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高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时导数的运算法则学案（含解析）新人教A 版选修11学习目标 1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 函数和、差的导数 已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 若h (x )＝f (x )＋g (x )，I (x )＝f (x )－g (x )，那么h ′(x )，I ′(x )分别与f ′(x )，g ′(x )有什么关系？答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δxx x ＋Δx，∴ΔyΔx ＝1－1xx ＋Δx.∴h ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 同理，I ′(x )＝1＋1x2.梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)[c (x )]′＝cf ′(x )．(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二 函数积、商的导数 1．函数积的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．2．函数商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．1．f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( × ) 2．f (x )＝1e x ＋1，则f ′(x )＝exe x ＋1.( × )3．函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( × )类型一 利用导数四则运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x sin x －2cos x .考点 导数的运算法则 题点 导数乘除法则的混合运用解 (1)∵y ＝322x －123x -＋x －1＋32x -，∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -.(2)方法一 y ′＝x 2＋1′x 2＋3－x 2＋1x 2＋3′x 2＋32＝2xx 2＋3－2x x 2＋1x 2＋32＝4xx 2＋32.方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝－2′x 2＋3－－2x 2＋3′x 2＋32＝4x x 2＋32.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2cos x ′cos x 2＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝cos x ln x ；(3)y ＝e xsin x.考点 导数的运算法则 题点 导数乘除法则的混合运用解 (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋1x ln3. (2)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xsin x ＝ex′·sin x －e x·sin x′sin 2x＝e x·sin x －e x·cos x sin 2x ＝e xsin x －cos xsin 2x. 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点 导数的应用 题点 导数的应用 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x －2x ，得f (e)＝lne e －2e ＝1e－2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－3B ．2eC.21－2e D.31－2e考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 D解析 ∵f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，令x ＝1，得f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， ∴f ′(1)＝31－2e. 命题角度2 与切线有关的问题 例 3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 考点 导数的应用 题点 导数的应用(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________． 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 (1)1 (2)(e ，e) 解析 (1)y ′＝sin 2x －2－cos x cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1，直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，由题意－1a＝－1，所以a ＝1.(2)设P (x 0，y 0)， 则0'|x x y =＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，则y 0＝e 则P 点坐标为(e ，e)．反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 考点 导数的应用题点 导数的应用 答案 4解析 因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2，又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．下列运算中正确的是( )A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 B2．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3C ．－e 2D ．－e 3 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 A解析 ∵f ′(x )＝e xx －2x 3＋1x ＋2kx2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2考点 导数的应用 题点 导数的应用答案 D 解析 y ′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝－2x －12，∴y ′|x ＝3＝－23－12＝－12，∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率为－12， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－a )＝－1，∴a ＝－2. 4．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 3解析 由题意得f ′(x )＝(2x ＋3)e x，则得f ′(0)＝3.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x)′＝3xlog 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 B解析 选项A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x2，故错误；选项B ，(log 2x )′＝1x ln2，故正确； 选项C ，(3x)′＝3xln3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误． 故选B.2．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 B解析 ∵y ′＝1－a 2x 2，0'|x x y =＝1－a 2x 20＝0，∴x 0＝±a .3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194B.174C.154D.134考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 D解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 D解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1， ∴a ＝2.5．若函数f (x )＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．不存在考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 C解析 ∵f ′(x )＝x e x －e xx 2，由题意知f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 即x 0e x 0－e x 0x 20＋e x 0x 0＝0，解得x 0＝12. 6．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋m ，则( ) A ．f (0)<f (5) B ．f (0)＝f (5) C ．f (0)>f (5) D ．f (0)≥f (5)考点 导数的应用题点导数的应用答案 C解析∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4. ∴f(x)＝x2－8x＋m，∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m.∴f(0)>f(5)．7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13B．－13C.73D．－13或53考点导数的应用题点导数的应用答案 B解析∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故其图象必为③.由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f x ＋2g x，则h ′(5)＝________. 考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 516 解析 ∵f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，又h ′(x )＝f ′xg x －[f x ＋2]g ′x [g x ]2， ∴h ′(5)＝f ′5g 5－[f 5＋2]g ′5[g 5]2 ＝3×4－5＋2×142＝516. 9．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 考点 导数的应用题点 导数的应用答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 10．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．考点 导数的应用题点 导数的应用答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.11．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.考点 导数的运算法则题点 导数乘法法则及运算答案 120解析 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x [(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120.三、解答题12．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．考点 导数的应用题点 导数的应用解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立， ∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)． ∴a 的取值范围是[22，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.