2020年高考数学(文科)复习课后作业 第40讲圆的方程

§9.3圆的方程圆的定义与方程知识拓展1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)题组二教材改编2．[P132A组T3]以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是() A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案 A3．[P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠4．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定答案 A解析将点(m2,5)代入圆方程，得m4＋25>24.故点在圆外，故选A.5．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)答案 B解析由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.题型一圆的方程典例(1)(2018届黑龙江伊春市第二中学月考)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案 C解析AB的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，故选C.(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________________________．答案 x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36， 得D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练 (2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________． 答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差． 又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值与最小值．解 (1)方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4.yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2， 可得|3k －3|k 2＋1＝2， 解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图②所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.题型三 与圆有关的轨迹问题典例 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 (2017·河北衡水中学调研)已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.4．(2017·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.5．(2018·长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4及一点P (－1,0)，则Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1 解析 设M (x ，y )，则Q (2x ＋1,2y )，∵Q 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x ＋1)2＋4y 2＝4，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1， ∴轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1. 7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．8．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 9．(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．答案 x ＋y －1＝0解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.12．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)若P (a ，a ＋1)在圆C 上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)求|MQ |的最大值和最小值；(3)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)将P (a ，a ＋1)代入圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，得a ＝4，所以P (4,5)，|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝5－34－(－2)＝13. (2)圆C ：(x －2)2＋(y －7)2＝(22)2，圆心C (2,7)，R ＝22，|QC |－R ≤|MQ |≤|QC |＋R ，∵|QC |＝42，∴22≤|MQ |≤62，∴|MQ |的最小值为22，最大值为6 2.(3)由题意知m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝(22)2，分析可得k ＝n －3m ＋2表示该圆上的任意一点与Q (－2,3)相连所得直线的斜率，设该直线斜率为k ，则其方程为y －3＝k (x ＋2)，又由d ＝|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1≤22，得2－3≤k ≤2＋ 3.所以k ＝n －3m ＋2的最小值为2－3，最大值为2＋ 3.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．(2017·运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________________________． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．(2018届四川雅安中学月考)已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－|x |－|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________．答案2 解析 x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－x －y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝2， 当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋x ＋y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝2， 当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－x ＋y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝2， 当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋x －y ＝0化为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×22＝ 2. 综上可知x 2＋y 2的最大值为 2.16．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝5解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部， ∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

