列方程解应用题(追及问题)

学习目标一、考点突破追及问题是两物体同向行驶，快的（后出发的）追上慢的（先出发的）。

通过本讲的学习，弄清这类问题的数量关系，能够正确找到相等关系并列方程求解，学会熟练地画线段图解决行程问题。

二、重难点提示重点：弄清追及问题的各种类型及其数量关系。

难点：环形跑道和时钟的问题。

考点精讲1. 追及问题的特点：两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。

这类常常会在考试考到，一般分为两种：一种是双人追及、双人相遇，此类问题比较简单；另一种是多人追及、多人相遇，此类则较困难。

2. 追及问题的数量关系：速度差×追及时间＝路程差，路程差÷速度差＝追及时间（同向追及）等。

这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间＝乙的时间，甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程；同地不同时：甲的时间＝乙的时间－时间差，甲的路程＝乙的路程。

3. 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和＝一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差＝一圈的路程。

示例甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲每分钟跑240米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，几分钟后两人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？思路分析：等量关系：两人同时同地同向出发，甲的路程－乙的路程＝400米两人背向跑：甲的路程＋乙的路程＝400米典例精讲例题1甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米，他俩从同一地点起跑，乙先跑5米后，甲出发追赶乙。

设甲出发x秒后追上乙，则下列四个方程中正确的是（）A. 7x＝6.5x＋5B. 7x＝6.5x－5C. 7x＋5＝6.5xD.（7＋6.5）x＝5思路分析：首先理解题意找出题中存在的等量关系：乙跑的路程＝甲跑的路程，根据此等式列方程即可。

答案：设甲出发x秒钟后追上乙，则甲所跑的路程为7x，而此时乙所跑的路程为6.5x ＋5；根据此时“甲追上乙”那么他们的总路程应该相同，即7x＝6.5x＋5，故选A。

五年级追及问题应用题及答案方程题【追及问题含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速——慢速）追及路程＝（快速——慢速）×追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）（2）好马几天追上劣马？900÷（120——75）＝20（天）列成综合算式75×12÷（120——75）＝900÷45＝20（天）答：好马20天能追上劣马。

例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500——200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500——200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22——16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22——6）］千米，甲乙两地相距60千米。

甲、乙两车站相距400千米慢车每小时行驶100千米，快车每小时行驶140千米先让慢车行驶100千米，然后快车再出发问多长时间快车能追上慢车？？？如果不是快车慢车的那再给你找一些追及应用题吧1、甲车在乙车前500千米，同时出发，速度分别为每小时40千米和每小时60千米，多少小时候，乙车追上甲车？2、甲乙两人相距6千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，3小时甲追上乙。

乙每小时行4千米，甲每小时行多少千米？3、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，10分钟后两人相距多远？4、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，这时，乙离终点还有多远5、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，甲到达终点后原路返回起跑点，起跑后多少分两人相遇？6、一辆货车以每小时60千米的速度前进，一辆客车在它后面30千米，以每小时75千米的速度前进，问客车多长时间能追上货车？7、甲车1小时行驶60千米，1小时后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时80千米，几小时后可以追上甲车？8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度为每分钟行200米，5分钟后哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟，而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后就又返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米？9、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶40千米，客车到达乙站后又以原速度返回甲站，两车在开出几小时后相遇？10、甲乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发，背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而行，那么经过20分钟甲追上乙，求甲乙各自的速度是多少？11.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。

