高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章_章末小结_知识整合与阶段检测_

高中数学“兀n 審料21 已知函数 y i = x , y 2= x 2, y 3=-.X问题1:试作出上述三个函数的图象. 提示：图象为问题2:试根据上述图象说明函数的单调性. 提示：函数y i = x 在R 上为增函数，y 2= x 2在(一8, 0)上为减函数，在(0,+^ )上为增函数，1 y 3= 一在(一8, 0), (0, )上为减函数. x问题3:判断它们导函数的正负.1 提示：yj = 1>0, y 2‘= 2x ,当 x>0 时，y 2‘ >0,当 x<0 时，y <0, y 3‘=— ~2<o.x问题4:试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.提示：当f ' (x)>0时，f(x)为增函数，当f ' (x)<0时，f(x)为减函数.一般地，在某区间上函数 y = f(x)的单调性与导数有如下关系：导数 函数的单调性 f ' (x)>0 f(x)为该区间上的增函数 f ' (x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解.导数在研究函数中的应用-新知无师自通[对应学生用书P13]［归纳-升华・领悟112f (x)>O(f (x)<0) f(x)()f (x)f(x)f(x) x 3( )f (x)3x 2f (0)f (x)>0.[1](1)y ax 5 1(a>0)(2)y a x xa (a>0a 1)[ ][ ](1) y5ax 4 a>0y 0 Ry ax 5 1 R(2)ya：xln a ax|n a( x)(a x a x )in aa>1In a>0 a x xa >0[ P14]y >0 Ry a x xaR0<a<1In a<0 a x a x >0y <0 Ry a x xaR[ ]X ix2X 1<X 2f(x 1) f(X 2)yO ax bx高缺爵点题组化.名师一点就通(1)f (x) f (x)f(x) (a b)(a b)高中数学1 •下列函数中，在区间(一1,1)上是减函数的有__________① y= 2—3X2；② y= In x；③:④ y= sin x.解析：显然，函数y= 2—3x2在区间(一1,1)上是不单调的；函数y= In x的定义域为(0,+^ )，不满足题目要求；1—1对于函数y=匚^,其导数y'= --p <0,且函数在区间(—1,1)上有意乂, 所以函数y 1=七在区间(一1,1)上是减函数;x —2函数y= sin x在［—n,彳上是增函数，所以函数y= sin x在区间(—1,1)上也是增函数.答案：③2•证明：函数y= In x+ x在其定义域内为增函数.证明：显然函数的定义域为{x|x>0},1又f f (x) = (In x+ x) '= 1+ 1,x当x>0 时，f' (x)>1>0 ,故y = In x+ x在其定义域内为增函数.3.判断y= ax3—1(a € R)在(— 3,+^ )上的单调性.解：因为y'= 3ax2，又x2>0.(1)当a>0时，y' > 0,函数在R上是增函数；⑵当a<0时，y' < 0,函数在R上是减函数；(3)当a = 0时，y'= 0,函数在R上不具备单调性.(1)y= x3—2x2+ x；(2)f(x) = 3x2—2In x.［思路点拨］先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f' (x)>0, f' (x)<0 ,并与定义域求交集从而得到相应的单调区间.［精解详析］(1)y'= 3x2—4x+ 1.令3/—4x+ 1>0 ,解得x>1 或x<33因此，y= x3—2x2+ x的单调递增区间为(1,+3 ), —^, .再令3/ —4x+ 1<0,解得忘<1.3高中数学(2)y x 3 2x 2f (x) 6x (03x 2 1 x (x)<0 f (x)>02吟>0x'i 3x>0x>*.f (x)<0 1 -<0x<_3 3 0<x 今 x>0f(x)(1)0<x<#专丿.(1)f(x)3)(1f(x)2x 4ln xf(x)f(x)(0(x)>0 ff (x) 2x 2x 2x2x 4f (x)>0 x>0f(x) f(x) f (x)>0 1 x> ex 2 x 2>0f(x)xln x xln x(x>0)In x 1>0x< f (x)In x> 1x>2 (2In x 11.高中数学即函数f(x)= xln x 的单调递增区间为 1,+s .答案：2，+^ /In x + k6.已知函数f(x) =-x (k 为常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y = f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值； ⑵求f(x)的单调区间.卄, In x + k解：(1)由 f(x)=—,由于曲线y = f(x)在(1, f(1))处的切线与x 轴平行, 所以f '⑴=0，因此k = 1.1(2)由(1)得 f ' (x) = x-x (1 — x — xln x), x € (0,+^ ), 令 h(x) = 1 — x — xln x , x € (0,+^ ), 当 x € (0,1)时，h(x)>0;当 x € (1,+s )时，h(x)<0. 又 e x >0，所以当 x € (0,1)时，f ' (x)>0 ; 当 x € (1 ,+^ )时，f ' (x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1 , +m).［例3］已知函数f(x)= x 2 + a (x z 0,常数a € R ).若函数f(x)在x € ［2 , +^ )上是增函数,x 求a 的取值范围.［思路点拨］ 成立问题求解答本题可先对函数求导， 再将问题转化为f ' (x) > 0在x € ［2 , +8 )上恒［精解详析］ 3 a 2x — af ' (x) = 2x — 2= 2 .x x要使f(x)在[2 ,+^ )上是增函数， 则f ' (x)>0在x € [2 ,+s )上恒成立, 2x 3 — a即一7 >0在x € [2 ,+s )上恒成立. ••• x 2>0,・.2x 3 — a >0,••• a w 2x 3在 x € [2 ,+s )上恒成立.得 f (x)= 1 — kx — xln xxxex € (0,(2x)min .3x [2) y2x 33 (2x)min 16a 16・2x 3 16a 16 f (x) ------------------- 2— o (x [2X aa 16.[ ](1) f(x) (a b)f(x) (a b) f(x) (a b)))(a b) f (x) 0f (x)0 (a b)f(x) f(x )max f(x)f(x )min .f(x) x 3 mx 2 m 2 f(x) x 3 mx 2 f (x)3x 2 2mx.(0,3)f (x) 0 x 0 2 3m 3f(x)f(x)9 2.如2)2 x 3m(0,3)bln x (1f (x) (x 2)-入1] (1 (x) x(x 2) x 2 2x(x(1))f(x) 2ax x 2x (0,1] f(x) (0,1]b x(x 2) x (1 1)baf (x)2a $xf(x) (0,1] 1 f (x)0 a ix (0,1]x高中数学1而g(x )= -1在(o,i ］上单调递增，X 二 g (X )max = g(1)=— 1，二 a >— 1. 