三阶矩阵求逆公式

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。

二阶三阶矩阵逆矩阵的口诀SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。

经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下： 1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦==4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。

下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。

一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。

矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。

2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。

二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。

矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。

计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。

需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。

矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。

即将A的行变为列，列变为行。

例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。

四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。

求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。

即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。

需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。

五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。

矩阵的逆运算公式矩阵求逆的基本原理及公式：1. 矩阵逆的定义：当矩阵A的乘积与单位矩阵I相乘，可得到单位矩阵时，称A的逆为A-1。

即A*A-1 = I， I是n阶单位矩阵。

2. 矩阵求逆的基本定理：当且仅当一个n阶矩阵A的行列式|A|≠0时，矩阵A才可求逆，即A存在逆矩阵A-1。

3. 矩阵求逆的公式：假定n阶矩阵A的逆矩阵为A-1，当矩阵A已知时，其逆是：A-1= |A|-1*(A变换矩阵)，其中|A|是A的行列式，A变换矩阵为矩阵A取伴随矩阵，对角元素改变符号后有：（1）当n=2时，A变换矩阵为：\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}A变换矩阵：\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}（2）当n=3时，A变换矩阵为：\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}A变换矩阵：\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-gc&dh-af\\dh-eg&bg-ah&ce-bf\end{pmatrix}4. 矩阵求逆的算法：（1）将n阶方阵A分解为两个n阶行列式：A=|A|*A变换矩阵。

（2）计算|A|：|A|= |A|1*|A|2*......|A|n，其中|A|n是A的n阶行列式。

（3）计算A变换矩阵A1：A1=A变换矩阵1*A变换矩阵2*......*A变换矩阵n。

（4）将（2）和（3）结果相乘：A-1= |A|-1*A1，得到n阶矩阵A的逆矩阵A-1。

逆矩阵的计算公式逆矩阵是数学中重要的概念，在很多科学和工程中都有着重要的用途。

简单地说，逆矩阵是一种从矩阵A中求出矩阵B，使得AB=BA=I（I代表一个单位矩阵）。

因此，要求解逆矩阵，就要明白其计算公式，本文就介绍逆矩阵的计算公式。

首先，在求解逆矩阵时，要注意以下几点：1、所求矩阵必须为方阵。

2、该矩阵必须可逆，也就是Axx=A-1xx=I，以便A-1xx；3、以上条件都满足的情况下，可以用下面的公式来求解A的逆矩阵：A-1=1/det(A) * C，其中det(A)表示矩阵A的行列式的值，C表示矩阵A的伴随矩阵，det(A)和C在本文将会进一步讨论。

其次，当满足上面的条件时，需要先求出矩阵A的行列式的值det(A)，行列式的求解公式为：det (A) = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32 -a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a32，其中a11-a33分别表示A矩阵的元素。

如果A是一个3阶矩阵，则可以用这个公式来求得其行列式，但一般情况下，当A 是一个n阶矩阵时，必须用拆解法则，即将A矩阵拆解成更小的行列式，这样才能求得A矩阵的行列式的值det(A)。

最后，要求A的逆矩阵，还需要求A的伴随矩阵C，伴随矩阵C 的求解公式为：Cij= (-1)^(i+j) * det(Aij)，其中Aij表示原矩阵A中剩下的一个i行j列的子矩阵，det(Aij)表示Aij的行列式，也就是上一步求得的det(A)。

当Cij求出来以后，就可以根据A-1=1/det(A) * C来求出A的逆矩阵。

经过上述讨论，本文详细介绍了逆矩阵的计算公式，同时也提供了其计算过程。

在数学和工程中，得到了逆矩阵后就可以解决各种复杂的问题，所以，要想对矩阵做出有效的操作，就要了解和掌握逆矩阵的计算公式。

三阶矩阵定义法求逆矩阵好的，以下是为您创作的关于“三阶矩阵定义法求逆矩阵”的科普文章：---在数学的奇妙世界里，有一种神秘而强大的工具叫做“三阶矩阵”，而如何找到它的“逆矩阵”就像是解开一道深藏不露的谜题。

想象一下，我们把一个三阶矩阵看作是一个魔法盒子，这个盒子里装着三组数字的排列组合。

当我们把一些数字放进这个盒子里，经过它内部独特的规则和运算，就会吐出另外一些数字。

而这个逆矩阵呢，就像是这个魔法盒子的“反向开关”。

那么，到底什么是三阶矩阵的逆矩阵呢？简单来说，如果矩阵 A 乘以它的逆矩阵等于单位矩阵，就像 1 乘以 1 等于 1 那样完美匹配，那么这个“神秘伙伴”就是 A 的逆矩阵。