四、探究与拓展14．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．考点 导数的应用题点 导数的应用答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 y ′＝－4e x e x ＋12＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1， 设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2， ∵t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，等号成立)， ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 15．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3， 故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的极值函数f (x )的极小值是( )图338A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值143↘极小值－6↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ， f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值－3↗极大值－1↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.[规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － － 0 ＋ f (x )↗极大值－8↘↘极小值8↗因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值－8； 当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值3↗因此，当x ＝1时，f (x )有极小值3，无极大值.已知函数的极值求参数范围(值)【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.[规律方法] 已知函数的极值情况求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．[跟踪训练]2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3－2a －b ＝0，f 1＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．函数极值的综合应用1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f (x )的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根． [解] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3,令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2；极大值为f (1)＝a ＋2. 由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根，所以a ＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．母题探究：1.本例中条件不变，试求当a 为何值时，方程f (x )＝0有三个不等实根． [解] 由例题解析知，当⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0a ＋2>0即－2<a <2时，方程f (x )＝0有三个不等实根．2．若本例条件改为：已知函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . 试求：(1)函数f (x )的单调区间和极值．(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <2时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．[规律方法]利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图339所示，则函数f(x)( )图339A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗上只有极小值f (1)＝12，无极大值．。
3.3.2 函数的极值与导数[课时作业] [A 组 基础巩固]1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( ) A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2.答案：B2．函数f (x )＝sin x ＋x2，x ∈(0，π)的极大值是( )A.32＋π6 B ．－32＋π3C.32＋π3D ．1＋π4解析：f ′(x )＝cos x ＋12，x ∈(0，π)，由f ′(x )＝0得cos x ＝－12，x ＝2π3.且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3时f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π时f ′(x )<0，∴x ＝2π3时，f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝32＋π3.答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.故选C. 答案：C4.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：依题意，记函数y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标自左向右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，当a <x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 4时，f ′(x )≥0；当x 4<x <b 时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )分别在x ＝x 1，x ＝x 4处取得极大值，选B.答案：B5．已知f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)，则f (x )的极值情况是 ( ) A ．极大值为f (13)，极小值为f (1)B ．极大值为f (1)，极小值为f (13)C ．极大值为f (13)，没有极小值D ．极小值为f (1)，没有极大值解析：把(1,0)代入f (x )＝x 3－px 2－qx 得1－p －q ＝0.① ∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题意知f ′(1)＝3－2p －q ＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝－1∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0得x 1＝1或x 2＝13.由f ′(x )的图象知当x ∈(－∞，13)和x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0当x ∈(13，1)时，f ′(x )＜0，故极大值为f (13)，极小值为f (1)．答案：A6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：依题意f ′(x )＝3ax 2＋2bx . 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c . 答案：c7．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值．由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴0<b <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．(2015·高考陕西卷)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入y ＝x e x得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线垂直y 轴，即其斜率为0，故所求切线方程为y ＝－1e .答案：y ＝－1e9．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．解析：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时，g ′(x )>0，故－2是g (x )的极值点． 当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0，故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解析：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．[B 组 能力提升]1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案：D2．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x解析：三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2b ＋c ＝0，f＝27＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)·(x －3)．当x ＝1时，函数f (x )取得极大值4，当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 答案：B3．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋2＝x 2＋2x －ax ＋2.因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3. 答案：34．设f (x )＝3ex 3＋4x 2，则f (x )的极大值点和极小值点分别是________．解析：对f (x )求导得f ′(x )＝3exx 2－8x ＋＋4x22. ①若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知·所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．答案：12，325．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，解得a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. ∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象可知m 的取值范围是(－3,1)． 6．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值．(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)． 令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1， 所以f (x )的极小值为1，无极大值． (2)k (x )＝f (x )－h (x ) ＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，令k ′(x )＜0，得0＜x ＜2，所以k (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，·则需⎩⎪⎨⎪⎧k ，k＜0，k，所以2－2ln 2＜a ≤3－2ln3。