2当 a =— 1 时，f ' (x) = — 2 + x s . X对 x € (0,1］也有 f '(X )》0.••• a =— 1时，f(x)在(0,1］上为增函数. •••综上，f(x)在(0,1］上为增函数， a 的取值范围是［—1,+^ ).［方法*规律…卜结］ -----------------------------1•在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程 中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间. 3•如果函数在某个区间内恒有f ' (x)= 0,则f(x)为常数函数.丽.7.凉益 W 赞注或委萼诞 ［对应课时跟踪训练(六)］一、填空题1.函数y = x 3— x 4 5— 40x + 80的增区间为 _________ ，减区间为 _________ 解析：y '= 3x 6 7 8 9— 2x — 40= (3x + 10)(x — 4), 10由 y ' >0,得 x>4 或 x< —10;由 y ' 3解析：令 f (x)= ——<0，解得 0<x<e , ln x 又因为函数f(x)的定义域为(0,1) U (1 , +O ),所以函数f(x)=产的单调递减区间是(0,1), (1, e). ln x 答案：(0,1), (1, e) 3.函数y = 1x 2— ln x 的单调减区间为 __________ .1解析：y '= x — 一，由 y ' <0,得 x<— 1 或 0<x<1.x<0,得—10<x<4.所以函数的单调增区间为 一 OO,10和(4,+O )，单调减区间为晋，4.答案: 一OO,,+O )1 —>x. x>00<x<1.x(0,1)6(1) f(x) x 4 2x 23(2) f(x) sin x(1 cos x)(0< x<(1) f(x) R . f (x) 4x 3 4x 4x(x 21) 4x(x 1)(x1)f (x)>04x(x 1)(x 1)>01<x<0x>1f(x)(1,0) (1)f (x)<04x(x 1)(x 1)<0.x< 10<x<1.x>0 0<x<1.(0,1)y厂-1 0 1Xf(x)y f (x)y f(x)f(x) (0 )f(x)>xf (x)x 'ffj f(x)<0(X)号)(x) xf (：2 f (x)<0.(0,1)④(x) (0)x高中数学所以函数f(x)的单调递减区间为(— g,— 1)和(0,1).2(2)f ' (x) = cos x(1 + cos x) + sin x( — sin x) = 2cos x + cos x — 1 = (2cos x — 1)(cos x + 1). ■/ 0<x< n, ••• cos x + 1>0,由 f '(x )>o 得 o<x<n ；由f ' (x)<0得n <x< n ，故函数f(x)的单调增区间为［0，3单调减区间为 £ n j.7.设函数 f(x) = ax — 2 — In x(a € R ).(1)若f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,求a 的值;⑵求f(x)的单调区间.解：(1) ■/ f(x) = ax — 2 — In x(x > 0),1 • f ' (x)= a — - x 又f(x)在点(e , f(e))处的切线为x — ey — 2e = 0,• f ' (e)= a - 1 — 1 e e ‘故a =- e1 ax — 1(2)由(1)知：f ' (x) = a — =厂(x > 0),当a w 0时，f ' (x) v 0在(0,+g )上恒成立,• f(x)在(0，+g )上是单调减函数.1当 a >0 时，令 f ' (x)= 0 解得：x =-, a当x 变化时，f ' 0 (0, 1 1 a £ ,+Tf ' (x) 一 0 +f(x)a 上是单调增函数.由表可知：f(x)在0, 1上是单调减函数，在综上所述：当a < 0时，f(x)的单调减区间为(0,+g );f(x) (6 ) f (x) 0 (6 )a x 1. x 1>7 a 7.a 5 a 7.2.函数f(x)=烈的单调递减区间是In x — 11 3 1 2ax —1x 当a >0时，f(x)的单调减区间为 单调增区间为 + g&若函数f(x) = 3x3—2ax1 2+ (a —1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6,+g )上单调递增，试求实数a的取值范围.解：f' (x) = x2—ax+ (a—1)，因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f' (x)w 0在(1,4)上恒成立，即a(x—1)>x2—1在(1,4)上恒成立，所以a>x+ 1.因为2<x + 1<5，所以a>5.。

第1章 导数及其应用§1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用________代替x 2；类似地，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y ＝f(x)的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1的几何意义是：表示连接函数y ＝f(x)图象上两点(x 1，f(x 1))、(x 2，f(x 2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x 0，x 1]上的平均变化率；②在x 0处的变化率；③在x 1处的变化率； ④以上都不对．2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的增量Δy ＝____________________. 3．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f(1＋Δx ))，则Δy Δx ＝________.4．某物体做运动规律是s ＝s(t)，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．6．已知函数y ＝f(x)＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．能力提升11. 甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a 的值．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.答 案知识梳理1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 1＋Δx Δy Δx 2．斜率作业设计1．① 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt. 5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 6．0.417．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1. 9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6. 函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4. 10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3，∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝Δy Δx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. ∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31. 11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2a a ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2. ∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.。

