高等数学建模案例

数学建模数学实验插值及案例在科学研究和工程实践中，数学建模扮演着至关重要的角色。

通过建立数学模型，我们可以对现实世界的现象进行模拟和预测。

其中，插值方法是一种重要的数学建模工具，用于估计在给定数据点之间的未知值。

本文将探讨插值方法的基础理论以及一个具体的数学实验案例。

插值方法是一种数学技术，通过在给定的数据点之间估计未知的值。

最常用的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。

线性插值是最简单的插值方法，它将数据点之间的变化视为线性的，即变化率保持恒定。

多项式插值方法则通过构建一个多项式函数来逼近数据点的变化趋势。

样条插值则通过将数据点连接成平滑的曲线来进行插值。

本案例将利用多项式插值方法对房价进行预测。

我们收集了一组房屋价格数据，包括房屋的面积、房龄、位置等信息。

然后，我们使用多项式插值方法构建一个函数来描述房价与这些因素之间的关系。

通过调整多项式的阶数，我们可以控制模型的复杂性。

我们使用该模型来预测新的房价。

在本案例中，我们使用了200个样本数据进行训练，并使用另外100个数据点进行测试。

我们发现，通过增加多项式的阶数，模型的预测精度可以得到提高。

然而，当阶数增加到一定程度后，模型的性能改善不再明显。

我们还发现模型的预测结果对训练数据的分布非常敏感，对于分布偏离较大的新数据点，预测结果可能会出现较大误差。

通过本次数学实验，我们深入了解了插值方法在数学建模中的应用。

在实际问题中，插值方法可以帮助我们更好地理解数据的变化趋势和预测未知的值。

然而，插值方法也存在一定的局限性，如本实验中模型对训练数据分布的敏感性。

未来工作中，我们可以尝试采用其他更加复杂的模型，如神经网络、支持向量机等来提高预测精度。

我们还应充分考虑数据的分布特性，以提高模型的泛化能力。

插值方法是数学建模中的重要工具之一，它可以让我们更好地理解和预测数据的趋势。

通过本次数学实验，我们深入了解了多项式插值方法的工作原理和实现过程，并成功地将其应用于房价预测问题中。

高等数学在交通领域的建模
高等数学在交通领域具有重要的建模作用，以下是一些例子:
1. 微积分建模：交通领域需要处理大量数据，例如交通流量、速度、密度等，这些数据通常可以用微积分来建模。

例如，可以用微积分来建立交通流量方程，以预测未来交通状况。

2. 偏微分方程建模：偏微分方程在交通规划中发挥着重要作用。

例如，可以用偏微分方程来描述交通流的运动和变化，预测交通流量和拥堵情况。

3. 概率论建模：交通领域涉及到很多随机因素，例如交通事故、道路状况、天气等。

因此，概率论在交通领域中具有重要的建模作用，可以用来预测交通流量和拥堵情况。

4. 线性代数建模：交通领域中也需要处理很多矩阵和向量运算，例如交通信号控制、道路维修等。

因此，线性代数在交通领域中也具有重要的建模作用。

高等数学在交通领域中具有重要的建模作用，可以帮助交通领域更好地理解和处理交通问题。

高数数学建模题目
以下是一个高数数学建模题目的示例：
题目：某品牌手机生产商生产了100万部手机，其中有5%的手机存在电池寿命不足的问题。

为了解决这个问题，生产商决定对所有手机进行电池更换。

每部手机更换电池的成本为30元，求总成本和平均每部手机更换电池的成本。

假设手机数量为 N=100万部，电池寿命不足的手机比例为 p=5%，更换电池的单价为 c=30元。

总成本可以通过以下公式计算：
总成本= N × p × c
其中，N 是手机数量，p 是电池寿命不足的手机比例，c 是更换电池的单价。

平均每部手机更换电池的成本可以通过以下公式计算：
平均成本 = 总成本 / N
请使用以上信息，求解总成本和平均每部手机更换电池的成本。

总成本为：元
平均每部手机更换电池的成本为：15 元。

数学建模论文《数学建模》(2014春)课程期末论文摘要（一）对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。

猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。

（二）对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。

关键词微分方程导数的几何意义猎狗追兔子数学建模数学软件一、问题重述如图1所示，有一只猎狗在B 点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m 的地方O 处，此时兔子开始以8m/s 的速度正向正西北方向，距离为150m 的洞口A 全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

请回答下面的问题：⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ ⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30m 时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下回答前面两个问题。

二、问题分析与假设在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。

1.假设兔子的运动是匀速的。

2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。

3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。

4.猎狗运动时总是朝向兔子。

三、模型的建立及求解3.1 符号规定1.（x ，y ）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。

2. t ：从开始到问题结束经过的时间。

3. a:猎狗奔跑的路程。

4. v:猎狗的奔跑速度。

3.2 模型一的建立与求解猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA 要有交点以OA 为y 轴，以OB 为x 轴建立坐标系，则由图有O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0点,而猎狗初始位置是B 点，t （s ）后猎狗到达了C （x ，y ），而兔子到达了D （0，8t ），则有CD 的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有：NW8dy y tdx x-=dav dt =da =三式联立消去t ，得到;设：若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB 之间运动时此方程有解，设：得到：得到：两式联立相加得到：1.如果q=1即v=8 m/s 得到所以此情况无交点，所以v=8m/s 猎狗无法追上兔子； 2.如果q<1即v>8m/s 得到此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150; 解得到： 即所以这种情况下能够追上的最小速度是 .3.如果q>1 利用上式得到，所以这种情况不能追上兔子。

大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。

关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。

（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。

要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。

用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。

由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。

运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。

关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。

考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。

关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。

首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。

即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。

但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。

关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。

这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。

因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。

得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。

关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。

高职《高等数学》教学中融入数学建模思想的几个案例摘要：本文就高职高专高等数学课程在微分学的教学过程中，融入数学建模思想给出了若干个案例，旨在加强数学建模向高等数学渗透，增进学生对数学建模的了解，提高学生学习数学的兴趣，并使其感受数学应用的广泛性。

关键词：高职高等数学数学建模案例近年来，我国高等职业教育蓬勃发展，高等职业教育肩负着培养面向生产、建设、服务和管理第一线需要的高技能人才的使命。

高等职业教育的培养目标决定了高职培养的是高技能专门应用型人才，不要求学生的理论水平多高，但实践能力、动手能力要强。

数学建模在国民经济和社会活动的诸多方面都有非常具体的应用。

数学建模是用数学方法解决实际问题的第一步，许多模型的求解要借助计算机软件求解。

数学建模是把数学与计算机技术相结合解决各领域实际问题的一门学科。

现在的高职院校开设的数学课课时较少，而数学建模侧重数学应用，内容贴近实际，丰富多彩，是很好的培养应用能力的载体，很有必要把数学建模案例有机融入高等数学课程教学中，一方面培养学生的能力，提高素质，另一方面让学生体会到所学的数学是有用的，而且贴近实际的鲜活案例还能提高学生学习的兴趣，一举几得何乐不为。

下面就高等数学课中可融入数学建模的地方给出几个案例。

一、函数部分，可融入建立函数关系的几个案例案例1某单位要建造一个容积为v(m3)的长方形水池，它的底为正方形，如果池底的单位面积造价为a元,侧面单位面积造价b元，试建立总造价与底面边长之间的函数关系.案例2 某种品牌的电视机，销售价为1500元时，每月可销售2000台，每台销价为1000元时，每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数．案例3某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费和生产准备费之和与批量的函数关系.案例4有一块边长为l(cm)的正方形铁皮，它的四角剪去四块边长都是x的小正方形，形成一只没有盖的容器，求这容器的容积v 与高x的函数关系．5某单位有汽车一辆，一年中的税款、保险费及司机工资等支出共a（元），另外，行驶单位路程需油费b （元），试写出一年中该车总费用y与行驶路程x的函数关系式．案例6一物体由静止开始作直线运动，前10s内作匀加速运动，加速度为2m/s2，10s后作匀速运动，运动开始时路程为零，试建立路程s与时间t之间的函数关系．7某地区上年度电价为0.8元/kw.h.，年用电量为a/kw.h.，本年度将电价降到0.55元/kw.h至0.75元/kw.h.之间．而用户期望电价为0.4元/kw.h．.经测算，下调后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k)，该地区电力的成本价为0.3元/kw.h,写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式（提示：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））．8 1982年底，我国人口为10.3亿，如果不实行计划生育政策，按照年均2%的自然增长率，那么到2000年底，我国人口将是多少？若人口基数为p0，人口自然增长率为r，试建立人口模型。

