2-2,3_矩阵的运算,逆矩阵(第五次)

线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。

,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。

定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。

0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。

因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。

矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。

1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。

要求两个矩阵的行数和列数相等。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。

同样要求两个矩阵的行数和列数相等。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。

要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。

要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。

例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。

这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。

矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。

矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。

1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。

加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。

例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。

矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。

A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。

例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。

除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。

如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。

2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。

如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。

例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。

矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。

只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。

如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。

如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。

逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。

3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。

矩阵的运算的所有公式矩阵是数学中一个重要的概念，研究矩阵的运算公式对于理解线性代数和计算机图形学等领域都至关重要。

以下是矩阵的运算公式的详细介绍：1.矩阵的加法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为：C=A+B，其中C的元素等于A和B对应元素的和。

2.矩阵的减法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法定义为：C=A-B，其中C的元素等于A和B对应元素的差。

3.矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘定义为：B=k*A，其中B的元素等于A的对应元素乘以k。

4.矩阵的乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义为：C=A*B，其中C的元素等于A的行向量与B的列向量的内积。

5.矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义为：B=A^T，其中B的行等于A的列，B的列等于A的行，且B的元素和A的对应元素相同。

6.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，它的逆定义为：A^{-1}，使得A*A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。

7.矩阵的行列式：对于一个方阵A，它的行列式定义为：，A，是A的元素的代数余子式之和。

8.矩阵的迹：对于一个方阵A，它的迹定义为：tr(A)，是A的主对角线上元素之和。

9.矩阵的转置乘法：对于两个矩阵A和B，它们的转置乘法定义为：C=A^T*B，其中C的元素等于A的列向量与B的列向量的内积。

10.矩阵的伴随矩阵：对于一个方阵A，它的伴随矩阵定义为：adj(A)，是A的代数余子式构成的矩阵的转置。

11.矩阵的秩：对于一个矩阵A，它的秩定义为：rank(A)，是A的线性无关的行或列的最大数量。

12.矩阵的特征值和特征向量：对于一个方阵A，它的特征值是满足方程det(A - λI) = 0的λ值，特征向量是对应于特征值的非零向量。

13.矩阵的奇异值分解（SVD）：对于一个矩阵A，它的奇异值分解定义为：A=U*Σ*V^T，其中U和V 是正交矩阵，Σ是一个对角线上元素非负的矩阵。

14.矩阵的广义逆矩阵：对于一个矩阵A，它的广义逆矩阵定义为：A^+，使得A*A^+*A=A，其中A*A^+和A^+*A均为投影矩阵。

v 逆矩阵的概念第三节逆矩阵v 逆矩阵的性质v逆矩阵的求法,111==--a a aa ,11E A A AA ==--则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.A 1-A 在数的运算中，当数时，0¹a 有aa 11=-a 其中为的倒数，a （或称的逆）；在矩阵的运算中，E 单位阵相当于数的乘法运算中的1，A 所以，对于方阵，1-A 如果存在一个矩阵,使得概念的引入一、逆矩阵的概念定义对于n 阶矩阵A ,如果存在一个n 阶矩阵B ,使得AB =BA =E , 则称矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 定理若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的.称为矩阵A 的逆矩阵. A 的逆矩阵记为A －1.证明：设B, C 都是A 的逆矩阵，则AB =BA =E ，AC =CA =E ，B =BE =B(AC)=(BA)C =EC =C()()1111,,A A A ---=若可逆则亦可逆且二、逆矩阵的运算性质()2,0,,A λλA ¹若可逆数则可逆且()3,,,A B AB 若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()=-1AB B 1-1-A ()1λA -=().1212--=A A L L 推广1A m A 1-m A 1-1A ()()().,,4A AA A T =且亦可逆则可逆若T T1-1-.A 11.A λ-行列式|A| 的各个元素的代数余子式A ij 所÷÷÷÷÷øöçççççèæ=*nn n nn n A A A A A A A A A A L L L L L L L 212221212111称为矩阵A的伴随矩阵.三、逆矩阵的计算0,.A A ¹当时称为非奇异矩阵定义构成的如下矩阵定义0,,A A =当时称为奇异矩阵.A A *其中为矩阵的伴随矩阵,11*-=A AA 0¹A Û且().,1-===A B E BA E AB 则或若推论或者说A 为可逆阵等价于A 为非奇异阵推论说明：证明B 是A 的逆矩阵时只需验证其中一个等式定理矩阵A 可逆例1设,a b A c d æö=ç÷èø问a , b , c , d 满足什么条件时，A 可逆？当A 可逆时，求1-A 解,ad bc =-1A -=且A A*1ad bc=-æöç÷èød c -b -a a bA c d=0ad bc -¹时，A 可逆\0A ¹当即121, 0 , in a a A a A a -æöç÷ç÷=¹=ç÷ç÷èøO 若则1211 .1n a a a æöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøO 121, 0 , i n a a A a A a -æöç÷ç÷=¹=ç÷ç÷èøN 若则211 .11n a a a æöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøN 思考1.为矩阵的伴随矩阵A A *思考2 矩阵A 可逆，1?A-=?=A *例2==´*44 , 2 , A A A 则(). 23 , 21, *133A A A A -=-´求8214=-如解()11*123123----=-A A A A A 1113231----=-=A A A 27163213-=÷øöçèæ-=-A 若A ，B 都可逆，则矩阵方程AX C =X =的解1A C-XB C =X =的解1CB -AXB C =X =的解11A CB--注意左乘右乘0AB AC BA CA A ==¹或且1.AB AC BA CA A B C -===或且存在,则;B C Þ=思考3例3解矩阵方程022*********X éùéùéù=êúêúêú--ëûëûëû解：X =10212-éùêú-ëû1101éùêú-ëû12011-éùêúëû221210-éù=êúëû101212éùêú-ëû1101éùêú-ëû122.102éù-êú=êúêúêúëû证明,022=--E A A 由()E E A A 2=-得,2A E AE -Þ=.,2,:,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵E A A E A A A +=--例41-A ().211E A A -=\-,A A E --=220又由即()2A E +()3A E -4E=-()2A E +34E A -,E =()12A E -\+.43AE -=A A A E E+--=-22364。