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x ，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)； (4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9]求函数的导数[例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx ；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2 ＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.[一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2， 所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________．解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x 2cos x .解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′ ＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝1＋1x －ln x(x ＋1)2－2x ln 2 ＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2－2x ln 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x －12′ ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x 4cos 2x＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋bx ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103. 答案：1035．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.导数运算法则的综合应用[例3] 1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.答案：－47．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e. 答案：e3．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1(2x －1)2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x )．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x )]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x )′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x ) ＝e x (1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知， f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . (2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32， 解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)． 将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32， 解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1.化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23. ∴切线l 的方程为y －23＝(－1)(x －2)， 即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。

§1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数 课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数：(kx ＋b)′＝______(k ，b 为常数)；C ′＝______ (C 为常数)；(x)′＝______；(x 2)′＝______；(x 3)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________；(x)′＝________. 2．基本初等函数的导数公式： (x α)′＝________(α为常数)(a x )′＝________ (a>0，且a ≠1) (log a x)′＝1xlog a e ＝______ (a>0，且a ≠1) (e x )′＝______(ln x)′＝______(sin x)′＝________(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号)①若y ＝3，则y ′＝0；②若y ＝1x，则y ′＝－12x ； ③若y ＝－x ，则y ′＝－12x； ④若y ＝3x ，则y ′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为__________．5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为__________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________． 8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________． 二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x－2x ； (3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率；(3)点A 处的切线斜率k AT ；(4)点A 处的切线方程．