不等式恒成立问题解题策略

不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围; 解析：我们可以用变换主元的方法,将m 看作主变元,即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ,；令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)(<m f 恒成立,所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x ; 2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：1R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；2R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R,求m 的范围;解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0;1当m-1=0时,元不等式化为2>0恒成立,满足题意；201≠-m 时,只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ,所以,)9,1[∈m ; 3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围;这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强;一般地有：1为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔例3已知不等式022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立,求a 的取值范围;解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立,只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立;而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-,所以3->a ; 例4．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立,求实数a 的取值范围;解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立; 令xx x x g 24)(-=,则min )(x g a < 由144)(2-=-=xx x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数,故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞;注：分离参数后,思路清晰,方向明确,从而能使问题得到顺利解决;4、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化;例5．对任意]1,1[-∈a ,不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值范围;分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式,但若把a 看成主元,则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题;解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ,则原问题转化为0)(>a f 恒成立]1,1[-∈a ; 当2=x 时,可得0)(=a f ,不合题意;当2≠x 时,应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或;故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ ;练习：1．已知a ax x x f -++=3)(2,若0)(],2,2[≤-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. ２．对于不等式1-mx 2+m-1x+3>01当| x | ≤2,上式恒成立,求实数m的取值范围；2当| m | ≤2,上式恒成立,求实数x的取值范围 .３;若不等式ax2-2x+2>0 对x∈1,4恒成立,求实数a的取值范围;二、存在性问题存在 x∈D,使得函数fx>a⇔fx max>a存在 x∈D,使得函数fx≤a⇔fx min≤a例6：：已知函数fx=x2-ax+a,若存在x∈-1,2使得fx>0,试求实数a的取值范围; 解：法一：f1=1>0,所以对a∈R,均存在x∈-1,2使得fx>0.＞０,即： f-1>0或f2>0法二：原题同解于：当x∈-1,2时,fxmax代入可得:1+2a>0或４－a>0得a>或a<4 ∴a∈R练习：1;已知3=ax-f,若存在(],2,1∈x使得()0xx(2+22)x成立,求a的取值范围.f<2.存在x∈R,使得不等式22->成立, 则a的取值范围是 .x x a三、有解问题不等式fx>a, x∈D有解解集非空⇔ fx max>a不等式fx<a, x∈D解集为空集⇔ fx min≧a方程fx=a, x∈D有解解集非空⇔ a∈{fx| x∈D}即)x时∈的值域;D(xf例7：方程x2-２x+２－a＝０在区间０,３内有解,则实数a的取值范围是 ;解：原题同解于：a＝x2-２x+２,x∈０,３的值域;a＝x－１2 +１∴a∈f1,f3即a∈１,５练习：1;22-≤解集不空, 则a的取值范围是 .x x a2.不等式22-≤解集为空集, 则a的取值范围是 .x x a。

开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。

由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。

所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

平时练习过程中，应注意观察，总结！。

ʏ张亮昌解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等㊂下面举例分析这类问题的求解策略㊂方法一:判别式法例1 已知不等式(m 2+4m -5)x 2+4(1-m )x +3>0对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂①当m 2+4m -5=0时,可得m =-5或m =1㊂若m =-5,则不等式化为24x +3>0,这时对任意实数x 不可能恒大于0㊂若m =1,则3>0恒成立㊂②当m 2+4m -5ʂ0时,根据题意可得m 2+4m -5>0,Δ=16(1-m )2-12(m 2+4m -5)<0,解得m <-5或m >1,1<m <19,所以1<m <19㊂综上可知,所求实数m 的取值范围是{m |1ɤm <19}㊂评注:对于一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a >0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a <0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0㊂方法二:分离参数法例2 不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,则实数a 的取值范围是㊂不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,等价于a ȡyx -2yx2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立㊂令t =y x ,则1ɤt ɤ3,所以a ȡt -2t 2在1ɤt ɤ3上恒成立㊂令函数y =-2t 2+t =-2t -142+18,当t =1时,y m a x =-1,则a ȡ-1㊂故实数a 的取值范围是{a |a ȡ-1}㊂评注:若a ȡf (x )恒成立,则a ȡf (x )m a x ;若a ɤf (x )恒成立,则a ɤf (x )m i n ㊂方法三:主参换位法例3 已知函数y =a x 2-2a x +8+3a ,若对于1ɤa ɤ3,y <0恒成立,则实数x 的取值范围为㊂已知函数可化为关于a 的函数y =a x 2-2a x +8+3a =(x 2-2x +3)a +8㊂由题意知,y <0对于1ɤa ɤ3恒成立㊂因为x 2-2x +3>0恒成立,且y 是关于a 的一次函数,在1ɤa ɤ3上随x 的增大而增大,所以y <0对1ɤa ɤ3恒成立等价于y 的最大值小于0,即3(x 2-2x +3)-8<0,也即3x 2-6x +1<0,解得3-63<x <3+63,所以实数x 的取值范围为x 3-63<x <3+63㊂评注:在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)㊂在R 上定义运算⊗:A ⊗B =A (1-B ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<4对x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围为㊂提示:(x -a )⊗(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a <4对x ɪR 恒成立,即x 2-x -a 2+a +4>0对x ɪR 恒成立,所以Δ=4-4(-a 2+a +1)=4a 2-4a <0,所以0<a <1,即实数a ɪ(0,1)㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

