2011年高考试题分类汇编数学理科立体几何精华版

广东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题: 6、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、2B 、1C 、23D 、136.C 【解析】有三视图可以判断该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1，所以()21221.33V =⨯⨯=2. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于( B ) A ．23 B ．21 C ．31 D ．33 6．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ）A ．3B ．22 C ．23λD ．53. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧．视图．．的面积为( C )A．1 B．2C．D．4⒌(广东省江门市2011年高考一模文科)某型号儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，三视图如图1，则该型号蛋糕的表面积=S( A )A．π115B．π110C．π105D．π100⒌(广东省江门市2011年高考一模理科)一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱，上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示，则这个几何体的体积=V( D )A．3054+πB．π69C．π66D．2454+π7.(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ D ）正视图侧视图图2侧视图俯视图正视图4x33x 4A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④6. (广东省东莞市2011年高三一模理科)一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为85123π+，则正视图中x 的值为( C ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 28．(广东省东莞市2011年高三一模文科)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( A ) A ．13B ．23C ．156D ．62243．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知,αβ为不重合的两个平面，直线,m α⊂那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ B ）A ．383cm B ．343cm C ．323cm D ．313cm二、填空题:2312．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则 它的左(侧)视图的面积是 ．12. 2 3.【解析】画出左(侧)视图如图,其面积为2 3.14. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)在0120的二面角内，放一个半径为10cm 的球切两半平面于A,B 两点，那么这两切点在球面上的最短距离是___________310π11．(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ， CD ⊥AB ，且AB ＝2，BC ＝5，CD ＝7，则AD ＝ 4 。

•・.・v-一, tA ・J ・V V K'^r"• 4 •W4"・■・ ■翼M . ・・・rt ・Mter^ • i■ »u4 • :(:“■ g"—WMf «. A% H.・•・i<・・w-・，—"八••«. •mt” ■・”》*•<1> BVrfftW.<1> <4. Z ・・・NK, »>» <■■ e •，・■ e ■■・■・rm •- <r Btotaiiri• W Kaii ・«ac»4^wn«a r> v* ・・ crsmv ・♦・ ■«=<> ru ■ ”■• i□07PD01ABC>I二>Mx«> •<• f - *wi|RMr ・i ， ■・・《、・• , T U'金•阳《r •URM e«・L -tr t rtt■nnu^e ■”etA*JCUBM-O'• ■■■ *1 ■求：（1）A1 D与EF所成角的大小；（2）A1 F与平面B1 EB所成角；（3）二面角C-D1 B1 -B 的大小.（1）因为AID （1,0, tEF （ : .0, 所以1212AID （12 0 （ 12 2 112EF （2 （2 0 22 211A1DM 0 0 22可知向量AI D与EF的夹角为60 因此AI D与EF所成角的大小为60 （2）在正方体ABCD A1B1C1D1 中，因为AB平面B1C1CB，所以AB是平面B1 EB的法向量因为AB （1.1,0 （1.0.0（0J.01 1 Air （0..0 （1.0」（1 …122311 所以AB hAlT *A1FAB ，由COS Air, AB ，所以可得向量之间的夹角约2 2 3为1947（3）因为A CI平面B1 D1C，所以AC1是平面B1 D1C的法向量，因为AC1 所以cos6 ，所以可得两向量的夹角为35.26 ? 根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为35.26 13.（浙江省桐乡一中2011届高三文）（14分）已知空间向量a =（$in ，—1，）， b =（1，1 J ）， a b = 5，€（0，2 ）. （1）求讪2 及血，⑪的值；(2)设函数r(x 5rn2x 曲心 R，求f ( x的最小正周期和图象的对称轴方程；(3)求函数f ( x在区间[11 5 . ] 24 24 上的值域。

必修2 立体几何初步§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征重难点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征；柱、锥、台、球的结构特征的概括．考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．经典例题：如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．当堂练习：1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）A．六棱锥 B．六棱台 C．六棱柱 D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体2下列说法中，正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形 B．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱都相等 D．棱柱的各条棱都相等3．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是（）A． 6 B． 3 C． 1 D． 24．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是（）A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或棱锥5．构成多面体的面最少是（）A．三个 B．四个 C．五个 D．六个6．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）A．一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台B．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台C．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台D．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台7．甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法（）A．甲正确乙不正确 B．甲不正确乙正确 C．甲正确乙正确 D．不正确乙不正确8．圆锥的侧面展开图是（）A．三角形 B．长方形 C． D．形9．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（）A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．上均不正确10．下列说法中正确的是（）A．半圆可以分割成若干个扇形B．面是八边形的棱柱共有8个面C．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台D．截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都可能12．A、B为球面上相异两点, 则通过A、B可作球的大圆有（）A．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）A． B． C． D．14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________，另一个是．15. 如右图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．16．如右图将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体是___________________．17．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是_______________．18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？4面体的棱台吗？棱台至少几个面．19．棱柱的特点是：(1)两个底面是全等的多边形，(2)多边形的对应边互相平行，(3)棱柱的侧面都是平行四边形．反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？21．(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体，三个图形之间的什么联系？(2)一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以底边上的高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？旋转3600又如何？第1章立体几何初步§1.1.2中心投影与平行投影以及直观图的画法重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．经典例题：右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）这个几何体是什么体？（2）如果面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？（3）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面？