函数中的恒成立问题的解题策略

有关恒成立问题的解题策略与技巧作者：黄翠萍来源：《中学生数理化·教与学》2015年第03期近年来，恒成立问题频繁出现在高考数学试题中，主要涉及求参变量的范围问题，考查函数、不等式、数列、导数、圆锥曲线等知识，让试题的深度与广度得到加深，并渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想与方法，能够考查学生的综合解题能力.因此，在高中数学学习过程中，学生要注重对这类题目的解题技巧的总结，通过反复练习，达到融会贯通的目的.教师要给予学生正确指导，帮助学生提高解决恒成立问题的能力.一、函数最值法函数最值法是学生比较常用的一种解题方法，适用于恒成立的相关题目.在教学过程中，教师要让学生根据题意，利用函数最值法来解决实际问题.这种方法简单省时.点评：在运用函数最值法解决恒成立问题时，要注重对题目进行变形处理.二、分离参数法在遇到含参数的不等式题目时，要将含参数的不等式进行变形，把参数分离出来，将不等式变形为一端只含参数的解析式，这种方法十分便捷有效，有利于学生快速解决问题.例2已知2a-3b=1，证明直线ax+by=5恒过定点.解：由2a-3b=1，得a=12（3b+1），带入直线方程后分离参数b，得（x-10）+b（3x+2y）=0；由方程x-10=0，3x+2y=0可得，x=10，y=-15；所以（x-10）+b（3x+2y）=0表示经过两直线x-10=0和3x+2y=0的交点（10，-15）的直线系方程.因此，当2a-3b=1时直线ax+by=5恒过定点（10，-15）.点评：分离参数法主要是将参数单独放在一端，另一端则为不含参数的函数，然后将其转化为函数最值问题进行处理.这样，就能将复杂的恒成立问题简单化，教师应该向学生加强这方面的指导，让学生能够用分离参数法解决高中数学中的恒成立问题.三、数形结合法运用数形结合法也可以解决恒成立问题.首先要构造函数，作出满足已知条件的函数图形，然后找出函数与函数图形在各区间上的关系，最后得出结论，求得参数范围.点评：在这道恒成立题目中，如果直接进行求解是很困难的，但是在构造函数后，利用函数图形来分析两个函数间的关系，这样就非常直观，也便于得出最后答案.另外，学生通过观察构造的函数，能够全面掌握各函数图形代表的含义，这样学生就能加深对已知条件的理解，今后在遇到类似的题目时，也能轻易解决.总之，高中数学恒成立题型很多，解法也很多，在实际的解题过程中，要充分了解给定函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择最恰当的解题方法，尽量将问题等价转化，这样就能很轻松的解决问题.教师要注重对学生进行这方面的指导，让学生在面对恒成立问题时，能够运用有效的方法解决难题.。

高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。

某函数地定义域为全体实数R 。

●某不等式地解为一切实数。

❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。

中学教 学 参 考
复 习指 津
恒 成 ＂问 题 求 解 策 略 探 索 立 的
江 苏丹 阳市教 师进 修 学校 （ ］ ３ ０ 步 ２２０ ）
在数 学 问 题 研 究 中 经 常 碰 到 在 给 定 条 件 下 某 些 结
飞
论 恒成立 的命题 ， 在高考试题 中对 于恒 成立 的问题也 时
值还 是最 小 值 ， 要 注意判 断好 是 开 区间还是 闭区间 ． 还 【 １ 已知 厂Ｌ ＝ｘｎ ， （ 一 一ｚ ＋ ｎ 一 ３ 若 例 １ （ ） ｌｘ ｇ ） ｚ ，
果． 尤其 是选择 题 、 空题 ， 填 这种方法更显方便 、 快捷．
【 ３ 对于满足 ｌ ≤２的所有 实数 ｍ， 例 】 ｍｌ 求使不等
Ｉ 一． １ ≤
得一３ ≤一２ ≤ｎ ．
综合可得 ａ的取值 范围为［ ，］ 一３ １．
３ 数 形 结 合 法 ．
若 把不等式进行合理地 变形 ， 能非常容 易地画 出 则
不 等 号 两 边 函 数 的 图 象 ， 过 画 图就 可 直 接 判 断 得 出结 通
函数 的最值 问题 ， 在解题时要判断清楚是求 厂 的最 大 （）
略解 ： 当 ∈ （ ， ｏ ） ，／ ） ｇ ） 即 ２ ｌ ≥ Ｏ ＋ 。 时 ２ （ ≥ （ ， ｘｎ ｘ
０
一ｚ ＋ “ 一 ３ 也 即 ａ ２ｎ ， ￣ １ｘ＋ ＋ ， 工
０
然可将 视作 白变量 ， 上述 问题 即可转化 为在 ［ ， 则 一２ ２ 内关 于 的一次函数大于 ０ ］ 恒成立 的问题 （ 因为求 的
为 函数 的最值 问题 ， 若在不等式 中出现两个变量 、 ， 志 其
中一 个 变 量 的 范 围 已 知 ， 一 个 变 量 ｋ的 范 围 为 所 另 求 ， 容 易 通 过 恒 等 变 形 将 两 个 变 量 、 别 置 于不 等 且 ｋ分 号 的两 边 ， 可 将 恒 成 立 问题 转 化 为 是 厂 ）忌 厂 ｚ 则 ＞ （ 、＜ （ ） （ 是 厂 ｚ ＞ ｇ ｚ 、 （ ） （ ） ， 恒 成 立 问 题转 化 成 或 （ ） （ ）厂 ｚ ＜ｇ ｚ ） 该

