变式题专题

小学生变式练习题1. 加法变式练习题- 题目：小明有5个苹果，小华给了他3个苹果，现在小明一共有多少个苹果？- 答案：5 + 3 = 82. 减法变式练习题- 题目：班级里有20名学生，放学后有5名学生离开了，现在班级里还有多少名学生？- 答案：20 - 5 = 153. 乘法变式练习题- 题目：一个班级有6行，每行有8个座位，这个班级一共有多少个座位？- 答案：6 × 8 = 484. 除法变式练习题- 题目：老师有48支铅笔，平均分给6个学生，每个学生能分到多少支铅笔？- 答案：48 ÷ 6 = 85. 混合运算变式练习题- 题目：小丽有24元钱，她买了3个笔记本，每个笔记本5元，然后她又买了4支铅笔，每支铅笔2元，小丽一共花了多少钱？- 答案：(3 × 5) + (4 × 2) = 15 + 8 = 236. 时间计算变式练习题- 题目：如果现在是下午3点，再过2小时30分钟是几点？- 答案：3点 + 2小时30分钟 = 5点30分7. 货币计算变式练习题- 题目：小刚有10元钱，他买了一个5元的玩具，然后又买了2个2元的冰淇淋，小刚还剩下多少钱？- 答案：10 - 5 - (2 × 2) = 10 - 5 - 4 = 18. 面积计算变式练习题- 题目：一个正方形的边长是4米，这个正方形的面积是多少平方米？- 答案：4 × 4 = 169. 体积计算变式练习题- 题目：一个长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？- 答案：5 × 3 × 2 = 3010. 分数计算变式练习题- 题目：如果一个蛋糕被分成了8份，小芳吃了其中的3份，她吃了蛋糕的几分之几？- 答案：3/8这些练习题旨在帮助小学生通过不同的数学问题来巩固和提高他们的数学能力。

三年级变式题10道一、加法运算变式题1. 学校图书馆原来有235本故事书，又新买了128本，后来借给三年级同学150本，现在图书馆还剩多少本故事书？解析：首先求出图书馆书的总数，即原来有的加上新买的：公式（本），然后再减去借出去的数量得到剩余的数量：公式（本）。

2. 三年级一班有男生28人，女生比男生多12人，三年级一班总共有多少人？解析：先求出女生的人数，因为女生比男生多12人，所以女生人数为公式（人），然后将男生人数和女生人数相加得到全班人数：公式（人）。

二、减法运算变式题3. 小明有300元零花钱，他买文具花了125元，买零食花了85元，他还剩下多少元？解析：先求出总共花去的钱数，即买文具和买零食花费的总和：公式（元），然后用原有的零花钱总数减去花去的钱数得到剩余的钱数：公式（元）。

4. 一个数比350少135，这个数是多少？解析：求比一个数少几的数用减法，所以这个数为公式。

三、乘法运算变式题5. 一块长方形菜地，长是12米，宽是8米，如果每平方米种5棵白菜，这块菜地一共能种多少棵白菜？解析：首先求出长方形菜地的面积，长方形面积 = 长×宽，即公式（平方米），然后每平方米种5棵白菜，用菜地面积乘以每平方米种的白菜数得到总共能种的白菜数：公式（棵）。

6. 三年级同学做广播体操，每行站15人，站了12行，如果每行站9人，可以站多少行？解析：先求出总人数，总人数 = 每行站的人数×行数，即公式（人），然后总人数不变，当每行站9人时，行数 = 总人数÷每行站的人数，即公式（行）。

四、除法运算变式题7. 学校把360本图书平均分给6个年级，每个年级有4个班，平均每个班分到多少本图书？解析：首先求出每个年级分到的图书数量，公式（本），然后每个年级有4个班，再求出每个班分到的图书数量：公式（本）。