（4）从右边看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面？当堂练习：1．下列投影是中心投影的是（ ）A ． 三视图B ． 人的视觉C ． 斜二测画法D ．. 人在中午太阳光下的投影2．下列投影是平行投影的是（ ）A ． 俯视图B ． 路灯底下一个变长的身影C ． 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上D ． 以一只白炽灯为光源的皮影3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（ ）A ． 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D.球体4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（ ）A ． 球和圆柱B ． 圆柱和圆锥C ． 正方体的圆柱D ． 球和正方体5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（ ）A ． 四边形B ． 三角形C ． 圆D ．椭圆6．如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）A ．平行且相等B ． 平行但不相等C ．. 相等但不平行D ． 既不平行也不相等8．下列说法中正确的是（ ）A ． 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B ． 梯形的直观图可能是平行四边形C ． 矩形的直观图可能是梯形D ． 正方形的直观图可能是平行四边形9．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（ ）A ． 直角梯形B ．等腰梯形C ． 不可能是梯形D ．平行四边形10．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）A ． 3B ． 223 C ． 6 D ．. 3211．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的（ ）A ．21倍 B ．2倍 C ．22倍 D ．2倍12．如右图，直观图所表示的平面图形是（ ）A ． 正三角形B ． 锐角三角形C ． 钝角三角形D ． 直角三角形13．如右图，用斜二测画法作∆ABC 水平放置的直观图形得∆A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在∆ABC 中，下列四个结论中正确的是（ ）A ．AB=BC=ACB ． AD ⊥BC C ． AC>AD>AB>BCD ． AC>AD>AB=BC14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视图的宽度应_________．15．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有___________________(写出两个几何体即可)．16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a, 那么原图多边形面积是_____________．18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．19．画出如图的三视图(单位:mm)．20．已知斜二测画法得得的直观图 A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形．21．如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何可以找到a的点P在直观图中的位置P/ ?坐标为(),b第1章 立体几何初步§1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直． ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．§1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题： 如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面.当堂练习：1．下面给出四个命题： ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ）A ．N a α∈∈B ．N a α∈⊂C ．N a α⊂⊂D ．N a α⊂∈3． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ． 无法确定4． 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）A ． 四点中必有三点共线B ． 四点中必有三点不共线C ．AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交5． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）A ． 4或6或7个部分B ． 4或6或7或8个部分C ． 4或7或8个部分D ． 6或7或8个部分6．下列说法正确的是（ ）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A ． ①②③B ． ②③④C ． ③④D ． ②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）A ． 1B ．1或3C ．1或2或3D ．1或 48．如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是（ ）A ．α⊂B ．α∉C ．A =⋂αD ．B =⋂α9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ． 5个D ．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ）A ．两个公共点B ．三个公共点C ．四个公共点D ．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（ ）A ． 1或3个B ．1或4个C ．1个、3个或4个D ． 1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）A ．1个B ．1个或2个C ．1个或3个D ．3个13．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ⋂GH=P ，则点P （ ）A ．一定在直线BD 上B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上也不在直线BD 上14．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ ．15．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上．16．如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 、N 分别为AA1、C1D1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A1B1交于点P ，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D 、C1的平面交于点M ，则BM ：MD1=________________． (16题) (17题)18．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O ．求证：B 、D 、O 三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线c b a ||||, 且直线 与a, b, c 都相交． 求证: 直线 ,,,c b a 共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C 交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．第1章 立体几何初步§1.2.2 空间两直线的位置关系重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理． 经典例题：如图，直线a,b 是异面直线，A 、B 、C 为直线a 上三点,D 、E 、F 是直线b 上三点，A ' 、B ' 、C '、D ' 、E '分别为AD 、DB 、BE 、EC 、CF 求证：（1）'''A B C ∠='''C D E ∠；（2）A ' 、B ' 、C '、D ' 、E '共面．当堂练习：1．若a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是（ ）A ． 相交、平行或异面B ． 相交或平行C ． 异面D ． 平行或异面2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A ．异面B ． 相交C ．平行D ．异面或相交3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）A ．3条B ． 4条C ． 6条D ． 8条4．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）A ． 一定是异面直线B ．一定是相交直线C ． 不可能是平行直线D ．不可能是相交直线5．下面命题中，正确结论有（ ）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个6．下列命题中正确命题的个数是（ ）两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE, 则∠BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角;④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.A ． 0B ． 1C ． 2D ． 37．已知异面直线a,b 分别在,αβ内，面αβ=c ，则直线c （ ）A ．一定与a,b 中的两条都相交B ．至少与a,b 中的一条都相交C ．至多与a,b 中的一条都相交D ．至少与a,b 中的一条都平行8．两条异面直线所成的角指的是（ ）①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④ 两条直线既不平行又不相交, 无法成角．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9．空间四边形ABCD 中, AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R , 且PQ=2 , QR=5, PR=3 ,那么异面直线AC 和BD 所成的角是（ ）A ． 900B ． 600C ． 450D ．30010．直线a 与直线b 、c 所成的角都相等, 则b 、c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ． 异面D ． 以上都可能11．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为6和4，它们所成的角为900，则四边形两组对边中点的距离等于（ ）A ．