高中数学第3章空间向量与立体几何323空间的角的计算学业分层测评苏教版1

3.2.3 空间的角的计算学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的范围．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 空间角的向量求法阅读教材P 106～P 108的部分，完成下列问题． 1．两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，l 1，l 2所成的角为θ，则cos θ＝|cos<a ，b >|.2．直线和平面所成角的向量求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，a 与n 的夹角为θ1，l 与α所成的角为θ2，则sin θ2＝|cos θ1|＝|a·n ||a ||n |.(1) (2)图3­2­193．二面角的向量求法设二面角α­l ­β的大小为θ，α，β的法向量分别为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos<n 1，n 2>|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，θ取锐角还是钝角由图形确定．图3­2­201．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量n 1，n 2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.( )(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角为________．[解析] 由题意得，直线l 与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.[答案] 30°3．异面直线l 与m 的方向向量分别为a ＝(－3,2,1)，b ＝(1,2,0)，则直线l 与m 所成的角的余弦值为________________．[解析] ∵a·b ＝－3＋4＝1，|a |＝9＋4＋1＝14，|b |＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝114·5＝7070.[答案]70704．已知二面角α­l ­β，α的法向量为n ＝(1,2，－1)，β的法向量为m ＝(1，－3,1)，若二面角α­l ­β为锐角，则其余弦值为________．[解析] cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m |＝1－6－16·11＝－6611.又因二面角为锐角，所以余弦值为6611. [答案]6611[合 作 探 究·攻 重 难]111，AA 1＝4，若M ，N 分别是BB 1，CC 1的中点，则异面直线AM 与A 1N 所成角的大小为________.【导学号：71392202】图3­2­21(2)在三棱锥D ­ABC 中，DA ⊥平面ABC ，DA ＝4，AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，E 为BC 中点，F为CD 中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为________．[精彩点拨] (1)思路一：以C 1A 1→，C 1B 1→，C 1C →为基向量，表示AM →，A 1N →，求cos 〈AM →，A 1N →〉的余弦值；思路二：以C 1A 1→，C 1B 1→，C 1C →分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求cos 〈AM →，A 1N →〉．(2)题思路如(1)题．[自主解答] (1)法一：A 1N →＝12C 1C →－C 1A 1→，AM →＝AB →＋BM →＝C 1B 1→－C 1A 1→－12C 1C →，∴A 1N →·AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12C 1C →－C 1A 1→·⎝⎛⎭⎪⎫C 1B 1→－C 1A 1→－12C 1C →＝－14×16＋4＝0，∴A 1N →⊥AM →，即异面直线AM 与A 1N 所成的角为90°.法二：如图所示，建立空间直角坐标系：则A 1(2,0,0)，N (0,0,2)，A (2,0,4)，M (0,2,2)， ∴A 1N →＝(－2,0,2)，AM →＝(－2,2，－2)， ∴A 1N →·AM →＝4＋0－4＝0，即A 1N →⊥AM →，故异面直线A 1N 与AM 所成的角为90°.(2)法一：如图所示，AE →＝12(AB →＋AC →)，BF →＝AF →－AB →＝12AD →＋12AC →－AB →.AE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋12AC →－AB →＝－12×4＋14×4＝－1，又易知|AE →|＝2，|BF →|2＝14×16＋14×4＋4＝9，∴|BF →|＝3.∴cos〈AE →，BF →〉＝AE →·BF →|AE →||BF →|＝－26，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为26. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，E (1，1,0)，B (2,0,0)，F (0,1,2)，∴AE →＝(1,1,0)，BF →＝(－2,1,2)， ∴AE →·BF →＝－2＋1＝－1. ∵|AE →|＝2，|BF →|＝3，∴cos〈AE →，BF →〉＝AE →·BF →|AE →||BF →|＝－132＝－26.所以异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为26. [答案] (1)90° (2)261．如图3­2­22所示，三棱柱OAB ­O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．图3­2­22[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0，2,0)， ∴A 1B →＝OB →－OA 1→ ＝(－3，1，－3)，O 1A →＝OA →－OO 1→＝(3，－1，－3)．∴cos〈A 1B →，O 1A →〉＝A 1B →·O 1A→|A 1B →|·|O 1A →|＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－17.异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.1111⊥BD ，BC＝1，AD ＝AA 1＝3.图3­2­23(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.【导学号：71392203】[精彩点拨] 以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(1)求出AC →和B 1D →，证明AC →·B 1D →＝0；(2)求出直线B 1C 1的方向向量与平面ACD 1的法向量．[自主解答] (1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)． 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0， 所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.2．如图3­2­24所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．图3­2­24[解] 由题设条件知，AS ，AB ，AD 两两垂直，设AB ＝1， 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系．