课后限时集训(四十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )， 则1－02＋2－a2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A ．]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.]4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A ．]5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C ．]二、填空题6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝2＋12＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.]7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254[由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2，得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.]8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )． 由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2， 解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.B 组 能力提升1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．(x －1)2＋(y －3)2＝2 [圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.]4．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 即为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。

考点40 圆的方程1．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=上存在两点A ，B ，P为直线x ＝5上的一个动点，且满足AP ⊥BP ，则点P 的纵坐标取值范围是_______． 【★答案★】[2，6] 【解析】要使AP ⊥BP ，即∠APB 的最大值要大于或等于90°，显然当PA 切圆C 于点A ，PB 切圆C 于点B 时，∠APB 最大， 此时∠CPA 最大为45°，则sin ∠， 即CA CP， 设点P(5，0y )， 解得2≤0y ≤6．故★答案★为：[2，6]2．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =点P （3， 1），()16PO PA PB ⋅+=，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为____． 【★答案★】115， 【解析】设AB 中点为M ()00x ,y ,由勾股三角形知,即2200x y 4+=①,又()PO PA PB 16，⋅+=则PO 2PM 16⋅=，即PO PM 8⋅=，∴()()003,1x 3y 18，-⋅-+=, ②，将①，②联立得0115x =， 故★答案★为11,53．已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是______．【★答案★】5⎡⎣【解析】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM ≤≤；即OM 的取值范围是5⎡⎣；故★答案★为：5⎡+⎣．4．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()5,0B .若圆()()22:44M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为______.【★答案★】【解析】根据题意，设P 的坐标为(,)a b ，直线PA 的方程为(1)1by x a =++，其在y 轴上的截距为1b a +， 直线PB 的方程为(5)5b y x a =--，其在y 轴上的截距为55b a --， 若点P 满足使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有5()()515b b a a ⨯-=+-， 变形可得22(2)9b a +-=，则点P 在圆22(2)9x y -+=上，若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一点P ，则圆M 与22(2)9x y -+=有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，2，则两圆只能外切， 则有2425m +=，解可得：m =故★答案★为：5．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=和点M (1，0) ．若在圆O 上存在点A ，在圆C ：222537()(+)(0)2x y r r -+=>上存在点B ，使得△MAB 为等边三角形，则r 的最大值为____． 【★答案★】8 【解析】圆()222753:+022C x y r r ⎛⎫⎛⎫-+=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 753,2C ⎛⎫⇒- ⎪ ⎪⎝⎭由题意可知：13MA ≤≤，2275310522MC ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又55r MB r -≤≤+且MA MB =若r 最大，则MA 需取最大值3，且M 在圆C 内部 可得()2,0A -，又MA 与MB 成角为60设(),B x y ，则直线MB 所在直线方程为：()31y x =-- 又()2219MB x y =-+=解得：1233x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）133,2B ⎛⎫⇒- ⎪ ⎪⎝⎭时r 取最大值22max173353164882222r ⎛⎫⎛⎫⇒=--++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：86．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．【★答案★】【解析】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2，则有，解可得：m＝1，n＝﹣2，r，则圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2，故★答案★为：（x﹣1）2+（y+2）2＝27．（江苏省南通市2018年高考数学模拟）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，为轴上一动点，则周长的最小值为______．【★答案★】14【解析】设直线与圆的一个交点关于轴的对称点为，易知恰为圆的直径，记与x轴交于点，则，所以的周长的最小值为，又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离为，所以由圆的弦长公式可得，又在直角中，，所以，所以的周长的最小值为14.8．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为____．【★答案★】.【解析】 由得，所以，所以，设，所以，即，点P 在圆上及圆内，圆心到直线的距离为，因为EF 为直线截圆所得的弦，所以．故★答案★为：9．（江苏省苏州市2017-2018学年高二下学期学业质量阳光指标调研）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．【★答案★】【解析】 设圆的方程为，把，两点的坐标代入圆的方程得且.解之得所以圆的标准方程为.故★答案★为：.点睛：（1）本题主要考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.10．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______. 【★答案★】1- 【解析】圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R =CA CB ⊥ ∴弦长224442AB =+=圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2221a d a -=+∴弦长()22222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭()22421216421a a a -+∴-=+2210a a ++=解得：1a =- 本题正确结果：1-11．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，且直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a R ∆R)是圆C 的一条对称轴，过点A(﹣6，a ) 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长度为_______． 【★答案★】27【解析】设圆C 方程为：220x y Dx Ey F ++++=，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，所以，有1030204205070D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，圆C 方程为：2224200x y x y +-+-=，即圆C 方程为：22(1)(2)25x y -++=，圆心为C （1，－2），R ＝5，因为直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a R ∆R)是圆C 的一条对称轴，所以直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心， 得1210a --=，解得：a ＝0，所以点A （－6,0），｜AC ｜＝22(16)(20)53++--=， 切线长｜AB ｜＝22||532527AC R -=-=. 