能力提升11．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式．2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．答 案知识梳理1．k 0 1 2x 3x 2 －1x 2 12x2. (x α)′＝αx α－1(α为常数)(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1) (e x )′＝e x(ln x )′＝1x(sin x )′＝cos_x(cos x )′＝－sin_x作业设计1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x. 2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确．3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x .4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523 解析 s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12. ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4. (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3. (2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . (3)∵y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2，即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.11．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t .根据基本初等函数的导数公式表，有p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05.∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。

高中数学一、 空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、 减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量， 并用 它们表示出目标向量， 这是用向量法解决立体几何问题的基本要求， 解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量.二、 空间向量的数量积由a b = |a ||b |cos 〈a , b 〉可知，利用该公式可求夹角、距离.还可由 a b = 0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈 a , b 〉的大小确定.三、 空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一， 主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决.利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有： (1) 线线平行.证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2) 线线垂直.证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且 a 丄b ? a b = 0.(3) 线面平行.用向量证明线面平行的方法主要有：① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；② 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③ 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示 出来. (4) 线面垂直.用向量证明线面垂直的方法主要有：① 证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5) 面面平行.［对应学生用书P72]①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);a bcos a b|a ||b|0討[0cos |cos a b |sin |cos |.n i n2 cosn i n2|n i||n|( 14( 1201 a( 3,2,5) b(1 x 1)a b 3 2x 5 2 x 5.52 A B C D AB AC 0 AC AD 0AB ADBCDBCD BCCBD(A TB)(ADAB 2耀合ifc力许佔一自科自沖160 )5 70a b 2 xAB)高中数学•••△ BCD 为锐角三角形. 答案：锐角三角形3.已知直线I 与平面a 垂直，直线的一个方向向量为 u = (1,3, z),向量v = (3, - 2,1)与平面a 平行，则Z = __________ .解析：T 平面a 的法向量u = (1,3 , z), v 与平面a 平行，• U 丄V , --u v= 1 x 3 + 3X (— 2) + z x 1 = 0, •・ z = 3.答案：3216.已知向量p 关于基底｛a , b , c ｝的坐标为(3,2, — 1)，贝U p 关于基底｛2a , — b , ?c ｝的 坐标是 ________ .解析：由已知得p = 3a + 2b — c , 则 P = |(2a ) + ( — 2)( — b ) + ( — 2) 2c . 故p 关于基底12a , — b , 2Ci 的坐标为g ,— 2,— 2/答案： g ，-2，-2)7•已知直线11, 12的方向向量分别为 a , b ,且a = (1,2, — 2), b = (— 2,3, m),若h 丄 l 2 ,则实数m 的值为 _______________ .解析：•••丨1丄I ? , • a 丄b.答案：34.已知空间三点 A(0,2,3), B(— 2,1,6), C(1, —1,5).若|a |= . 3,且 a 分别与AB ,TC垂直，则向量 a 为 _________解析：设 a = (x , y , z), AB = (— 2, —1,3), AC = (1,— 3,2). x 2+ y 2+ z2= 3,I则彳―2x — y + 3z = 0,解得 a = (1,1,1)或(—1,— 1,— 1).答案：(1,1,1)或(—1,— 1,— 1)5.已知 A(1,5, — 2), B(2,4,1), C(x,3, y + 2)，且 A 、B 、C 三点共线，则实数 x , y 的 值分另寸为 _______ 解析：若A 、B 、C 三点共线，则AB , BC 也共线.AB =(1 , —1,3), BC = (x — 2, —1, y +1),x — 23y + 1. • x = 3, y = 2.120 . 