(如图所示)则A (0,0,0)，S (0,0,1)，C (－1,1,0)， ∴AS →＝(0,0,1)，CS →＝(1，－1,1)．显然AS →是底面ABCD 的一个法向量，设AS →与CS →的夹角为α， 则cos α＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝0×1＋0×(－1)＋1×102＋02＋12×12＋(－1)2＋12＝13＝33. ∵SC 与底面ABCD 的夹角为θ， ∴sin θ＝|cos α|＝33. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－13＝63. 即直线SC 与底面ABCD 夹角的余弦值为63.1111＝4，点D是BC 的中点．图3­2­25(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.【导学号：71392204】[精彩点拨] (1)先建系求出A 1B 和C 1D 的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC 1与平面ABA 1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值． [自主解答] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4) ，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D→|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.3．如图3­2­26，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝3，线段AC ，A 1B 上分别有一点E ，F ，且满足2AE ＝EC,2BF ＝FA 1.图3­2­26(1)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1； (2)求二面角F ­BE ­C 的平面角的余弦值．[解] (1)证明：∵BC ⊥AB ，BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面A 1ABB 1.又∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.(2)由(1)知，以点B 为坐标原点，以BC ，BA ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∴B (0,0,0),A (0,3,0),C (3,0,0),A 1(0,3,3)． 又∵线段AC ，A 1B 上分别有一点E ，F ， 满足2AE ＝EC,2BF ＝FA 1，∴E (1,2,0), F (0,1,1), ∴BE →＝(1,2,0)，BF →＝(0,1,1)． 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝－1，则x ＝2，z ＝1，故n ＝(2，－1,1)．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC . ∵E 在AC 上， ∴平面BEC 即平面ABC . ∴BB 1⊥平面BEC .易知平面BEC 的一个法向量m ＝(0,0,1)， ∴cos〈n ，m 〉＝2×0＋(－1)×0＋1×122＋(－1)2＋12×02＋02＋12＝16＝66. 所求二面角的平面角与向量n ，m 的夹角相等或互补，根据图形可知二面角F ­BE ­C 的平面角与两向量n ，m 的夹角互补，设二面角F ­BE ­C 的平面角为θ，则cos θ＝－66.[1．利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？[提示] (1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，向量夹角的范围为[0，π]．(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角．2．利用向量法求直线与平面所成的角时，需要注意什么？【导学号：71392205】[提示] (1)直线与平面所成角θ的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角．(2)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有：①当φ为锐角时，θ＝π2－φ，sin θ＝cos φ，cos θ＝sin φ；②当φ为钝角时，θ＝φ－π2，sin θ＝－cos φ，cos θ＝sin φ. 综上所述，sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ. 3．两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？[提示] (1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个，范围是0≤θ≤π2，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，范围是0≤θ≤π.(2)用向量法求二面角的大小时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的，在求出〈n 1，n 2〉后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与〈n 1，n 2〉相等的还是互补的．一般地，当n 1，n 2的方向一进一出时，θ＝〈n 1，n 2〉；当n 1，n 2同进同出时，θ＝π－〈n 1，n 2〉．如图3­2­27所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，二面角A ­BD 1­C 的大小为________．图3­2­27[解析] 连接DA 1，DC 1，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量，所以cos 〈DA 1→，DC 1→〉＝DA 1→·DC 1→|DA 1→||DC 1→|＝12，所以〈DA 1→，DC 1→〉＝60°，又二面角A ­BD 1­C 为钝角，所以二面角A ­BD 1­C 的大小为120°. [答案] 120°[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为_______________．[解析] 设l 与α所成的角为θ，∵cos〈m ，n 〉＝－12，∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. [答案] 30°2. 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为________.【导学号：71392206】[解析] ∵n·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32，|a |＝4＋9＋9＝22， ∴cos〈n ，a 〉＝n·a |n|·|a|＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133.[答案]411333．在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．[解析] 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)， ∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)， ∴cos〈FD 1→，OE →〉＝1＋25·3＝155.[答案]1554．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．