B ． 5C ． 5D ． 以上都不对12．如图，ABCD —A1B1C1D1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点， 则下列结论正确的是（ ） A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线 B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线13．点A 是等边三角形BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a, E 、F 分别在AB 、CD 上，且)0(>==λλFD CF EB AE ，设λλβαλ+=)(f ，λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF与BD 所成的角，则（ ）A 1)(λf 在),0(+∞上是增函数B ． )(λf 在),0(+∞上是增函数C ． )(λf 在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数D ． )(λf 在),0(+∞上是常数14．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是_______________________．15．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH 的形状是___________________．16．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=3, BD=2, AC=2, 且AD BC ⊥, 则异面直线AC 和BD 所成的角为__________________．17．已知a ,b 是一对异面直线，且a ,b 成700角, 则在过P 点的直线中与a ,b 所成的角都为700的直线有____________条．18．已知AC 的长为定值，D ∉平面ABC ，点M 、N 分别是∆DAB 和∆DBC 的重心． 求证: 无论B 、D 如何变换位置, 线段MN 的长必为定值．19．M 、N 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，(1)求MN 与AD 所成的角；(2)求MN 与CD 1所成的角．20．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm,BD=14cm ，M ，N 分别是AB ，CD的中点，MN=73cm ，求异面直线AC 与BD 所成的角．21．在共点O 的三条不共面直线a 、b 、c 上，在点O 的同侧分别取点A 的A1、B 的B1、C 和C1，使得OC OC OA OA OB OB OA OA 1111,==.求证: ABC ∆∽∆A1B1C1 ．第1章 立体几何初步§1.2.3 直线与平面的位置关系重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．经典例题：直角∆ABC 所在平面外一点S ，且⑴求证：点S与斜边中点D的连线SD⊥面ABC；⑵若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC．当堂练习：1．下面命题正确的是（）A．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点B．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交D．直线在平面外，则直线与平面相交或平行2．直线b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（）A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交3．下列命题正确的个数是（）①若直线 上有无数个点不在平面α内, 则α|| ; ②若直线 与平面α平行, 则 与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面α平行, 则 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A．0个 B． 1个 C． 2个 D．3个4．下无命题中正确的是（）①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行.A．① B．③ C．①③ D．①②③5．直线a,b是异面直线，A是不在a,b上的点，则下列结论成立的是（）A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过A至少有一个平面平行于a，bC．过A有无数个平面平行于a，b D．过A且平行于a，b的平面可能不存在6．直线a,b是异面直线，则下列结论成立的是（）A．过不在a，b上的任意一点，可作一个平面与a，b平行B．过不在a，b上的任意一点，可作一条直线与a，b相交C．过不在a，b上的任意一点，可作一条直线与a，b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行7．下面条件中, 能判定直线α平面的一个是（）⊥A． 与平面α内的两条直线垂直 B． 与平面α内的无数条直线垂直 C． 与平面α内的某一条直线垂直 D． 与平面α内的任意一条直线垂直8．空间四边形ABCD中, AC=AD, BC=BD, 则AB与CD所成的角为（）A． 300 B． 450 C． 600 D． 900 9．如果直线 与平面α不垂直, 那么在平面α内（）A．不存在与 垂直的直线 B．存在一条与 垂直的直线C．存在无数条与 垂直的直线 D．任意一条都与 垂直M B F CND AE E M A B HC D A FE G 10．定点P 不在∆ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使∆ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 11．∆ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；②若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ． 313．如图，在正方形SG1G2G3中，E ，F 分别是G1G2，G2G3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（ ）A ．（1）和（3）B ．（2）和（5）C ．（1）和（4）D ．（2）和（4）14．若直线a 与平面α内的无数条直线平行, 则a 与α的关系为_____________． 15．在空间四边形ABCD 中, AD N AB M ∈∈,,若AMANMB ND =, 则MN 与平面BDC 的位置关系是__________________．16．∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2cm 、3cm 、4cm ,且它们在平面α的同一侧, 则∆ABC 的重心到平面α的距离为________________．17．若空间一点P 到两两垂直的射线OA 、OB 、OC 的距离分别为a 、b 、c ，则OP 的值为______________．18．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ACD ABC ∆∆和的重心， 求证：（1）BD||平面CMN ；（2）MN||平面ABD ．19．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形，(1)求证：CD||平面EFGH ； (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．20．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD.求证：（1）AC||平面MNP ，BD||平面MNP ； （2）平面MNP 与平面ACD 的交线||AC ． D S G2G 3G 1F E G21． 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B1H ⊥D1O ，H 为垂足． 求证：B1H ⊥平面AD1C ．第1章 立体几何初步§1.2.4 平面与平面的位置关系重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．经典例题：如图,在四面体S-ABC 中, SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC, 且分别交AC 、SC 于D 、E. 又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱, 以BDE 与BDC 为面的二面角的度数．当堂练习：1．下列命题中正确的命题是（ ）①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行;③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行.A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和③和④2． 设直线 ,m,平面,αβ,下列条件能得出||αβ的是（ ）A ．,m αα⊂⊂,且||,||m ββB ． ,m αα⊂⊂,且||mC ． ,m αβ⊥⊥,且||mD ． ||,||m αβ,且||m3． 命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面． 其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a,b 是异面直线，且a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的关系是（ ）A ． 相交B ． 重合C ． 平行D ． 不能确定5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（ ）A ． ①、②B ． ②、④C ． ①、③D ． ②、③A 1A CA 16． 设平面βα||，A βα∈∈B ,，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在βα,内运动时，那么所有的动点C （ ）A ． 不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ． 当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ． 不论A 、B 如何移动，都共面7．,αβ是两个相交平面，a ,b αβ⊂⊂,a 与b 之间的距离为d1，α与β之间的距离为d2，则（ ） A ．d1=d2 B ．d1>d2 C ．d1<d2D ．d1≥d28．下列命题正确的是（ ）A ． 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的B ． 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的C ． 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的D ． 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的9．