3.3 逆矩阵

前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。

关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

单位矩阵在Matlab中的应用单位矩阵，也被称为恒等矩阵或单位阵，是一种特殊的方阵。

它在矩阵运算和线性代数中具有重要的作用。

在Matlab编程语言中，单位矩阵也具有广泛的应用。

本文将详细介绍单位矩阵在Matlab中的定义、生成、属性以及常见的应用场景。

1. 单位矩阵简介单位矩阵是一个n×n的方阵，其中主对角线上的元素全都为1，其他位置的元素全都为0。

例如3阶单位矩阵可以表示为：I = [1, 0, 0;0, 1, 0;0, 0, 1];单位矩阵在矩阵运算中是一个特殊的元素，它在许多情况下扮演者“乘法单位元”的角色。

在线性代数中，单位矩阵的性质极为重要，它是唯一一个使得矩阵与其相乘结果保持不变的矩阵。

2. 单位矩阵的生成与定义在Matlab中，单位矩阵可以通过多种方法生成。

下面列举了几种常用的生成方式：2.1 直接生成单位矩阵可以使用Matlab的内置函数eye(n)来直接生成一个n×n的单位矩阵，其中n为矩阵的维度。

例如，要生成一个3×3的单位矩阵，可以使用如下代码：I = eye(3);生成的结果I将是一个3×3的单位矩阵。

2.2 通过单位矩阵性质生成由于单位矩阵在矩阵乘法运算中扮演着乘法单位元的角色，因此可以利用这个性质生成单位矩阵。

例如，可以通过如下代码生成一个3×3的单位矩阵：A = magic(3); % 生成一个3×3的魔方矩阵I = A * inv(A);这种方法利用了魔方矩阵在与其逆矩阵相乘时得到单位矩阵的性质。

2.3 通过矩阵赋值生成可以直接通过矩阵赋值的方式生成单位矩阵。

例如，要生成一个4×4的单位矩阵，可以使用如下代码：I = zeros(4); % 先生成一个全部元素为0的4×4矩阵I(1:4+1:end) = 1; % 通过索引赋值，将主对角线上的元素设为1这种方法通过先生成全零矩阵，再逐个将主对角线上的元素设为1实现了单位矩阵的生成。

安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法作者戴丽丰系 (院) 数学与统计学院专业数学与应用数学年级 2010 级本科学号 100801071指导教师贾红艳论文成绩日期2014年06月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。

所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：论文使用授权说明本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

签名：导师签名：日期逆矩阵的性质及其若干求法戴丽丰（安阳师范学院 数学与统计学院, 浙江 金华 321000)摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。

