1 (1) 2 n 1 n n 1
(2)
n 1
1 n(n 1)
比较判别法的极限形式
设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn (1) 若 0 < l <∞ , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 若 l = 0 ，则 vn 收敛 (3) 若 l =∞， 则 vn 发散
比较判别法
设 且存在 则有 (1) 若 (2) 若 收敛 , 则 发散 , 则 收敛 ; 是两个正项级数, 对一切
有
( k > 0 ),
发散 .
1 1 1 例1 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 的敛散性. 2 3 n 例2 讨论 下列级数的敛散性:
例5 讨论下列级数的敛散性:
n! (1) n n 1 10
(2)
n 1
1 n!
(3)
n 1
1 ( 2n 1) 2n
(4) nx
n 1
n 1
( x 0)
xn (5) p ( x 0, p 0) n 1 n
柯西(Cauchy)判别法(根植审敛法) 设
（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
达朗贝尔(d’Alembert)判别法(比值审敛法) u n 1 lim , 则 设 为正项级数, 且 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1或 时, 级数发散 .
注
u n 1 若 lim 1 级数可能收敛也可能发散. n u n
n 1 n 1
收敛 发散
例3 讨论 下列级数的敛散性: (1)
n 1
1 n(n 1)
(2)
1 2 n n 1 n 1
p-判别法
设正项级数 (1) 若 0 < l <+∞ 满足 lim n pun l , 则
; (=)1 p>1
收敛 发散
(2) 若 l = 0 (3) 若 l =+∞
收敛
发散
0<p< (=) 1
例4 讨论下列级数的敛散性:
(1) sin 1 n n 1
(2)
n 1
ln 1
1 n
2
(3)
n 1
n 1(1 cos ) n
一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件
（二）比较判别法
2 ( 1)n (2) n 2 n 1
二、交错级数及其审敛法
交错级数 设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 莱不尼茨判别法
如果交错级数满足条件:
(1) un un1 ( n 1, 2,
(2) lim un 0,
n ( 2) ( 1) n (3) e n 1
n
2
1 1 ( 1) n 1 2 n n 1
n
n2
课堂小结
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
第二讲 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件
（二）比较判别法
（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
若 un 0 , 则称 定理1
un为正项级数 .
n 1
正项级数
收敛
部分和数列
有界 .
一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件
（二）比较判别法
（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
n
);
那么级数收敛,且其和 s u1 , 其余项 rn 的绝对值 rn un1 . 例7 讨论下列交错级数的敛散性: (1) ( 1) n 1 (2) n n 1
1 n n n (3) ( 1 ) ( 1 ) n 10 n ! n 1 n 1
三、绝对收敛与条件收敛
为正项级数, 且 lim n un , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1时, 级数发散 . 注
n u 1 级数可能收敛也可能发散. 若 lim n n
柯西判别法比达朗贝尔判别法更有效. 达朗贝尔判别法比柯西判别法更实用. 例6 讨论下列级数的敛散性: (1) 1n n 1 n
定理 对任意项级数 定义 对任意项级数 若 若 注 若 若 收敛 , 则 收敛.
收敛 , 则称
发散 , 而 发散 ,
绝对收敛;
收敛 则称 条件收敛.
不一定发散.
发散 ,
但若用达朗贝尔判别法判定 则因 un 0, 必发散.
例7 讨论下列级数的敛散性:
sin n (1) 4 n n 1