－
ｘ ￣－
５ ｘ４ －６ ＞０
将不 等式 恒成 立 问题 转 化 为 函数 求 最 值 问题 ， 是
ｇ
１ （ ） ＞ 。 ，
ｚ
．
一
３ ３ ｚ ｚ ＋２ ＞ ｏ。 。
，
， 解得 解 得
解决 恒成 立 问题最 常用 的方 法． 一 般 的题 型 有 如 下 ２ 种： ① 不等式 － 厂 （ ） ＞Ａ 在 区间 Ｄ 上 恒 成 立∞ 在 区间 Ｄ上 ＿ 厂 （ ） ＞ Ａ∞ 厂（ ｚ ） 的下 界 大 于 Ａ；② 不 等 式
解 析 当ｚ — ｏ 时 ， 厂 （ ｚ ） 一 １ ≥ ｏ 成 立， ｎ Ｅ Ｒ ． 当ｘ Ｅ 恒成立问 题及存在性 Ｑ
（ ０ ， ＋ｃ ｘ ３ ） 时， 厂 （ ） 一ｅ ｚ 一口 ｚ ≥０成 立 ， 即 Ｅ
＋ｏ ｏ ） 时， 都有 ／ ’ （ ｚ） ≥ ０成 立 ， 求 实数 的取 值 范 围．
” ０ ， 解得 ｚ 一０或 一 或ｚ ： ＝ ． 对区间［ 一 一÷， ， ＿ 去 Ｉ ］ 分
２ 种 情况讨 论 ：
运 用这种 方 法解决 恒 成立 问题 的步骤 是 ： 将参 数 与变量 分 离 ， 化为 ｇ （ ） ≥厂（ ｚ ） （ 或ｇ （ ） ≤ 厂 （ ） ） 恒 成立 的形 式 ； 求． 厂 （ ｚ ） 在 ｚ∈Ｄ 上 的最 大 （ 或 最 小） 值； 解 不 等 式 ｇ（ ） ≥ｆ （ ｚ ）（ 或 ｇ（ ） ≤
ｚ 一１ 处取 得 最小值 ｇ（ １ ） ＝ ＝ ： ｅ ． 则 口 ≤ｅ ．
含 参 数 不等 式 的恒 成 立 问题 及 存 在 性 问 题 是 历
年 高考 的热点 ， 特 别是 以导 数 为背 景 的题 型更 是 在 高