关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB1 引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵.A 的逆矩阵记作1-A ，即如果AB BA E ==，那么1-=A B .2.2逆矩阵的性质性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.证明 设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====， 所以A 的逆矩阵是唯一的.性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111)(--=A A λλ.性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=.性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明 因为111111()()()AB B A A BB A AEA AA E------====111111()()()B A AB B A A B B EB B B E------====所以AB可逆，且111)(---=ABAB.3 逆矩阵的求法3.1 用定义求逆矩阵设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵A，使A B B A E==，则称A矩阵是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵.例1已知n阶矩阵A满足2A A E-=，证明2A E+可逆，并求出它的逆矩阵1(2)A E-+.证：由220A A E--=，得(3)(2)40A E A E E-++=，则(2)(3)40A E A E E+-+=，即1(2)[(3)]4A E A E E+--=且1[(3)](2)4A E A E E--+=，由定义可知，2A E+可逆且11(2)(3)4A E A E-+=--.3.2 用伴随矩阵法求逆矩阵设A是n阶实矩阵，若0≠A,那么*11AAA⋅=-证明: 设()1>n阶矩阵111212212212nnn n nna a aaa aAa a a⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jnA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若1220i ij i j ni njA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令1121121222*12,nnn n nnA A AAA AAA A A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭那么=⋅=⋅AAAA**⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛AAAA⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=EEEEA≠A,由此可得，EAAAAAA=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11AAA⋅=-证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA=-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例 2 判定矩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323222321A阵是否可逆，若可逆，求1-A.解：12322240323A⎡⎤⎢⎥==-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦A∴可逆1122223A==122233A=-=1322232A==-212323A=-=2213633A==-2312432A=-=3123222A==-3213422A=-=3312222A==-所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-2112112321212424622411*1AAA.3.3 用初等变换法求逆矩阵求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵SPPP,,21使sppp21A⋅E=()1用1-A右乘上式两端，得：sppp211-=A()2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1-A.用矩阵表示()A E−−−−→行初等变化()1E A-这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1A EE A-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例 3用初等行变换求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31121112A的逆矩阵.解()A E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13111211112→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11121211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21511211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21131211311→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32313111211311→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3231311343532111111→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131134353213132311，故=-1A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131343532313231.3.4 用分块矩阵求逆矩阵3.4.1分块矩阵的一般求法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵.特别地，我们有，若T为可逆矩阵，且A BTC D⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+=--------------11111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBACABCADBAAT证明：设A、D分别为r阶、s阶的方阵，则：()()()()11111111100rsE A A B D C A B AB D CABA B ETC D E E D CA B CA D CA B---------⎛⎫+-⋅⋅--⎛⎫ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎝⎭---⎝⎭∴()()()()11111111111A AB D CA B AB D CABA BTC D D CA B CA D CA B-----------⎛⎫+---⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪---⎝⎭证毕由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.3.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵,且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵=C⎪⎪⎭⎫⎝⎛BA，则1-C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11BA.证明： A、B均为非奇异矩阵，则00≠≠BA且∴AC A BB==≠A∴可逆设A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=WZYX,nmEX Y AEZ W B⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中nmXA EYBZAWB E=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，又 A、B均为可逆矩阵，∴11X AYZW B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---111BAC证毕.可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111AAAAAAAA3.4.3 准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛CBA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110CBCAA.证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-CAEBAECBA1两边求逆得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛------111110CACBAEBAE∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111110CBCAACAEBAECBA证毕.同理可证⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111110CBCAACBA.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例 4 已知1252142112001100T⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1T-.解将T分块如下：1252142112001100A BTC⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭，其中125212,,142111A B C-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求的1*1*11121112,1111||||322A A C CA C--⎛⎫-⎪⎛⎫====⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎪⎝⎭从而11111111126311112263120033110033A A BCTC-----⎛⎫---⎪⎪⎪⎪⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭3.5 matlab求逆矩阵法MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。

机器人学变换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人学是研究机器人的机械结构、运动规划、感知与控制等方面的学科。