[解析] AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0，令x ＝2则y ＝1，z ＝23，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，23.平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)，cos 〈n ，OC →〉＝n ·OC→|n |·|OC →|＝2×0＋1×0＋23×322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×02＋02＋32＝27. [答案] 275．如图3­2­28，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．图3­2­28[解] 以点B 为原点，BA ，BC ，BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)， ∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)，BA →＝(2,0,0)．设平面BDF 的一个法向量为n ＝(2，a ，b )．∵n ⊥DF →，n ⊥BD →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－2， ∴n ＝(2,1，－2)．又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝BA →·n |BA →|·|n |＝42×3＝23，即AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.。

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3.2.3 空间的角的计算［基础达标］1.如图，四棱锥S–ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案:④错误!已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1），直线l2的一个方向向量为b＝(2,－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．解析：cos<a，b>＝错误!＝错误!＝错误!，所以两直线所成角的余弦值为错误!.答案：错误!3.若直线l的方向向量为a＝（－2，3,1）,平面α的一个法向量为n＝(4,0，1），则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________．解析：sin θ＝错误!＝错误!＝错误!.答案：238 34错误!若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m＝（0,0,3）,n＝（8，9,2），则这个锐二面角的余弦值为__________．解析：cos θ＝错误!＝错误!＝错误!。

【讲堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第3章空间向量与立体几何空间的角的计算学业分层测评苏教版选修2-1( 建议用时： 45 分钟 )学业达标 ]一、填空题1．已知(0,1,1) ，(2 ，－ 1,0)， (3,5,7)， (1,2,4)，则直线AB 与直线所成角A B C D CD 的余弦值为 ________．→→→→→→AB· CD【分析】∵ AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)，∴ cos〈AB，CD〉＝→→| |||AB CD5 5 22＝＝，3× 22665 22∴直线 AB， CD所成角的余弦值为66.【答案】522662．在棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与 CN所成角的余弦值是________. 【导学号： 09390088】【分析】依题意，成立如下图的空间直角坐标系，则1，A(1,0,0)， M 1，，12C(0,1,0)，N 1，1，12.→1→1∴＝0，，1，＝1，0，，AM2CN21∴ cos〈→→22，〉＝＝，AM CN555·222故异面直线AM与CN所成角的余弦值为5.【答案】2 53．已知点 E ， F 分别在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱 BB 1，CC 1 上，且 B 1 E ＝2EB ， CF ＝ 2FC 1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于 ________．【分析】如图，成立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面 ABC 的法向量为 n 1＝ (0,0,1) ，平面 AEF 的法向量为 n 2 ＝( x ，y ， z ) ．因此 (1,0,0) ，E 1， 1， 1， F 0，1， 2，A3 3→ 1 →1因此 AE ＝ 0，1，3 ，EF ＝ －1，0，3 ，1n 2→y ＋ 3z ＝ 0，· AE ＝ 0，则2·→＝ ， 即n－ x ＋1z ＝ 0，EF 03取 x ＝1，则 y ＝－ 1， z ＝3，故 n ＝ (1 ，－ 1,3) ，2n ·n3 111 2因此 cos 〈 n 1， n 2〉＝ |n 1||n 2| ＝ 11 ，因此平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角3 11 22α 知足 cos α＝ 11 ，sin α＝ 11 ，因此 tan 2α＝ .32【答案】34．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 中， AA 1＝ 2AB ，则 CD 与平面 B DC 1所成角的正弦值等于________．【分析】以 为坐标原点， 成立空间直角坐标系， 如图，设1DAA＝ 2AB ＝ 2，则 D (0,0,0)， C (0,1,0)→， B (1,1,0) ， C (0,1,2) ，则 DC ＝1→→n ＝(0,1,0) ，DB ＝ (1,1,0)， DC ＝ (0,1,2) ．设平面 BDC 的法向量为1 1→ →x ＋ y ＝ 0， ( x ， y ， z ) ，则 n ⊥DB ， n ⊥ DC 1，因此有y ＋ 2z ＝ 0，令 y ＝－ 2，得平面 BDC 1的一个法向量为 n ＝(2 ，－ 2,1) ．设 CD 与平面 BDC 1所成的角为θ，→2→ n ·DC则 sin θ＝ |cos 〈 n ， DC 〉| ＝ →＝ 3.【答案】| n || DC |235．已知 E ，F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱 BC ，CC 1 的中点， 则截面 AEFD 1与底面 ABCD 所成二面角的余弦值是________．【分析】以D 为坐标原点，以 ， ，1分别为x 轴， y 轴，zDA DC DD1，1，01轴成立空间直角坐标系， 如图，则 A (1,0,0) ，E 2 ，F 0， 1，，2 D (0,0,1) ．1因此 →→11＝(－1,0,1)，＝－ ，1，0.ADAE2→－ x ＋ z ＝ 0，设平面1的法向量为 n ＝( x ， ， )，则 n ·AD 1＝ 0，?xAEFDyz→－ ＋ y ＝ 0，n ·AE ＝ 02取 y ＝1，则 n ＝ (2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u ＝ (0,0,1)，2∴ cos 〈 n ， u 〉＝ 3.【答案】23→ →6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中， M ， N 分别是棱长AA 1和 BB 1的中点，则sin〈CM ，D 1N 〉＝________.→【分析】 成立如图直角坐标系， 设正方体的棱长为2. 可知 CM→→ → 1＝ (2 ，－ 2,1) ， D 1N ＝ (2,2 ，－ 1) ， cos 〈CM ， D 1N 〉＝－ 9，∴ sin 〈→→4 5，〉＝.1 9【答案】4597. 