数学高考复习中恒成立问题及解题策略
数学高考复习中常见的恒成立问题包括：三角函数、平面几何、立体几何、数列等方面的常见恒等式是否成立。

解决这些问题需要
我们掌握以下策略：
1. 掌握基本定义。

了解三角函数、平面几何、立体几何、数列
等基本定义，理解它们的概念和性质，这是解决恒成立问题的前提。

2. 理解证明步骤。

对于一些基本的恒等式，如三角函数的基本
恒等式、半角公式等，需要深入理解其证明步骤，这样能解决很多
基本的恒成立问题。

3. 对比特殊情况。

对于一些复杂的恒等式，可以考虑先验证一
些特殊情况，如取特殊的几个值来代入验证，这样可以对恒等式是
否成立有一个大致的判断。

4. 利用常见定理。

多运用常见的几何定理或性质的结论，如勾
股定理、中线定理、垂直平分线定理等，也可以用对等三角形、相
似比、余弦、正弦等基本知识来解决。

5. 探索新的思路。

对于一些比较难的恒等式，可以多思考，开
拓思路，寻找新的解题方法，这样可以解决不同的问题，丰富解题
经验。

总之，解决恒成立问题需要我们理解基本定义和证明步骤，利
用特殊情况和常见定理，同时具有创新和探索的精神。

二次函数中“含参恒成立”问题求解策略二次函数是一个具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a\neq 0$。

在解题过程中，当给定一定的条件，要求找到使得二次函数“含参恒成立”的参数值，需要采取以下步骤。

第一步：理解含参恒成立的概念含参恒成立是指对于二次函数中的参数值，存在一个或一组满足特定条件的解使得方程恒成立。

通常来说，这些参数值可以是实数、整数或者满足特定要求的整数。

第二步：分析题目条件仔细阅读题目，分析所给条件以及问题的要求。

通常来说，问题中会涉及到函数图像的性质、方程的解的个数、方程的根的取值范围等。

第三步：确定参数的取值范围根据题目中给出的条件，确定参数的取值范围。

这方面通常包括参数的正负性质以及其他限制条件。

第四步：构建二次方程根据题目要求以及参数的取值范围，构建二次方程。

一般来说，可以通过给定条件构建出包含参数的二次方程。

第五步：解二次方程解二次方程的方法有多种，可以通过求根公式或者配方法解方程。

第六步：验证解的合法性将求得的解代入构建的二次方程中，验证是否满足题目给定的条件。

如果满足条件，则该参数取值使得二次函数“含参恒成立”。

第七步：总结答案将满足条件的参数值以及求得的二次方程的解进行总结，得出最终答案。

如果存在多个满足条件的参数值，需要将所有解都列出。

在实际解题过程中，每一步都要仔细思考、分析，并得出合理的解答。

需要注意的是，由于题目条件的不同，求解的策略也会有所差异。

因此，根据具体情况灵活运用解题策略是非常重要的。

关于)()(x g x f >恒成立问题的求解策略浙江德清高级中学 谢晓强 邮编:31320020XX 年的高考已然结束,但余热尚存,它留给我们的不仅仅是过去,更是给我们14年的高考提供了复习的方向和思考的空间。

回顾13年的高考,在众多省市的考卷当中,我们依然可以发现与f(x)>g(x)这类题目相关的存在性和恒成立问题,如全国新课标卷、辽宁卷、天津卷等。

这类题目在考查的知识点上都围绕着函数的单调性,极值和最值问题展开;结合众多数学思想方法的应用,在方法和技巧性方面向纵向深入,在知识的结构方面向横向扩展。

综合考查了学生解决和分析问题的能力。

因此,这类题目往往成为备考的重点和热点。

又由于在题面上更多的含有lnx,xe ,....cos ,sin x x 以及字母参数而显得难度陡增,思维量增大。

那么如何有效的解决这类问题,从而给学生提供行之有效的解决办法呢?有以下几个可以参考的途径提出来和大家交流。

一. 掌握通法所谓通法是指学生容易想到的,使用频率较高的,应用范围较广的一类典型方法。

这类 方法由于入口容易,过程便于操作而为学生首选。

大体上有两种:一种是将)()(x g x f >转化为)()()(x g x f x h -=即求0)(min >x h ;而另一种是大家熟悉的“参变量分离”。

例题。

(20XX 全国新课标卷II 理 21题)已知函数)ln()(m x ex f x+-=;)(,,)(0).1(的单调区间并求讨论求的极值点是设x f m x f x = .0)(:,2).2(>≤x f m 证明时当 分析:(1)。

略(2)。

(利用参变量分离) 0)ln()(>+-=m x e x f x x e m xe-<∴ 令)( )(m x x ex h xe->-=, 则1)(,-⋅=x e e e x h x若0)(,=x h 有00x ex -=①。