120 .AB 2 (AE2 3 cos AEFBFBa b 1 ( 2) 2 3 ( 2) m 4 2m 0.m 2.28a (cos 1 sin )b (sin1 cos ) a b a b_______ (a b ) (a b ) a 2 b 2 (cos 2sin 21) (sin 21 cos2 ) 0(a b )(ab )909a (cos sin 1)b (羽 1,2)|2a b |______2a b (2cos 眾 2sin 1,0)|2a b | 寸(2cos⑧(2sin\l 8 8sin (亍 n 4.410u (121)v (2,4,2)v 2(1 2 1) 2uv u11 ABC C 90 B 30 AB 4 D ABACDAB.13 A CD BCDEBCDBBF CDCDAFcAE CDAE BF V3 EF 2 AB 届.EA FB)2…cos答案: _6亍 14 .已知 OA = (1,2,3), QA QB 取得最小值时，点 OB = (2,i,2), OP = (i,i,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q 的坐标为 解析：•/ Q 在OP 上，•可设 Q(x , x,2x), 则 QA = (1 — x,2— x,3 — 2x), QB = (2 — x,1 — x,2 — 2x).•Q A QB = 6x 2— 16x + 10,QA -QB 最小，这时 Q 4, 3, 3 .••• x = 4时,答案：120°12.如图，在空间四边形 ABCD 中，AC 和BD 为对角线，GT T TABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE = 3ED ，若以{ AB , AC , AD 为基底，则GE = _______ .解析：GE = AE — AG =AD + DE — | AM1i=AD + 4 DB — 3( AB + AC )1 1 11 H=AD +7 AB —^ AD —寸 AB —寸 AC4 4 3 3 1 1 3 T=—12 AB — 3 AC + 4 AD . 答案：一2 AB — 3 AC + 3 AD13.正方体ABCD — A i B i C i D i 中，BB i 与平面 ACD i 所成角的余弦值为 解析：以D 为原点，建立空间直角坐标系如图, D(0,0,0), B i (i,i,i) , B(i,i,O)，贝V BB i = (0,0,i).T B i D 丄平面ACD i ,二DB 1 = (i,i,i)为平面ACD i 的法向量. 设BB i 与平面ACD i 所成的角为0,则sin 0=I BB i || BQ |}"G设正方体棱长为i ,159014 ABCD ABC(1) 2 AA* 1BC 3 AB(2) M BD N BCC BD Y AA(1) DD G G DCGH 2DC AHAH11AA2BC 2 T AB .TAHT T(2) MN MB BN1DB23BC1 T 3 T5(AB AD ) 3(AA AD )1 4 1 T 31 AB1AD3AA .1 1 32 4 4.16 ( 14 ) A( 2,0,2)-1AC .(1) a b(2) k a b k a 2 b kTa AB ( 1,1,2)( 2,0,2) (1,1,0)BCGHB( 1b( 3,0,4)( 2,0,2) 1,0,2)bABAC(1)cos|a||b| 迄応(10101,2) C( 3,0,4) a AB高中数学(2)k a + b = (k , k,0) + (- 1,0,2) = (k — 1, k,2), k a — 2b = (k , k,0) — (— 2,0,4) = (k + 2, k , — 4), •••(k — 1, k,2) (k + 2, k ,— 4) =(k — 1)(k + 2) + k 2— 8 = 0. 即 2k 2+ k — 10= 0, 5• k =—或 k = 2.217.(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱 )ABC — A 1B 1C 1⑵取A 1C 的中点E ,连结 DE. 由于 E(1,0,1),••• a 与b 的夹角 B 的余弦值为一TO~V0-中，AC 丄BC , D 是AB 的中点, AC = BC = BB 1.(1)求证：BC 1 丄 AB 1；⑵求证：BC 1 H 平面CA 1D.证明：如图所示，以C 1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC =BC = BB 1 = 2,则 A(2,0,2), B(0,2,2), C(0,0,2),"(2,0,0) , B 1(0,2,0), 6(0,0,0),D(1,1,2).—2, —2),AB ? = (— 2,2,—2),--BC 1 *AB i = 0— 4 + 4 = 0,即 BC 1 丄 AB 1 ,故 BC 1 丄 AB 1. ED = (0,1,1), 又 BC i = (0，— 2,— 2), ED =1 ——2 BC i , 且 ED 与 BC 1 不共线,• ED // BC 1, 又 ED?平面 CA Q , BC 1?平面 CA Q , • BC 1 // 平面 CA 1D.18.(本小题满分16分)正厶ABC 的边长为4, CD 是AB 边上的高, E , F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ ABC 沿CD 翻折成直二面角 A — DC — B.(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由; ⑵求二面角E — DF — C 的余弦值;(1)由于 BC 1 = (0,19.(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt A ABC 中，/ C = 90° BC =3, AC = 6, 高中数学V 3s t 2“ t 沁 3 BC BP 1 BC 3.BCAP DE BP BC(1) ABC AC BCEF AB AB? DEF EF?DEFABDEF.DBDC DA A(0,0,2)B(2,0,0) D A1) CDF DAEDFDF n 01) F(1 V 30) "DF(1 V 3n (x y z)n (3 ⑴ 3)DA n ■ r 21 cos DAnI DA ||n | 7E DF C P(s t,0).21 7AP DEt 2/33B P (s 2BP PCt,0) PC (S ,2V3 t,0) (s 2)(^3t) stP AP DE.(0,30)C(0,2 3 0) E(0 V 32D、E分别为AC、AB上的点，且DE // BC, DE = 2,将厶ADE沿DE折起到△ A i DE的位置, 使A i C丄CD，如图2.(1)求证：A i C丄平面BCDE ;⑵若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.解：(1)证明：因为AC丄BC, DE // BC,所以DE丄AC.所以ED丄AQ, DE丄CD，所以DE丄平面AQC. 所以DE丄AQ.又因为A1C丄CD，且CD A DE = D ,所以AQ丄平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点,CB、CD、CA1 为x、y、z 轴,建立空间直角坐标系C-xyz,则A1(0,0,2 3), D(0,2,0),M(0,1, ,3), B(3,0,0),E(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n= (x, y, z),则n AB = 0, n -BE = 0. 