故★答案★为：2712．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．【★答案★】5﹣13【解析】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC⎧+=⎨-=⎩, 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=221113,()3222DM ∴=+=, 所以PM 有最小值为2﹣132， 代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣213． 故★答案★为：5﹣21313．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为_______． 【★答案★】12【解析】依据题意作出图象，如下图：因为直线l 过点P 且与圆221x y +=相切于点A ，所以PA OA ⊥,所以2221PA OP OA OP =--要使得PA 最小，则OP 要最小，由题可得：OP 的最小值就是点O 到直线:2l y x =-的距离22020211d --==+.此时，()22min min 1211PA OP =-=-=，所以4OPA π∠=由切线的对称性可得：,12BPA PB π∠==所以△PAB 的面积为PAB111122S=⨯⨯= 14．（江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中数学模拟）已知圆22:1C x y +=，点()00,P x y 是直线l ：3240x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围是_____． 【★答案★】240,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵在圆C 上总存在不同的两点,A B 使得OA OB OP +=， ∴四边形OAPB 是菱形， ∴直线AB 垂直平分OP ．①当直线AB 的斜率为0时，由直线:3240l x y +-=得(0,2)P ，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．②当直线AB 的斜率不存在时，由直线:3240l x y +-=可得4(,0)3P ，此时直线AB 的方程为23x =，满足条件．③当直线AB 的斜率存在且不为0时， ∵AB OP ⊥，0OP y k x =， ∴0AB x k y =-． ∴直线AB 的方程为000022y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即2000220x x y y y +-=，由题意得圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，又003240x y +-=，∴20013240x x -<，解得024013x <<． ∴0x 的取值范围是24(0,)13． 故★答案★为：24(0,)13．15．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次2月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y ：-+=．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是_____．【★答案★】()443-，【解析】直线l 的斜率k 不存在或0时均不成立， 设直线l 的方程为：0kx y km --=， 圆O （0，0）到直线l的距离1d =，圆C （4，0）到直线l的距离2d =，l被两圆截得的弦长相等，所以，=22213d d -=，所以，22222221681k k m k m k m k +--+＝3，化为：22216833k k m k -=+ 23138k m =-＞0，得：138m <又222121k m d k =+＝2211m k +＝213813m m -+＝23168m m-＜1 即238160m m +-<，解得：443m -<<, 故★答案★为:443⎛⎫- ⎪⎝⎭，.16．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知()()2,0,2,0,A B C D 点、-依次满足()12,.2AC AD AB AC ==+ （1）求点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为()1,0，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．【★答案★】（1）以原点为圆心，1为半径的圆； （2）22184xy +=； （3）存在点P ，其坐标为(或(2,,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切 【解析】（1）设()()00,,,C x y D x y ，则()()002,,4,0AC x y AB =+= ()003,2,22x y AD x y ⎛⎫⇒=+=+⎪⎝⎭则：00222x x y y =-⎧⎨=⎩代入()2220024AC x y =++=得：221x y +=∴点D 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（2）由题意可知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+……①椭圆的方程()22222144x y a a a +=>-……②由l 1= 213k ⇒=将①代入②得：()222222224244440a k a x a k x a k a a +-++-+= 又213k =，可得()2224233404a x a x a a -+-+=设()11,M x y ，()22,N x y21224235a x x a ∴+=-=⨯- 28a ⇒=∴椭圆方程为：22184x y +=（3）假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆相切 则Q 到直线,PA PB 的距离相等，又()()2,0,2,0,A B -则()000:220PA x y y x y --+=，()000:220PB x y y x y +--=则12d d ===化简整理得：220008403280x x y -++= P 点在椭圆上 220028x y ∴+=解得：02x =或08x =（舍）02x =时，0y = 1r ∴=∴椭圆上存在点P ，其坐标为(或(2,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切17．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos 0ρθ+=，直线l 的方程为7π2sin 06m ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数m 的值； （2）若2m =，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【★答案★】（1）1m =； 【解析】（1）由ρ+2cosθ＝0得ρ2+2ρcosθ＝0，得x 2+y 2+2x ＝0，则圆心为（﹣1，0），半径r ＝1．由2ρsin （θ﹣76π）+m ＝0得2ρsinθcos 76π﹣2ρcosθsin76π+m ＝0，得直线l 的直角坐标方程为 x +m ＝0，因为直线l 过圆C 的圆心，则﹣1+m ＝0，所以m ＝1． （2）若m ＝2，则圆心C 到直线的距离1d2==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为== 18．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>. （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 【★答案★】（1）:15l y x =；（2）（i ）直线l的方程为25y x =；（ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立. 