黪
’
（ ） 一 １ ｚ＜ 一 去 时 ， １ ２ １ 当 ≤ 一 ≤ ｚ＋ １ ０， 以 ＜ 所
１ ，
例 ｌ 若 ＿ ｚ） ｓｎ（ ＋ Ⅱ ＋ ｃ ｓ ｚ— ａ 为 偶 函 厂 （ 一 ｉ ） ｏ（ ）
ａ丢 令２ 一≤＜ ，｛ 可 ≥ ｛ ， ｚ 一， ｏ 化 十 则 丢
解 设 一 （ 一 １） ，
。
离 等 于 半 径 、 ｆ 所 有 是 Ｒ 且 是 Ｏ恒 成 立 的 题 ． ／ ｋ对 ｆ ∈ ≠
解 设 公 切 线 方 程 为 ＝ ｍ３＋ ｎ， ＝ ２ ＝ 则
生
一 ，／ 是∈Ｒ 且 是 ｆ Ｊ ２１ Ｉ 对 ｋ ≠ ）匣成 立 ，
Ｃ Ｓ＆ ０， 以 ａ－ ７～ （ Ｏ 一 所 一是 【 ｋ∈ ｚ） ．
（当 ＞ 丢 ，＋＞ ，以 ≤ ． ３ ｚ 一 时２ １０ ａ ） ｚ 所 令２斗一， ｏ 等 叮 为 一 １ｚ ＞ ， ＿ 则 羞 化 ｛ 孚 ２ 丢２ ２＝，以 ≤ ； （ 一） （ ＋ ≥ 一）ｌ “ １ ＝所 ＝
一
（ ） Ｔ一 ～ ÷ 时 ， ｚ＋ １— ０， ２ ０， 以 ２当 ２ ｚ＋ ＞ 所
ｎ∈ Ｒ ；
２ｓｎ ｚ ・ｓｎ ａ， 以 ｓｎ ｚ（ ｉ ＋ Ｃ ）一 ０． ｉ ｉ 所 ｉ ｓｎ ａ ＯＳｄ 因 为 对 一 切 ３∈ Ｒ 恒 成 立 ， 以 只 需 也 必 须 ｓｎ － 所 ｉ ＋
综 上 ， ａ的 取 值 范 围是 ［ 得 ３ １． ， ］
Ｉ ，
例 ２ 当 ｋ Ｒ 且 是 ０时 ， 方 程 （ ∈ ≠ 求 ｚ一 是 １ ＋ ） ＋
（ ～ ３ ） ２ 表 示 的 所 有 圆 的 公 切 线 方 程 ． ｋ 一 ｋ 分析 本 题 实 际 上 就 是 圆 心 （ １ ３ ） 直 线 距 ｋ ，ｋ 到

【巩固练习】
1、若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取值范围
2、已知函数 在 上， 恒成立，则实数a的取值范围
3、不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围
4、已知函数 ，若 的取值范围
6、关于x的不等式 ，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.
f(x)>0恒成立 ；
f(x)<0恒成立 .
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解，往往转化为求函数在此区间上的最值问题更简捷。
例6．（1）若函数 的定义域为R，求实数 的取值范围.
（2）若函数 的值域为R，求实数 的取值范围.
例7：已知函数 ，在R上 恒成立，求 的取值范围.
（一）恒成立问题基本类型1：先分离参数，再求函数的最值（或值域）
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于:在区间 上,函数
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于:在区间 上,函数
例1：（1）设实数 满足 ，若 恒成立，则 的取值范围是______
（2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围_____
7、若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０， ］成立，则a的最小值是().
Ａ.０Ｂ.－２Ｃ.－ Ｄ.－３
8、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（）.
A.1 B.-1 C. D.- .
9、 对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围；
10、已知函数 ， ．
（3） 的取值范围______
（4） 的取值范围______ .
例2．(07上海)已知函数
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）若 在区间 是增函数，求实数 的取值范围。