对于直线m 、n 和平面α、β, 下列能判断α⊥β的一个条件是（ ）A ．,||,||m n m n αβ⊥B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂C ．||,,m n n m βα⊥⊂D ．||,,m n m n αβ⊥⊥10．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题: ①m l ⊥⇒βα//②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l //④βα//⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（ ）A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③11．设αβ--是直二面角，直线,,a b αβ⊂⊂且a 不与 垂直，b 不与 垂直，则（ ）A ． a 与b 可能垂直，但不可能平行B ． a 与b 可能垂直也可能平行C ． a 与b 不可能垂直，但可能平行D ． a 与b 不可能垂直，也不可能平行12．如果直线 、m 与平面α、β、γ满足： =β∩γ, //α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有（ ）A ．α⊥γ且 ⊥mB ．α⊥γ且m ∥βC ． m ∥β且 ⊥mD ．α∥β且α⊥γ13．如图,正方体ABCD —A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1上运动，并且总是保持AP ⊥BD1，则动点P 的轨迹是（ A ．线段B1C B ．线段BC1 C ．BB1中点与CC1中点连成的线段 D ．BC 中点与B1C1中点连成的线段 14．平面βα平面||, ∆ABC 和∆A/B/C/分别在平面α和平面β内, 若对应顶点的连线共点,则这两个三角形_______________．15．夹在两个平行平面间的两条线段AB 、CD 交于点O ，已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO 、DO 的长分别为_________________．16．把直角三角形ABC 沿斜边上的高CD 折成直二面角A-CD-B 后, 互相垂直的平面有______对．17．γβα,,是两两垂直的三个平面, 它们交于点O, 空间一点P 到平面,,αβγ的距离分别是2cm , 3cm , 6cm , 则点P 到点O 的距离为__________________．18．已知a 和b 是两条异面直线，求证过a 而平行于b 的平面α必与过b 而平行于a 的平面β平行．。

广东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题: 6、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、2B 、1C 、23D 、136.C 【解析】有三视图可以判断该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1，所以()21221.33V =⨯⨯=2. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于( B ) A ．23 B ．21 C ．31 D ．33 6．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ）A ．3B ．22 C ．23λD ．53. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧．视图．．的面积为( C )A．1 B．2C．D．4⒌(广东省江门市2011年高考一模文科)某型号儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，三视图如图1，则该型号蛋糕的表面积=S( A )A．π115B．π110C．π105D．π100⒌(广东省江门市2011年高考一模理科)一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱，上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示，则这个几何体的体积=V( D )A．3054+πB．π69C．π66D．2454+π7.(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ D ）正视图侧视图图2侧视图俯视图正视图4x33x 4A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④6. (广东省东莞市2011年高三一模理科)一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为85123π+，则正视图中x 的值为( C ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 28．(广东省东莞市2011年高三一模文科)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( A ) A ．13B ．23C ．156D ．62243．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知,αβ为不重合的两个平面，直线,m α⊂那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ B ）A ．383cm B ．343cm C ．323cm D ．313cm二、填空题:2312．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则 它的左(侧)视图的面积是 ．12. 2 3.【解析】画出左(侧)视图如图,其面积为2 3.14. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)在0120的二面角内，放一个半径为10cm 的球切两半平面于A,B 两点，那么这两切点在球面上的最短距离是___________310π11．(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ， CD ⊥AB ，且AB ＝2，BC ＝5，CD ＝7，则AD ＝ 4 。

2011年最新高考+最新模拟——立体几何1.【2010·浙江理数】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】B【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.2.【2010·全国卷2理数】与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.4.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.1C.D.【答案】B【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为.5.【2010·辽宁文数】已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（）A.4B.3C.2D.【答案】A【解析】由已知，球的直径为，表面积为6.【2010·辽宁理数】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A.（0,）B.（1,）C.(,）D.（0,）【答案】A【解析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;综上分析可知a∈（0,）7.【2010·全国卷2文数】与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【答案】D【解析】本题考查了空间想象能力.∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点.8.【2010·全国卷2文数】已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴，AS=3，∴ SE=，AF=，∴.9.【2010·江西理数】过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转第二类：化的能力.第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.10.【2010·安徽文数】一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A.372B.360C.292D.280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和. 把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和..11.【2010·重庆文数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）A.只有1个B.恰有3个C.恰有4个D.有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D.亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等.12.【2010·浙江文数】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3【答案】B【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.13.【2010·山东文数】在空间，下列命题正确的是（）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D14.【2010·北京文数】如图，正方体的棱长为2，动点E、F 在棱上.点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积（）A.与x，y都有关；B.与x，y都无关；C.与x有关，与y无关；D.与y有关，与x无关；【答案】C15.【2010·北京文数】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：（）【答案】C16.【2010·北京理数】如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（）Ａ.与ｘ，ｙ，ｚ都有关Ｂ.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关Ｃ.与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关Ｄ.与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关【答案】D17.【2010·四川理数】半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝，cos∠BAC＝，连结OM，则△OAM为等腰三角形，AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD ，而AC＝R,CD＝R，故MN：CD＝AN:AC MN＝，连结OM、ON，有OM＝ON＝R，于是cos∠MON＝，所以M、N两点间的球面距离是 .18.