8. 有540个苹果，每9个装一盒，可以装多少盒？如果每6盒装一箱，一共可以装多少箱？解析：先求出能装的盒数，盒数 = 苹果总数÷每盒个数，即公式（盒）。

乘法变式练习题一、基础乘法变式1. 计算下列乘法并写出变式：- 3 × 4 = 12- 4 × 3 = 12- 12 ÷ 3 = 4- 12 ÷ 4 = 32. 完成以下乘法并找出乘法的变式：- 5 × 6 = 30- 6 × 5 = 30- 30 ÷ 5 = 6- 30 ÷ 6 = 5二、乘法与加法的变式1. 将下列乘法表达式转换为加法表达式：- 4 × 7 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 42. 完成以下乘法并转换为加法：- 8 × 9 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8三、乘法与除法的变式1. 将下列乘法表达式转换为除法表达式：- 6 × 8 = 48 → 48 ÷ 6 = 8- 9 × 5 = 45 → 45 ÷ 9 = 52. 完成以下乘法并找出对应的除法：- 7 × 11 = 77 → 77 ÷ 7 = 11- 12 × 3 = 36 → 36 ÷ 12 = 3四、乘法的逆运算1. 给定乘法结果，找出乘法的两个因数：- 24 ÷ 3 = ?- 56 ÷ 7 = ?2. 根据乘法结果找出可能的乘法表达式：- 36 ÷ 4 可能的乘法表达式是4 × 9 或9 × 4五、乘法的应用题1. 一个班级有4个小组，每个小组有8名学生。

这个班级总共有多少名学生？2. 一个果园里有5排苹果树，每排有12棵。

这个果园里总共有多少棵苹果树？六、乘法的拓展练习1. 计算下列乘法表达式，并找出它们的变式：- 7 × 13 = ?- 13 × 7 = ?2. 计算下列乘法表达式，并将其转换为加法表达式：- 9 × 14 = ?结束语通过以上乘法变式练习题，学生可以加深对乘法运算规则的理解，提高解决实际问题的能力。