五年级下册数学教案-3.1 列方程解应用题（三）-追及问题▏沪教版教学内容本节课将引导学生运用已学的方程知识，解决实际生活中的追及问题。

学生将通过分析问题，建立数学模型，运用方程求解，从而加深对数学方程的理解和应用。

教学目标1. 学生能够理解追及问题的含义，并将其转化为数学方程。

2. 学生能够运用方程求解追及问题，并验证答案的正确性。

3. 学生能够通过解决追及问题，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

教学难点1. 如何引导学生将实际问题转化为数学方程。

2. 如何帮助学生理解方程的求解过程。

3. 如何引导学生验证答案的正确性。

教具学具准备1. 教师准备PPT，展示追及问题的实际场景。

2. 学生准备草稿纸和笔，用于解题和计算。

教学过程1. 引入：教师通过PPT展示追及问题的实际场景，引导学生理解追及问题的含义。

2. 分析：教师引导学生分析追及问题，建立数学模型，并转化为数学方程。

3. 求解：教师引导学生运用方程求解追及问题，并验证答案的正确性。

4. 练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 总结：教师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

板书设计1. 板书列方程解应用题（三）-追及问题2. 板书内容：包括追及问题的含义、数学模型的建立、方程的求解过程和答案的验证。

作业设计1. 完成练习题，巩固所学知识。

2. 思考题：如何运用方程解决其他的追及问题。

课后反思本节课通过解决追及问题，让学生进一步理解数学方程的应用，提高了解决实际问题的能力。

在教学过程中，教师应注重引导学生分析问题，建立数学模型，并运用方程求解，同时也要注重引导学生验证答案的正确性。

通过本节课的学习，学生对数学方程的理解和应用有了更深入的认识，为今后的学习奠定了基础。

重点关注的细节是“教学难点”及其相关内容。

教学难点是教学中学生难以理解和掌握的地方，对于追及问题，难点在于如何引导学生将实际问题转化为数学方程，如何帮助学生理解方程的求解过程，以及如何引导学生验证答案的正确性。

七年级上册数学列方程解应用题题目 1：和差倍分问题。

某工厂三个车间共有 180 人，第二车间人数是第一车间人数的 3 倍多 1 人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少 1 人，三个车间各有多少人？解析：设第一车间有x人，则第二车间有(3x + 1)人，第三车间有((1)/(2)x - 1)人。

根据题意，可列方程：x + (3x + 1) + ((1)/(2)x - 1) = 180x + 3x + 1 + (1)/(2)x - 1 = 180(9)/(2)x = 180x = 40第二车间人数：3x + 1 = 3×40 + 1 = 121（人）第三车间人数：(1)/(2)x - 1 = (1)/(2)×40 - 1 = 19（人）答案：第一车间 40 人，第二车间 121 人，第三车间 19 人。

题目 2：行程问题。

甲、乙两地相距 162 千米，甲地有一辆货车，速度为每小时 48 千米，乙地有一辆客车，速度为每小时 60 千米，求两车同时相向而行，多长时间相遇？解析：设两车相遇的时间为x小时。

根据路程 = 速度×时间，可得货车行驶的路程为48x千米，客车行驶的路程为60x千米。

两车相向而行，它们行驶的路程之和等于两地的距离，可列方程：48x + 60x = 162108x = 162x = 1.5答案：1.5 小时相遇。

题目 3：工程问题。

一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，两人合作多少天可以完成这项工程？解析：设两人合作x天可以完成这项工程。

把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为(1)/(20)，乙每天的工作效率为(1)/(30)。

根据工作总量 = 工作时间×工作效率，可列方程：((1)/(20) + (1)/(30))x = 1(1)/(12)x = 1x = 12答案：12 天可以完成。

题目 4：销售问题。

某商品的进价是 1500 元，标价为 2500 元，商店要求以利润率不低于 5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？解析：设售货员最低可以打x折出售此商品。

七上数学列方程解应用题公式
七年级上册数学列方程解应用题公式主要包括以下几种：
1. 追及问题：甲、乙两物体在同一直线上运动，如果甲、乙做匀速直线运动，那么追及问题的等量关系为：甲的路程+乙的路程=甲与乙的初始距离。