【2010·广东理数】如图1，△ ABC为三角形，////,⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是【答案】D19.【2010·广东文数】20.【2010·福建文数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A． B．2C． D．6【答案】D【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D．21.【2010·全国卷1文数】已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.22.【2010·全国卷1文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.方法一：因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD与平面AC所成角为,则1,所以.方法二：设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，.23.【2010·全国卷1文数】直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，.24.【2010·湖北文数】用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.A. ①②B. ②③C. ①④ D.③④25.【2010·山东理数】在空间，下列命题正确的是（）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题.由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案.26.【2010·福建理数】所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，∥，所以平面，又平面，故，所以选项B也正确，故选D.【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.27.【2010·湖北省武汉市四月调研】若a、b是异面直线，、是两个不同平面，，则（）A．l与a、b分别相交 B．l与a、b都不相交C．l至多与a、b中一条相交 D．l至少与a、b中的一条相交【答案】B【解析】假设l与a、b均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b与a、b是异面直线矛盾.故l至少与a、b中的一条相交选D.28．【2010·北京西城一模】如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（）A．当时，两点不可能重合B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D．当是异面直线时，直线可能与平行【答案】B【解析】若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确．29．【2010·宁波市二模】已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D选择【解析】依题意，a⊥α ,则a平行β或在β内，由于b⊥β，则，D.30．【2010·上海市浦东新区4月二模】“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由直线与平面平行的定义知，选C.31．【2010··北京崇文一模】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A．若则 B．若则C．若，则 D．若则【答案】B【解析】A中可以是任意关系；B正确；C中平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．32.【2010·甘肃省部分普通高中第二次联合考试】已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥；④若m∥，则⊥其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3D．4【答案】B①正确；对【解析】对于①∵，若∥，∴m⊥β，所以m⊥，于②，若⊥，则m∥β或m在β内，m与l可以平行可以异面还可以相交，所以②错；对于③∵，若m⊥，则与β可以相交，③错；对于④若m ∥，则l⊥，∴⊥，④正确，选择B.33.【2010·湖北六市四月联考】给出互不相同的直线、、和平面、，下列四个命题：①若，，，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，，，则；④若，，，则其中真命题有（）A.4个B.3个C.2个 D.1个【答案】B【解析】由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质，存在直线，，使得，，∵、是异面直线，∴与是相交直线，又，，∴，，故，②是真命题；由线面平行的性质和判定，知③是真命题；满足条件，，的直线、或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.34.【2010•河南省郑州市第二次质检】已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】依题意,α与β换成直线后是真命题，γ与β换成直线后是真命题，γ与α换成直线后是假命题，选择C.35．【2010•宁波二模】已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D选择【解析】依题意，a⊥α ,则a平行β或在β内，由于b⊥β，则，D.36．【2010•绵阳三诊】已知，表示两个不同的平面，是一条直线且，则：“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因是一条直线且，由面面垂直的判定定理，知，反之，若是一条直线且，当时，与平面的位置关系可以为：相交或平行或，故“”是“”的必要不充分条件，选B.37．【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知a，b表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若B．若所成角等于b与β所成角，则a//b.C．若D．若【答案】D【解析】对于选项A：直线a，b可能平行或异面；对于选项B：只有当平面α与β平行时，才有a//b，故B不对；对于选项C，有可能直线b在平面β内，故C错；故选D.38．【2010·山东德州五月质检】在空间中，给出下面四个命题：(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；(3)两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【答案】D【解析】对于(2)可能该直线与平面相交；对于(3)可能两相交直线的射影为一条直线或一点与过该点的一条直线,故选D.39．【2010·江西省重点中学第二次联考】已知一个确定的二面角，和是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使和所成的角也确定的是（）A．∥且∥ B．∥且C．且 D．且【答案】D【解析】因为二面角的大小是确定的，所以当且时，和所成的角与二面角的大小相等或互补，故而和所成的角也确定,选D.40．【2010·崇文一模】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A．若则 B．若则C．若，则 D．若则【答案】D【解析】A中，垂直于同一平面的平面可能平行或者相交；B中，平行于同一直线的平面可能平行或者相交；C中，平行于同一平面的直线可能是任意关系；D中，垂直于同一平面的直线平行,正确．41．【2010·上海市长宁区二次模】已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据是平面与平面垂直的判定定理知：由m⊥βα⊥β，反之不成立.故选B.42．【2010·河北省衡水中学一模】正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )A．B． C．D．【答案】B【解析】由V==×3×h，所以h=，从而侧棱长PA=，取AC中点O，连OE，则OE∥PA，且OE=，于是∠OEB为异面直线PA与BE所成的角或其补角.在直角三角形BOE中，BO=，所以tan∠OEB=，所以∠OEB=.43．【2010·湖北省襄樊五中5月调研测试】如图，正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上．并且==λ（0＜λ<＋∞)，设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α＋β的值是（）A． B． C．D．与λ的值有关【答案】C【解析】利用特殊化思想，当λ=1，即E、F分别为AB、CD中点时，取BC中点M，则EM∥AC,FM∥BD,又AC⊥BD，所以三角形EMF为直角三角形，所以α＋β=.44．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】二面角，A，B是棱l 上的两点，AC，BD分别在平面内，AC⊥l，BD⊥l，且AC=AB=1，BD=2，则CD 的长等于（）A．2 B．C． D．【答案】A【解析】过B作BE∥AC，且BE=1，则∠DBE=60°，从而DE==，在三角形CDE 中，CD==2.45．【2010·泸州二诊】如图，在正三棱柱中，.若二面角的大小为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中点，连结，，则是二面角的平面角. ∵，∴，∴在中，，，设点到平面的距离为，则由得，，解得，选A.46．【2010·湖北省年普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取AC中点F，连DF，BF，则易知BF∥DE，过F作FH⊥BC于H，则FH⊥平面BCC1B1，则角∠FBH为所求，在直角三角形FHB中，FH=,BF=AC=1，所以∠FBH=30°.47．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】如图，在正三棱柱ABC－A1B 1 C1中，点M为侧棱AA1上一动点，已知△BCM面积的最大值是，二面角M―BC―A 的最大值是，则该三棱柱的体积等于（）A. B. C.D.【答案】A【解析】当点M与点A1重合时，△BCM的面积为最大值，此时二面角M―BC―A也为最大.由已知可得，，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为，从而正三棱柱的高AA1＝.所以正三棱柱的体积，故选A.48．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（八）】如图，正方体中，M,N分别为AB,DC中点，则直线MC与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连NA，D1A，则∠D1NA为所求，在三角形D1NA中由余弦定理可求得cos∠D1NA=.49．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（四）】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是那么这个三棱柱的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为球的体积为π，柱体的高为2r=4，又正三棱柱的底面三角形内=×(4)2×4=.