哈力中学：杜广富一，题目 计算：2)32(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=32)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如32)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：（1）94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）23） 变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？ （答案：x ＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．（答案：n = 1，2，9，17等．）变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n ，使231+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使231+n 是有理数． 二，题目 计算：65027÷⨯．（人教课本P 15 6（4）题）解 原式=6)23(15625336253322÷⨯=÷⨯=÷⨯⨯⨯= 15．另法 原式=1525965027=⨯=⨯． 点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =⋅（a 、b ≥0），b a ba =（a ≥0，b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．演变变式1 填空：（1）50276⨯÷= ；（2）65027⨯÷= ． （答案：（1）310 （2）59） 因为原式=)32(25323⨯÷⨯⨯，2 + 3 = 5，所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式：变式2 化简：ab b a a b ÷+⨯23)(．解 原式=)(])([b a a b a b b ⋅÷+⨯= b （a + b ）= ab + b 2．若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷⨯ 时，采用了不同的方法： 甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷⨯．乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确． 甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5． 乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式． 正确解法是：原式=5)5()5()5(522=⋅÷⋅=÷⋅⋅⋅y x x y x x xy x y x x ．三，题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值：（1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题）解 ∵ 13+=x ，13-=y ，∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2．于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=⨯．点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222ba b ab a -++，（2）a b b a -的值．解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．（1）原式=22222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241222))((22-=-⋅=-+=-ab b a b a ab b a ． 变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求b b a -的值．解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a b a b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-， 有32)13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-ba b b a ． 说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值．∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ， 得22=-x x ，注意到xy 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-⋅+=++=4222-+x x ，22224xx y x -=-，得 变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224xx -的值．（答案 （1）8 （2）32± （3）142±）四，题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2，对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =24152p +-，且两个根不相等． 另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥41，因此41252+±=p x ． 点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =ac ，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．演变变式1 分别对p 赋值0，2，23-等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0． 变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在？请说明理由．解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x 应满足 ⎩⎨⎧≥-≥-,02,03x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2． 表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在．变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412125p +-， 且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22125=-， 即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3．变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 y 的最小值为41，当25=x 时取得．五，题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，建立方程，得 20304123422023302⨯⨯=⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0．解得 611.012133565≈-=x ． 因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ． 另法 如图，建立方程，得 203041)620(4630⨯⨯=-+⨯x x x ． 法三 如图，建立方程，得 203043)620)(430(⨯⨯=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；（3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：219525-） 变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304332⨯⨯=⋅x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为 )32(5105.0)220(-=-=⨯-x x ，左、右宽为 2)32(155.0)330(-=⨯-x ． 变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：V =（30－2x ）（20－2x ）x ．即 V = 4x 3－100x 2 + 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10． 变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？（3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．则根据题意，列出方程，得 203021)220)(230(⨯⨯=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =213525+，得花园四周小路宽为213525-m ，所以小明的结果不对． （2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x 米，列方程得 2030212⨯⨯=x π，所以πππ310310==x m ．（3）略．六，题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题） 解 ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB = AD ，∠BAD = 60︒．同理AE = AC ，∠EAC = 60︒．∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60︒ 就得到△CAD ，∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60︒，于是∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ．从而有 △CAD ≌△EAB ，∴ DC = BE ．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变 变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形， △EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？说明理由．（人教课本P 805题） 说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得． 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧．B C D A E C B A E D E A E（2）点C 在BD 的延长线上．（3）C 点在BD 外．（4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧，且D 点在BC 的延长线上．