要通过定义法来求三阶矩阵的逆矩阵，我们得先掌握一些基本的知识和技巧。

就像是学骑自行车，得先了解脚踏、刹车和把手的作用。

首先，我们要计算矩阵 A 的行列式的值，行列式就像是这个矩阵的“能量指标”。

如果行列式的值不等于零，那么恭喜，这个矩阵存在逆矩阵；要是行列式的值为零，那可就没那么幸运了，逆矩阵就不存在啦。

接下来，我们要构建一个新的矩阵，叫做伴随矩阵。

这有点像给矩阵穿上一件特殊的“外衣”。

伴随矩阵中的每个元素都是原矩阵中对应元素的“小伙伴”，它们之间有着特定的计算关系。

然后，将伴随矩阵除以原矩阵的行列式的值，得到的结果就是我们梦寐以求的逆矩阵。

听起来是不是有点复杂？别担心，让我们通过生活中的例子来更好地理解它。

假设我们有一个物流配送的问题。

有三个仓库 A、B、C，分别存放着不同数量和种类的货物。

我们可以用一个三阶矩阵来表示每个仓库到三个不同销售点 1、2、3 的运输成本。

通过这个矩阵，我们可以计算出总成本。

但是，如果我们想要反过来，根据已知的总成本和销售点的需求，来确定每个仓库应该发送多少货物，这时候就需要求这个矩阵的逆矩阵了。

再比如，在工程领域中，研究物体的受力情况。

我们可以用三阶矩阵来表示三个方向上的力和力矩的关系。

逆矩阵三个公式逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的行列式、求解线性变换等问题中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍逆矩阵的三个公式，并通过实例展示其应用。

一、逆矩阵的定义逆矩阵是指对于一个给定的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

如果一个矩阵存在逆矩阵，则称之为可逆矩阵或非奇异矩阵，反之则称为奇异矩阵。

二、逆矩阵的计算公式1. 克拉默法则克拉默法则是求解线性方程组的一种方法，它可以通过逆矩阵的概念来推导。

对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·adj(A)，其中det(A)为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。

2. 初等变换法通过初等变换法，我们可以将方阵A通过一系列初等行变换或初等列变换转化为单位矩阵I，此时我们所做的变换操作在另一个矩阵上执行，得到的矩阵即为A的逆矩阵。

具体而言，设A经过一系列初等行变换得到I，则对应的初等行变换矩阵记为E1，同理，设A经过一系列初等列变换得到I，则对应的初等列变换矩阵记为E2，则A的逆矩阵为A^-1=E1·E2。

3. 公式法对于一个2阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[d -b;-c a]，其中a、b、c、d分别为A的元素。

对于一个3阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[A11 A12 A13;A21 A22 A23;A31 A32 A33]的转置矩阵，其中Aij为A的代数余子式。

三、逆矩阵的应用实例为了更好地理解逆矩阵的应用，我们以线性方程组的求解为例进行说明。

考虑一个线性方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 2我们可以将其表示为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。

我们可以通过求解逆矩阵来解得未知数向量x。

求二、三阶矩阵逆矩阵的经历口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身尽管简单，可是若是依照教材给出的方式计算的话，要费一些时刻，更恐怖的是计算进程不免有误，容易造成结果犯错。

通过一些研究，咱们发觉，大部份求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。

针对此问题，给出学生相应的经历口诀，帮忙学生快速求解。

2、知识储蓄1.1 关于n 阶方阵，若是同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式组成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：112111222212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的经历口诀经历口诀：主对调，次换号，除以行列式推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么依照知识储蓄1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦因此呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的经历口诀经历口诀：除以行列式，别忘记。

去一行，得一列，二变号，余不变，231 3121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，取得矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是依照231 312 规律取得数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号关于三阶矩阵33,a b c A d e f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆1()1()()ei hf bi hc bf ceA fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律） Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列取得ei , fg , dhStep2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列取得hf , id , geStep3： 由step1取得的数据减去step2取得的数据，取得公式（1）的第一列。

逆矩阵的计算公式逆矩阵计算公式:1. 基本定义：一个矩阵$A$的逆矩阵记作$A^{-1}$，若$A、B$都是$n$阶方阵，当且仅当满足$AB=BA=I_n$时，称$B$为$A$的逆矩阵，其中$I_n$是$n$阶单位方阵；2. 求解方法：（1）数域方式：矩阵$A$不在复数域或实数域中求解，可以建立$A$的伴随矩阵，用高斯-约旦消去法来求出逆矩阵$A^{-1}$。

（2）矩阵的分块：矩阵$A$分成子矩阵，其每部分的逆矩阵都是可以算出的，因此可以将大矩阵的逆分解成子矩阵逆的乘积，求解大矩阵的逆矩阵；（3）矩阵的隐式函数法：该法是使用函数的思想来求关系矩阵A的逆矩阵$A^{-1}$，在前面假定$AX=B$有解的前提下，进行一系列推导，解出$A^{-1}$；（4）矩阵朴素算法：如果矩阵$A$是一个$n$阶方阵，可以利用矩阵$A$的特殊形态对其求逆的同时消元，并利用行变换整理出$A$的逆矩阵；（5）范数方法：它是针对正定矩阵的，首先将正定矩阵按范数排列成一系列小矩阵，然后通过小矩阵式求出正定矩阵的逆矩阵；（6）LU分解：LU矩阵分解又称为Crout分解，是一种对非奇异方阵求逆矩阵的有效方法，它是利用下三角求逆和上三角求逆相结合可以求出矩阵的逆矩阵；（7）QR分解：它是基于矩阵的Q矩阵去求逆的，是利用正交分解的齐次系数特征值问题可以求出模糊Hessenberg矩阵的逆，进而迭代求出原矩阵的逆矩阵；（8）对称正定矩阵的求逆：如果需要求解的矩阵是一个对称正定矩阵，那么可以用Cholesky分解的方法计算矩阵的逆；（9）龙贝格（Löwner）方法：也叫做增量方法，可以用来求矩阵$A$的逆矩阵，计算公式是：$A^{-1}=A^{T}+A^{T}AA^{-1}$；（10）改进的共轭梯度法：可以用于求一般方阵的逆矩阵，也可以用于求一般非完全可逆矩阵的逆，可以求出较为精确的结果。