2. 相遇问题：甲、乙两物体在某地相向而行，经过一段时间它们相遇了。

相遇问题的等量关系是：甲的路程+乙的路程=两地的距离。

3. 航行问题：航行问题可以分为顺水航行和逆水航行两种情况。

在顺水航行中，船的速度等于船在静水中的速度加上水流的速度；在逆水航行中，船的速度等于船在静水中的速度减去水流的速度。

4. 劳力调配问题：这类问题一般涉及三个等量关系，设工作总量为“1”，
若完成某项工作的人数增加，则工作时间减少；若完成某项工作的人数减少，则工作时间增加。

5. 比例问题：若甲、乙两数的比是 k，那么我们可以得到以下等量关系：甲/乙=k，或者甲=k×乙。

6. 工程问题：在工程问题中，工作量、工作时间和工作效率之间的关系非常重要。

一般来说，工作量=工作时间×工作效率。

这些是七年级上册数学列方程解应用题的主要公式和等量关系。

需要注意的是，这些公式和等量关系都是根据实际问题的情况而定的，具体问题需要具体分析。

在解题过程中，还需要注意单位的统一和换算。

七年级一元一次方程应用题一、行程问题1. 例题：甲、乙两人从相距240千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。

已知甲每小时行45千米，求乙每小时行多少千米？解析：设乙每小时行公式千米。

根据路程 = 速度×时间，甲行驶的路程为公式千米，乙行驶的路程为公式千米。

由于两人是相向而行，总路程为240千米，所以可列方程公式。

解方程：首先对公式进行移项，得到公式。

即公式，解得公式。

答案：乙每小时行35千米。

2. 追及问题例题：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲每小时走7千米，乙每小时走5千米，乙先走2小时后，甲才开始走，问甲几小时能追上乙？解析：设甲公式小时能追上乙。

乙先走2小时，则乙先走的路程为公式千米。

公式小时后，甲走的路程为公式千米，乙走的路程为公式千米。

当甲追上乙时，他们所走的路程相等，可列方程公式。

解方程：移项得公式。

即公式，解得公式。

答案：甲5小时能追上乙。

二、工程问题1. 例题：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作需要多少天完成？解析：设两人合作需要公式天完成。

把这项工程的工作量看作单位“1”。

甲单独做需要10天完成，则甲每天的工作效率为公式；乙单独做需要15天完成，则乙每天的工作效率为公式。

根据工作量 = 工作效率×工作时间，两人合作的工作效率为公式，可列方程公式。

解方程：先对括号内进行通分，公式。

则方程变为公式，解得公式。

答案：两人合作需要6天完成。

2. 例题：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

现在两队合作，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完工共用了16天。

问乙队休息了几天？解析：设乙队休息了公式天。

甲队单独做20天完成，甲队每天的工作效率为公式；乙队单独做30天完成，乙队每天的工作效率为公式。

甲队工作了公式天，甲队完成的工作量为公式。

乙队工作了公式天，乙队完成的工作量为公式。

两队完成的工作量之和为单位“1”，可列方程公式。

六年级追及问题方程讲解
追及问题是行程问题中的一类，主要研究两个物体在同一直线或封闭图形上运动，其中一个追赶另一个。

我们可以通过一个简单的例子来理解这个问题：小明和小强在操场上跑步，小明比小强跑得快。

如果小明开始在小强的后面，那么小明会追上小强。

假设小明的速度为 v1 米/秒，小强的速度为 v2 米/秒，他们之间的初始距离为 d 米。

根据题目，我们可以建立以下方程：
1. 小明追上小强所需的时间 t = d / (v1 - v2)（因为小明需要比小强多跑d 米，并且每秒多跑v1-v2米）。

2. 在这段时间 t 内，小明跑了v1 × t 米，小强跑了v2 × t 米。

3. 小明追上小强时，两者跑的距离相等，即v1 × t = v2 × t + d。

现在我们要来解这个方程，找出 d 的值。

计算结果为： [{d: t(v1 - v2)}]
所以，小明和小强之间的初始距离为：t(v1 - v2)米。

五年级追及问题练习题(共13页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-五年级追及问题练习题列方程解答1、甲乙两人从A地到B地，乙每分走65米，先走了300米后甲才出发，甲每分走80米。