作为人工智能和自动化领域的重要分支，机器人学在工业、医疗、农业、航空航天等领域有着广泛的应用。

本文旨在介绍机器人学中的一个重要概念——变换矩阵。

变换矩阵能够描述机器人在三维空间中的位置和姿态，是机器人学中的核心概念之一。

通过对变换矩阵的研究，可以帮助我们更好地理解机器人的运动规划、姿态表示以及感知与控制等问题。

在本文中，我们将从机器人学基础开始，介绍机器人学的概述和机器人的运动学知识。

然后，我们将详细讨论变换矩阵的应用，包括机器人姿态表示、运动规划以及感知与控制等方面。

最后，我们将介绍变换矩阵的计算方法，包括坐标系变换、旋转矩阵与平移矩阵以及变换矩阵的乘法与逆矩阵等内容。

通过本文的阅读，读者将能够了解机器人学中的变换矩阵的概念、应用和计算方法。

同时，我们也将对变换矩阵的未来发展进行展望，并总结本文的内容。

机器人学的研究对于推动自动化技术的发展具有重要的意义，希望本文能够为读者对机器人学的研究和应用提供一定的帮助和启示。

*（请注意，以上内容仅为示例，具体内容需要根据文章内容和结构进行编写）*文章结构是指文章按照一定的组织方式和逻辑顺序来呈现内容的方式。

本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 机器人学基础2.1.1 机器人学概述2.1.2 机器人运动学2.1.3 机器人学中的变换矩阵2.2 变换矩阵的应用2.2.1 机器人姿态表示2.2.2 机器人运动规划2.2.3 机器人感知与控制2.3 变换矩阵的计算方法2.3.1 坐标系变换2.3.2 旋转矩阵与平移矩阵2.3.3 变换矩阵的乘法与逆矩阵3. 结论3.1 总结3.2 对变换矩阵的展望3.3 结束语本文的结构按照从前到后的逻辑顺序组织，首先通过引言部分引入了文章的背景和目的，然后在正文部分逐步介绍了机器人学的基础知识、变换矩阵的应用以及计算方法，最后在结论部分进行总结，并对变换矩阵的未来发展进行展望，并以结束语作为文章的结尾。

数学专业本科毕业论文--矩阵求逆的若干方法矩阵求逆摘要本文在借鉴参考文献的基础上，对高等代数学这门课程中的一些有关矩阵求逆的内容简要地进行了分析、研究和总结。

笔者在参考的各种不同版本的教材中发现，大多教材给出矩阵的求逆的方法无非三种，即：定义法，初等变换法，伴随矩阵法。

其中初等变换包括初等行变换和初等列变换。

这三种方法虽然在大多情况下都能很好解决问题，但有时候使用这些方法就会显得很繁琐。

比如，对于阶数大于4的矩阵我们用初等变换和伴随矩阵就会显得很麻烦，而且容易出错。

本文在这里详细讨论了6种逆矩阵的求解方法，首先介绍了常用的那三种矩阵求逆方法，而且对于初等变换法，本文做了进一步的探讨，给出了同时初等行变换与列变换法。

然后又介绍了分块矩阵法、分解矩阵法、Hamilton-Caylay定理法等方法，其中分块矩阵法中又包括三角矩阵的分块求逆法和非三角矩阵的分块求逆法。

本文对于每一种方法不仅给出了这些方法的理论依据并给出了具体应用，有的还给出了具体方法步骤，就是为了使读者明白各种方法的特点，在使用的时候能够选择合适的方法进行快速解题。

关键字逆矩阵；初等变换；伴随矩阵；分块矩阵；Hamilton-Caylay定理Six methods to find inverse matrixAbstract In this paper, on the basis of reference, some relevant content of the inverse matrix in the course of higher algebra is analyzed, researched and summarized briefly. There are only three methods of inverse matrix in most different teaching materials referred. The methods are definition method, adjoint matrix methodand elementary transformation method. The elementary transformation method Includes elementary row transformation and elementary column transformation. Though the three methods can well solve problem in most cases, sometimes these methods will appear very complicated. As for the matrix whose rank is more than four, if we use adjoint matrices or elementary transformation, it will be very troublesome, and error-prone. Six kinds of inverse matrix solution was discussed in this paper in detail. Firstly we introduces the three frequently-used methods, and also makes a further discussion for elementary transformation method, giving elementary row transform and column transform method. Then this paper introduces the partitioned matrix method, the decomposition of matrix method, Hamilton - Caylay theorem method. The partitioned matrix method includes the partitioned matrix method of triangle matrix and the partitioned matrix method of common matrix. In this paper every method not only includes the theoretical basis and the specific application, but also includes the concrete steps, the purpose is to make the reader understand the characteristics of every methods, and can choose appropriate methods to solve problems quickly. Keywords Inverse matrix; elementary transformation;adjoint matrix; partitioned matrix; Hamilton-Caylay theorem矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。