如图 3-2-28 ，在四周体 A - BCD 中， AB ＝ 1，AD ＝23，BC ＝ 3，CD ＝ 2，∠ ABC ＝∠ DCBπ＝ 2 ，则二面角 A - BC - D 的大小为 ________．图 3-2-28【分析】二面角 -- 的大小等于AB 与 所成角的大小 .→＝→＋→ ＋→，而 → 2A BCDCDAD AB BC CDAD＝ →22→ 2－2| → → → →→ →＋ →＋AB | ·|CD |·cos 〈 AB ， CD 〉，即 12＝ 1＋4＋ 9－2×2cos 〈 AB ， CD 〉， AB CD BC→→1ππ∴ cos 〈 AB ， CD 〉＝ 2，∴ AB 与 CD 所成角为3 ，即二面角 A - BC - D 的大小为 3 .【答案】π38．在空间四边形中， ＝ ，∠＝∠π ，则 cos 〈 → →＝ ， 〉的值为 ________．OABC OB OC AOBAOC 3OA BC【分析】→ → → → →→ → → →∵ OA · BC ＝ OA ·(OC － OB ) ＝OA · O C － OA ·OB→→π → → π 1 → →＝ | OA |·|OC |cos3 － | OA | ·|OB | ·cos 3 ＝ 2| OA |(| OC |－→＝ 0.||)OB，→→→∴ cos 〈 → 〉＝ | OA · BC | ＝ 0.OA BC→→| OA || BC |【答案】 0二、解答题9．如图 3-2-29 ，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中点，3△DAB ≌△ DCB ， EA ＝EB ＝ AB ＝1， PA ＝2，连接 CE 并延伸交 AD 于 F .图 3-2-29(1) 求证： AD ⊥平面 CFG ；(2) 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值．【解】(1) 证明：在△ ABD 中，因为 E 是 BD 中点，因此 EA ＝ EB ＝ ED ＝ AB ＝ 1，ππ故∠ BAD ＝ 2 ，∠ ABE ＝∠ AEB ＝ 3 ，因为△ DAB ≌△ DCB ，因此△ EAB ≌△ ECB ，π进而有∠ FED ＝∠ BEC ＝∠ AEB ＝ 3 ，因此∠ FED ＝∠ FEA ，故 EF ⊥ AD ， AF ＝ FD .因为 PG ＝ GD ，因此 FG ∥ PA .又 PA ⊥平面 ABCD ，因此 GF ⊥ AD ，故 AD ⊥平面 CFG .(2) 以点 A 为坐标原点成立如下图的空间直角坐标系，则A (0,0,0) ，B (1,0,0) ，C 3，3，D (0 ，3，0) ，P 0，0，3 ，故， 0 222→ 3 → 3 3 3 →3 3BC ＝1， ，0，CP ＝ － ，－ 2 ，，CD ＝－， ，0.2 22 2 22设平面 BCP 的一个法向量 n 1＝ (1 ， y 1，z 1) ，→13n · BC ＝2＋2y ＝ 0，11则→＝－ 3 3 1＋31· － 1＝0，n CP22y2z3y 1＝－ 3 ，解得2z 1＝ 3，3 2即 n 1＝ 1，－ 3 ，3 .设平面 DCP 的一个法向量 n ＝ (1 ， y ，z ) ，2 2 2→ 3 3n 2· CD ＝－ 2＋2 y 2＝ 0，则333→n 2· CP ＝－ 2－ 2 y 2＋ 2z 2＝ 0，y 2＝ 3， 解得z 2＝ 2，即 n 2＝ ( 1， 3， 2) .进而平面 BCP与平面 DCP的夹角的余弦值为4| n1· n2|32cos θ＝|| n |＝＝ .| n16412· 8910．如图 3-2-30 ，在几何体ABCDE中， DA⊥平面 EAB， CB∥ DA， EA⊥AB， M是 EC的中点， EA＝ DA＝ AB＝2CB.图 3-2-30(1)求证： DM⊥ EB；(2)求异面直线 AB与 CE所成角的余弦值；(3)求二面角 M- BD- A 的余弦值．【解】以直线 AE， AB，AD为 x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系A- xyz ，设 CB＝ a，则 A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，a因此 M a， a，2，→3a→(1)证明： DM＝ a， a，－2， EB＝(－2a, 2a, 0)，→→∴DM·EB＝ a·(－2a)＋ a·2a＋0＝0，→ →∴DM⊥EB，即 DM⊥EB.→→(2)AB＝(0,2 a, 0)， CE＝(2 a，－2a，－ a)，设异面直线 AB与 CE所成的角为θ，|→ ·→ |4a22AB CE则 cos θ＝→→ ＝2a·3a＝3，|AB|·|CE|即异面直线与所成角的余弦值为2.AB CE3(3)∵ DA⊥平面 EAB， AD?平面 DAB，∴平面 DAB⊥平面 EAB.∵EA?平面 EAB，平面 EAB∩平面 DAB＝ AB，EA⊥ AB.∴ EA ⊥平面 DAB .→∴ AE ＝ (2 a, 0,0) 是平面 DAB 的一个法向量．设平面 MBD 的一个法向量为 n ＝ ( x ，y ， z ) ， → ＝ a ，a ，－3a， → ＝ ，－ 2a, 2a ) ，DM2 BD (0→ · ＝0，3 z则 DM n即 x ＋ y － 2 ＝0，→ · ＝ ， －y ＋ z ＝ 0.BD n 0a令 z ＝a ，则 n ＝ 2， a ， a ，设二面角 M - BD - A 的平面角为 α，→a 2 1AE · n则 cos α＝ |→ | ·| | ＝2a · 3 a ＝3.AE n21即二面角 M - BD - A 的余弦值为 3.能力提高 ]1．如图 3-2-31 ，在三棱锥-中，极点C 在空间直角坐标系的原点处，极点 ， ，V ABCA BV 分别在x， ， z 轴上， D 是线段的中点，且＝ ＝ 2，∠＝. 当π时，则异θθ＝yABAC BCVDC3面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值是 ________．图 3-2-31【分析】 因为 AC ＝ BC ＝ 2， D 是 AB 的中点，因此 C (0,0,0) ，A (2,0,0) ， B (0,2,0) ，(1,1,0) ．D当π时，在 Rt △ 中， ＝ 2，故 (0,0， 6)．θ ＝3VCD CD V→→，－6) ， 因此 AC ＝ ( － 2,0,0) ， VD ＝ (1,1→ →→ → － 22· VD因此 cos 〈 AC ，VD 〉＝AC＝－，→ → ＝2·2 24| AC || VD |AC 与 VD 所成角的余弦值为 2因此异面直线 4.【答案】242．如图 3-2-32 ，在空间直角坐标系中有直三棱柱- 111， ＝1＝2 ，则直线ABCA BC CA CCCBBC 1与直线 AB 1 夹角的余弦值为 ________. 【导学号： 09390089】图 3-2-32【分析】不如令 CB ＝ 1，则 CA ＝ CC ＝ 2.1可得 (0,0,0) ， (0,0,1) ， 1(0,2,0) ， (2,0,0) ， 1(0,2,1) ，OB C A B→ →∴ BC 1＝ (0,2 ，－ 1) ， AB 1＝ ( － 2,2,1) ，→→→→4－ 1151111BC ·AB∴ cos 〈 BC ， AB 〉＝→ →＝ 5× 9 ＝ 5＝5>0.| BC 1 || AB 1 |→ →1与直线1的夹角，∴1与1的夹角即为直线BC ABBCAB∴直线1与直线1夹角的余弦值为5 .BCAB55 【答案】53．在三棱锥 O - ABC 中，三条棱 OA ，OB ， OC 两两垂直，且 OA ＝ OB ＝ OC ， M 是 AB 边的中点，则与平面 所成角的正切值是 ________．OMABC【分析】如下图，成立空间直角坐标系，设 OA ＝OB ＝ OC ＝ 1，则 A (1,0,0) ，B (0,1,0) ，C (0,0,1)1 1→ ，M ，，0 ，故 AB ＝ ( － 1，1,0) ，2 2→， → 1 1＝ ( － 1,0,1) ＝ ， ， 0 .AC OM 2 2设平面 ABC 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ，→n ⊥ AB ，－ x ＋ y ＝ 0，则由得→－ x ＋ z ＝0，n ⊥ AC ，令 x ＝1，得 n ＝ (1,1,1)．