【解析】（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线l的距离d =直线l 与圆C 相切1d ∴==，解得：15k =∴直线l方程为：y x =（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =得：1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭由()2211221141334122x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：112588x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩0k k k ∴=>∴=∴直线l的方程为：25y x =（ii ）由题意知：()3,0M ，()5,0N则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦3M x = 2121351A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭OAOB k k = 122212221222122211355311k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=121k k ≠- 2135k k ∴=-设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1313141554k k k ∴== 1213225k k k k ∴+==∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立19．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点，的极坐标分别为，，曲线的方程为（）．（1）求直线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线有且只有一个公共点，求的值．【★答案★】（1）；（2）【解析】 （1）分别将，转化为直角坐标为，，所以直线的直角坐标方程为．（2）曲线C 的方程为（），其直角坐标方程为．又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径.又圆心到直线AB 的距离为，即的值为．20．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，（6π)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，（6π)， 所以两点M ，N 的直角坐标分別为(2，0)，(.所以直线MN的斜率为：k ==所以直线MN的方程为：)2y x =-0y --=.曲线C的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩可化为：()(2224x y -+=.即曲线C是一个以(2,C 为圆心，半径为2的圆。

课时规范练42 圆的方程基础巩固组1.(2019浙江绍兴模仿,5)已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是( ) A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=√ C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=√3.(2019福建宁德模仿,6)已知点M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则k 的取值范围为( ) A.(-6,12)B.(-∞,-6)∪(12,+∞)C.(-6,+∞)D.(-∞,12)4.(2019河南林州一中模仿,5)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( ) A.12√B.3√C.6√D.4√5.(2019安徽天长模仿,8)如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为( )A.[√2,2]B.[√2,2√2]C.[1,√2]D.[1,2√2]6.(2019浙江湖州模仿,4)若圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1与圆C2关于原点对称,则圆C2的方程是( )A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-1)2+(y+2)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=17.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的全部圆中,半径最大的圆的标准方程为.8.设点P是函数y=-图象上的恣意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=1x上,并且在x轴上截得的2弦长为2√3,则圆M的标准方程为.综合提升组11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.-12,1 2C.[-√2,√2]D.-√22,√2 212.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B,若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上恣意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.14.(2019河北邢台模仿,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范畴.创新应用组15.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰恰颠末原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号) 16.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则的最小值为.课时规范练42圆的方程1.D 当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为,半径为r=,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.2.A由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.A∵圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k,∴圆心坐标(1,-2),半径r=√1-2k,若M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则满足√(3-1)2+(1+2)2>√1-2k,且1-2k>0,即13>1-2k且k<1,即-6<k<1,故选A.4.A圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,且|BD|=2√32-1=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD的面积为1|AC|·|BD|=1×6×4√2=12√2,故选A.5.B(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为√2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2≤√2a≤4⇒√2≤a≤2√2,故选B.6.D由题意可得圆C1的圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,∴圆C2的圆心为(2,-1),半径为1,∴圆C2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.7.(x-1)2+y2=2 由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的间隔的最大值为.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.-2 函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部门,令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=√1+(-2)=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要组成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得{12a -b =0,|a |=r ,b 2+3=r 2,解得{a =2,b =1,r =2或{a =-2,b =-1,r =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A 如图所示,设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ,则点P 在圆O 上, 且MP 与圆O 相切,而点M 在直线y=1上运动,圆上存在点N 使∠OMN=45°, 则∠OMN ≤∠OMP=∠OMA ,∴∠OMA ≥45°,∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM=45°时,x 0=±1.∴联合图象知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].12.3 由A(4,0),B,OP=1,则P 点轨迹为x2+y2=1,设M(x,y),则P(2x-4,2y)⇒(2x-4)2+(2y)2=1⇒(x-2)2+y2=,M 的轨迹为圆心为D(2,0),半径为的圆,故BM 的最大值为|BD|+=3.13.