（5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BAC =∠CED ．变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则BE 与DC 有什么关系？七，题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．（人教课本P 93例2）解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90︒．在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8．∵ CD 平分∠ACB ， ∴ =，于是AD = BD ．又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，∴ 25102222=⨯===AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等 ⇔ 弦心距相等 ⇔ 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）．演变变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积等于4925252186212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+∆∆BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2． 变式2 求内角平分线CE 的长？抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，斜边上的高524=⋅=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E 设为x ，于是x CE 2=，由 BC AC BC x AC x ⋅=⋅+⋅⋅212121，得 C B A E D AC B ED C B AE D B C D AF EG B C A E D7248686=+⨯=+⋅=BC AC BC AC x ， ∴ 7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与 三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ． 解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC（同所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线， 则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60︒，判断△ABC 的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60︒，∴ ∠ABC =∠APC = 60︒，因而△ABC 是等边三角形．八，题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒，点O 是内心，求∠BOC 的度数．（人教课本P 1061题） 解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心），∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线．∵ ∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒， ∴ ∠OBC = 25︒，∠OCB = 37.5︒，因此 ∠BOC = 180︒－25︒－37.5︒ = 117.5︒．点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．演变变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积． 解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ⋅+⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆212121=lr CA BC AB 21)(21=++． 变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+︒=∠2190． 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180 B C O A BCO A=)180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒， ∴ A BOC ∠+︒=∠2190． 说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，请读者探究，收获定当不少． 变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上，求证：AB + OC ＞AC + OB ．证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ， 使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得△AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ． 在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，故 AB + OC ＞AC + OB ．变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ， 求证：DE = BD + CE ．解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发 现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ，因此BD + CE = DO + OE = DE ．变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平分线．（1）若∠A = 60︒，则∠O 为多少度？ （2）若∠A = 90︒，120︒ 时，∠O 分别是多少度？（3）求∠A 与∠O 的关系式． 解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线， ∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，∴ ∠ABC = 180︒－2∠2，∠ACB = 180︒－2∠3．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180︒，∴ ∠A + 180︒－2∠2 + 180︒－2∠3 = 180︒，即∠2 +∠3 = 90︒ + 12∠A ． 在△BOC 中，∠2 +∠3 +∠O = 180︒， ∴ ∠O = 90︒－12∠A ． （1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠A = 90︒ 时，∠O = 90︒－12× 90︒ = 45︒．当∠A = 120︒ 时，∠O = 90︒－12× 120︒ = 30︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12∠A = 90︒． 九，题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）D BC O AD BC O A E A BD OE C 4 3 2 1 B A E解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B ，C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．演变 变式1 求五角星中五个角的和．解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180︒．表明正五角星中五个角的和为180︒．另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中， 有 ∠B +∠E = 180︒－∠BFE = 180︒－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180︒，即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180︒． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒． 说明 正五角星中每个角都是36︒．变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明215-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，五个角的和等于180︒，或连结两个顶点后利用三角形内角和定理即可解决．变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？解 都等于180︒．说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180︒及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．十，题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）解 落在海洋里的可能性更大．点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．演变 F C B A D E C B A D E M N C B A D E变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为733=+变式2 扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．A ．21 B ．π63 C ．π93 D ．π33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为43，正三角形的内切圆半径6330tan 21=︒=r ，内切圆的面积为12)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ934312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人 能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为167604560222=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形状无关，为SS P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积．。

主题二世界地理专题04 天气和气候中考命题方向考向一天气考向二气温的变化与分布考向三降水的变化与分布（重点）考向四世界气候类型（重点）考向一天气例1（2022·云南）根据昆明2月18-21日的天气资料完成下面1-2小题。