→ 16 ，故 cos 〈 n ， OM 〉＝＝ 323× 2因此 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值为6，其正切值为 2.3【答案】24．如图 3-2-33 ， PA ⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC ，BC ＝ 2， PA ＝AC ＝ 1，求二面角 A - PB - C 的余弦值．图 3-2-33【解】成立如下图的空间直角坐标系 C - xyz ，取 PB 的中点 D ，连接 DC ，则 DC ⊥ PB ，作 AE ⊥ PB 于 E .→ →A - PB -C 的大小．则向量 DC 与 EA 的夹角的大小为二面角 ∵ A (1,0,0) ，B (0， 2 ，0) ， C (0,0,0) ， P (1,0,1) ，又 D 为 PB的中点，21∴D 1，， .222PE2AP 1在 Rt △ PAB 中， ＝ 2＝ ，EBAB 3∴ E 3， 2，3，4 4 4→2 3∴ EA ＝ 1，－，－ ，4 4 4→12 1DC ＝ － 2，－ 2 ，－ 2 ，→→1∴ EA ·DC ＝ 2.→ 3 →又| EA | ＝ 2 ，| DC | ＝1，→→1→ →2EA · DC ＝3，∴ cos 〈 EA · DC 〉＝ ＝| →|| → | 33EA DC2 ×1高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学业分层测评苏教版3即二面角 A- PB- C的余弦值为3 .11 / 11。

3.2.3 空间的角的计算课时目标 1.掌握异面直线所成角与二面角的概念，能正确运用向量的数量积求角.2.正确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小.3.掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系．1．两条异面直线所成的角(1)定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的________________叫做a 与b 所成的角．(2)范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是________________．(3)向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|＝__________.2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的________所成的角． (2)范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是__________． (3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝________或cos θ＝________. 3．二面角(1)二面角的取值范围：________. (2)二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有两种方法： ①若AB ，CD 分别是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小θ是向量AB →与CD →的夹角(如图①所示)．即cos θ＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|.②设n 1、n 2是二面角α—l —β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．即二面角α—l —β的大小θ的余弦值为cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|或cos θ＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|.一、填空题1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角为_______________________________________________________．2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角为________． 3.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN ＝90°，则∠PMN的大小是______．4．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角A—BC—D的平面角的余弦值是________．5．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．7．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM 所成的角的大小是________．8．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为________．二、解答题9.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求异面直线AM与C1N所成的角的余弦值．10.如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．能力提升11．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小． 12.如图所示，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值．1．两异面直线所成的角θ等于两异面直线的方向向量a ，b 所成的角(或其补角)，所以求解时要加绝对值，cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. 2．求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．3．二面角的求法往往有两种思路．一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何中的一大难点．另一种是向量法，当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出．可以根据所求二面角是锐角还是钝角确定二面角大小．3．2.3 空间的角的计算知识梳理1．(1)锐角或直角 (2)0<θ≤π2 (3)|a·b||a||b |2．(1)射影 (2)0≤θ≤π2 (3)|a·u ||a||u | sin φ3．(1)[0，π]作业设计 1．30° 2．60° 3．90°解析 A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，故A 1B 1⊥MN .∵MP →·MN →＝(MB 1→＋B 1P →)·MN →＝MB 1→·MN →＋B 1P →·MN →＝0，∴MP ⊥MN ，即∠PMN ＝90°. 4.33解析建立如图所示的空间直角坐标系O —xyz ， 设正方形ABCD 的棱长为1，则O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，－22，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0.设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－22y －22z ＝0，22x ＋22y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＝0.可取n ＝(1，－1,1)．