甲追上乙需要多少时间2、甲乙两人从A地到B地，乙每分走65米，先走了300米后甲才出发，20分钟后甲追上乙。

求甲的速度。

3、甲乙两人从A地到B地，甲以每分80米的速度去追先出发的乙，已知乙每分走65米。

甲用20分钟追上乙。

乙比甲先出发多少米4、师徒两人加工同一种零件，师傅每小时加工120个，徒弟每小时加工90个，徒弟先加工2小时后，师傅才开始工作，师傅工作几小时后两人做的零件数相等5、两辆汽车都从甲地开往乙地，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米。

甲车出发行了50千米后，乙车才出发。

乙车行多少小时后追上甲车6、AB两地相距600米，甲乙两人同时分别从A、B两地向同一个方向行走，甲前乙后。

甲每分行40米，6分钟后乙追上甲，求乙的速度。

五年级奥数练习题：追及问题例1：两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发几小时追上第一辆汽车1、甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲2、骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米例2：双胞胎姐妹在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远1、哥哥和弟弟在同一所学校读书，哥哥每分钟走60米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时，哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远2、小明以每分钟80米的速度步行上学，他走后20分钟爸爸发现忘带作业本，立即骑摩托车去送，爸爸骑摩托车每分钟行驶480米，追上小明时距离学校还有200米的路程，求学校离小明家的路程。

一元一次方程应用题追及问题一元一次方程应用题8种类型是相遇问题，追及问题，数字问题，溶度问题，体积变形问题，倍数问题，工程问题，实际生活问题。

1、追击问题：行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间、时间＝路程÷速度、速度＝路程÷时间。

2、相遇问题：快行距＋慢行距＝原距、快行距－慢行距＝原距。

3、航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度、逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度。

4、水流问题：水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2。

5、工程问题：三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间，经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1，即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1。

6、环形跑道与时钟问题：跑道÷两人速度差，甲的路程+乙的路程=环形周长，追及时间＝路程差÷速度差，速度差＝路程差÷追及时间，追及时间×速度差＝路程差，快的路程-慢的路程=曲线的周长。

7、经济问题：商品利润＝商品售价－商品成本价。

商品利润率＝商品利润商品成本价×100%。

商品销售额＝商品销售价×商品销售量。

商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量。

商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。

8、和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率，在量＝原有量＋增长量。

复合应用题解题思路：1、理解题意，就是弄清应用题中的已知条件和要求问题。

2、分析数量关系，就是分析已知数量与未知数数量，已知数量与未知数数量间的关系，找到解题途径，确定先算什么，再算什么，最好算什么。

3、列式解答，就是根据分析，列出算式并计算出来。

4、验算并给出答案，就是检验解答过程中是否合理，结果是否正确，与原题的条件是否相符，最后写出答案。

七年级数学列方程解应用题基本量之间的关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距速度和×相遇时间=相遇路程注意始发时间和地点(相向）（2）追及问题快行距－慢行距＝原距速度差＊追及时间=原距 (同向）（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流(风)速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系．1。

甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出,每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里.(1)慢车先开出1小时，快车再开.两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇？（2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？(3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。

故可结合图形分析。

2。

甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时,狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中,狗跑的总路程是多少？3。

某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。

A、C两地之间的路程为10千米,求A、B两地之间的路程。

4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．5．已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？6．一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。

列方程解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段图便于理解、分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；速度＝；时间＝。

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

顺风速度＝无风速度＋风速度逆风速度＝无风速度－风速度2.工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3.浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.4.教育储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×(1－利息税率)⑤年利率＝月利率×12⑥月利率＝年利率×。

注意：免税利息=利息5.销售中的盈亏问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

6.优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。