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第三章 矩阵的逆

第三章 矩阵的逆

唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4

逆矩阵

逆矩阵
显然， I 1 I .
今后将不存在逆矩阵的方阵称为退化阵或奇异阵．
需要解决的问题包括： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A−1 ？
结论： I 1 I .
1

问题：对角阵



2




的逆矩阵是什么？

s
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点：对角阵的“左行右列”法则
A1 B1
1

A1
1

B1
1
A B.
定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = ATA = I， 即 A−1 = AT， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵．
作业
P.66 9、12、19
1
1 1 / 1

答：当 123

0
时，

2



1 / 2

.

3
1 / 3
结论： I 1 I .
1

问题：对角阵



2




的逆矩阵是什么？

s

知识点：对角阵的“左行右列”法则
答：当 12
1 / 1
2.3 逆矩阵
•矩阵与实数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和实数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.
对于 n 阶单位矩阵 I 以及同阶的方阵 A，都有
An In In An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 I 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在实数中的地位．一个实数 a ≠ 0 的乘法逆（即倒 数） a−1 可以用等式 a a−1 = a−1a = 1 来刻划. 类似地，有

《线性代数》逆矩阵

《线性代数》逆矩阵

,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．

逆矩阵

逆矩阵

A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
1 0
2 1
3 0
1 2 3 3 2 1 1 3
0 3 4
3 4 1 0
4 0, 所以A可逆 .
2 2 1 3
A11 A13
3, 5,
A12
4,
同理可求得
A21 3 , A22 0 , A23 1, A31 1, A32 4 , A33 3.
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
3,
同理可得
A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1
1 1

A.

逆矩阵的定义及性质

逆矩阵的定义及性质
ro luo r 1 0 OJ11 OJ <0 ]
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明 （
其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E

大学线性代数：矩阵的逆

大学线性代数：矩阵的逆
* 1 ⎛ d − b⎞ A ⎜ ⎟ = . A = ⎜ ⎟ | A| ad − bc ⎝ − c a ⎠
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例 设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可 令 矩 阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则 有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠

课件：逆矩阵

(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则 AB亦可逆, 且
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0， 即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1

线性代数-逆矩阵


b 2 :
a m1
a m2
...
a mn
x n
b m
线性方程组 可记为AX=b.
A
Xb
对线性方程组AX=b, 若A为可逆方阵, 则方 程组有唯一解, 可得 X=A-1b.
例5 解线性方程组 解 写成矩阵形式
y 2z 1 x y 4z 1. 2x y 2
0 1 2 x 1 1 1 4 y 1. 2 1 0 z 2
练习 设方阵A满足A2–A–2E=0, 证明A, A+2E 都可逆, 并求其逆矩阵.
解: 由A2–A–2E=0A(A –E)=2E |A||A –E|0 A可逆, 且A-1= (A –E)/2.
由A可逆及A+2E=A2 A+2E可逆.
(A+2E)-1= (A –E)2/4或(3E –A)/4.
例4 设A为满秩方阵, 且AB=0. 证明: B=0.
证明 A是满秩矩阵即A是可逆矩阵, 这样
A-1(AB)=A-1•0=0.
另外 A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B.
因此B=0.
在矩阵乘法之中我们知道若AB=0一般不能 得到A或B中至少有一个为零矩阵. 但当A, B 之中有一个为满秩方阵时, 由本例证明, 另 一个一定为零矩阵. 在以后的学习中我们还 会得到更一般的结论.
同理B-1 =A.
逆矩阵的性质
性质1 若A可逆，则A-1 可逆，且(A-1 )-1=A. 性质2 若A,B可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1 A-1. 性质3 若A可逆, 则 | A1 || A |1 1 .
| A| 性质4 若A可逆, 则(A-1)=(A)-1.
性质5 若A可逆, 数k0, 则 (kA)1 1 A1. k

逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论


再转置。如
3 1 3 3 3 3 3 T 4 2 1 3 3 1 4 3 T 0 5 6 5 6
T
先把子块当作元素运算，然后子块再运算。
1 1 3 A23 1 3 2 1
1 1 A33 2 3 1
1 3 7 A31 1 A32 3 2 1 2
0 1 1 * A 5 3 7 1 1 2
所以
1 0 1 A 1 5 3 7 1 1 2
——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。
★ 分块矩阵的乘法运算
设A、B矩阵分块得
A11 A21 A A r1
A12 A22 Ar 2
A1s A2 s Ars C1t C2 t Crt
B11 B21 B B s1
0 n 0 n
列分块
P 1
P 2
1 ... P n 0
P P2 ... Pn 1
分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身
T 3 2 T 3 2 1 0 1T 3 1 4 5 3 3 3 6 T 0
A为分块对角矩阵。
A11 A
A22
Ass
其中A i i 为方阵子块，其余子块 均为零子块
★分块对角矩阵的性质 （1） A A 11 A 22
1 A11 （2）若A可逆，则 A1 1 A22
Ass
1 Ass

逆矩阵

A
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
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非奇异矩阵A 的逆矩阵一定存在。
反过来, 如果矩阵 A 的逆矩阵 A1 存在, 则 AA1 E 。
两边取成行列式, 得 | AA1 | | A || A1 | | E | 1,
故 | A| 0。
实际上 , 我们证明了一个定理。
逆矩阵存在的充要条件 矩阵 A 可逆的充要条件是其行列式 | A | 0。
r3 3 r1
0 1 0 2 1 0
3 2 1 0 0 1
0 2 1 3 0 1
r3 (2) r2
1
0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 7
0 1 2
0 0 , 故 1
1
A1 2 7
0 1 2
0
0 。 1
运用初等变换法的最大好处在于：
当不知道矩阵A 是否有逆矩阵时, 我们可以直接
运用初等变换法进行计算
或者说 : 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为满秩的。
或者说: 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为非奇异的。
利用伴随矩阵求逆矩阵 若矩阵 A 可逆 , 则 A1 A* 。 | A|
例
设
A
1 3
2 4
,
求 A－1。
解
| A|
1 3
2 4
2。
A11 4 , A12 3 , A21 2 , A22 1,
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An 2
Ann
称为 A的伴随矩阵。
转置！
由行列式的拉普拉斯按行 (列) 展开定理, 得
a11 a12
AA* a21
a22
an1 an2
a1n A11
a2n
A12
ann A1n
A21 A22 A2n
记为
AX B 的形式, 则当 det A 0时, 方程组的解为X A1B ,
其中,
a11 a12 a1n
A a21
a22
a2
n
,
an1 an2
An1 | A | 0
An 2
0
| A|
Ann 0 0
0
0
,
| A |
A11
A* A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 a11 a12
An 2
a21
a22
Ann an1 an2
a1n | A | 0
a2n
0
| A|
ann 0 0
a11 a12 a1n
A a21
பைடு நூலகம்
a22
a2
n
,
an1 an2
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
B
b2
。
bn
利用逆矩阵解线性方程组
将线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , an1x1 an2 x2 ann xn bn
A| E
[ B|Q ],
[ ] 或者 A E
[ ]B Q。
一旦发现左边(或上边) 的n 阶子式B 是降秩的,
则立即可断定原矩阵A 的逆矩阵不存在。
1 2 0 0 例 设 A 1 2 1 3 , 求 A－1。
0 0 2 4 3 6 1 2
解
1 2 0 0
[ A | E ] 1 2 1 3
湖南大学数学与计量经济学院课件
大 学 数 学（3）
—— 线性代数 第二章 矩阵理论