由题意知，平面BCD 的法向量为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，∴cos 〈n ，OA →〉＝n ·OA →|n ||OA →|＝2222×3＝33，即二面角A —BC —D 的平面角的余弦值为33. 5.34解析 如图建立空间直角坐标系，因为A 1D ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，设三棱柱的棱长为1，则AD ＝32，AA 1＝1，A 1D ＝12，故A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12. 又A ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0，∴AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，12＝CC 1→，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，∴cos 〈CC 1→，AB →〉＝34.∴异面直线AB 与CC 1所成角的余弦值为34.6．60°解析 ∵cos 〈n ，ν〉＝－12·2＝－12.∴〈n ，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°. 7．90°解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则 B ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12，B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，1，因此AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，1，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设异面直线AB 1与BM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AB 1→，BM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＋12|AB 1→|·|BM →|＝0， ∴θ＝90°. 8.31010 解析如图，连结A 1B ，则A 1B ∥C D 1，故异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与A 1B 所成的角． 设AB ＝a ，则A 1E ＝a ，A 1B ＝5a ，BE ＝2a . 在△A 1BE 中，由余弦定理得，cos ∠A 1BE ＝BE 2＋A 1B 2－A 1E 22BE ·A 1B＝2a 2＋5a 2－a22×2a ×5a ＝31010.9．解 方法一 ∵AM →＝AA 1→＋A 1M →，C 1N →＝C 1B 1→＋B 1N →，∴AM →·C 1N →＝(AA 1→＋A 1M →)·(C 1B 1→＋B 1N →) ＝AA 1→·B 1N →＝－12.而|AM →|＝AA 1→＋A 1M→AA 1→＋A 1M →＝|AA 1→|2＋|A 1M →|2＝1＋14＝52. 同理|C 1N →|＝52.设α为异面直线AM 与C 1N 所成的角， 则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·C 1N →|AM →||C 1N →|＝1254＝25. 方法二以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz .则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1， C 1(0,1,1)，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，于是有AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1－(1,0,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，C 1N →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12.∴AM →·C 1N →＝0×1＋12×0＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12， 又|AM →|＝02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52，|C 1N →|＝12＋02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝52，∴cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·C 1N →|AM →||C 1N →|＝1254＝25. 10．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)， A (3，0,0)，A 1(3，1，3)， B (0,2,0)，∴A 1B →＝OB →－OA 1→＝(－3，1，－3)，O 1A →＝OA →－OO 1→＝(3，－1，－3)．∴cos 〈A 1B →，O 1A →〉＝A 1B →·O 1A→|A 1B →||O 1A →|＝－3，1，－33，－1，－37·7＝－17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.11.(1)证明 设PA ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)．所以CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2)解 NC →＝(－12，1,0)，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·SN→|a |·|SN →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22， 所以SN 与平面CMN 所成的角为45°.12．解 如图所示以A 为原点，AB ，AD ，AS 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，C (1,1,0)， S (0,0,1)，A (0,0,0)．所以SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，SC →＝(1,1，－1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，设平面SDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥SD →，n ⊥SC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧SD →·n ＝0，SC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝2.此时n ＝(－1,2,1)．而AD →是平面SAB 的法向量，则|AD →·n ||AD →||n |＝63.观察图形可知平面SCD 与平面SAB 所成角的余弦值为63.。