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r=2√2.又|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2>2√2,所以点Q 在圆C 外,所以|MQ|max =4√2+2√2=6√2, |MQ|min =4√2-2√2=2√2.(2)由题意可知n -3m+2表示直线MQ 的斜率, 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2),即kx-y+2k+3=0,则n -3m+2=k. 因为直线MQ 与圆C 有交点, 所以√1+k≤2√2,所以2-√3≤k ≤2+√3,所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.14.解 (1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y=x 上,所以-a=a ,即a=0, 因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√3+4=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9.(2)由(1)知,圆心M (0,0),A (-3,0),B (3,0).设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+y 2·√(x -3)2+y 2, 所以2x 2-2y 2=9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2, 所以k 1=yx+3,k 2=yx -3, 则k 1k 2=y 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2y 2=9,x 2+y 2<9,所以92≤x 2<274,所以-29<12x 2-18≤-19, 则-1<1+92x 2≤0.故k 1k 2的取值范围为(-1,0].15.①②④ 当-2≤x ≤-1,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆, 当-1≤x ≤1时,点P 的轨迹是以B 为圆心,半径为√2的14圆, 当1≤x ≤2时,点P 的轨迹是以C 为圆心,半径为1的14圆, 当3≤x ≤4时,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,∴函数y=f (x )的周期是4.画出函数y=f(x)的部门图象如图所示.①根据图象的对称性可知函数y=f (x )是偶函数,∴①正确. ②由图象可知函数的周期是4. ∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.1曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=√(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆C 上的点到(-6,6)的距离,则d max=√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,∴1a+1+1b=141a+1+1b(a+1+b)=14×1+ba+1+a+1b+1.又ba+1+a+1b≥2√ba+1·a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,∴1a+1+1b≥1 4×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.。

课后限时集训(四十五)圆的方程(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．若方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0的图形表示一个圆，则实数m等于()A．3B．－3C．1 D．－1B[由题意得2m2＋m－1＝m2－m＋2，所以m＝－3或m＝1.当m＝1时，原方程为2x2＋2y2＋3＝0，不能表示圆；当m＝－3时，原方程为x2＋y2＝114，该曲线表示圆．故选B．]2．动点P与定点A(－1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠0)C．x2＋y2＝1(x≠±1)D．y＝1－x2C[设P(x，y)，由题意可知k P A·k PB＝－1，即yx＋1·yx－1＝－1(x≠±1)，∴y2＋x2＝1(x≠±1)．故选C.]3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是() A．1＋ 2 B．2C．1＋22D．2＋22A[由已知得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A.]4．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B ．213 C.253D ．43B [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.即圆的方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.] 5．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8A [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.]二、填空题6．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________．7 [设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.又点D (a,3)在圆上，故a 2＋9－4a －25－5＝0，解得a ＝7或a ＝－3(舍去)．] 7．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.] 8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ [设k ＝y ＋3x －1，则y ＝kx －(k ＋3)表示经过点P (1，－3)的直线，k 为直线的斜率，所以求k ＝y ＋3x －1的取值范围就等价于求同时经过点P (1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值，从图中可知，当过点P 的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k P A ，由于k PB 不存在，故由题意可知，点(2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离d ＝|2k －(k ＋3)|1＋k 2＝r ＝1，解得k ＝43，故y ＋3x －1的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.]三、解答题9．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形 MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为x 2，y2，线段MN 的中点坐标为x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.10.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)， 设圆心E (0，b )，由|EB |＝|EC |可知(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1. 所以r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10. 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由点P 是MN 中点，得M (2x －5,2y －2)． 将M 点代入圆的方程得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52. B 组 能力提升1．(2019·贵阳模拟)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝8B ．(x －1)2＋(y －2)2＝8C ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝8D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝8A [设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.]2．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋22D [由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.]3．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2 [设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.]4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.。

