指数函数、对数函数模型候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．解：(1)设DQ ＝x m(x ＞0)，则AQ ＝(x ＋20)m.∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，∴AP ＝30(x ＋20)x. ∴S ＝12AP ·AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ＋40≥1 200， 当且仅当x ＝20时取等号，∴DQ 的长度为20 m 时，S 最小，S 的最小值为1 200 m 2.(2)∵S ≥1 600，∴由(1)整理得3x 2－200x ＋1 200≥0.解得0＜x ≤203或x ≥60，即要使S 不小于1 600 m 2，则DQ 的长度范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，203∪[60，＋∞)． 角度4 构造分段函数模型(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0＜x ≤400，80 000，x ＞400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数．(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0＜x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．1.一、二次函数模型问题的2个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．4．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B) A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．①当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：①当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200，当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。

第2课时建立一次函数的模型解决实际问题学习目标：1.通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释实际问题中相关量的含义.2.了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，提高学生应用函数的能力.自主学习一、知识链接1.函数的表示方法有、、.表达式的步骤.y1=2x+1与y2=1-x的交点坐标是，当x时，y1>y2.二、新知预习问题: 为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：能否据此求出V和t的函数关系？将这些数值所对应的点在坐标系中作出．我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式．如下图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60，1002.3)．设V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝，b＝．V＝．你也可以将直线稍稍挪动一下，不取这两点，换上更适当的两点．2.学习归纳我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．合作探究一、探究过程探究点1：用一次函数刻画实际问题中的数量关系为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳相对应的四档高度，得到如下数据：(1)小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）；(2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cmcm，请你判断它们是否配套？说明理由．【针对训练】.这些酒精在10℃和30℃时的体积各是多少升)？探究点2：获取实际问题中的图象信息小刚上午7：30从家里出发步行上学，途径少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．(1)小刚步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2)下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半个小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：℃小刚到家的时间是下午几时？℃小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数表达式．【针对训练】如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同的路线，由甲地到乙地行驶过程中路程和时间Array之间的关系图，已知两地相距80千米.根据图象回答：(1) 出发得早，早个小时；(2) 到达乙地较早，早个小时；(3)求出两人的平均速度分别是多少？探究点3：用一次函数解决方案问题3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)试讨论用哪种购买方案优惠？【方法总结】用一次函数解决方案问题的步骤：1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型）；画函数图象的方式确定自变量的范围；3.利用一次函数的增减性选择出最佳方案.二、课堂小结当堂检测1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）、乙两人中先到达终点的是乙、乙同时起跑 D.甲在这次赛跑中的速度为5米/秒第1题图第2题图第3题图2.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车主较合算．3.某公司市场营销部的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（件）成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是___________元.4.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.℃请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；℃根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？参考答案自主学习一、知识链接1.列表法图象法表达法2.（1）设一次函数的表达式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），求出待定系数的值；（4）写出函数表达式.3. （0,1）>0二、新知预习1. t合作探究一、探究过程探究点1：用一次函数刻画实际问题中的数量关系解：(1)设y=kx+b，将x=37,y=70和x=42,y=78代入得7037,7842,=k bk b解得1.6,10.8.=kb故桌高y是凳高x的函数关系式为yx+10.8.（2）yx +10.8，当y =77时，x =41.375≠43.5，故它们不配套.【针对训练】解：设V =kT +b ，将T =0,VT =40,V 5.250, 5.48140,=b k b 解得0.005775,5.250.=k b 即VTT =10时，VT =30时，V =5.42325≈5.423.故酒精在10℃和30℃时的体积分别为5.308升、5.423升.探究点2：获取实际问题中的图象信息解：(1)小刚每分钟走1200÷10＝120(步)，每步走100÷150＝23(米)， 所以小刚上学的步行速度是120×23＝80(米/分)． 小刚家和少年宫之间的路程是80×10＝800(米)．少年宫和学校之间的路程是80×(25－10)＝1200(米)．(2)℃1200－30045＋30＋800＋300110＝60(分钟)，所以小刚到家的时间是下午5：00. ℃小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时90045＝20分，此时小刚离家1100米，所以点B 的坐标是(20,1100)．线段CD 表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s (米)与行走时间t (分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得s ＝1100－110(t －50)，即线段CD 所在直线的函数表达式是s ＝6600－110t .【针对训练】解：（1）骑自行车者 3 （2）骑摩托车者 3（3）80÷8=10(km/h)；80÷（5-3）=40(km/h).故骑自行车者和骑摩托车者的速度分别为10 km/h 、40 km/h.探究点3：用一次函数解决方案问题解：(1)甲方案：y =9x (x ≥3000);乙方案：y =8x +5000(x ≥3000).(2)令9x =8x +5000，解得xx =5000时，甲、乙两方案结果一样；当x ≥5000时，选用乙方案更优惠；当x ≤5000时，选用甲方案更优惠；当堂检测代入得2550,70100,=k bk b解得0.9,20.=-kb元；当每月用电量超过50度时，其中的50度每度。

可以采用Excle 制表，能够非常方便的得出各种类型的拟合函数曲线，这个试验我们可以选择指数型的拟合函数y = 47.05e0.0014x我们还可以选取其他类型的拟合函数，例如这个问题还可以选取线性拟合函数y = 0.1382x + 30.8 ，下面我们来对比两种拟合函数哪个更能接近真实情况.通过烧开 1100 毫升水（已达水壶最大水位线）并记录时间，跟两种拟合函数预测的时间作对比来进行检验.应用指数型拟合函数ݕ= 47.05e0.0014ݔ计算，预测用时219 秒，真实测量用时211 秒，误差+8 秒；运用线性拟合ݕ = 0.1382ݔ+8.03计算，预测用时182 秒，误差-29 秒.分析误差原因，很可能来自于指数型函数值随ݔ的增长速度逐渐变快，一次函数增长速度不变.所以会出现指数型拟合函数计算值超过真实值，线性拟合函数预测值低于真实值的情况，由于水壶最大水位线为 1100 毫升，此时指数型拟合更接近真实值，同时水量也不会再多于这个最大值了，决定本问题使用指数型拟合更符合实际情况. 也可以应用Excle 软件自带的功能，选择显示 2 值功能， 2 更接近 1 的拟合函数能够更好的描述数据的规律. 这部分知识在高二我们会学习，所以这里不做赘述.根据拟合函数ݕ= 47.05e0.0014ݔ,烧水660 毫升用时约为 118.5353 秒，可计算出用电0.05926 度，烧水330 毫升用时72 秒用电0.036 度；因为要烧两次所以用电0.072 度，所以一次烧水660 毫升更为省电.注意：应用Excle 绘图功能，将数据用函数关系拟合并进行分析，是函数类建模的常用方法.重点分析拟合函数的选择，要经过实践的检验，选择更符合检测结果的函数关系对数据进行拟合.通过对比拟合函数，选择更好的拟合函数，在这个过程中还可以复习相关函数的性质.数学建模的实验报告写作要求包括：2分钟总结提升1、对实际问题中的变化过程进行分析，分析其中常量、变量及相互关系；2、明确运动变化基本特征，确定运动变化类型；3、选择适当的函数类型建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；4、通过运算、推理、求解函数模型，利用函数模型的解描述实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.。