1．下面对这四天天气的描述，错误的是（）A．这四天都没有降水B．风力最强的是20日C．吹偏南风的时候气温较低D．气温日较差最大的是19日2．这四天中，司机最需要注意交通安全的是（）A．18日B．19日C．20日D．21日例2（2022·山东泰安）《三国演义》中“诸葛亮借东风火烧曹营”的故事，说明天气对军事的影响。

下列天气符号与故事中的“东风”相符合的是（）A．B．C．D．例3（2022·江苏常州）“某日常州市空气污染指数为52”，表明常州市该日空气质量为（）A．中度污染B．轻度污染C．良D．优例4（2022·四川南充）天气与生活息息相关。

依据下图播报2022年儿童节南充的天气状况，播报正确的是（）A．多云转阴，最低气温22°C，最高气温30°C，东南风4级B．阴转多云，平均气温22°C，最高气温30°C，西北风4级C．多云转阴，最低气温22°C，最高气温30°C，东南风2级D．阴转多云，平均气温22°C，最高气温30°C，西北风2级一、天气与气候天气气候概念一个地区短时间内阴晴、风雨、冷热等大气状况，它是时刻变化的某一地区多年的天气平均状况特征短时间的、多变的长时间的、稳定的举例风和日丽、阴云密布四季分明、雨热同期联系两者都是指大气的状况，气候是对长时间天气平均状况的综合描述二、常见天气符号晴阴多云小雨中雨大雨暴雨雨夹雪小雪中雪大雪冰雹雾霜冻雷雨浮尘扬尘沙尘暴台风霾风向指风吹来的方向，用风向标表示。

风的符号由风杆和风尾两部分组成。

每一道风尾表示风力2级，半道风尾表示风力1级，8级风用风旗表示。

一、集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题） 已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有 个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A =，集合B 与集合A 之间满足的关系是解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个 变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<， 所以()U C A B 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C AB C =，故选B 。

变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则PQ 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2 解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ． 解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m =-，所以12m-=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B =，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为AB B =，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数3()32f x x =-，1()23g x x =-，求函数()()f x g x 的定义域.变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

【备战2023高考英语】全国甲卷真题变式：03 阅读·人物故事类一、真题(共4题；共8分)阅读理解As Ginni Bazlinton reached Antarctica, she found herself greeted by a group of little Gentoo penguins （企鹅）longing to say hello. These gentle, lovely gatekeepers welcomed her and kick-started what was to be a trip Ginni would never forget.Ever since her childhood, Ginni, now 71, has had a deep love for travel. Throughout her career（职业）as a professional dancer, she toured in the UK, but always longed to explore further When she retired from dancing and her sons eventually flew the nest, she decided it was time to take the plunge.After taking a degree at Chichester University in Related Arts, Ginni began to travel the world, eventually getting work teaching English in Japan and Chile. And it was in Chile she discovered she could get last-minute cheap deals on ships going to Antarctica from the islands off Tierra del Fuego, the southernmost tip of the South American mainland. "I just decided wanted to go," she says. "I had no idea about what I'd find there and I wasn't nervous, I just wanted to do it. And I wanted to do it alone as I always prefer it that way."In March 2008, Ginni boarded a ship with 48 passengers she'd never met before, to begin the journey towards Antarctica. "From seeing the wildlife to witnessing sunrises, the whole experience was amazing. Antarctica left an impression on me that no other place has," Ginni says. "I remember the first time I saw a humpback whale; it just rose out of the water like some prehistoric creature and I thought it was smiling at us. You could still hear the operatic sounds it was making underwater."The realization that this is a precious land, to be respected by humans, was one of the biggest things that hit home to Ginni.1．（2分）Which of the following best explains "take the plunge" underlined in paragraph 2?A．Try challenging things.B．Take a degree.C．Bring back lost memories.D．Stick to a promise.2．（2分）What made Ginni decide on the trip to Antarctica?A．Lovely penguins.B．Beautiful scenery.C．A discount fare.D．A friend's invitation.3．（2分）What does Ginni think about Antarctica after the journey?A．It could be a home for her.B．It should be easily accessible.C．It should be well preserved.D．It needs to be fully introduced.4．（2分）What is the text mainly about?A．A childhood dream.B．An unforgettable experience.C．Sailing around the world.D．Meeting animals in Antarctica.二、变式题(共36题；共72分)阅读理解Chuvina was 56 when she discovered knife throwing in 2007. She'd done a simple job in the coat check section of the local factory. One day, two young men discussed the possibility of opening a knife throwing club there. It was the first time that Chuvina had heard of knife throwing, so she desired to have a try and signed up for training. Just a month and a half later, she learned that her hometown would host a knife throwing competition. She signed up and shocked the audience by winning first place.Her victory inspired many people, but there were also those who simply called it beginner's luck. Chuvina silenced the latter at the 2007 National Knife Throwing Championship in Moscow, where she beat the best knife throwers in the country. Her first prize had been a new heater, but for her win at the nationals, she received a mobile phone and an air mattress. These motivated her to participate in more competitions.In 2008, Chuvina competed in the World Knife Throwing Championship, against 36 of the world's best knife throwers. She was the oldest player, but she won once again, becoming number one knife thrower all over the world.Throughout her amazing career, Chuvina won 5 national championships, as well as 50 medals and titles. She was considered as a national treasure, getting much attention from the press, giving interviews and making appearances on television shows.5．（2分）What can be inferred about Chuvina in paragraph 1?A．She hated the present job.B．She had strong curiosity.C．She wanted to get first prize.D．She always loved knife throwing.6．（2分）What made Chuvina attend more competitions according to paragraph 2?A．The material rewards offered to winners.B．The desire to learn from other throwers.C．The hope to get support from the government.D．The possibility to become famous.7．（2分）How many competitors competed in 2008 World Knife Throwing Championship?A．35B．36C．37D．508．（2分）What does the author want to tell us?A．It's never too old to learn.B．There is plenty of fish in the sea.C．A young idler will be an old beggar.D．God helps those who help themselves.阅读下列短文，从每题所给的A、B、C 和D 四个选项中，选出最佳选项。