矩阵的逆运算公式矩阵求逆的基本原理及公式：1. 矩阵逆的定义：当矩阵A的乘积与单位矩阵I相乘，可得到单位矩阵时，称A的逆为A-1。

即A*A-1 = I， I是n阶单位矩阵。

2. 矩阵求逆的基本定理：当且仅当一个n阶矩阵A的行列式|A|≠0时，矩阵A才可求逆，即A存在逆矩阵A-1。

3. 矩阵求逆的公式：假定n阶矩阵A的逆矩阵为A-1，当矩阵A已知时，其逆是：A-1= |A|-1*(A变换矩阵)，其中|A|是A的行列式，A变换矩阵为矩阵A取伴随矩阵，对角元素改变符号后有：（1）当n=2时，A变换矩阵为：\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}A变换矩阵：\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}（2）当n=3时，A变换矩阵为：\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}A变换矩阵：\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-gc&dh-af\\dh-eg&bg-ah&ce-bf\end{pmatrix}4. 矩阵求逆的算法：（1）将n阶方阵A分解为两个n阶行列式：A=|A|*A变换矩阵。

（2）计算|A|：|A|= |A|1*|A|2*......|A|n，其中|A|n是A的n阶行列式。

（3）计算A变换矩阵A1：A1=A变换矩阵1*A变换矩阵2*......*A变换矩阵n。

（4）将（2）和（3）结果相乘：A-1= |A|-1*A1，得到n阶矩阵A的逆矩阵A-1。

矩阵的运算与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学和经济学等。

本文将介绍矩阵的运算以及逆矩阵的概念与计算方法。

一、矩阵的基本概念矩阵是一个按照矩形排列的数或者变量的集合。

矩阵的行数与列数分别称为其维数。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法将两个矩阵的相应元素进行相加，得到的结果矩阵即为它们的和。

2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应元素相乘再相加的运算。

注意乘法只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时才能进行。

2.3 矩阵的转置将矩阵的行与列进行交换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

转置矩阵的行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。

三、逆矩阵的定义与性质3.1 逆矩阵的定义对于一个n阶实矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。

3.2 逆矩阵的存在性一个n阶矩阵A存在逆矩阵的充要条件是A是一个可逆矩阵，即其行列式不为零。

当A存在逆矩阵时，逆矩阵是唯一的。

3.3 逆矩阵的性质逆矩阵的转置等于逆矩阵的逆矩阵，即(A^-1)^T = (A^T)^-1。

两个矩阵的乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积，即(AB)^-1 = B^-1 *A^-1。

四、计算逆矩阵的方法4.1 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A通过一系列矩阵的乘法变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同操作所得的矩阵即为矩阵A的逆矩阵。

4.2 行列式法对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为零，则通过求解伴随矩阵所得的矩阵即为A的逆矩阵。

4.3 元素法通过增广矩阵[A, E]（其中E为n阶单位矩阵）进行行变换将矩阵A变换为单位矩阵I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。

五、矩阵与线性方程组利用矩阵与线性方程组的关系可以方便地求解线性方程组。

对于一个n个未知数和m个方程的线性方程组，可以将其写成矩阵形式AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

逆矩阵公式运算法则
逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是线性代数的基础之一。

其本质是行列式的倒数，它可以用来研究数学建模问题、解方程等。

在实际运算中，我们需要了解逆矩阵公式运算法则，以便正确地计算逆矩阵。

首先，要知道求逆矩阵的定义：一个n阶正定矩阵A的逆矩阵是指一个m阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

即AB=BA即
两个矩阵相乘等于其自身，此时我们就可以说A的逆矩阵是B。

其次，我们来说一下逆矩阵公式运算法则：
1.如果矩阵A的行列式的值不等于0，则A的逆矩阵存在，公式为A^(-1)=1/det(A)*[A*]t，其中det(A)为矩阵A的行列式，[A*]t
是矩阵A的伴随矩阵转置。

2.如果矩阵A的行列式的值等于0，则A的逆矩阵不存在。

3.如果矩阵A可以被分解为LU分解，即A=LU，则A的逆矩阵可以用公式A^(-1)=U^(-1)*L^(-1)来求解，其中U^(-1)和L^(-1)分别是上三角矩阵U和下三角矩阵L的逆矩阵。

4.如果矩阵A可以被分解为QR分解，即A=QR，则A的逆矩阵可以用公式A^(-1)=R^(-1)*Q^(-1)来求解，其中R^(-1)和Q^(-1)分别是上三角矩阵R和正交矩阵Q的逆矩阵。

最后，在求解逆矩阵公式中值得注意的一点是，在求解逆矩阵公式时，我们一般要确保矩阵A中的元素值均非零，以免出现矩阵不可逆的情况。

总之，在求解逆矩阵时，我们首先要明确求解逆矩阵的定义，然后要熟练掌握逆矩阵公式运算法则，在求解的过程中，我们还要注意矩阵A中的元素值是否存在0值，以免出现矩阵不可逆的情况。

只有掌握了这些，我们才能准确地计算出逆矩阵的值。