切圆半径与球半径相等，r=2，所以底面边长a=4,所以V柱50.【2010·内蒙古赤峰市四月统一考试】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A. B. C. D .【答案】A【解析】设底面边长AB=1，则侧棱长SA=2，过顶点S作底面的垂线，垂足O 为底面中心，连结AO，则∠SAO为所求，因为AO=,所以cos∠SAO==.51．【2010·上海市奉贤区4月调研】已知一球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为,则线段AB的长度为（）A.1B.C.2D. 2【答案】C【解析】由l=αR=α×2=得，α=，从而知∠AOB=，即△AOB为正三角形，所以AB=OA=R=2.52．【2010·石家庄市教学质量检测（二）】如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】EF∥AC，所以AC⊥DE，又AC⊥BD，所以AC⊥平面ABD，所以侧面三角形为等腰直角三角形，AB=AC=AD=，V=×()3=.53.【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】取AC中点H，连OH，则OH垂直于平面ABC，又OA=3，所以AC=2AH=CH=2×=3,又，BC=3，从而三角形OBC为正三角形，∠BOC=60°，所以球面距离为l=×3=.54．【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试】如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且，若侧棱则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【答案】C【解析】因为MN⊥AM，所以SB⊥AM，又SB⊥AC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以SA=SB=SC=2，所以2R=×(2)=6，所以S=π(2R)2=36π.55．【河南省郑州市2010年高中毕业班第二次质量预测】过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（）A． B． C．D．【答案】B【解析】易求得截面圆半径为球半径的倍，所以==.56．【2010·唐山三模】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为( )A.5πB.17πC.20π D.68π【答案】C【解析】截面圆的半径为2，所以球半径R==，所以S=20π.57．【2010·成都市第37中学五月考前模拟】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积V为，∵，，∴，作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则，∴，∴，， ，∴，故选A ．58.【2010·内蒙古赤峰市一模】四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD=2，.在外接球球面上A 、B 两点间的球面距离是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知半径R=1，所以∠AOB=，从而球面距离为l=×1=.59．【2010·江西赣州十一县（市）第二学期期中联考】棱长为1的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AB 、的中点，则经过E 、F 的球截面的面积最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】当截面圆的圆心在直线EF上时，其面积最小.因为EF=，可求得球心O到直线EF的距离为，所以截面圆的半径r===，所以S=.60.【2010·上海文数】已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是.【答案】96【解析】考查棱锥体积公式.61.【2010·湖南文数】图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm.【答案】462.【2010·浙江理数】若某几何体的三视图（单位：cm）如上图（右）所示，则此几何体的体积是___________.【答案】144【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.63.【2010·辽宁理数】如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___ ___.【答案】【解析】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为.64.【2010·江西理数】如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 .【答案】【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得.65.【2010·北京文数】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 .【答案】4【解析】“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动.66.【2010`四川理数】如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .【答案】【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D，连结AD，由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角的平面角，为60°，又由已知，∠ABD＝30°，连结CB，则∠ABC为与平面所成的角，设AD＝2，则AC＝，CD＝1，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝.67.【2010·天津文数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题. 正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半.由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为.68.【2010·天津理数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【答案】【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题.利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦.由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+= .69.【2010·湖北文数】圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__ __cm.【答案】4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.70.【2010·湖南理数】图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则．71.【2010·福建理数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于．【答案】【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为.72．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S—ABC是正四面体，M为AB 之中点，则SM与BC所成的角为 .【答案】arccos【解析】设正四面体边长为1，取AC中点N，则MN∥BC，∠SMN为异面直线SM与BC所成的角或其补角，且MN=，SM=SN=，由余弦定理可得cos∠SMN=.73．【2010·石家庄市质量检测（二）】如图，在底面边长为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若二面角C1-AB-C的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为．【答案】【解析】过点C作CD⊥AB交AB于D，连结C1D，则由三垂线定理知∠CDC1为二面角的平面角，则∠CDC1=60°.过点C作CH⊥C1D，交C1D于H，则CH⊥平面ABC1，故CH为所求，在三角形CC1D中，CD=,从而CC1=3，从而CH=.74．【2010·云南曲靖一中高考冲刺卷六】正四面体外接球的体积为，则点A到平面BCD的距离为__________________.【答案】【解析】V=，所以R=，过A作AH⊥平面BCD，则垂足为底面中心，则AH为所求.又由正四面体与外接球的关系知，AH=R=.75．【2010·上海市长宁区二模】棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长是_________.【答案】a【解析】由题意知球心为正方体对角线的中点，球半径为a，球心到直线EF 的距离为，所以直线EF被球O截得的线段长l=2=a.76.【2010·邯郸市二模】三棱锥A—BCD，AB=a，CD=b，∠ABD=∠BDC，M，N 分别为AD，BC的中点，P为BD上一点，则MP+NP 的最小值是 .。