又A^B = 3, 0,- 2 .3 , BE= (- 1,2,0),所以3X-2 '3Z= 0,I— x+ 2y= 0.令y = 1,则x= 2 , z= ,3.所以n = (2,1 , , 3).设CM与平面A1BE所成的角为CM = (0,1, 3)所以sin 0= |cos〈n , CM > |因为I 4||n||CM |= 8x ■,42 .19.(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt A ABC 中，/ C = 90° BC = 3, AC = 6,(p,0,0) p [0,3]2y 2 ^3z 0♦px 2y 0.p 0.[0,3]D GH E(2) ABQ AQ 2BD AD DQABQ 90 .PB ABQBA BQ BPB BA BQ BPCM A I BE ⑶ BC P A I DP A I BEA I DP m A l D 0 A 1D 0 m (x m DP 0.2.3 DP y z)(P 2,0)AQP A 1BEBC AQP A 1BE20 ( )( 16 P ABQ PB ABQ BA BP BQ AQ BQ AP BP AQ 2BD PD EQ PC FQ GH.(1) AB GHAB. (1) EF DC.EF? PCD DC? PCDAQ BQ AP BP EF AB DC EF PCD.EF ? EFQ EFQ PCD GHEF GH.EF AB AB GH.空间直角坐标系.设平面EFQ 的一个法向量为 m = (X 1, y 1,乙),m-Fa = o ，得—X1+2y1—Z1=0,|2y 1 — Z 1= 0,取 y 1= 1，得 m = (0,1,2).设平面PDC 的一个法向量为 n = (X 2, y 2, Z 2), n CP =0,得—X2— y2+ 2Z2= 0,|— y 2+ 2Z 2= 0,取 Z 2= 1，得 n = (0,2,1),因为二面角D — GH — E 为钝角,所以二面角D -GH — E 的余弦值为-4. 设 BA = BQ = BP = 2, 则 E(1,0,1), F(0,0,1), Q(0,2,0), D(1,1,0), C(0,1,0), P(0,0,2). 所以 EQ = (—1,2, 1), FQ = (0,2, —1),DP = (- 1,— 1, 2), CP = (0, — 1,2). J 所以 cos 〈 m , n > mn 4 |m ||n |= 5. =o , 由 n DP = 0,。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号与函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则函数y ＝f (x )这个区间上是增函数； 如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则函数f (x )这个区间上是__________．2．函数的单调性决定了函数图象的大致形状．一、填空题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的____________条件．2．函数f (x )＝2x －ln x 的单调增区间为________．3．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．(填序号)4．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为__________．5．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为__________． 6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．8．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．二、解答题9．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．10．(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．能力提升11．判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．12．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．答 案知识梳理1．f ′(x )>0 减函数作业设计1．充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．(12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x， ∵x >0，f ′(x )＝2x －1x >0，∴x >12. 3．①解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称．由f ′(0)＝1可排除③、④.而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0，从而观察图象即可得到答案为①.4.⎝⎛⎭⎫0，1a 解析 函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝1x－a ， 由f ′(x )>0，得1－ax x >0，∴a ⎝⎛⎭⎫x －1a x<0， ∴x <1a，故f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 5．[2，＋∞)解析 ∵y ′＝a －1x ，∴在(12，＋∞)上y ′≥0， 即a －1x ≥0，∴a ≥1x. 由x >12得1x <2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2. 6．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单调减区间为(－1,11)．7．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 8．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.9．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x， 由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12， ∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 10．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3， 即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．11．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 12．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。