矩阵求逆法求方程的解matlab在数学和计算机科学领域，矩阵求逆法是一种常用的技术，用于解决线性方程组和矩阵方程的问题。

这种方法在矩阵计算和数字模拟中得到了广泛的应用，其中MATLAB作为一种强大的数学软件，在矩阵求逆法方面有着非常强大的功能和应用，本文将介绍矩阵求逆法在MATLAB中的应用，以及如何利用MATLAB求解线性方程组和矩阵方程。

一、矩阵求逆法的原理和方法1.1 矩阵求逆原理矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。

矩阵求逆法主要利用线性代数的理论，通过矩阵的初等行变换、伴随矩阵和初等矩阵等方法，求解矩阵的逆矩阵。

1.2 矩阵求逆方法矩阵求逆的常用方法有伴随矩阵法、初等行变换法和逆矩阵的性质法等。

伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法，适合于小规模的矩阵计算；初等行变换法是一种通过初等行变换将原矩阵化为单位矩阵，从而得到逆矩阵的方法，适合于大规模的矩阵计算；逆矩阵的性质法是通过矩阵的性质和性质矩阵的快速求解，适合于特定类型的矩阵。

二、MATLAB中矩阵求逆的应用2.1 MATLAB的矩阵操作MATLAB作为一种专业的数学软件，具有强大的矩阵计算和矩阵操作功能。

在MATLAB中，可以通过一系列的内置函数和操作符，快速有效地实现矩阵的加减乘除、转置、逆矩阵等计算。

2.2 MATLAB中矩阵求逆函数在MATLAB中，有多种函数和命令可以实现矩阵求逆的操作，其中最常用的是inv()函数。

该函数可以接受一个矩阵作为输入，输出该矩阵的逆矩阵。

MATLAB还提供了pinv()函数来求解矩阵的伪逆矩阵，以及linsolve()函数来求解线性方程组的解。

2.3 MATLAB中矩阵求逆的实例下面通过一个简单的实例来演示在MATLAB中如何利用矩阵求逆来求解线性方程组的解。

假设有一个线性方程组Ax=b，其中矩阵A为：A = [1, 2; 3, 4]向量b为：b = [5; 7]要求解x，可以通过如下MATLAB代码实现：A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 7];x = inv(A) * b;通过上述代码，可以得到线性方程组的解x，从而实现了通过矩阵求逆方法来求解线性方程组的目的。