2011年高考立体几何分类解析（全国）(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足．若2,1AB ACBD ===，则D 到平面ABC 的距离等于【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴ACDE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D 到平面ABC 的距离.在RtBCD ∆中,由等面积法得3BD CD DE BC ⨯===(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. 【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ONOM ==故圆N 的半径r ∴圆N的面积为213S r ππ==.(16)己知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A BC D -的棱1BB 、1CC 上，且112,2B E EB CF FC ==，则面AEF 与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 【答案】3【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.【解析】延长FE 交CB 的延长线于G ,连结AG ,则AG 为面AEF 与面ABC 的交线,由112,2B E EB CF FC ==得2CF BE =,∴B 为GC 中点.设正方体的棱长为1,则AG AC ==又2GC =,∴222AC AG GC +=∴90CAG ︒∠=Q FC ⊥平面ABC ,∴FA AG ⊥∴CAF ∠是面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角,在Rt ACFV 中,2tan CF CAF AC ∠===,故面AEF 与面ABC所成的二面角的正切值等于3. (19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,所以DSE ∠为直角. ………………3分由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.所以SD ⊥平面SAB . ………………6分 另解:由已知易求得1,2SD AD SA ==,于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB . ………………6分 (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD,2SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==. 连结SG .则SG BC ⊥.又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .……9分 作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC .由于//ED BC ,所以//ED 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin d EB α==,α=……12分解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B . 又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r, 由||||AS BS =u u r u u r 得=故1x =.由||1DS =u u u r得221y z +=,又由||2BS =u u r得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,22y z ==. ………………3分于是1331(1,(1,(1,(0,2222S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r ,0,0DS AS DS BS ⋅=⋅=u u u r u u r u u u r u u r.故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,所以SD ⊥平面SAB . ………………6分(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =r,则,,0,0a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=r u u r r u u r r u u r r u u r.又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uu r uu r,故30,220m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩………………9分 取2p =得(a =r ,又(2,0,0),AB =-u u u r21cos ,||||AB a AB a AB a ⋅<>==⋅uu u r ruu u r r uu u r r .故AB 与平面SBC 所成的角为21arcsin7. ………………12分 【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题，很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好（江西卷）（8）已知321,,ααα是三个相互平行的平面,平面21,αα之间的距离为1d ,平面32,αα之间的距离为2d .直线l 与321,,ααα分别交于321,,P P P .那么”“3221P P P P =是”“21d d =的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案：C解析：平面321,,ααα平行，由图可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P = 如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =21.（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体4321A A A A ，找出依 次排列的四个相互平行的平面 4321,,,αααα，使 得i i A α∈（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间 的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面4321,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体4321A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（i=1,2,3,4），求该正四面体4321A A A A 的体积.解：（1）将直线41A A 三等分，其中另两个分点依次为32,A A '',连接3322,A A A A '',作平行于3322,A A A A ''的平面，分别过3322,A A A A ''，即为32,αα。

专题：立 体 几 何第一节 空间几何体及其表面积和体积1．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．cm 3 B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 32.（2015全国Ⅰ理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛题型97 旋转体的表面积、体积及球面距离 .......................................................... 152 3.（2015全国Ⅱ理9） 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）．A. B. C. D.题型 几何体的外接球与内切球4.（2011全国理15）已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，，则棱锥的体积为 ．5.（2012全国理11） 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）.500π3866π31372π32048π3,A B O 90AOB ∠=︒C O ABC -36O 36π64π144π256πABCD 4O 6AB=BC =O ABCD -S ABC -O ABC 1SC O 2SC =A. B. C. D.题型99 斜二测画法与直观图 空间几何体的三视图6.（2011全国理6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应的侧视图可以为（ ）.A. B.C. D.7.（2012全国理7） 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）.A. B. C. D.8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9.（2013全国Ⅱ理7） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）.66321691218-O xyz ()()()()101110011000，，，，，，，，，，，zOxA. B. C. D.10.（2014全国Ⅰ理12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为. ..6 .411. （2015全国Ⅰ理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（ ）. A．1B ．2 C．4D ．812.（2015全国Ⅱ理6） 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）．A.B. C. D.题型104 证明空间中直线、平面的平行关系13. （2013全国Ⅱ理4）已知m n ，为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l β⊄，则（ ）.A.αβ∥且l α∥ B. αβ⊥且l β⊥A B C D r 1620+πr =81716151俯视图侧视图主视图俯视图1ACAC. α与β相交,且交线垂直于lD. α与β相交,且交线平行于l14. （2013全国Ⅱ理18-1）如图，直三棱柱111-ABC A B C中，D E，分别是1AB BB，的中点，1AA AC CB AB===.（1）证明：1BC∥平面1ACD；第五节直线、平面垂直的判定与性质题型106 证明空间中直线、平面的垂直关系15. （2011全国理18-1）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．（1）证明：；16.（2012全国理19-1）19. (本小题满分12分)如图，直三棱柱中，，是棱的中点，.（1）证明：（2）求二面角的大小.17.（2013全国Ⅰ理18-1）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；P ABCD-ABCD60DAB∠=2AB AD=PD⊥ABCDPA BD⊥111ABC A B C-112AC BC AA==D1AA1DC BD⊥1DC BC⊥11A BD C--18.（2014全国Ⅰ19-1）如图三棱柱中，侧面为菱形，. (Ⅰ) 证明：；19. （2015全国Ⅰ18-1）如图所示，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值．试题详解1.答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．2.解析 设圆锥底面半径为，则米堆底面弧度为，解得，所以米堆的体积为立方尺，故堆放的米约为斛．故选B ．3. 解析 根据题意，可得图如右，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，则可设球的半径为， 此时， 故，则球的表面积为，故选C ．评注 立体几何中对球的考查是命题的热点，要求能根据题意和球的特殊性来找基本量.解答中抓住球心及半径，结合圆的特点，用球的体积及表面积来求解.111ABC A B C -11BB C C 1AB B C ⊥1AC AB =ABCD 120ABC ∠=E F ABCD BE ⊥ABCD DF ⊥ABCD 2BE DF =AE EC ⊥AEC ⊥AFC AE CF r 12384r ⨯⨯=163r =1143⨯⨯3⨯216320539⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭3201.62229÷≈C AOB O ABC -O R 2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==6R =O 24π144πS R ==FED CAC4.【解析】依题意棱锥的四条侧棱长相等 且均为球的半径，如图连接，取中点，连接． 