（ ） 厂 ≤ｍ 一 ａ ２ 若＿ ） ２ ｍ＋１对所有 ａ∈［一１ １ 恒成立 ， （ ，］
求 ｍ 的 取值 范 围．
（） １ 一次函数型 ；２ 二次函数 型； ３ 根据 函数 的奇偶 性 、 （） （） 周 期性 等性质进行设计的综合型． 现在我们一起 来探讨其 中的
一
分析 ： 第一问是利用 定义来证 明 函数 的单 调性 ， 第二 问
中 出现 了 ３个 字 母 ， 终 求 的 是 ｍ 的 范 围 ， 以 将 ａ当作 变 最 所
些 典 型 的 问题 ．
一
量， 再根据 函数的单调性求 出－ ） 厂 的最大值即可． （ （） １ 任取 Ｉ ２ ， ∈［一１１ ， ，］ 且 １ ２贝 一 ∈［一１ １ ， ＜ ，４ ２ ， ］
ｌ— 、 羹
学 法指导
Ｉ ＿ 一 ｌ
◆ ・
解 题 策 略 。
刘 兆 荣
恒 成 立 问题 涉 及 到 一 次 函 数 、 次 函 数 的 性 质 、 象 ， 二 图
１ ）＝ｌ若 Ⅱ ６ ， ， ∈［一ｌ１ ， ６ ， ，］ ＋ ≠０ 且有 （ ） 论 ｜（ 在 ［一１１ 上的单调性． １讨 厂 ） ，］
ｌ 一 ，
＞
０．
・ ． ．
＿ 。 ＜ （： － 厂 ） ， ）． （ ．
） ［ ，］ 在 一１１ 上单调递增．
ｍ）＞ ０
（） ２ 解 叵 测 有
） ２ ｍ ＋１对于 所有 ∈［一１ １ ， ≤ｍ 一 ａ ， ］ 口∈
腿
糍
［ ，］ 一１ １ 恒成立 ，
分析 ： 要使 Ｙ＝
＋ｍ ６ ｘ＋ｍ＋ 在 Ｒ 上恒 成 立 ， ８ 即
例 ２已知 函数 厂 是定 义在 ［一１ １ 上 的奇 函数 ， （ ） ，］ 且

2. 变量分离法：
【例4】 当 x (1, 2) 时，不等式 x2 mx 4 0
恒成立，则 m 的取值范围是
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x2 mx 4 0
得 m x2 4 x
.令
f (x) x2 4 x 4
x
x
则易知 f (x) 在 (1, 2) 上是减函数，

0 0
f (x) 0在x [, ] 上恒成立


b 2a


或




b 2a


或

b 2a


f ( ) 0 0
f ( ) 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例3】已知函数 f (x) x2 ax 3 a ，在 x 2,2
min如何在区间d上求函数fx的最大值或者最小值问题我们可以通过习题的实际采取合理有效的方法进行求解通常可以考虑利用函数的单调性函数的图像二次函数的配方法三角函数的有界性均值定理等等方法求函数函数性质法函数性质法变量分离法变量分离法变换主元法变换主元法数形结合法数形结合法66函数性质法内恒有则根据函数的如图所示
上 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围.
解：
f
(x)


x

a 2
2

a2 4

a

3 ，令
f (x)
在 2,2 上的最小值为 g(a)
⑴当 a 2 ，即 a 4 时， g(a) f (2) 7 3a 0
2
a 7 又 a 4 a 不存在.