数学建模常用模型与案例整理薛力源谭楚婧夏亮军建模基本方法：机理分析，测试分析最常见的建模类型：优化问题，或结合模拟建模案例1：血管三维重建本题要求计算100张平行血管切片的中轴线与半径并给出具体算法，最后用MatLab重构整个血管模型，本题的第一个突破点是一定要意识到每一个平行切痕的最大内切圆半径均相等，且等于管道半径。

这主要是由于在假设中假定血管的每一个正切切片是标准正圆（或看做小球沿一定曲线运动包络形成，求新的轨迹即是中心轴线），因此本问题转换成为如何内在一张二值图像中快速找到最大内切圆的算法设计，并最后通过对各个切片圆心在空间的曲线进行插值确定其中轴线。

仔细观察第一张图可以发现其近似正切，因此可以依据此基本确定半径的取值范围，其大约在28-32之间，而之后找寻圆心和半径算法可如下设计：1.确定每一张切片二值图像的外接四边形，将四边形向内缩小约26个像素，计算边界像素到小四边形内各个点之间的距离d ij(k)，记第一次迭代r(1)=28，淘汰掉对于小四边形内像素k0，存在d ij(k)<r(1)的像素点，此时剩下的k̅即是可能的圆心。

2.在所有k̅中迭代r(2)=29，重复进行以上过程，再次淘汰部分像素点，剩下的像素点集合即是可能的圆心。

3.依次迭代r直至{k}=∅，此时，上一轮迭代所剩余的像素点即是可能的中心。

最后可以计算出100张图像的半径约为30，至此已经完全得到了关于血管中轴线的坐标数据(x,y)，基于此在空间中绘制出中轴线的曲线，将其分别投影到xoy，yoz，xoz平面运用三次样条法分别进行插值即可最终得到平滑的血管切片中轴线。

然而此种方法的缺点在于速度缓慢且效率不高，且投影到三个平面分别做三次样条插值的做法极其不可取，因此在这里我们给出用B样条曲线逼近的方法计算出其中轴曲线。

B样条曲线是广泛应用的形状数学方法，在三维医学图像学、人体解剖学、机械设计等学科均有应用。

p次B样条曲线的方程为C (u )=∑N i,p (u )P i ， 0≤u ≤1ni=0，其中P i 为控制顶点；N i,p (u )为p 次样条基函数，由节点矢量U ={u 0=⋯=u p ,u p ,…,u n ,u n+1=⋯=u n+p+1}确定。

《高等数学》案例集第一章 函数与极限 （一）建立函数关系的的案例1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。

已知零件轮廓下部分为长a 2，宽a 22的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。

如下图所示。

M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。

解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤≤++-+≤≤+≤≤==a x a ax a ax a axa a x ax x f y 2222242822222224122042)(22ππππ （二）极限1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。

(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，（二）连续函数性质B C AD M MM1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。

次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。

某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章 中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。

如果窖藏起来待来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 0832n e 万元，而银行利率为r ＝0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。