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3.2.3空间角的计算⑴【学习目标】能用向量方法解决线线,线面,面面的夹角的计算问题．【学习重点】空间线线，线面，面面的夹角的计算用．【学习难点】将几何中相关的量转化为坐标形式．【学习过程】一．知识要点立体几何中角的计算是建立在弄清概念，恰当作图,严格论证的基础上的．空间的角有三种：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．在学习了空间向量之后，我们可以用一种统一的模式来求以上各角．1．异面直线所成的角设l1 与l2 为异面直线，错误!与错误!分别为l1 与l2的方向向量，设l1 与l2所成的角为θ，则有错误!．2．直线和平面所成的角设错误!为直线l 的方向向量，错误!为平面α的法向量，θ为l 与平面α 所成的角，则有错误!,即错误!．3．平面与平面所成的角设二面角α −l −β的两个半平面α,β的法向量分别是错误!，错误!，二面角α−l −β的大小为θ，则有错误!．由于平面的法向量的选取的不同，有θ= 〈错误!，错误!〉，或θ= π−< 错误!,错误!〉．若可以确定二面角是锐角或钝角，则此二面角的大小可以唯一确定．综上，空间角的问题最终都转化为求直线夹角的问题，这样可以避免一些复杂的作图和证明过程，但在应用时要注意对结果的处理． 二．例题讲解例1．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,O 1,O 2，O 3分别是面A 1B 1C 1D 1，面BB 1C 1C ，面ABCD 的中心．求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值．例2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 1在D 1C 1上,且D 1E 1= 错误!D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值．变题：若将题中的条件“F 是BC 的中点”改为“CF = 错误!CB ”呢?DCBD 1C 1B1A 1P O 3O 2 O 1DCBAD1 C 1B 1A 1例3．已知E ,F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点，求：⑴A 1D 与EF 所成角的大小；⑵A 1F 与平面B 1EB 所成角的大小； ⑶二面角C —D 1B 1—B 的大小．三．课堂练习1．设错误!，错误!分别是两条异面直线l 1，l 2 的方向向量，且cos 〈错误!，错误!> = −错误!,则异面直线l 1，l 2所成的角的大小为 ．2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点,则对角线DB 1与CM 所成的角的余弦值 ． 3．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线和平面内的这条直线所成的角的大小为 ． 四．课堂小结1．两条异面直线的所成的角等于两条直线的方向向量的夹角（或其补角)．要注意两条异面直线所成角的范围是锐角或直角，而两条直线的方向向量所成的角的范围DC BAD 1FE A 1C 1B 1是［0，π］，求解过程中要注意结果的处理；2．直线与平面所成的角等于直线与平面的法向量所成角的余角；3．二面角的平面角的大小为等于两平面的法向量所成的角(或其补角）．若以二面角内的一点为起点向两个平面引射线(平面的法向量)，则两法向量所成的角与二面角的平面角互补;若以二面角外的一点为起点向两个平面引射线，则两法向量所成的角与二面角的平面角相等．五．课后作业1：1．已知二面角α−l−β为60°，异面直线a，b分别垂直于平面α，β，则a,b所成的角的大小是．2．在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后,BC=错误!a，这时二面角B-AD—C的大小为．3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AA1,A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角是．4．已知锐二面角α−l−β的平面角是θ，m是平面α内异于l的一条直线，则m与β所成的角的范围是．5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与A1B1CD平面所成角的大小．求二面角B-PA—C的大小．6．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．⑴证明：AB⊥平面VAD；⑵求平面VAD与面VDB所成的二面角的大小．A B CD V。

第3章空间向量与立体几何（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分是符合题目要求的）1.若向量a =(1，-2，2)，b =(2，-1，2)，则a 与b 夹角的余弦值为 ．2.已知空间三点的坐标为A （1，5，-2），B （2，4，1），C （p ，3，q+2），若A ，B ，C 三点共线，则p= ，q= ．3．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当AB u u u r取最小值时，x 的值等于 .4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE BD.（填“∥”或“⊥”）5.已知在长方体中，AB =BC =4，=2，则直线和平面所成角的正弦值为 .6.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E 是棱AB 的中点，点F （0，y ，z ）是正方体的面AA 1D 1D 上一点，且CF ⊥B 1E ，则点F （0，y ，z ）满足方程 .7．平面α的法向量为(1，0，-1)，平面β的法向量为(0，-1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为 . 8.已知二面角A -E F -C 的半平面A E F 的法向量是n =（1，-1，2），半平面CEF 的法向量是m =（-1，-1，2），若二面角的平面角是锐角θ，则cos= . 9.在长方体ABCD-中，AD==2，AB =4，E ，F 分别是，AB 的中点，点O 是的交点，则直线OF 与平面DEF 所成角的正弦值为 .10．在空间四边形OABC 中，OB OC =，π3AOB AOC ∠=∠=，则cos ,OA BC 〈〉u u u r u u u r 的值是 .11.若向量a),4,2,4(-=b )2,3,6(-=，则(23)(2)-⋅+=a b a b __________________.12.若向量a =2-+，i j k b =49++i j k ，则这两个向量的位置关系是___________.13.已知向量a ),3,1,2(-=b ),2,4(x -=，若⊥a b ，则=x ______；若a ∥b ,则=x ______.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 . 二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（14分）如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明：AB ⊥平面VAD（2）求平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角的余弦值．-中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，16．（14分）如图，在四棱锥P ABCDAB=，13PA=，E为PD的中点.BC=，2（1）求直线AC与PB所成角的余弦值（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离.17．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.（1）求BF 的长（2）求点C 到平面1AEC F 的距离.18.（16分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA=AD=DC=1，2AB =，点M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求AC与PB所成的角的余弦值（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的平面角的余弦值.19．（16分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点.(1)求证：BE⊥平面PAD(2)求证：EF∥平面PAB；(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值.20.（16分）(2012·安徽高考)平面图形ABB2A2C3C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=。