ʏ谭先美数学中的恒成立问题,在近几年的高考试题中频频出现,几乎覆盖了函数㊁不等式㊁三角函数㊁数列㊁几何等高中数学的所有知识点,涉及一些重要的数学思想方法㊂这类问题具有许多特殊性,解题时应根据题目的实际情况,寻求合理有效的求解方法㊂一㊁在R 上的恒成立问题例1 设集合P ={m |-1<m <0},Q ={m ɪR |m x 2+4m x -4<0对任意实数x 恒成立},则下列关系式中成立的是( )㊂A .P ⊆Q B .Q ⊆PC .P =QD .P ɘQ =⌀解:对于集合Q ,当m =0时,-4<0对任意实数x ɪR 恒成立;当m ʂ0时,由m x 2+4m x -4<0对任意实数x ɪR 恒成立,可得m <0,Δ=16m 2+16m <0,{解得-1<m <0㊂综上可得Q ={m |-1<m ɤ0},所以P ⊆Q ㊂应选A ㊂评注:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(或ȡ0)对于一切x ɪR 恒成立的条件是a >0,Δ=b 2-4a c <0(或ɤ0)㊂{一元二次不等式a x 2+b x +c <0(或ɤ0)对于一切x ɪR 恒成立的条件是a <0,Δ=b 2-4a c <0(或ɤ0)㊂{二㊁在给定区间上的恒成立问题例2 设函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于x ɪ[1,3],f (x )<-m +5恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:要使f (x )<-m +5在x ɪ[1,3]上恒成立,即m x 2-m x -1<-m +5在x ɪ[1,3]上恒成立,也即m x -12()2+34m -6<0在x ɪ[1,3]上恒成立㊂令g (x )=m x -12()2+34m -6,x ɪ[1,3]㊂当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )m a x =g (3)=7m -6<0,所以m <67,可得0<m <67;当m =0时,-6<0恒成立;当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )m a x =g (1)=m -6<0,所以m <6,可得m <0㊂综上所述,实数m 的取值范围是m m <67{}㊂评注:当x ɪ[m ,n ],f (x )=a x 2+b x +c ȡ0恒成立,结合函数的图像,只需f (x )m i n ȡ0即可;当x ɪ[m ,n ],f (x )=a x 2+b x +c ɤ0恒成立,只需f (x )m a x ɤ0即可㊂三㊁给定参数范围的恒成立问题例3 若|a |ɤ1,则不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0恒成立的x 取值范围为㊂解:将原不等式化为关于a 的不等式,即(x -3)a +x 2-6x +9>0㊂令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9,则f (a )>0在|a |ɤ1时恒成立㊂当x =3时,则f (a )=0,不合题意,舍去;当x ʂ3时,由一次函数的单调性,可得f (-1)>0,f (1)>0,{即x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0,{解得x <2或x >4㊂故所求实数x 的取值范围为(-ɕ,2)ɣ(4,+ɕ)㊂评注:解答给定参数范围的恒成立问题的关键是要注意变换主元㊂一般地,将所求参数设为主元,再利用已知参数的范围求解㊂作者单位:重庆市巫山中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

治学之法2013-11数学课本中的公理定理推论公式等都可作为恒成立的结论：例如，二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开口向上时，在对称轴的右面呈递增的特性；奇函数都有f （0）=0成立（f （x ）在x =0时有定义）；指数函数的值恒为正等。

具体来说有下面的恒成立题型。

下面研究一些常见的解决恒成立问题的方法，以提高我们分析数学问题、解决数学理论和实际应用题的能力。

策略一：巧用判别式例.如若函数f （x ）=2x -2ax -a-1√的定义域为R ,则a 的取值范围是什么？解：∵f （x ）=2x -2ax -a-1√的定义域为x ∈R ，∴2x -2ax -a≥1恒成立,即x 2-2ax -a ≥0恒成立,∴△≤0即（2a ）2-4×（-a ）≤0,解得-1≤a ≤0.变题：若函数y =log 2（ax 2+2x +1）的定义域为R ，求a 的取值范围？解：定义域为R ，则ax 2+2x +1恒成立.①若a =0，则2x +1>0，不是恒成立.②若a ≠0，则ax 2+2x +1是二次函数恒大于0，则开口向上，a >0且和x 轴没有交点，所以Δ<0，所以4-4a <0，即a >1.综上，a >1.策略二：借助单调性例.已知：a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈［a ，2a ］，都有y ∈［a ，a 2］满足方程log a x +log a y =c ，求a 的取值集合。

解：∵log a x +log a y =c ，∴y=a c x .∵a >1，∴y=a cx在x ∈［a ，2a ］上递减，∴y max =a c -1，y min =a c -1a c -1≤a 2⇒c ≤312a c -1≥a ⇒a c -2≥2⇒c >log a2+2⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐∵log a 2+2≤c ≤3时，而c 值只有1个，∴c =3，即log a 2=1，有a =2∴a 的取值的集合为：｛2｝策略三：变量分离例.已知定义在R 上函数f （x ）为奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，对于任意x ∈R ，求实数m 的范围，使f （cos2θ-3）+f （4m -2m cosθ）>0恒成立。