若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。

数学建模与实例分析的案例展示数学建模是一种将实际问题通过数学方法进行描述、分析、求解的过程。

通过建立数学模型，可以对问题进行系统、科学的研究和分析。

本文将通过实例展示数学建模的应用，以及如何进行实例分析。

【引言】数学建模的目的在于用数学的语言和方法来解释和解决实际问题，可以应用于各个领域，如经济、金融、环境、物流等。

下面将分别从不同领域的实例进行展示。

【实例一：经济领域】在经济领域中，数学建模可以帮助我们理解经济运行机制、预测市场走势等。

以股票市场为例，我们可以通过建立数学模型来分析股市变动的规律和预测未来的趋势。

通过对历史数据的分析和统计，我们可以选取合适的模型，并通过参数估计和预测方法来得出结果。

这种方法可以为投资者提供决策依据，帮助其降低风险、提高收益。

【实例二：环境领域】在环境领域中，数学建模可以帮助我们分析和解决一些环境问题，如空气质量监测、水资源管理等。

以空气质量监测为例，我们可以利用数学建模来预测和评估空气质量的变化趋势。

通过对大量的监测数据进行分析，我们可以建立空气质量模型，并通过模型的模拟和验证来预测和评估不同因素对空气质量的影响。

这种方法可以帮助环保部门及时采取措施，改善和保护环境质量。

【实例三：物流领域】在物流领域中，数学建模可以帮助我们提高物流效率、降低成本。

以物流路径规划为例，我们可以利用数学建模来确定最优的物流路径和调度方案。

通过建立数学模型，我们可以考虑到不同的约束条件，如时间、成本、距离等，以及考虑不同的变量和参数，如车辆数量、货物数量等。

通过模型求解的过程，我们可以得到最优的物流路径和调度方案，从而提高物流效率、降低成本。

【结论】数学建模是一种将实际问题转化为数学问题的过程，通过建立数学模型来分析和解决问题。

本文通过经济、环境和物流领域的实例展示，说明了数学建模的应用和意义。

通过数学建模，我们可以更加科学地理解和解决实际问题，为决策提供参考和支持。

因此，数学建模在现代社会中具有重要的推广和应用价值。

2018年全国大学生数学建模比赛题目数学建模是一项广泛应用于科学研究、工程设计、金融分析等领域的技术。

每年，全国各高等院校都会举办数学建模比赛，给大学生提供锻炼自己解决实际问题的能力的机会。

本文将就2018年全国大学生数学建模比赛的题目进行探讨。

题目一：自行车数量与旅行模式问题描述：市中心的自行车共享系统使用无桩自行车，市民可以方便地使用自行车进行短途旅行。

自行车可以在各个自行车站点租借或归还。

现在，为了控制现有自行车站点的数量，减少自行车的维护成本，我们希望通过数学建模来确定每个站点所需的自行车数量。

要求：1. 假设市区划分为若干个网格，每个网格的面积相等。

2. 假设每个网格内居民数量相等，每个居民的日常出行模式相同且固定。

3. 假设市民的出行行为服从正态分布，给定出行距离的概率密度函数。

问题拆解：1. 分析市区的人口分布状况，确定网格划分的数量和大小。

2. 探究不同网格内居民的出行距离的概率密度函数，构建数量与距离的关系模型。

3. 建立目标函数，包括自行车使用率、用户满意度、成本等。

解决方案：1. 利用地理信息系统（GIS）技术分析市区的人口密度分布，并选用合适的网格划分方法。

2. 基于历史数据和问卷调查等方法，统计每个网格内居民的出行距离的概率密度函数。

3. 建立模型，通过数学建模软件对目标函数进行优化，确定每个站点所需的自行车数量。

问题二：降雨量与洪水风险问题描述：随着气候变化的不断加剧，降雨量的变化对城市的洪水风险产生了重要影响。

为了预防城市洪水灾害，我们希望通过数学建模来评估降雨量与洪水风险之间的关系。

要求：1. 假设城市的排水系统是由多个相互连接的下水道组成。

2. 城市的排水系统中包括雨水收集、输送和排放等多个环节。

问题拆解：1. 基于历史气象数据，分析城市的降雨量变化情况，并建立降雨量的时间序列模型。

2. 探究城市排水系统的结构和参数，建立水流模型，分析水的流动规律。

3. 基于降雨量和水流模型，建立洪水风险评估模型，分析降雨量与洪水风险的关系。