3.2.3 空间的角的计算[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角(1)定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角． (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a·b ||a|·|b |.知识点二 直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2. (3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有 sin θ＝|cos φ|＝|a·u||a|·|u|或cos θ＝sin φ.知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：[0，π]． (2)二面角的向量求法：①若AB ，CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A ，C )，如图，则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角．②设n 1、n 2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．题型一 两条异面直线所成角的向量求法例1 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝|A 1B →·C 1D →||A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋t －2·cos 60°，所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点． 题型二 直线与平面所成角的向量求法例2 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a2，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )，B (0，a,0)， 故AC 1→＝(－32a ，a 2，2a )，AM →＝(0，a2，2a )，BC 1→＝(－32a ，－a2，2a )． 设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32ax ＋a2y ＋2az ＝0，a 2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－22)． 又BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )，∴cos〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n|BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练2 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN与平面PMN 所成角的正弦值． (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB . (2)解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ， 从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)． 于是cos 〈n ，AN →〉＝n ·AN →|n ||AN →|＝8525.设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝8525，∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525.题型三 二面角的向量求法例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值．(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向， 建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得B (1，0，0)，C (－1，0，0)，K (0，0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →＝(2，3，0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34.反思与感悟 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.跟踪训练3 在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．(1)证明 设FC 中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC ，又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意得B (0，23，0)，C (－23，0，0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0.可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33，因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为________． 答案 30°解析 由cos 〈m ，n 〉＝－12知，直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 答案 45°或135° 解析 ∵cos〈m ，n 〉＝12＝22， ∴二面角的大小为45°或135°.3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________． 答案 90°解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎪⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎪⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________． 答案63解析 设正方体的棱长为1，建系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)．平面ACD 1的一个法向量为DB 1→＝(1,1,1)． 又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－332＝63. 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________． 答案925解析 如图，建立空间直角坐标系．由已知得A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，B 1(4，4,0)，C (0,4,3)． ∴A 1B →＝(0,4,3)，B 1C →＝(－4,0,3)，∴cos〈A 1B →，B 1C →〉＝925.利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．。