易知，故．在中，，从而， 5.分析 利用三棱锥的体积变换求解.解析 由于三棱锥与三棱锥底面都是，是 因此三棱锥的高是三棱锥高的倍，所以三棱锥 的体积也是三棱锥体积的倍.在三棱锥 中，其棱长都是，如图所示.， 高，所以.故选A.6.【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 故应选D.7.分析结合三视图知识求解三棱锥的体积.解析由题意知，此几何体是三棱锥，其高，相应底面面积为，所以.故选B.8.答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.9.分析 结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图.解析：根据已知条件作出图形：四面体，标出各个点的坐标如图（1）所示，可以看出正视图是正方形，如图（2）所示.故选A. 10.【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，O ABCD -O AC AC O 'OO'AC ==AO '=Rt OAO '△4OA=2OO '==S ABC -O ABC -ABC △O S ABC -O ABC -2S ABC -O ABC -2O ABC -12ABCS AB ==△OD ==1223436S ABC O ABC V V --==⨯⨯=3h =16392S =⨯⨯=1193933V Sh ==⨯⨯=1211-C A DBD ABC -其中，故最长的棱的长度为，选C11.解析 由正视图和俯视图可知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为，圆柱的高为，其表面积为，解得．故选B ．12.解析由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选D.评注 三视图是新课标的增加内容，也是高考的必考知识，主要考察空间想象能力.本题在读懂题意基础上画图，然后进行体积的计算，难度不大.13.分析 结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出.解析：根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D.解析：（1）证明：连接1AC ，交1AC 于点F ，则F 为1AC 的中点，又D 是AB 的中点，连接DF ，则1//BC DF .因为1DF ACD ⊂平面，11BC ACD ⊄平面，所以11//BC ACD 平面. 15.【解析】（1）因为，，由余弦定理得，从而，故，又底面，可得．所以平面，故．16.解析（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于为的中点，故.又，可得，所以.而，，4,AB BC AC DB DC =====6DA ==6DA =r 2r 221422r r r r ⨯π+π+π⨯+22r r ⨯=25r π+241620r =+π2r =1111ABCD A B C D -111A A B D -a 11133111326A A B D V a a -=⨯=3331566a a a -=5160DBA ∠=2AB AD =BD =222BD AD AB +=BD AD ⊥PD ⊥ABCD BD PD ⊥BD ⊥PAD PA BD ⊥D 1AA 1DC DC =112AC AA =22211DC DC CC +=1DC DC ⊥1DC BD ⊥DC BD D =A C 1A所以平面.因为平面，所以.17.分析 （1）先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . 18.【解析】：(Ⅰ)连结，交于O ，连结AO ．因为侧面为菱形，所以，且O 为与的中点．又，所以平面，故又 ，故 19.解析 （1）连接，设，连接，，．在菱形中，取，由，得．由平面，，可知．又，所以，且．在 中，可得，故．在中，．在直角梯形中，由，，，可得，所以，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．1DC ⊥BCD BC ⊂BCD 1DC BC ⊥1BC 1B C 11BB C C 1B C 1BC ⊥1B C 1BC 1AB B C ⊥1B C ⊥ABO 1B C AO ⊥1B O CO =1AC AB =BD BDAC G =EG FG EF ABCD 1GB =120ABC ∠=AG GC ==BE ⊥ABCD AB BC =AE EC =AE EC⊥EG =EG AC ⊥Rt EBG△BE=DF =Rt FDG△FG =BDFE 2BD=BE=DF=EF =222EF EG FG =+EG FG ⊥ACFG G =EG ⊥AFC EG ⊂AEC AEC ⊥AFC。

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立体几何20177．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形。

该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．1616．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F 为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC,CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA,AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3)的最大值为_______.18.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,且90BAP CDP∠=∠=。

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.2016(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（A）17π（B)18π（C)20π(D）28π(11）平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,a//平面CB1D1,a⋂平面ABCD=m，a⋂平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（A)32（B)22(C）33(D)13（18）(本题满分为12分）如图，在以A，B,C，D,E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FD，90AFD∠=，且二面角D-AF—E与二面角C-BE-F都是60．(I）证明：平面ABEF⊥EFDC；（II）求二面角E—BC—A的余弦值．20156、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺,问”积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1。

03 立体几何1。

（2011天津卷理)17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中,H 是正方形11AA B B 的中心,122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； （Ⅱ)求二面角111A AC B --的正弦值； （Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B内，且MN ⊥平面11A B C ,求线段BM 的长．【解析】17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分。

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C - 111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-, 于是11111142cos ,,3||||322AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2.3（II ）解:易知111(0,22,0),(2,2,5).AA AC ==-- 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m x y z =，则11100m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2250,220.x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨令5,x =可得(5,0,2)m =,同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x y z =,则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2250,220.x y z x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩不妨令5y =，可得(0,5,2).n =于是22cos ,,||||777m n m n m n ⋅===⋅⋅从而35sin ,.7m n =所以二面角A —A 1C 1-B 的正弦值为35.7（III ）解:由N 为棱B 1C 1的中点,得2325(,,).222N 设M （a ，b ，0）， 则2325(,,)222MN a b =-- 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得11110,0.MN A B MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2()(22)0,22325()(2)()(2)50.222a ab ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅-+-⋅-+⋅=⎪⎩解得2,22.4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故22(,,0).24M因此22(,,0)24BM =,所以线段BM 的长为10||.4BM = 方法二：（I ）解：由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA 1B 1B,又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，1122,5,AA C H ==可得1111 3.AC B C ==因此22211111111111112cos .23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅所以异面直线AC 与A 1B 1（II ）解：连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1， 又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1=C 1，所以11AC A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接B 1R ，于是111B R AC ⊥，故1ARB ∠为二面角A-A 1C 1—B 1的平面角。