当Ｘ≥ ２ ｃ 时， ＋ ｌ ２ ｃ Ｉ ＞ １ 的解集是 Ｒ铮 ２ ｘ 一 ２ ｃ ＞ １ 恒成立 ，
题具 有 “ 变”中 “ 不变” 的特点 ， 题 型涉及 函数 的图像 和性
质 ，渗透着数形结 合、转化与化归 、函数与方程等思想方法 ， 有利于考查学生 的综合解 题能力。本文对常见 的恒成 立问题 的求解策 略进行归类 与解析 ，以飨读者 。
＝ ｍｘ ％４ ｍ ｘ 一 ４ ＜ ０ 恒成立§ ＜ Ｏ 且△ ＝ （ ４ ｍ） ＋ １ ６ ｍ＜ ０ ， 即一 ｌ ＜ ｍ＜ ０ 。 综上 ，一 ｌ ＜ ｍ≤ ０ ，故选 Ａ。
由上 可 得 ：ｃ ＞１。 又 函数 ｙ ＝ 在 Ｒ上 为 减 函 数 ，知
综上所述 ， １＜ ｃ ＜ １ 。
解 析式 。
故直线 Ａ Ｂ的斜率存 在 ，否 则 ，Ｏ Ａ 、Ｏ Ｂ的倾斜 角 之和
为 ， 与ａ ＝ 手矛 盾， 可 设直线Ａ 曰 的 方程为ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｂ ， 显
然 Ｙ ｉ ，Ｘ ２ － ，
将 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｂ与 ｙ ２ ＝ ２ ｐ ｘ（ ｐ ＞ ０） 联 立 消 去 ， 得 一
三 、构造恒等式法 例 ：设 Ａ、 是 抛 物线 ｙ ２ ＝ ２ ｐ ｘ（ ｐ ＞ ０）上 异于 原 点 Ｏ 的 两个不同点 ，直线 Ｏ Ａ和 Ｏ Ｂ的倾斜角分别为 ａ和 ，当 ，
评注： 构造 函数法是解决不等式恒成立 问题 的常用方法 。 本题 的易错 点是容易忽略 ｍ ＝ ０的情况 ，习惯地将 ，（ ）视为 二 次函数 ，从 而出现漏解情形 ，容易错选为 ｃ 。
黜 ＋ ＋ ｃ ＞ Ｏ 恒成立甘 ａ ＝ ｂ ＝ ０ ，ｃ ＞ ０或 ａ ＞ ０ ，△ ＜ ０ ；
又直线 Ｏ Ａ ， Ｏ Ｂ的倾 斜角 ， 卢满足 ａ ＝ 导，得 ０ ＜ ａ ，

【 例 １ １ （ ２ ０ １ ３全 国新 课标 卷 Ⅱ， 理， ２ １ ） 已知 函数
＿ 厂 （ ｚ ） 一ｅ ｘ —ｌ ｎ （ ｘ＋ｍ） ．
ｅ ｘ ≥ｚ ＋１ ≥ｌ ｎ （ ｘ ＋２ ） （ “ 一” 不能 同时取到 ） ． 当 ≤２时 ， ｌ ｎ （ ｘ ＋ｍ） ≤ｌ ｎ （ ｘ ＋２ ） ＜ｅ ｘ 得证 ．
如 图所 示 ．
ｙ
答中还用到 了诸如 “ １ 一吉 ｚ ≤Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ≤１ 一÷ ， ｚ Ｅ
（ ０ ， １ ） ” 这样 的不等式 ． 那 么我们是 否应该 在复 习的过 程
＼ ／ ／ ／
一
中有意识地去归纳和整理这些“ 基本不等式” 呢？
三． 合理分拆
、
‘ ．
．
ｈ （ ｚ ） ≥０ ，
部 的调整正是局部处理 的一个 方面 ， 它能够 重新调 整原 来 的题 面结构 ， 使 得这 种结 构更 加清楚 和有 序 ， 从 而使 得解 题思 路豁 然开 朗． 因此 ， 在上 述方 法难 以奏效 的情 况下 ， 有必要 对原来 的式子进行合理分拆和重新组合．
解析 ： （ １ ） 略．
７
ｅ ｘ ≥ ＋１ —－ － —
３ ｅ 州 ≥ 来自在上述关 系 中， 如果对 ｚ赋 予不 同 的值或 代 数式 ，
（ ２ ） （ 利用参变量分离）
‘
．
‘ － 厂 （ ｚ） 一ｅ ｘ —ｌ ｎ （ ｘ ＋研） ＞０ ，
．
便会得到其他有用的不等关系： 如令 ｚ 一÷， 则会得到 Ｉ ｎ （ １ ＋÷） ≤÷及 ｅ ≥（ １ ＋÷） ” 等． 这种代换的技巧在解
解析 ： 由于 ｅ ｘ ≥ ＋１ ， 且由ｚ 一１ ≥ｌ ｎ ｘ可 得 ＋ １ ≥ｌ ｎ （ ｘ ＋２ ） ，