突破难点巧妙求解——一道指数对数不等式恒成立问题的多种解题策略本文将围绕一道指数对数不等式恒成立问题展开，并从不同角度出发，提供多种解题策略。

问题描述：对于正实数 $a, b, c$，满足 $a > 1$，$b > 1$，$a^2 + b^2 + c^2 = 3$，证明：$$\frac{a^{3b}}{b} + \frac{b^{3c}}{c} + \frac{c^{3a}}{a} \geq 3$$解题策略：Step 1：初探不等式观察不等式，由于指数的存在，我们可以尝试构造等式，即使不等式恒成立。

此时考虑使用调和均值不等式。

由于 $a, b, c$ 均为正实数，那么根据调和均值不等式有：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq\frac{9}{a+b+c}$$移项得到：$$\frac{a+b+c}{abc} \geq \frac{9}{a+b+c}$$化简后可得：$$a^2+b^2+c^2 \geq 3abc$$由于 $a^2+b^2+c^2 = 3$，因此可以得到：$$1 \geq abc$$此时暂时无法直接应用到原始不等式，但是这个结果对后续的解题非常重要。

Step 2：对每一项进行分析设 $x = a^{\frac{3b}{2}}$，$y = b^{\frac{3c}{2}}$，$z = c^{\frac{3a}{2}}$，则原始不等式变为：$$\frac{x}{b^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{c^{\frac{1}{2}}} + \frac{z}{a^{\frac{1}{2}}} \geq 3$$我们对每一项进行分析：$$\frac{x}{b^{\frac{1}{2}}} =\frac{a^{3b}}{b^{\frac{3b}{2}}} = \frac{a^b}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{2b}}{b}$$类似地可以得到：$$\frac{y}{c^{\frac{1}{2}}} =\frac{b^c}{c^{\frac{3c}{2}}} = \frac{b^c}{c^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{b^{2c}}{c}$$$$\frac{z}{a^{\frac{1}{2}}} =\frac{c^a}{a^{\frac{3a}{2}}} = \frac{c^a}{a^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{c^{2a}}{a}$$接下来，我们需要对这三个式子进行化简。

不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。

不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。

不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。

解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。

本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。

一、置换法。

这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。

如果成立，则不等式恒成立。

对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。

由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。

二、加法法则。

这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

三、减法法则。

与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

四、乘法法则。

这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

五、除法法则。

与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

六、平方法则。

这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。

对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。

高考数学二轮总复习 不等式恒成立问题的解题策略[策略诠释]1．主要类型：不等式恒成立问题中，求参数的取值范围．2．解题思路：往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解；最值问题常常转化为利用基本不等式求解．3．注意事项：(1)在不等式的转化过程中要注意不等号的方向．(2)利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”．【典例】 (12分)已知不等式x 2－ax ＋1≥0.(1)若不等式对于一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为________；(2)若不等式对一切x ∈[－2,2]恒成立，则a 的取值范围为________；(3)若不等式对一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围为________．[审题：分析信息，形成思路](1)切入点：分离参数求解；关注点：注意应用基本不等式．(2)切入点：转化为恒成立问题求解；关注点：注意对x 分类讨论．(3)切入点：利用函数求解；关注点：注意自变量．[解题：规范步骤，水到渠成](1)原不等式可化为a ≤x 2＋1x ，而x 2＋1x ≥2x x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，2]．(3分)(2)因为x ∈[－2,2]，当x ＝0时，原式为02－a ·0＋1≥0恒成立，此时a ∈R ；(5分)当x ≠0时，则当x ∈(0,2]时，由(1)知a ∈(－∞，2]，所以当x ∈[－2,0)时，可得a ≥x 2＋1x， 令f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x， 由函数的单调性可知，f (x )max ＝f (－1)＝－2.(8分)所以a ∈[－2，＋∞)，综上可知，a 的取值范围是[－2,2]．(9分)(3)因为a ∈[－2,2]，则可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧g －2＝x 2＋2x ＋1≥0，g x ＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R ， 所以x 的取值范围是(－∞，＋∞)．(12分) 【答案】 (1)(－∞，2] (2)[－2,2] (3)(－∞，＋∞)[变题]1．(2014·武汉市武昌区联考)已知a >b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．又∃x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，则a 2＋b 2a －b的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2【解析】 由题知a >0且Δ＝4－4ab ＝0，因此ab ＝1，a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b＝a －b ＋2a －b≥22，当且仅当(a －b )2＝2时等号成立．【答案】 D2．(2014·贵州六校联考)若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，22] C ．[16，413] D ．[213，1] 【解析】 t t 2＋9＝1t ＋9t ，而y ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18.因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为[213，1]． 【答案】 D。