新课标高中数学人教版A 版必修1第一章 集合与函数概念1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数 第三章 函数的应用必修2第一章 空间几何体1.1空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式第四章 圆与方程4.1圆的方程 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系必修3第一章 算法初步1.1算法与程序框图 1.2基本算法语句 1.3算法案例第二章 统计2.1随机抽样 2.2用样本估计总体 2.3变量间的相关关系第三章 概率3.1随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型必修4第一章 三角函数1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质 1.5函数sin()y A x ωϕ=+ 1.6三角函数模型的简单应用第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例第三章 三角恒等变换第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存有量词第二章 圆锥曲线与方程2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线第三章 导数及其应用3.1变化率与导数 3.2导数的计算 3.3导数在研究函数中的应用 3.4生活中的优化问题举例 选修1-2第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎证明 2.2直接证明与间接证明第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算第四章 框图4.1流程图 4.2结构图选修2-1第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存有量词第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线 2.4抛物线第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 阅读与思考 向量概念的推广与应用 3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章 导数及其应用1.1变化率与导数 1.2导数的计算 1.3导数在研究函数中的应用 1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念 1.6微积分基本定理 1.7定积分的简单应用第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章 计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2排列与组合 1.3二项式定理第二章 随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用 2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章 统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲 早期的算术与几何1.1古埃及的数学 1.2两河流域的数学 1.3丰富多彩的记数制度第二讲 古希腊数学2.1希腊数学的先行者 2.2毕达哥拉斯学派 2.3欧几里得与《原本》 2.4数学之神──阿基米德 第三讲 中国古代数学瑰宝3.1《周髀算经》与赵爽弦图 3.2《九章算术》 3.3大衍求一术 3.4中国古代数学家第四讲 平面解析几何的产生4.1坐标思想的早期萌芽 4.2笛卡儿坐标系 4.3费马的解析几何思想 4.4解析几何的进一步发展 第五讲 微积分的诞生5.1微积分产生的历史背景 5.2科学巨人牛顿的工作 5.3莱布尼茨的“微积分”第六讲 近代数学两巨星6.1分析的化身──欧拉 6.2数学王子──高斯第七讲 千古谜题7.1三次、四次方程求根公式的发现 7.2高次方程可解性问题的解决 7.3伽罗瓦与群论7.4古希腊三大几何问题的解决第八讲 对无穷的深入思考8.1古代的无穷观点 8.2无穷集合论的创立 8.3集合论的进一步发展与完善第九讲 中国现代数学的开拓与发展9.1中国现代数学发展概观 9.2人民的数学家──华罗庚 9.3当代几何大师──陈省身 选修3-3第一讲 从欧氏几何看球面1.1平面与球面的位置关系 1.2直线与球面的位置关系和球幂定理 1.3球面的对称性第二讲 球面上的距离和角2.1球面上的距离 2.2球面上的角第三讲 球面上的基本图形3.1极与赤道 3.2球面二角形 3.3球面三角形 ①球面三角形 ②三面角 ③对顶三角形 ④球极三角形 第四讲 球面三角形4.1球面三角形三边之间的关系 4.2球面“等腰”三角形4.3球面三角形的周长 4.4球面三角形的内角和第五讲 球面三角形的全等5.1“边边边”(..s s s )判定定理 5.2“边角边”(..s a s )判定定理5.3“角边角”(..a s a )判定定理 5.4“角角角”(..a a a )判定定理第六讲 球面多边形与欧拉公式6.1球面多边形及其内角和公式 6.2简单多面体的欧拉公式6.3用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲 球面三角形的边角关系7.1球面上的正弦定理和余弦定理 7.2用向量方法证明球面上的余弦定理 ①向量的向量积 ②球面上余弦定理的向量证明7.3从球面上的正弦定理看球面与平面 7.4球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离 第八讲 欧氏几何与非欧几何8.1平面几何与球面几何的比较 8.2欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型8.3欧氏几何与非欧几何的意义选修3-4第一讲 平面图形的对称群1.1平面刚体运动①平面刚体运动的定义②平面刚体运动的性质 1.2对称变换①对称变换的定义②正多边形的对称变换③对称变换的合成④对称变换的性质⑤对称变换的逆变换1.3平面图形的对称群 第二讲 代数学中的对称与抽象群的概念2.1n 元对称群n S 2.2多项式的对称变换 2.3抽象群的概念 ①群的一般概念 ②直积 第三讲 对称与群的故事3.1带饰和面饰 3.2分子的对称群 3.3晶体的分类 3.4伽罗瓦理论选修4-1第一讲 相似三角形的判定及相关性质1.1平行线等分线段定理 1.2平行线分线段成比例定理1.3相似三角形的判定及性质 ①相似三角形的判定 ②相似三角形的性质 1.4直角三角形的射影定理 第二讲 直线与圆的位置关系2.1圆周角定理 2.2圆内接四边形的性质与判定定理 2.3圆的切线的性质及判定定理2.4弦切角的性质 2.5与圆相关的比例线段第三讲 圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影 3.2平面与圆柱面的截线 3.3平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲 线性变换与二阶矩阵1.1线性变换与二阶矩阵 ①几类特殊线性变换及其二阶矩阵 ⑴旋转变换 ⑵反射变换 ⑶伸缩变换 ⑷投影变换 ⑸切变变换 ②变换、矩阵的相等 1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.3线性变换的基本性质①线性变换的基本性质 ②一些重要线性变换对单位正方形区域的作用 第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法2.1复合变换与二阶矩阵的乘法 2.2矩阵乘法的性质第三讲 逆变换与逆矩阵3.1逆变换与逆矩阵 ①逆变换与逆矩阵 ②逆矩阵的性质 3.2二阶行列式与逆矩阵3.3逆矩阵与二元一次方程组 ①二元一次方程组的矩阵形式 ②逆矩阵与二元一次方程组第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量4.1变换的不变量──矩阵的特征向量 ①特征值与特征向量 ②特征值与特征向量的计算4.2 特征向量的应用 ①n A 的简单表示 ②特征向量在实际问题中的应用选修4-4第一讲 坐标系1.1平面直角坐标系 1.2极坐标系 1.3简单曲线的极坐标方程 1.4柱坐标与球坐标简介 第二讲 参数方程2.1曲线的参数方程 2.2圆锥曲线的参数方程 2.3直线的参数方程 2.4渐开线与摆线 选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式1.1不等式 ①不等式的基本性质 ②基本不等式 ③三个正数的算术-几何平均不等式1.2绝对值不等式 ①绝对值三角不等式 ②绝对值不等式的解法第二讲 讲明不等式的基本方法2.1比较法 2.2综合法与分析法 2.3反证法与放缩法第三讲 柯西不等式与排序不等式3.1二维形式柯西不等式 3.2一般形式的柯西不等式 3.3排序不等式第四讲 数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法 4.2用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除1.1整除①整除的概念和性质②带余除法③素数及其判别法1.2最大公因数与最小公倍数①最大公因数②最小公倍数 1.3算术基本定理第二讲同余与同余方程2.1同余①同余的概念②同余的性质 2.2剩余类及其运算 2.3费马小定理和欧拉定理2.4一次同余方程①一次同余方程②大衍求一术 2.5拉格朗日插值法和孙子定理 2.6弃九验算法第三讲一次不定方程3.1二元一次不定方程 3.2二元一次不定方程的特解 3.3多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用4.1信息的加密与去密 4.2大数分解和公开密钥选修4-7第一讲优选法1.1什么叫优选法 1.2单峰函数 1.3黄金分割法——0.618法①黄金分割常数②黄金分割法——0.618法 1.4分数法①分数法②分数法的最优性 1.5其他几种常用的优越法①对分法②盲人爬山法③分批试验法④多峰的情形 1.6多因素方法①纵横对折法和从好点出发法②平行线法③双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步2.1正交试验设计法①正交表②正交试验设计③试验结果的分析④正交表的特性2.2正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念1.1风险与决策的关系1.2风险与决策的基本概念①风险﹙平均损失﹚②平均收益③损益矩阵④风险型决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介4.1马尔可夫链简介①马尔可夫性与马尔可夫链②转移概率与转移概率矩阵 4.2马尔可夫型决策简介 4.3长期准则下的马尔可夫型决策理论①马尔可夫链的平稳分布②平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则③平稳准则的应用案例。