教案制作：刘陶文
第二章 矩阵理论
第三节 逆矩阵 本节教学要求：
▲ 理解逆矩阵的概念、性质。 ▲ 理解矩阵可逆的充要条件。 ▲ 理解伴随矩阵的概念、性质。 ▲ 会用伴随矩阵求逆矩阵。 ▲ 能熟练地运用初等行变换求逆矩阵。
A*
4 3
2 1
,
A1
A* | A|
1 2
4 3
2 1
3
2 2
1 1
2
。
一般地，设
A
a c
b d
,
则
A*
d c
b
a
,
若 | A | ad-bc 0 , 则 A1 存在, 且
A1
A* | A|
ad
1
bc
d c
b
a
。
例
设
1 A＝0
2 1
1 0 ,
求
A－1。
3 0 1
k 证 5. （AT）－1＝（A－1）T。
证 6. ( AB)1 B1 A1。 ( A1 A2 Am )1 Am1 A21 A11。
初等矩阵的逆矩阵 容易验证: 初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵。 P(i, j) : (P(i, j))1 P(i, j) ； P(i(k)) : (P(i(k)))1 P(i(k 1)) ； P(i, j(k)) : (P(i, j(k)))1 P(i, j(k))。
CA AC E , BA AB E , 故 B EB (CA)B C(AB) CE C , 该矛盾说明定理成立。
二. 矩阵可逆的充要条件
矩阵 A 的伴随矩阵
a11 a12
设 Ai j 是矩阵 A＝a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
的行列式|
A
|中
ann
元素 ai j 的代数余子式 , 则矩阵
abc a0
线性方程组
AX B
X A1B A1A E
?
a1a b a1c
a1a 1
b a1c
逆矩阵的定义
设 A 为一个 n 阶方阵。 如果存在n 阶方阵B 使得 AB BA E
则称 B 为 A 的逆矩阵, 此时称 A 是可逆的。
由定义可知B 为 A 的 逆矩阵时, A 也是 B 的逆 矩阵。A 与 B 互为逆矩阵。
En ,
得
| An |
An An*
|
An
|
En
,
0
0
| An |
故 | An An* |＝| An | n , 从而
| An* | | An |。n1
因为 det An 0 , 所以, det An* 0。 A 满秩, 则 A* 满秩。
A 可逆, 则 A* 可逆。
三. 逆矩阵的性质
设 A、B、C 为n 阶矩阵, 且 A 和 B 是满秩的, k 0 为常数, 则有: 证 1. 若 AC E 或CA E , 则 C A1。 证 2. | A1 | | A | 1。 证 3. ( A1)1 A。 证 4. (kA)1 1 A1。
运用初等变换可以把可逆方阵 An 化为单位矩阵:
Am n
初等变换
En
r r( A)
利用初等变换求逆矩阵
两种变换只能选一种 ,
计算步骤：
不能混合使用。 只进行“行”的
A| E 初等变换 [ E | A 1]
矮矩阵
[ ]A
或者
E
高矩阵
只进行“列”的 初等变换
[ ]E A1
1 0 0
1 0 0
A 逆矩阵记为 A－1。 AA1 A1A E 。
在什么条件下矩阵A 的逆矩阵存在？ 如果 A 的逆矩阵存在, 那么A1 是否唯一? 如果 A 的逆矩阵存在, 那么如何求 A1 ?
逆矩阵的唯一性定理 如果矩阵 A 是可逆的, 则其逆矩阵 A1 必是唯一的。
证 设 A 有两个逆矩阵B、C , 且 B C , 则有
a1n
a2
n
,
ann
x1
X
xxn2
,
b1 B bbn2 ,
则线性方程组可用矩阵表示为
记
| A|D,
由A矩X阵 相B。等的 概 念 ,
即得
(1)
若
|
A|
0x,1则 DDA1,1
存x2在 ,DD2且,
A1,
xn |
A* A
|DD。n 。
第i 列
n
以 A－1 左乘 (1) 式两边 , 得 X A1B , 即
的系数行列式 D 0 , 则该线性方程组有唯一解
其中,
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
,
a11 a1k a1n
a11 b1
D a21
a2k
a2n ,
Dk
a21
b2
an1 ank ann
an1 bn
第k 列
a1n a2n , ann
例 证明解线性方程组的克莱姆法则。
解
| A|
1 0 3
2 1 0
1 0 1
＝1
1 3
1 1
2。
A11
1 0
0 1
1;
A12
0 3
0 1
0;
A13
0 3
1 0
3 ;
A21
2 0
1 1
－2 ;
A22
1 3
1 1
2 ;
A23
－
1 3
2 0
6;
A31
2 1
1 0
－1 ;
A32
1 0
1 0
0;
A33
1 0
2 1
第三节 逆矩阵
一. 逆矩阵的概念 二. 矩阵可逆的充要条件 三. 逆矩阵的性质 四. 求逆矩阵的方法 五. 逆矩阵的简单应用
一. 逆矩阵的概念
在初等数学中，我们知道 : 若 a 0 , 则由 a b c 可得 b c a1 c 。 a