第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。

课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0),B (1,0)的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=√5 C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=√52.方程|x|-1=√1-(y -1)2所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆D.两个半圆3.已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,那么四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2 B.3√2 C.6√2D.4√24.已知P 为圆C :(x-1)2+(y-2)2=4上的一点,点A (0,-6),B (4,0),那么|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.√26+2 B.√26+4 C.2√26+4D.2√26+25.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A (8,0),以OA 为直径的圆与直线y=2x 在第一象限的交点为B ,那么直线AB 的方程为( ) A.x+2y-8=0 B.x-2y-8=0 C.2x+y-16=0 D.2x-y-16=06.(多项选择)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0),且被x 轴分成两段,弧长比为1∶2,那么圆C 的方程可能为( ) A.x 2+(y +√33)2=43B.x 2+(y -√33)2=43C.(x-√3)2+y 2=43D.(x+√3)2+y 2=437.(多项选择)已知点A (-1,0),B (0,2),P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,假设△PAB 面积的最大值为a ,最小值为b ,那么 ( )A.a=2B.a=2+√52 C.b=2-√52D.b=√52-18.在平面直角坐标系xOy 内,假设曲线C :x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0上所有的点均在第四象限内,那么实数a 的取值范围为 .9.(2020福建厦门一模)在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,那么PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 综合提升组10.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2的图象上的任意一点,点Q (2a ,a-3)(a ∈R ),那么|PQ|的最小值为( )A.8√55-2 B.√5C.√5-2D.7√55-211.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,假设a,b均为正实数,那么1a+1+1b的最小值为.12.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)假设圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组13.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆?假设存在,求出该圆的方程;假设不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.参考答案课时规范练40 圆的方程1.A 由题意可知圆心在直线x=-1上.又圆心在直线x+y=0上,所以圆心的坐标为(-1,1).所以半径r=√(-1+3)2+(1-0)2=√5.所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.应选A . 2.D 由题意得{(|x |-1)2+(y -1)2=1,|x |-1≥0,即{(x -1)2+(y -1)2=1,x ≥1或{(x +1)2+(y -1)2=1,x ≤-1.故原方程表示两个半圆. 3.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆的圆心坐标为(3,4),半径为3,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意,知最长弦AC 为圆的直径,最短弦BD 与最长弦AC 垂直,故|BD|=2√32-12=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2.应选A .4.C 取AB 的中点D (2,-3),那么PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由已知得C (1,2),半径r=2,所以|CD|=√(1-2)2+(2+3)2=√26.又P 为圆C 上的点,所以|PD|max =|CD|+r=√26+2,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√26+4.应选C . 5.A如下列图,由题意知OB ⊥AB ,因为直线OB 的方程为y=2x ,所以直线AB 的斜率为-12,所以直线AB 的方程为y-0=-12(x-8),即x+2y-8=0.应选A .6.AB 由已知得圆C 的圆心在y 轴上,且被x 轴所分得的劣弧所对的圆心角为2π3,设圆心的坐标为(0,a ),半径为r ,那么r sin π3=1,r cos π3=|a|,解得r=2√33,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y +√33)2=43或x 2+(y -√33)2=43.7.BC 由题意知|AB|=√(-1)2+(-2)2=√5,直线l AB 的方程为2x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆心到直线l AB 的距离d=|2-0+2|√4+1=4√55.因为P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,所以点P 到直线l AB 的距离的最大值为4√55+1,最小值为4√55-1.所以△PAB 面积的最大值为12×√5×(4√55+1)=2+√52,最小值为12×√5×(4√55-1)=2-√52.故a=2+√52,b=2-√52.8.(-∞,-2) 由x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0,得(x+a )2+(y-2a )2=4,所以曲线C 为圆,圆心坐标为(-a ,2a ),半径r=2.由题意知{a <0,|-a |>2,|2a |>2,解得a<-2.故实数a 的取值范围为(-∞,-2).9.5-2√7如下列图,以A 为原点,AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,那么点A (0,0),B (4,0),C (1,√3).设点P (x ,y ),那么PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,-y ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,√3-y ),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.那么(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1,所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7.10.C 由题意可知点P 在半圆C :(x-1)2+y 2=4(y ≤0)上,圆心C (1,0),半径r=2,设点Q 的坐标为(x ,y ),那么{x =2a ,y =a -3,消去a 得x-2y-6=0,即点Q 在直线l :x-2y-6=0上.如下列图,过圆心C 作直线l 的垂线,垂足为A ,那么|CA|=√5.故|PQ|min =|CA|-r=√5-2.应选C .11.1 由x 2-4x+y 2-21=0,得(x-2)2+y 2=25,那么曲线C 表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a.设d=√(x +6)2+(y -6)2,那么d 表示圆C 上的点到点(-6,6)的距离,那么d max =√(2+6)2+(0-6)2+5=15,故t max =152-222-a=b ,整理得a+1+b=4,所以1a+1+1b =141a+1+1b (a+1+b )=14×1+ba+1+a+1b+1≥14×(2+2)=1,当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时等号成立.