中考专题——变式训练及答案1．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 点在边DE 上，F 点在线段CB •的延长线上，且∠EAF=90°． （1）试证明：△ADE ≌△ABF ．（2）△ADE 可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF 的位置．（3）指出线段AE 与AF 之间的关系．2.（1）如图a ，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．（1）求∠AEB 的大小； （2）如图b ，ΔO AB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 3．（1）如图10，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，M 为AB 中点，AF=CE ，请判断△MEF 的形状.（2）已知：如图11在Rt △ABC 中, AC=BC, ∠C=90°，点D 为AB 上任一点，DF ⊥AC 于F ， DE ⊥BC 于E ，M 为BC 的中点.① 判断△MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论.② 当点D 在AB 上运动时，四边形FMEC 的面积是否会改变,并证明你的结论． ③ 当点D 在BA 的延长线上运动时，如图12，①中的结论还成立吗？4.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图18），易证．（1）当绕点旋转到时（如图19），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图20的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．C BOD 图a A B O D CE 图b图3D5．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论. 6. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ． (1)如图①，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时， 求证：AB ＋AD ＝AC ．(2)如图②，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时， 线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想，并给予证明． (3)如图③，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时， 线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想，并给予证明．7. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．FHFED ADA 图1D8. 如图1，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ． （1）试说明：FG= 12（AB+BC+AC ）；（2）如图2，若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是9. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点． （1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.图3图1图2AD E C HF G变式训练答案1．解：（1）90909090EAF BAF BAEBAD DAE BAE∠=︒⇒∠+∠=︒⎫⇒⎬∠=︒⇒∠+∠=︒⎭∠EAF=∠EAD，而AD=AB，∠D=∠ABF=90°，故△ADE≌△ABF．（2）可以通过旋转，将△ADE绕点A顺时针旋转90°就可以到△ABF的位置．（3）由△ADE≌△ABF可知AE=AF．2.解析：（1）∵在等边三角形OAB和等边三角形OCD中，OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．∵在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（SAS）∴∠OAC=∠OBD∵∠1=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB∴∠AEB=∠AOB=60°．（2）同（1）可证∠AEB=∠AOB=60°．3.思路点拨：在等腰三角形中，M为底边AB的中点，连结CM是常用的辅助线．解析：（1）△MEF是等腰直角三角形．（2）①△MEF是等腰直角三角形．理由如下：连结CM，如图13∵DF⊥AC于F，DE⊥BC于E，∠ACB=90°∴四边形CEDF为长方形，∴DF=CE∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，M为AB中点，∴∠A=∠1=45°，CM⊥AB，AM=BM=CM．∵在Rt△ADF中，∠A=45°∴AF=DF，∴AF=CE∵在△AMF和△CME中∴△AMF≌△CME（SAS）∴MF=ME，∠2=∠3∵∠2+∠CMF=90°，∴∠3+∠CMF=90°，即∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形．②当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积不会改变，证明如下：由①可知，△AMF≌△CME，∴S△AMF=S△CME．∵S△ACM=S△BCM，∴S△CMF=S△BME，∴S四边形FMEC=S△CMF+ S△CME=S△ABC．∴四边形FMEC的面积不会改变．③成立，理由如下：连结CM，如图14∵DF⊥AC于F，DE⊥BC于E，∠ACB=90°∴四边形CEDF为长方形，∴DF=CE∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB中点，∴∠BAC=∠1=45°，CM⊥AB，AM=BM=CM．∴∠MAF=∠MCE=135°．∵在Rt△ADF中，∠DAF=∠BAC=45°∴AF=DF，∴AF=CE∵在△AMF和△CME中∴△AMF≌△CME（SAS）∴MF=ME，∠AMF=∠CME∵∠CME+∠AME=90°，∴∠AMF+∠AME=90°，即∠EMF=90°∴△MEF是等腰直角三角形．5.分析：（1）要证明CH=EF+EG首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证△EGC ≌△CNE得出结论．（2）过C点作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因为HC=DO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想．（3）连接AC，过E作EG作EH⊥AC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想．（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证△CEP≌△CNP，故CG=PF-PN．解答：（1）证明：过E点作CN⊥CH于N（1分）∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB∴∠NEC=∠ACB∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又EC=EC，∴△EGC≌△CNE．（3分）∴EG=CN∴CH=CN+NH=EG+EF（4分）（2）解：猜想CH=EF-EG（5分）（3）解：EF+EG= 12BD（6分）（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG=PF-PN．6. （1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD= 2AC．解答：证明：（1）在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°．又∵∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°．∴AB=AD= 12AC，即AB+AD=AC．（2）AB+AD=AC．证明如下：如图①，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D．又∵∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB．∴ED=BF．∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．由（1）知AE+AF=AC．∴AB+AD=AC．（3）AB+AD= 2AC．证明如下：如图②，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDC=180°，∴∠ABC=∠FDC．又∵∠CEB=∠CFD=90°．∴△CEB≌△CFD．∴CB=CD．延长AB至G，使BG=AD，连接CG．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，∴∠CBG=∠ADC．∴△GBC≌△ADC．∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．∴∠ACG=90°．∴AG= 2AC．∴AB+AD= 2AC．7. 1)证明;在BC上截取BF=AD,连接DF.则三角形DCF为等边三角形,DF=DC.又BF=EG,AD=CE=BF.则FG=CG.所以,DG⊥CG.(等腰三角形底边的中线也是底边上的高)2)(1)的结论还成立.证明:在BC的延长线上截取线段CF=CD.又∠DCF=∠ACB=60°,则三角形CDF为等边三角形,得CD=FD;AD=CE,即AC+CD=CF+EF,BC+CF=CF+EF,得BC=EF;又点G为BE的中点,即:BG=EG.则BG-BC=EG-EF,得CG=FG.故DG⊥BC.(等腰三角形"三线合一")8.分析：（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案；（3）与（1）方法类同即可证出答案．解答：解：（1）∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，∴∠BAF=∠BMF，∴MB=AB∴AF=MF，同理：CN=AC，AG=NG，∴FG是△AMN的中位线∴FG= 12MN，= 12（MB+BC+CN），= 12（AB+BC+AC）．（2）图（2）中，FG= 12（AB+AC-BC）解：如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG∴FG= 12MN，= 12（BM+CN-BC），= 12（AB+AC-BC），答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG= 12（AB+AC-BC）．（3）解：FG= 12（AC+BC-AB），理由是：延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG∴FG= 12MN，= 12（CN+BC-BM），= 12（AC+BC-AB）．故答案为：FG= 12（AC+BC-AB）．9.（1）解：∵DE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH= 12AD，FH∥AD，FG= 12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为：相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH= 12AD，FH∥AD，FG= 12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．。