3、逆矩阵的求法1.1一般矩阵的逆矩阵的求法 3.1.1用定义去求逆矩阵定义3.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使A B =B A =E ，则称A 为可逆矩阵，并称B 是A 的可逆矩阵。

例3.1 已知n 阶矩阵A 满足0322=-+E A A 。

证明A +4E 可逆并求出()14-+E A . 证明：把0322=-+E A A 变形为(A +4E )（E A 2-）=-5E ，可得（A +4E ）（E A 5251+-）=E ，所以存在一个矩阵B =E A 5251+-，B 使（A +4E ）B =E 。

由定义得A +4E 可逆，且B ()14-+E A =B =E A 5251+-.3.1.2 用伴随矩阵去求逆矩阵定理3.1.1 n 阶矩阵A =（ij a ）为可逆的充要条件是A 非奇异。

且1-A =A 1112111222212n n n nnn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式。

矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A ，于是有1-A =A 1 *A . 例3.2 判断矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡343122321，A是否可逆？若可逆，求 1-A . 解： 因为A =2≠0，所以A 可逆。

又11A =2，12A =-3，13A =2， 21A =6，22A =-6，23A =2， 31A =-4，32A =5，33A =-2.所以1-A =A 1*A =21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----222563462=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11125323231. 3.1.3 用初等变换去求逆矩阵如果A 可逆，则A 可通过初等行变换化为单位矩阵E ，即存在相应的初等矩阵1E 、2E …s E 使s E …2E 1E A ＝E （1），用1-A 又乘上式两端，得s E …2E 1E E＝1-A （2），比较（1）、（2）两式，可知当A 通过行初等变换化为E 的同时，对单位矩阵E 作同样的初等行变换，就化为A 的逆矩阵1-A .同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。

[试题分类]：线性代数1．下列排列中（ ）是偶排列 A ．54312 B ．51432 C ．45312 D ．654321 答案：C题型：单选题知识点： 1.2 n 阶排列 难度：12．行列式abcd e fg h k中元素f 的代数余子式是（ ） A ．d eg h B ．a bg h-C ．a bg hD ．d e g h-答案：B题型：单选题知识点： 1.6 行列式的运算 难度：13.已知矩阵1110A=,AB BA=0-111，B=则（ ）⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A. 10-2-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11 0-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.00 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A题型：单选题知识点：3.1矩阵的运算难度：14．设A，B，为n阶可逆矩阵，则必有（）A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆答案：B题型：单选题知识点：3.3 矩阵的逆难度：15.已知向量()()2=1221,32=1=，，，，-4，-3,0，则αβαβαβ+---++A .（0，-2，-1,1）B.（-2,0，-1,1）C.（1，-1，-2,0）D.（2，-6，-5,-1）答案：A题型：单选题知识点：2.4 n维向量空间难度：16.设向量1212____ ==2=（1,1,2），（1,2，-1），则αααα+答案：（3,5,0） 题型:填空题知识点：2.4 n 维向量空间 难度：17．已知A 为2阶方阵A =32A =，则____ 答案：12 题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算 难度：18. 设矩阵31311A=B=AB =2401，，则-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦____ 。

答案：1022⎡⎤⎢⎥--⎣⎦题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算 难度：29．方阵A 为可逆矩阵很的充分必要条件是____ 。

答案：A 0≠题型：填空题知识点： 3.3 矩阵的逆 难度：110．若()()12=0,2,=-___,1_2与1，正交，则x=x αα 答案：4题型：填空题知识点：3.5 正交矩阵 难度：211．计算行列式121212n n n x m x x x x m x x x x m---答案：()1n 111n n i i mx m --=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ 题型：计算题知识点：1.6行列式的计算 难度：212.证明：如果向量组12，，，r ααα线性无关，而12，，，，r αααβ线性相关，则向量β可以由12，，，r ααα线性表出。

《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。

有些笔误也修正差不多了。

课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。

第一章 行列式§1.1 定义D =|2314|=2×4−3×1=5 A =[2314]≡(2314) 这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3这是三元线性方程组=|a 11a 12a 13a 22a 23a 32a 33|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和D =|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯|=j 1,j 2,⋯,j n )1,j a 1j 1a 2j 2⋯a nj n§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变： D T =D2、k 可以乘上某行(列)： kD row i3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =06、某行乘以k 加到另一行：值不变D k×row i +row k =D右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式=ij|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)§1.6 范德蒙行列式|D|=|111⋯1a 1a 2a 3⋯a n a 12a 22a 32⋯a n 2⋯⋯a 1n−1a 2n−1a 3n−1|=∏(a i −1≤j<i≤na j )第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则D 1=|b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=D 1D,x 2=D 2D,x 3=D 3D.(D ≠0)§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。