三 、 元 法 主
图象法是处理“ 恒成立 ” 问题的一种较为便捷 的 方法， 图象法既直观形象 ， 又生动有趣。图象法是使 用 最 为 普 遍 的一 种 方 法 ， 求 考 生 熟 悉 常 见 的初 等 要 函数的图象以及 一些 作图技巧。
例 １ 关 于 的 方 程 ￣ ２ ＝ 一 ＋２总 有 ／ —
・ ．
．
ｋ＋１ ＜０， ｋ＜ 一１ 即 。
Ｉ
当。 一１１时 ｛１０ ∈（ ，） ，ｆ）ｔ （１ ≥ －＞ ）
．
．
ｌ 一０＜ ， Ｓ 法
｛＋＋ 。 ≥ 一 ｘｘ ＞： 或 。 矿 。 ＇ 。 ≤ ２≥ －２
若把 。换 为 ， 而求 ｎ的范 围 ， 见下面的例题 ： 例 ５ 当 ∈（ ，） ， 一１ １时 不等式 ＋ 一口＋１ ＞０恒成立 ， 。的范 围。 求 分析 ： 不等式没有改变 ， 仅是 。与 的地位 发生 了变化 ， 时 是 主变 量 ， 此 而是 。参 变量 ， 最终是要 求 参 变 量 。的 范 围 。这 样 左 边 的 函 数 Ｙ＝ ＋一 一 ｎ＋１ 变成 了关 于 的二次 函数 ， 由于 函数 的图象未 确定 ， 因而需 对对称轴分三种情况进行讨论 ， 略。 此 注： 本题也可 以用 变量 分 离法 求 。的范 围 ， 读 者不妨试一试 。 以上谈 了“ 恒成立 ” 问题 处理 的三 种方法 ， 中 其 图象法是最为根本 的方 法 ， 他 的两个方 法都 可以 其 由图象法演变 而来 。请 同学们 注意 ， 三种方 法既 这 相互联 系 ， 又相对独立 ， 三种方法都体现 了函数思 但 想、 数形结合思想 等一些 重要 的数学 思想 。在 实际 应用 中 ， 同学们好好体会 。 请 （ 作者 单位 ： 江苏省江都 中学）
０

例2 若对于一切| p | ≤ 2 , p ∈R , 不等
Δ< 0
收稿日期 :2000 - 15 - 09 ) , 男 , 广西灌阳人 , 桂林市灌阳县矮山脚中学一级教师 . 作者简介 :范运灵 ( 1966 — © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
a - 3a- 4=0 a - a- 2>0
2 2
故 x 的取值范围为 0 < x <
1 或 x > 8. 2
2 二次函数型问题的解题策略 1) 不等式 ax 2 + bx + c > 0 ( a ≠ 0 ) 对于
2 x ∈R 恒成立 , 即二次函数 f ( x ) = ax + bx
+ c 的图象恒在 x 轴上方 , 其充要条件是 a > 0 且 Δ< 0 或
9 9 , ∴1 < m < . 7 7 2) 当 m = 1 时 , 不等式在 [ - 2 , 2 ] 上显
在 x ∈( - ∞, 4 ]上恒成立 , 求 t 的取值范围 . 上述不等式组又可转化为不等式组
t≤ 4 + sin x t-
解得 m < 然恒成立 .
1 +2t +
3) 当 m < 1 时 , 1 - m > 0 .
1 一次函数型问题的解题策略
式
( log2 x ) 2 + plog2 x + 1 > 2log2 x + p 恒成
立 , 求实数 x 的取值范围 . 分析 一元一次不等式 f ( x ) = ax + b > 0 ( < 0 ) 在 [α,β] 上恒成立的充要条件为 ) > 0. ) <0 f (α f (α . ) > 0. ) <0 f (β f (β 原不等式可化为 ( log2 x - 1) p + ( log2 x ) 2 - 2log2 x + 1 > 0 . 易知 log2 x - 1 ≠ 0 , 故只要