所以1a+1+1b 的最小值为1.12.解(1)将圆C 的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时,设切线方程为y=kx. 由|k+2|√1+k 2=√2,得k=2±√6.故切线方程为y=(2+√6)x ,y=(2-√6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为0时,设切线方程为x+y-a=0(a ≠0),由|-1+2-a |√2=√2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.故切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,所求切线方程为y=(2+√6)x 或y=(2-√6)x 或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,且|PM|2=|PC|2-|CM|2得x 12+y 12=(x 1+1)2+(y 1-2)2-2,整理得2x 1-4y 1+3=0,即点P在直线l :2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO ⊥l. 故直线PO 的方程为2x+y=0.解方程组{2x +y =0,2x -4y +3=0,得点P 的坐标为(-310,35).13.解令y=0,得x 2-mx+2m=0.设点A (x 1,0),B (x 2,0),那么Δ=m 2-8m>0,即m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,故点C (0,2m ).(1)假设存在以AB 为直径且过点C 的圆,那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,解得m=0或m=-12.因为m<0或m>8,所以m=-12,此时点C (0,-1),所求圆的圆心为线段AB 的中点M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716.(2)证明:设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )的坐标代入,可得E=-1-2m ,所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0, 整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,解得{x =0,y =1或{x =25,y =45.故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45).。

第3讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆．(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜14或m＞1时才表示圆．答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D. 答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是() A．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案 A4．(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．答案(－2，－4) 55．(必修2P88A1(3)改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________．解析 (1)法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， ∵点A (4,1)，B (2,1)在圆上，故⎩⎨⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2， 又∵b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2， 故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＝0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎨⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①，②，④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.答案 (1)(x －3)2＋y 2＝2 (2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (2)(2017·西安模拟)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x －1)2＋y 2＝4 考点二 与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见： (1)形如m ＝y －b x －a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．【训练2】 (1)(2017·昆明诊断)圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5(2)(2014·全国Ⅱ卷)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析 (1)设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)如图所示，过点O 作OP ⊥MN 交MN 于点P .在Rt △OMP 中，|OP |＝|OM |·sin 45°， 又|OP |≤1，得|OM |≤1sin 45°＝ 2.∴|OM |＝1＋x 20≤2，∴x 20≤1.因此－1≤x 0≤1. 答案 (1)D (2)[－1,1] 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上， 故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【训练3】 (2014·全国Ⅰ卷)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.[思想方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2．(2017·合肥模拟)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.4．(2017·淄博调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1,0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233， 其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547．(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大． 答案 (0，－1)8．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0 三、解答题9．已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎨⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1， 又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3.故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94. 10．在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系．则有B (－1,0)，C (1,0)，设点A 的坐标为(x ，y )．由|AB ||AC |＝m ，得(x ＋1)2＋y 2＝m (x －1)2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴．当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2(m 2－1)2. 所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.答案 D12．已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C ．(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝73(舍去)．所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74. 答案 7414．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA→＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221，2＋221].。